沪教版七年级数学上册专题03因式分解(原卷版+解析)

这是一份沪教版七年级数学上册专题03因式分解(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．对于多项式（1）；（2）；（3）；（4）中，能用平方差公式分解的是( )
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（4）D．（2）（4）
2．下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B．
C．D．
4．不论x为何值，等式都成立，则代数式的值为（ ）
A．-9B．-3C．3D．9
5．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．因式分解：①；②；③；④，含有相同因式的是（ ）
A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④
7．下列因式分解中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
8．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1B．x+2y﹣1C．x﹣2y+1D．x﹣2y﹣1
9．已知实数m，n，p，q满足，，则（ ）
A．48B．36C．96D．无法计算
10．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，5，，a，，分别对应下列六个字：口，爱，我，数，学，渌．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）．
A．我爱学B．爱渌口C．渌口数学D．我爱渌口
二、填空题
11．＝ ______________
12．因式分解：________．
13．多项式因式分解时应提取的公因式为______．
14．若，则的值为______．
15．分解因式：____．
16．分解因式：=___________．
17．分解因式： ______ ．
18．阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…
含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，属于对称式的是_______（填序号）；
（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．
①若，求对称式的值；
②若n＝﹣4，直接写出对称式的最小值．
三、解答题
19．分解因式
(1)4a-2ab；
(2)
(3)
20．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)x（x﹣1）﹣3x+4；
(3)；
(4)．
21．因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
22．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
23．分解因式：．
24．因式分解：
25．阅读材料：若，求的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则 ， ．
(2)已知，求的值．
(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长．
26．阅读下列解答过程：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为
则，，
∴，∴
∴另一个因式为，m的值为-21．
请依照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值．
27．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
(1)上述操作能验迁的等式是 （请选择正确的选项）
A．a-ab=a（a-b） B．a-2ab+b=（a-b） C．a+ab=a（a+b） D．a-b=（a+b）（a-b）
(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9a-b=36，3a+b=9则3a-b=
②计算：
28．阅读下面材料完成分解因式．
型式子的因式分解
．
这样，我们得到．
利用上式可以将某些二镒项系数为1的二次三项式分解因式．
例把分解因式
分析：中的二次项系数为1，常数项，一次项系数，这是一个型式子．
解：
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式．
(1)
(2)
29．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；
(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：= ．
专题03 因式分解
一、单选题
1．对于多项式（1）；（2）；（3）；（4）中，能用平方差公式分解的是( )
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（4）D．（2）（4）
【答案】C
【分析】由于平方差公式必须只有两项，并且是两个数差的形式，利用这个特点即可确定哪几个能用平方差公式分解．
【解析】解：平方差公式必须只有两项，并且是两个数平方差的形式，
（1）两平方项符号相反，可以利用平方差公式；
（2），两平方项符号相同，不能运用平方差公式；
（3）4虽然是两项，并且是差的形式，但不是平方差的形式；
（4），两平方项符号相反，可以利用平方差公式．
所以（1）（4）能用平方差公式分解．
故选：C．
【点睛】此题考查了平方差公式的特点，只要抓住平方差公式的特点：两平方项，符号相反，熟记公式结构特点是解题的关键．
2．下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
【解析】解：A、右边不是整式的积的形式，是分式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
B、从左到右的变形，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
D、左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的定义，解题的关键正确理解因式分解的定义，本题属于基础题型．
3．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用平方差公式逐项分解因式可求解．
【解析】解：A、，无法因式分解，故此选项错误；
B、，无法因式分解，故此选项错误；
C、，无法因式分解，故此选项错误；
D、，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的基本形式是解题关键．
4．不论x为何值，等式都成立，则代数式的值为（ ）
A．-9B．-3C．3D．9
【答案】D
【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出p与q的值，即可求出答案．
【解析】解：由题意可得，
=，
∴p=2，q=-3，
则=9．
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解法-十字相乘法，解决本题的关键是熟练的掌握十字相乘法．
5．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】利用完全平方公式判断即可．
【解析】解：①，能用完全平方公式分解，不符合题意；
②，不能用完全平方公式分解，符合题意；
③，不能用完全平方公式分解，符合题意；
④，能用完全平方公式分解，不符合题意；
⑤，不能用完全平方公式分解，符合题意．
综上，不能用完全平方公式分解的是②③⑤，共3个
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．因式分解：①；②；③；④，含有相同因式的是（ ）
A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④
【答案】C
【分析】先把每个多项式分解因式，再逐个选项判断即可．
【解析】解：①2x2-x=x（2x-1），
②x2+4+4x=（x+2）2，
③x2+x-2=（x+2）（x-1），
④-x2+4x-4=-（x-2）2，
即①和②没有相同的因式，①和④没有相同的因式，②和③有相同的因式x+2，③和④没有相同的因式，
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解，能灵活运用各种方法分解因式是解此题的关键．
7．下列因式分解中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式，分组分解法，十字相乘法，平方差公式因式分解即可
【解析】解：A. ，故该选项正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，符合题意；
D. ，故该选项正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
8．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1B．x+2y﹣1C．x﹣2y+1D．x﹣2y﹣1
【答案】C
【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．
【解析】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．
故选：C．
【点睛】此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案.
9．已知实数m，n，p，q满足，，则（ ）
A．48B．36C．96D．无法计算
【答案】A
【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解．
10．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，5，，a，，分别对应下列六个字：口，爱，我，数，学，渌．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）．
A．我爱学B．爱渌口C．渌口数学D．我爱渌口
【答案】D
【分析】先将题干算式因式分解，后于所对应汉字对应即可求解．
【解析】解：
=
∵，，5，，a，，分别对应六个字：口，爱，我，数，学，渌，
结果中一定有“我”，“爱”，“渌”，“口”，
∵根据代数式的书写规则，“5”一定在最前面，
∴“我”在最前面，对照四个选项可知，只有D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解，且与现实生活联系创新，正确分解并于所对应汉字对应为关键．
二、填空题
11．＝ ______________
【答案】
【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式分解因式即可．
【解析】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
12．因式分解：________．
【答案】
【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．
【解析】解：原式
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键．
13．多项式因式分解时应提取的公因式为______．
【答案】
【分析】根据公因式取系数最大公约数，相同字母的最低次项相乘即可求解．
【解析】解：多项式因式分解时应提取的公因式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了确定公因式，解题关键是明确公因式的确定方法．
14．若，则的值为______．
【答案】18
【分析】先进行因式分解，然后整体代入计算即可．
【解析】解：
=
=；
将整体代入=．
【点睛】本题考查了代数式求值、因式分解，熟练掌握完全平方公式整体代入是解题关键．
15．分解因式：____．
【答案】
【分析】先提出公因式，再利用十字相乘法因式分解，即可求解．
【解析】解：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并根据多项式的特征灵活选合适方法解答是解题的关键．
16．分解因式：=___________．
【答案】(a+3b)(a－3b)(a2+9b2)
【分析】运用两次平方差公式进行因式分解即可．
【解析】解：原式
=(a+3b)(a－3b)(a2+9b2) ．
故答案为：(a+3b)(a－3b)(a2+9b2) ．
【点睛】本题考查运用平方差公式进行因式分解，解题关键是掌握a2-b2=(a+b)(a-b) ．
17．分解因式： ______ ．
【答案】
【分析】先利用乘法公式展开、合并得到原式，再进行分组得到完全平方公式，所以原式，然后再把括号内分组分解即可．
【解析】解：原式




．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解——分组分解，理解分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式，并灵活运用整体代入思想解答是解题的关键．
18．阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…
含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，属于对称式的是_______（填序号）；
（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．
①若，求对称式的值；
②若n＝﹣4，直接写出对称式的最小值．
【答案】（1）①③；（2）①＝6；②的最小值为．
【分析】（1）根据对称式的定义进行判断；
（2）①先得到a+b＝﹣2，ab＝，再变形得到＝＝，然后利用整体代入的方法计算；
②根据分式的性质变形得到＝，再利用完全平方公式变形得到（a+b）2﹣2ab+，所以原式=m2+，然后根据非负数的性质可确定的最小值．
【解析】解：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，属于对称式的是 ①③．
故答案为①③；
（2）∵x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n
∴a+b＝m，ab＝n．
①a+b＝﹣2，ab＝，
＝＝＝＝6；
②＝
＝（a+b）2﹣2ab+
＝m2+8+
＝m2+，
∵m2≥0，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可．
三、解答题
19．分解因式
(1)4a-2ab；
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）运用提公因式法分解因式即可；
（2）运用平方差公式分解因式即可；
（3）运用提公因式法分解因式即可．
（1）
解：4a-2ab
；
（2）
解：
；
（3）
解：
．
【点睛】本题考查了分解因式，解决本题的关键是运用提公因式法和平方差公式分解因式．
20．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)x（x﹣1）﹣3x+4；
(3)；
(4)．
【答案】(1)3（a﹣b）（2a﹣2b+1）
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用提公因式法分解；
（2）先利用乘法法则化简整式，再利用完全平方公式因式分解；
（3）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解；
（4）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解．
（1）
解：
＝3（a﹣b）[2（a﹣b）+1]
＝3（a﹣b）（2a﹣2b+1）
（2）
解：x（x﹣1）﹣3x+4

（3）
解：
（4）
解：
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
21．因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；
（2）利用完全平方公式，进行分解即可解答；
（3）先利用平方差公式，再利用十字相乘法进行分解即可解答；
（4）利用因式分解﹣分组分解法，进行分解即可解答．
（1）
解：；
（2）
；
（3）
；
（4）
【点睛】本题考查了因式分解﹣分组分解法，提公因式法与公式法，熟练掌握各种因式分解的方法是解题的关键．
22．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提公因式2x，再用完全平方公式分解因式即可；
（3）先提公因式x，再用十字相乘法分解因式即可；
（4）先根据平方差公式分解因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
（1）
解：原式=
=；
（2）
解：原式=
=；
（3）
解：原式=
=；
（4）
解：原式=
=
=
=
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
23．分解因式：．
【答案】
【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式．
【解析】
=
=
=．
【点睛】此题考查分解因式：分组分解法、提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、因式分解法，根据每个多项式的特点选用适合的分解方法是解题的关键．
24．因式分解：
【答案】
【分析】分组后利用立方差公式分解，再提取公因式即可.
【解析】

【点睛】本题考查是因式分解，掌握立方差公式及会分组是关键.
25．阅读材料：若，求的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则 ， ．
(2)已知，求的值．
(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得，然后由非负数性质求得结果；
（2）由得，然后由非负数性质求得结果；
（3）把两个方程通过变式得，然后由非负数性质求得a、c，进而得b，便可求得三角形的周长．
（1）
解：由，得，
∵≥0，，
∴a-3=0，b=0，
∴a=3，b=0．
故答案为：3；0．
（2）
由得，
∴x-y=0，y-4=0，
∴x=y=4，
∴=16；
（3）
∵a+b=8，
∴b=8-a，
∵，
∴，
∴，
∴a-4=0，c-5=0，
∴a=4，c=5，
∴b=4，
∴△ABC的周长为a+b+c=4+4+5=13．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路是解题的关键．
26．阅读下列解答过程：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为
则，，
∴，∴
∴另一个因式为，m的值为-21．
请依照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值．
【答案】另一个因式为x＋7，k的值为﹣14．
【分析】利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，利用多项式相等，对应项或对应项的系数相等进而得出方程组，可得答案．
【解析】解：设另一个因式为（x+m），由题意，得：
x2+5x+k＝（x﹣2）（x+m），
则x2+5x+k＝x2+（m﹣2）x﹣2m，
∴，
解得，
∴另一个因式为x＋7，k的值为﹣14．
【点睛】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题的关键．
27．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
(1)上述操作能验迁的等式是 （请选择正确的选项）
A．a-ab=a（a-b） B．a-2ab+b=（a-b） C．a+ab=a（a+b） D．a-b=（a+b）（a-b）
(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9a-b=36，3a+b=9则3a-b=
②计算：
【答案】(1)D
(2)①4；②
【分析】（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可．
（2）①利用（1）中得到的平方差公式计算即可；②根据平方差公式可进行求解．
（1）
解：图1中阴影部分的面积，图②中阴影部分的面积．
．
故选D．
（2）
解：①，3a+b=9，
，
．
故答案为：4．
②
．
【点睛】本题主要考查平方差公式及其应用，用两种方法表示同一个图形面积，再用所得公式完成计算是求解本题的关键．
28．阅读下面材料完成分解因式．
型式子的因式分解
．
这样，我们得到．
利用上式可以将某些二镒项系数为1的二次三项式分解因式．
例把分解因式
分析：中的二次项系数为1，常数项，一次项系数，这是一个型式子．
解：
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照题意进行分解因式即可；
（2）仿照题意进行分解因式即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键．
29．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；
(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：= ．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
(5)252
(6)
【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出，再根据（4）的结论即可得；
（6）将改写成，再根据（4）的结论进行因式分解即可得．
（1）
解：图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
拼图前后图形的面积不变，
，
可得一个多项式的分解因式为，
故答案为：．
（2）
解：由题意，得到的几何体的体积为，
故答案为：．
（3）
解：，
长方体②的体积为，
，
长方体③的体积为，
故答案为：，．
（4）
解：由（2）和（3）得：，
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为，
故答案为：．
（5）
解：，
，
．
（6）
解：由（4）可知，，
则
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键．