中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题15二次函数与相似综合问题(江苏真题7道模拟30道)(原卷版+解析)

这是一份中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题15二次函数与相似综合问题(江苏真题7道模拟30道)(原卷版+解析)，共134页。
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
一．解答题（共7小题）
1．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证：△OCD∽△A′BD；
②求的最小值；
（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．
2．（2021•镇江）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2），点C（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D．
（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开．
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.＝，D.＝，所有正确选项的序号是 ．
③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时，求点Q的坐标．
3．（2021•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．
4．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；
（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．
5．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．
6．（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．
（1）点D的坐标是 ；
（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．
①当n＝时，求DP的长；
②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围 ．
7．（2022•无锡）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），图象与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图象上的两个动点（点C在点D的左侧），且∠CAD＝90°．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
（3）点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
一、解答题
1．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，抛物线y=−14x2+bx+c与x轴的一个交点为A−2，0，与y轴的交点为B0，4，对称轴与x轴交于点P．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为y轴正半轴上的一个动点，连接AM，过点M作AM的垂线，与抛物线的对称轴交于点N，连接AN．
①若△AMN与△AOB相似，求点M的坐标；
②若点M在y轴正半轴上运动到某一位置时，△AMN有一边与线段AP相等，并且此时有一边与线段AP具有对称性，我们把这样的点M称为“对称点”，请直接写出“对称点”M的坐标．
2．（2022·江苏镇江·统考一模）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=(x+1)(x−m)与x轴交于A(−1,0)、B （点A在点B左侧），与y轴交于点C．
(1)连接BC，则∠OCB= °；
(2)如图2，若⊙P经过A、B、C三点，连接PA、PC，若△PAC与△OBC 的周长之比为5:3，求该抛物线的函数表达式；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接OP，抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与△OAP相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
3．（2022·江苏淮安·统考模拟预测）如图，已知A（﹣2，0）、B（3，0），抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A、B两点，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为m．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．过点P作PN⊥BC，垂足为点N．
(1)直接写出抛物线的函数关系式 ；
(2)请用含m的代数式表示线段PN的长 ；
(3)连接PC，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠BCO＋2∠PCN＝90°？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；
(4)连接AQ，若△ACQ为等腰三角形，请直接写出m的值 ．
4．（2021·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求S1S2的最大值；
(3)如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2023·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断S1S2+S2S3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
6．（2022·江苏淮安·统考一模）如图1，抛物线y=ax2+5ax+c经过A3,0，C0,−4，点B在x轴上，且AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点E，F分别是线段CO，BC上的动点，且CE=BF，连接EF．
(1)求抛物线的表达式及点D的坐标；
(2)当△CEF是直角三角形时，求点F的坐标；
(3)如图2，连接AE，AF，直接写出AE+AF的最小值为：______．
7．（2022·江苏镇江·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）与x轴交于A(−1，0)、B(4，0)，交y轴于点C(0，−2)，顶点为P．
(1)求抛物线C1对应的函数表达式；
(2)抛物线C2：y=max2+bx+c（m为常数且m≠0）的顶点为Q，
①当AQ+CQ的值最小时，点Q的坐标为________；
②连接AC、AQ，若∠BAQ=2∠ACO，求点Q的坐标；
③抛物线C1上有一个点M，且位于第一象限，若△PQM与△ABC相似，求点Q的坐标．
8．（2022·江苏无锡·宜兴市实验中学校考二模）如图，二次函数y=ax2−6ax+ca0,c>0)，抛物线交y轴于点C，直线AB与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点D(0，d)．
(1)若d=4，点A(−1，3)，且满足BD=2AD，求点B的坐标；
(2)在（1）的条件下，作BE⊥x轴，交x轴于E，试说明A、C、E在同一条直线上；
(3)过点B作BE⊥x轴，交x轴于E，若A、C、E始终在同一条直线上，求d、c之间满足的数量关系．
13．（2022·江苏盐城·校考一模）如图1，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，﹣3），直线l经过点B．
(1)求二次函数的表达式和顶点D的坐标；
(2)如图2，当直线l过点D时，求△BCD的面积；
(3)如图3，直线l与抛物线有另一个交点E，且点E使得∠BAC﹣∠CBE＞45°，求点E的横坐标m的取值范围；
(4)如图4，动点F在直线l上，作∠CFG＝45°，FG与线段AB交于点G，连接CG，当△ABC与△CFG相似，且S△CFG最小时，在直线l上是否存在一点H，使得∠FHG＝45°存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2022·江苏泰州·校考一模）如图①，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A(x1，0)，点C(x2，0)，且x1，x2满足x1+x2＝2，x1•x2＝﹣3，与y轴交于点B，E(m，0)是x轴上一动点，过点E作EP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．
(1)求抛物线解析式．
(2)如图②，直线EP交直线AB于点D，连接PB．
①点E在线段OA上运动，若△PBD是等腰三角形时，求点E的坐标；
②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°，请求出m的值．
(3)如图③，点Q是直线EP上的一动点，连接CQ，将线段CQ绕点Q逆时针旋转90°，得到线段QF，当m＝1时，请直接写出PF的最小值．
15．（2022·江苏无锡·校考一模）抛物线y＝ax2+c（ax2）都在抛物线y=−12x2+32x+2上，若x1+x2=1，请证明：y1>y2；
(3)已知点M是线段BC上的动点，点N是线段BC上方抛物线上的动点，若∠CNM=90°，且△CMN与△OBC相似，试求此时点N的坐标．
18．（2022·江苏无锡·校联考一模）如图，抛物线y=ax2-2ax-3a（a>0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB=OC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
(3)若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
19．（2022·江苏无锡·校联考一模） 如图，抛物线y＝12x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝12x﹣2经过B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2020·江苏苏州·统考二模）如图1，抛物线y=ax2+a+3x+3a≠0与x轴交于点A4,0，与y轴交于点B，在x轴上有一动点Em,0（0y2．
（3）解：过点N作NG⊥y轴于点G，过点M作MH⊥GN于点H．
由点B、C的坐标分别为（4，0），(0，2)，
易得直线BC的函数表达式为y=−12x+2．
设点N的坐标为（n，−12n2+32n+2），则GN=n，GC=−12n2+32n．
当∠CNM=90°时，易得△CNG∽△NMH．
①△CMN中CN：MN=1：2，
则易得NH=2(−12n2+32n)=−n2+3n，HM=2 n．
∴点M的坐标为（−n2+3n+n，−12n2+32n+2−2n）．
该点在直线BC上，则有−12n2+32n+2−2n=−12−n2+3n+n+2．
解得：n1=0（舍去）， n2=32．
此时可得点N坐标为（32，258）．
②若△CMN中CN：MN=2：1，
则易得NH=12(−12n2+32n)=−14n2+34n，HM=12n．
所以点M的坐标为（−14n2+34n+n，−12n2+32n+2−12n）．
可得−12n2+32n+2 −12n=−12（−14n2+34n+n）+2．
解得：n3=0（舍去）， n4=3．
此时可得点N坐标为（3，2）．
综上所述，点N的坐标为（32，258）或（3，2）．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用作差法比较大小，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，运用分类讨论、数形结合的思想进行解题．
18．（2022·江苏无锡·校联考一模）如图，抛物线y=ax2-2ax-3a（a>0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB=OC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
(3)若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)P32，−32或53，−43
(3)P3−2，−2或3+2，2
【分析】（1）在抛物线y＝ax2−2ax−3a（a＞0）中，令y＝0，得出点A、B坐标，再根据OB＝OC，建立方程求出a的值即可得到二次函数的解析式；
（2）易证∠CPM＝∠OBC，则可分两种情况讨论：①当△PCM∽△BAC时，②当△PCM∽△BCA时；求出直线BC解析式，设点M的坐标为（m，m2−2m−3），则P的坐标为（m，m−3），分别表示出PM，PC，利用相似三角形的性质列出比例式，求出m的值即可得到对应的点P的坐标；
（3）分三种情况讨论：①当点P在线段BC上时（不与B，C重合），根据折叠的性质和平行线的性质证明∠PCM＝∠PMC，则PC＝PM，然后列方程求解即可得出P点坐标；②当点P在线段CB的延长线上时，同理可求P点坐标；③当点P在线段BC的延长线上时，点P的对应点N不可能落在y轴上，此情况不存在．
【详解】（1）解：在y＝ax2−2ax−3a（a＞0）中，令y＝0，得：ax2−2ax−3a＝0，
解得：x1＝3，x2＝−1，
∴A（−1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵OB＝OC，
∴OC＝3，
∴C（0，−3），
∴−3a＝−3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2−2x−3；
（2）解：∵OB＝OC＝3，OA＝1，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，AB＝4，BC＝32，
∵PM⊥x轴，
∴PM∥y轴，
∴∠CPM＝∠OCB＝45°，
∴∠CPM＝∠OBC，
分情况讨论：
①当△PCM∽△BAC时，
设直线BC解析式为y＝kx＋b，
代入B（3，0），C（0，−3）得：3k+b=0b=−3，
解得：k=1b=−3，
∴直线BC解析式为：y＝x−3，
设点M的坐标为（m，m2−2m−3），则P的坐标为（m，m−3），
∴PM＝m−3−（m2−2m−3）＝−m2＋3m，PC＝2m，
∵△PCM∽△BAC，
∴PCAB=PMBC，即2m4=−m2+3m32，
整理得：−2m2+3m=0，
解得：m=32或m=0（舍去），
当m=32时，m−3＝−32，
∴此时P的坐标为（32，−32）；
②当△PCM∽△BCA时，则有PCBC=PMAB，
由①可得2m32=−m2+3m4，
整理得：−32m2+52m=0，
解得：m=53或m=0（舍去），
当m=53时，m−3＝−43，
∴此时P的坐标为（53，−43）；
综上所述：当△PCM和△ABC相似时，点P的坐标为（32，−32）或（53，−43）；
（3）解：分三种情况讨论：
①当点P在线段BC上时（不与B，C重合），
由（2）可知直线BC解析式为：y＝x−3，
设点M的坐标为（m，m2−2m−3），则P的坐标为（m，m−3），PM＝m−3−（m2−2m−3）＝−m2＋3m，PC＝2m，
∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，
∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y轴，
∴∠NCM＝∠PMC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝PM，
∴2m=−m2+3m，
整理得：m2+2−3m=0，
解得：m1=3−2，m2＝0（舍去），
当m＝3−2时，m−3＝−2，
∴此时P的坐标为3−2，−2；
②当点P在线段CB的延长线上时，
由（3）中情况①可知：PM＝m2−2m−3−（m−3）＝m2−3m，PC＝2m，
∵PC＝PM，
∴2m=m2−3m，
整理得：m2−3+2m=0，
解得：m1=3+2，m2＝0（舍去），
当m＝3+2时，m−3＝2，
∴此时P的坐标为3+2，2；
③当点P在线段BC的延长线上时，点P的对应点N不可能落在y轴上，
故此情况不存在；
综上所述：当点P的对应点N恰好落在y轴上时，点P的坐标为3−2，−2或3+2，2．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质以及解一元二次方程等知识点，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题关键．
19．（2022·江苏无锡·校联考一模） 如图，抛物线y＝12x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝12x﹣2经过B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=12x2−32x−2；
(2)P的坐标为(3,−2)或(32，−258)
【分析】（1）先求出B、C的坐标，再代入抛物线解析式中，即可求解；
（2）先求出P、M、D的坐标，再判断出△AOC与△COB相似，得出∠OAC=∠OCB,∠ACO=∠OBC，①当△PNC∼△AOC，得出∠PCN=∠ACO，继而得出CP∥OB,即可得出结论；②当△PNC∽△COA，得出∠PCN=∠CAO，继而得出PC=PD，即可得出结论；
（1）
针对于直线y=12x−2，
令x=0，则y=−2，
∴C(0,−2)，
令y=0，则0=12x−2，
∴x=4，
∴B(4,0)，
将点B，C坐标代入抛物线y=12x2+bx+c中，得c=−28+4b+c=0，
∴ b=−32c=−2
∴抛物线的解析式为y=12x2−32x−2；
（2）
存在，
∵PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0），
∴ Pm，12m2−32m−2，Dm，12m−2
由（1）知，抛物线的解析式为y=12x2−32x−2，
令y=0，则0=12x2−32x−2，
∴x=−1或x=4，
∴点A(−1,0)，
∴OA=1，
∵B(4,0)，C(0,−2)，
∴OB=4，OC=2，
∴ OAOC=OCOB，
∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∼△COB，
∴ ∠OAC=∠OCB,∠ACO=∠OBC，
∵ΔPNC与ΔAOC相似，
∴①当ΔPNC∽ΔAOC，
∴∠PCN=∠ACO，
∴∠PCN=∠OBC，
∴CP//OB，
∴点P的纵坐标为−2，
∴ 12m2−32m−2=−2，
∴m=0（舍)或m=3，
∴P(3,−2)；
②当ΔPNC∽ΔCOA时，
∴∠PCN=∠CAO，
∴∠OCB=∠PCD，
∵PD//OC，
∴∠OCB=∠CDP，
∴∠PCD=∠PDC，
∴PC=PD，
又P(m,12m2−32m−2)，D(m,12m−2)，
∵C(0,−2)，
∴PD=2m−12m2，PC=m2+(12m2−32m−2+2)2=m2+(12m2−32m)2，
∴2m−12m2=m2+(12m2−32m)2，
∴m=32或m=0（舍)，
∴P(32，−258)．
即满足条件的点P的坐标为(3,−2)或(32，−258)
【点睛】本题考查二次函数综合题，主要涉及到待定系数法，相似三角形的判定及其性质，中点坐标公式，利用方程的思想解本题的关键．
20．（2020·江苏苏州·统考二模）如图1，抛物线y=ax2+a+3x+3a≠0与x轴交于点A4,0，与y轴交于点B，在x轴上有一动点Em,0（0