中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题18二次函数与特殊三角形综合问题(最新模拟40题预测)(原卷版+解析)

这是一份中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题18二次函数与特殊三角形综合问题(最新模拟40题预测)(原卷版+解析)，共108页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．（2023春·江苏宿迁·九年级泗阳致远中学校考期中）如图，二次函数y=ax2+bx+4与x轴交于点A(4,0),B(−1,0)，与y轴交于点C．
(1)求函数表达式及顶点坐标；
(2)连接AC，点P为线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AC于点H，当PH=2HQ时，求点P的坐标；
(3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得△BMN是以BN为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）已知抛物线y=−x2+bx+cc>0过点C−1,0，且与直线y=7−2x只有一个交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线y=−x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形?若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
3．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）如图，抛物线y=12x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A−4,0,C0,−2．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点E是线段AC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDAF的面积最大?求出四边形CDAF的最大面积及此时E点的坐标；
(3)在y轴上是否存在点P，使得∠OAP+∠OAC=60°？若存在，请直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2023春·江苏苏州·九年级昆山市第二中学校考开学考试）已知二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，若将它的图像向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为−2,0．
(1)原抛物线的函数解析式是 ．
(2)如图①，点P是线段BC下方的抛物线上的点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2023·江苏泰州·统考二模）已知：如图，抛物线y=−x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)当三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形时，求t的值；
(3)将△PAB沿直线PB折叠后，那么点A的对称点A1能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的t的值；若不能，请说明理由．
6．（2023秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2−2mx−3m与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，点A关于BC所在的直线的对称点A'，连接A'B、A'C．
(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______．
(2)若点A'落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．
(3)设抛物线顶点为Q，若△BCQ是锐角三角形，直接写出m的取值范围．
7．（2023秋·江苏徐州·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式：
(2)在对称轴上找一点D，使△ACD的周长最小，求点D的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴右侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
8．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）已知函数y1=x2−1，y2=x−1，函数y3=ax2−1+bx−1a≠0称为y1、y2的组合函数
(1)求y1、y2的图象的交点坐标；
(2)y1、y2的图象的交点为A、B，抛物线y3顶点为C，若△ABC是等腰直角三角形，请直接写出符合条件的a、b的值
9．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）已知，如图，抛物线y=ax2+bx−8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， OA=6，OB=43，点P为x轴下方的抛物线上一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接AP、CP，求四边形AOCP面积的最大值；
(3)是否存在这样的点P，使得点P到AB和AC两边的距离相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）【问题背景】已知二次函数y=x2−2mx+m2−4（m为常数）．
数形结合和分类讨论是初中数学的基本思想方法，应用广泛．以形助数或以数解形，相互转化，可以化繁为简，抽象问题具体化；而对问题进行合理的分情况探究，则可以使结果不重不漏．
(1)我国著名数学家 说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”（请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
A．华罗庚 B．陈景润 C．苏步青 D．陈省身
(2)若该二次函数的对称轴为x=1，关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−4−t=0（t为实数）在−30与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
(1)抛物线顶点M的坐标__________（用含m的代数式表示），A，B的坐标分别是A（__________），B（__________）；
(2)求△ABC的面积（用含m的代数式表示）；
(3)是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，直接写出抛物线的表达式，若不存在，请说明理由．
40．（2023秋·湖北·九年级期末）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴的交点为A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．
(1)求二次函数解析式；
(2)连接AC，AD，CD，试判断△ADC的形状，并说明理由；
(3)点P为第三象限内抛物线上一点，△APC的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标；
(4)在线段AC上，是否存在点F，使△AEF为等腰三角形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年中考数学大题高分秘籍（江苏专用）
专题18二次函数与特殊三角形综合问题（最新模拟40题预测）
一、解答题
1．（2023春·江苏宿迁·九年级泗阳致远中学校考期中）如图，二次函数y=ax2+bx+4与x轴交于点A(4,0),B(−1,0)，与y轴交于点C．
(1)求函数表达式及顶点坐标；
(2)连接AC，点P为线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AC于点H，当PH=2HQ时，求点P的坐标；
(3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得△BMN是以BN为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+3x+4；
(2)P2,6
(3)存在；4+262或4−262或2+262或2−262
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，并转化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（2）先求出直线AC的解析式，设点Pm,−m2+3m+4，则Hm,−m+4，则PH=−m2+4m，HQ=−m+4，根据PH=2HQ，列出关于m的方程，解方程即可；
（3）过点M作EF∥x轴，交对称轴于点F，过点B作BE⊥EF于点E，证明△BEM≌△MFN，得出BE=MF，设点Ms,−s2+3s+4，则BE=−s2+3s+4，MF=32−s，得出−s2+3s+4=32−s，求出s的值即可．
【详解】（1）解：把点A(4，0)、B(−1，0)代入y=ax2+bx+4得：16a+4b+4=0a−b+4=0，
解得：a=−1b=3
∴y=−x2+3x+4=−x−323+254，
∴顶点坐标为：32,254；
（2）解：把x=0代入y=−x2+3x+4得：y=4，
∴C0,4，
设直线AC的解析式为：y=kx+4，
把A(4，0)代入得：4k+4=0，
解得：k=−1，
∴yAC=−x+4，
设点Pm,−m2+3m+4，则Hm,−m+4，
∴PH=−m2+4m，HQ=−m+4，
∵PH=2HQ，
∴−m2+4m=2−m+4，
解得m1=2，m2=4（舍去），
∴P2,6；
（3）解：过点M作EF∥x轴，交对称轴于点F，过点B作BE⊥EF于点E，如图所示：
∵∠BEM=∠MFN=∠BMN=90°，
∴∠EBM+∠EMB=∠EMB+∠NMF=90°，
∴∠EBM=∠NMF，
∵BM=MN，
∴△BEM≌△MFN，
∴BE=MF，
设点Ms,−s2+3s+4，则BE=−s2+3s+4，MF=32−s，
∴−s2+3s+4=32−s，
当−s2+3s+4=32−s时，解得：s1=4+262或s2=4−262；
当−s2+3s+4=s−32时，解得：s3=2+262或s4=2−262；
综上分析可知，点M的横坐标为：4+262或4−262或2+262或2−262．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明△BEM≌△MFN．
2．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）已知抛物线y=−x2+bx+cc>0过点C−1,0，且与直线y=7−2x只有一个交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线y=−x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形?若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y=−x2+2x+3；
(2)存在满足题意的点Q．1,3+17或1,3−17或1,14或1,−14或1,1
【分析】（1）把点C−1,0代入y=−x2+bx+c得c=b+1，联立y=−x2+bx+cy=7−2x，得x2−b+2x+6−b=0，由抛物线与直线只有一个交点求得b的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）先求出点A和点B的坐标，设点Q的坐标是1,m，求出AQ2，BQ2，AB2，分三种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：把点C−1,0代入y=−x2+bx+c中，得−1−b+c=0，解得c=b+1，
联立y=−x2+bx+cy=7−2x，
得x2−b+2x+6−b=0，
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴Δ=b+22−46−b=0，
解得b=−10或2，
∵c=b+1>0，
∴b=2，
∴c=b+1=3，
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；
（2）存在满足题意的点Q．
联立y=−x2+2x+3y=−x+3，
解得x=0y=3或x=3y=0，
∴A0,3，B3,0，
由抛物线y=−x2+2x+3=−x−12+4，可知抛物线对称轴为x=1，
设点Q的坐标是1,m，
则AQ2=12+3−m2=m2−6m+10，BQ2=3−12+0−m2=m2+4，
由勾股定理，得AB2=OA2+OB2=18，
当点∠A为顶角时，AB2=AQ2，即m2−6m+10=18，
解得m=3+17或m=3−17，
∴Q1,3+17或1,3−17；
当AB为腰，∠B为顶角时，AB2=BQ2，即18=m2+4，
解得m=14或m=−14，
∴Q1,14或1,−14；
当AB为底时，AQ2=BQ2，即m2−6m+10=m2+4，
解得m=1，
∴Q1,1．
故满足题意的Q点坐标为：1,3+17或1,3−17或1,14或1,−14或1,1．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象和性质、勾股定理求两点间的距离、解一元二次方程、等腰三角形的定义等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
3．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）如图，抛物线y=12x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A−4,0,C0,−2．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点E是线段AC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDAF的面积最大?求出四边形CDAF的最大面积及此时E点的坐标；
(3)在y轴上是否存在点P，使得∠OAP+∠OAC=60°？若存在，请直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=12x2+32x−2
(2)四边形CDAF的面积最大为132，E点坐标为（－2，－1）
(3)存在，P 点的坐标为（0，−32+203）或（0，32−203）
【分析】（1）将点A,C坐标代入y=12x2+mx+n，解得m,n，即可得解；
（2）先求直线AC的函数表达式为y=−12x−2,设点E(x,−12x−2) (−4≤x≤0)，结合图形， 四边形CDAF的面积=S△ACF+S△ACD= −x+22+132，运用二次函数的性质求得最值及点E点的坐标；
（3）设P(0，n)，作PG⊥AC于点G， ∠OAP＋∠OAC＝60°，求得PG＝32×n2+16，利用等积法12AC×PG=12PC×OA得n2+64n−176=0，解得n，得到点P，再利用对称性得另一点P
【详解】（1）将A(−4，0)，C(0,−2)
代入抛物线表达式得8−4m+n=0n=−2，解得m=32n=−2，
抛物线表达式为y=12x2+32x−2；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=−322×12=−32，
∴D(−32,0)，B（1，0），
设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b，
将A,C点坐标代入得−4k+b=0b=−2，
解得k=−12b=−2，
∴直线AC的函数表达式为y=−12x−2，..
设E(x,−12x−2) (−4≤x≤0)，则F(x,12x2+32x−2)，
∴EF= −12x−2−(12x2+32x−2)＝−12x2−2x，
∴S△ACF= 12×4×−12x2−2x＝−x2−4x，
四边形CDAF的面积=S△ACF+S△ACD= −x2−4x＋12×2×4−32
=−x2−4x+52= −x+22+132
当x=−2时，四边形CDAF的面积最大，最大值为132，
此时E点坐标为(－2,－1)；
（3）P 点的坐标为(0,−32+203)或(0,32−203)
①作PG⊥AC于点G， ∠OAP＋∠OAC＝60°，
设P(0,n)，
∠PAG＝60°， PG=32PA，
PA=n2+16， PG=32×n2+16，
AC=42+22=25，
由△PAC的面积，得
12AC×PG=12PC×OA，即12×25×32×n2+16=12×4n+2，
化简，得n2＋64n－176＝0，
解得n1=−32+203， n2=−32−203（不符合题意，舍去），
∴P(0,−32+203)，
②∵点P'与点P关于原点O对称， OP'=OP=−32+203，
∴P'(0,32−203)，
综上所述：P 点的坐标为(0,−32+203)或(0,32−203)）
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形的面积，二次函数的性质，方程的思想及分类讨论的思想等知识，本题考点较多，综合性较强，难度适中．
4．（2023春·江苏苏州·九年级昆山市第二中学校考开学考试）已知二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，若将它的图像向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为−2,0．
(1)原抛物线的函数解析式是 ．
(2)如图①，点P是线段BC下方的抛物线上的点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2−6x+5
(2)1258，P52,−154
(3)存在，M52,52或M52−5,10−52
【分析】（1）由题意求出二次函数顶点左边，然后写出顶点式，变形即可；
（2）如图，过P作PM⊥AB交BC于M，结合（1）求出直线BC解析式为：y=−x+5
，设Px,x2−6x+5则Mx,−x+5，根据S△PBC=12PM·OB带入计算，化为顶点式即可求出△PBC面积最大值是x的值，从而求解；
（3）①如图，△CQM为等腰直角三角形，△BQM为直角三角形，可得CM=BM，即M是BC中的可求解；②如图，△CQM为等腰三角形，△BQM为直角三角形，设QM=BQ=CM=m根据BM2=BQ2+QM2即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，
二次函数图像的顶点坐标为：3,−4
二次函数解析式为：y=x−32−4
即y=x2−6x+5，
故答案为：y=x2−6x+5；
（2）如图，过P作PM⊥AB交BC于M，
二次函数y=x2−6x+5的图像与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，
当y=0时，x2−6x+5=0，
解得x1=1,x2=5，
当x=0时，y=5，
∴A1,0，B5,0，C0,5，
∴直线BC解析式为：y=−x+5
设Px,x2−6x+5，则Mx,−x+5
S△PBC=12PM·OB=12−x+5−x2+6x−5×5
=−52x−522+1258
∴当x=52时△PBC面积的最大值为1258，
∴ P52,−154；
（3）存在，理由如下：
由（2）可知，OB=OC，∠OBC=45°，
①如图，△CQM为等腰直角三角形，△BQM为直角三角形，
即CM=QM，∠CMQ=90°，
∴∠MQB=45°，BM=QM
∴CM=BM
∴M是BC的中点，
∴M52,52
②如图，△CQM为等腰三角形，△BQM为直角三角形，
即CM=QM，∠MQB=90°，
∴∠QMB=∠MBQ=45°
∴BQ=QM
∴BQ=QM=CM
设QM=BQ=CM=m
∴BM=BC−CM=52−m
∵BM2=BQ2+QM2
∴52−m2=m2+m2
解得：m=10−52或m=−10−52（不合题意，舍去）
∴OQ=OB−BQ=5−10−52=52−5
∴M52−5,10−52
综上所述：M52,52或M52−5,10−52
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数的综合应用，勾股定理；根据点在函数图像上巧设点的坐标，运用勾股定理建立等量关系是解题的关键．
5．（2023·江苏泰州·统考二模）已知：如图，抛物线y=−x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)当三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形时，求t的值；
(3)将△PAB沿直线PB折叠后，那么点A的对称点A1能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的t的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+4x；(2,4)
(2)1秒
(3)能，(5− 5 )秒或2 5秒或(5+ 5 )秒
【分析】（1）根据抛物线过原点，对称轴为直线x=2，待定系数求解析式即可求解；
（2）设B(x，−x2+4x)．三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形，勾股定理得出OA2+AB2=OB2，B( 52 , 154 )．继而得出直线OB的解析式为y= 3_2 x，当x=2时，y=3，得出AP=4−3=1，进而即可求解；
（3）分三种情况讨论，①点A1在x轴正半轴上；②点A1在y轴负半轴上，③点A1在x轴负半轴上，分别画出图形，根据轴对称的性质，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：由题意得c=0−b2×(−1)=2，
解得b=4c=0，
∴抛物线的解析式为y=−x2+4x；
∵y=−x2+4x=−(x−2)2+4，
∴顶点A的坐标为(2,4)；
（2）如图1，
设B(x，−x2+4x)．
∵三点A，O，B构成以OB为斜边的直角三角形，
∴ OA2+AB2=OB2，
即22+42+(x−2)2+(−x2+4x−4)2=x2+(−x2+4x)2，
整理，得2x2−9x+10=0，
解得x1= 52，x2=2(舍去)，
∴B( 52 , 154 )．
设直线OB的解析式为y=kx，则52 k= 154，
解得k= 3_2，
∴y= 3_2 x．
当x=2时，y=3，
∴AP=4−3=1，
∴t=1÷1=1(秒)；
（3）分三种情况：
①若点A1在x轴正半轴上，如图2，
可得PD2+A1D2=PA12，
即(4−t)2+(2 5 −2)2=t2，
解得t=5− 5；
②若点A1在y轴负半轴上，如图3，连接AA1交OB于E．
可得OA1=OA=25，
∴∠OA1A=∠OAA1，
∵OA1∥AP，
∴∠OA1A=∠A1AP，
∴∠OAA1=∠A1AP，
∵AA1⊥OP，
∴∠OEA=∠PEA=90°．
在△OAE与△PAE中，
∠OAE=∠PAEAE=AE∠OEA=∠PEA，
∴△OAE≌△PAE(ASA)，
∴OA=PA=2 5，
∴t=2 5；
③若点A1在x轴负半轴上，如图4.
可得PD2+A1D2=PA12，
即(t−4)2+(25+2)2=t2，
解得t=5+ 5；
综上所述，所有满足条件的t的值为(5− 5 )秒或2 5秒或(5+ 5 )秒．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，特殊三角形问题，轴对称的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2023秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2−2mx−3m与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，点A关于BC所在的直线的对称点A'，连接A'B、A'C．
(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______．
(2)若点A'落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．
(3)设抛物线顶点为Q，若△BCQ是锐角三角形，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)(−1,0)；(3,0)
(2)y=−33x2+233x+3
(3)−1