数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示优秀综合训练题

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（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1空间向量的坐标表示
1．已知，，则线段AB中点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用中点坐标公式直接计算即可.
【详解】由中点坐标公式得线段AB中点的坐标为，即.
故选：A
2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据空间直角坐标系的对称性可解.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即．
故选：C.
3.已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标和的模长分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接求出点的坐标和的模长.
【详解】因为点是点在坐标平面内的射影，
所以.
所以，
所以.
故选：C
4.在空间直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间的点关于原点的对称点公式即可得出答案.
【详解】根据空间的点关于原点的对称点公式可得，点关于原点对称点的坐标为.
故选：B.
题型2空间向量线性运算的坐标表示
5.已知，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据向量坐标运算即可.
【详解】.
故选：B.
6.已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量线性运算的坐标表示得出答案.
【详解】，
故选：D.
题型3空间向量数量积的坐标表示
7.已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：B
8.已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的坐标运算可得，结合空间向量数量积的坐标表示计算即可求解.
【详解】由题意知，
由，得，
解得.
故选：B.
9.已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．点的坐标为（2，0，2）B．
C．的中点坐标为（1，1，1）D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）
【答案】BCD
【分析】根据空间直角坐标系，可求点的坐标，由此判断A;求出的坐标，可判断B;
利用中点坐标公式求得的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断D.
【详解】根据题意可知点的坐标为，故A错误；
由空间直角坐标系可知： ,故B正确；
由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确；
点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确，
故选：BCD
10.已知，，则（ ）
A．-5B．-7C．3D．
【答案】B
【分析】利用向量空间向量坐标运算法则求解．
【详解】，，
∴．
故选：B
【能力提升】
单选题
1.已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的坐标计算可得答案．
【详解】
故选：B
2.在空间直角坐标系中，已知点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接根据空间点关于轴对称的结论即可得到答案.
【详解】根据空间点关于轴对称，则轴上坐标不变，轴上坐标取相反数，
故点P关于x轴的对称点的坐标是.
故选：C.
3.已知向量，，则（ ）
A．B．40C．6D．36
【答案】C
【分析】利用向量线性关系的坐标运算求，再利用向量模长的坐标公式求模长.
【详解】由题意，
∵，，
∴，
∴.
故选：C.
4.已知向量,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】推导出,利用向量坐标运算法则直接求解.
【详解】∵向量,
∴.
故选:B.
5.若，，，则（ ）
A．-11B．3C．4D．15
【答案】C
【分析】先求出的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可
【详解】由已知，，
，
∴.
故选：C．
6.下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.
【详解】对于A，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A错误；
对于B，设，所以三个向量共面，故不可以作为空间向量一个基底，故B正确.
对于C，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；
对于D，设，无解, 即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故D错误.
故选：B.
7.如图，正方体的棱长为2，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件求得.
【详解】依题意，，所以，
所以.
故选：D
8.已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果．
【详解】向量在基底下的坐标为，则，
设在基底下的坐标为，
则，
所以，解得，
故在基底下的坐标为．
故选：A．
多选题
9.下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
B．若，则的夹角是钝角
C．已知，，若与垂直，则
D．已知A、B、C是空间中不共线的三个点，若点O满足，则点O是唯一的，且一定与A、B、C共面
【答案】ACD
【分析】由空间向量的基底即可判断A，由空间向量的夹角范围即可判断B，由空间向量垂直的坐标运算即可判断C，由四点共面定理即可判断D.
【详解】因为向量是空间的一个基底，则不共面，所以也不共面，所以也可以作为空间的一个基底，故A正确；
当与的夹角为时，也可得，所以B错误；
因为，，则，，
且与垂直，所以，解得，故C正确；
因为，所以，所以共面，
所以四点共面，
如图，取中点为，取中点为，
则，
又因为，故，
所以，即，则在上且靠近的三等分点处，
即满足此关系的点只有一个，所以点唯一，且与共面，故D正确；
故选: ACD
10.已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】直接进行向量的坐标运算，即可得到答案.
【详解】因为，
所以，，，.
故A、C、D正确，B错误.
故选：ACD
11.设几何体是棱长为a的正方体，与相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】建立空间直角坐标系，找出各坐标，根据向量数量积的坐标求法逐项判断即可．
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，∴，，，，，，．∴，A对；，B错；，C对；，对．
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中根据几何体的结构特征建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12.已知空间直角坐标系中，点A的坐标为，坐标原点为O，且与方向相反，则（ ）
A．x+y+z=0B．x=3yC．x+z=0D．4y+z=0
【答案】ABD
【分析】先由向量反向得到，，，再验证每个选项即可求解.
【详解】由题意，得：，
且，
其中，则，，，
则：，即选项A正确；
，即选项B正确；
，即选项C错误；
，即选项D正确.
故选：ABD.
填空题
13.已知点，，向量，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】由向量的坐标运算计算即可.
【详解】设，则，
即，故.
故答案为：
14.已知，，则______．
【答案】
【分析】利用空间向量的坐标运算求解作答.
【详解】因为，，所以.
故答案为：
15.在空间直角坐标系中，已知点A的坐标为，，则点B的坐标是______________.
【答案】
【分析】设，根据空间向量的运算计算得到答案.
【详解】设，则，
则，，，，故.
故答案为：
16.若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据空间向量与的夹角是锐角可得且与不同向共线，结合数量积的坐标表示计算即可求解.
【详解】因为与的夹角是锐角，所以，
即，解得，
若与的夹角为，则存在，使，
即，所以，解得.
故t的取值范围是.
故答案为：.
解答题
17.如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，棱长为1.试建立适当的空间直角坐标系，写出点E，F的坐标.

【答案】坐标系如图，E，
【分析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据空间中点的坐标的概念求解.
【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

点E在xDy平面上的投影为点B，点B坐标为，点E的竖坐标为，所以E.
点F在xDy平面上的投影为BD的中点G，点G的坐标为，点F的竖坐标为1，所以.
18.如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，， M为线段AD上一点，，N为PC的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标
【答案】答案见解析
【分析】根据空间直角坐标系的定义和空间坐标的表示方法求解.
【详解】取中点为，连接，
因为，所以，
且，所以，
所以以A为坐标原点，的方向为轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
因为,所以,
所以
.
19.如图，在空间直角坐标系中有一长方体，且，，
(1)写出点的坐标，并将用标准正交基表示；
(2)求的坐标．
【答案】(1)点的坐标为，．
(2)
【分析】（1）直接利用空间向量的坐标表示即可得到点坐标，由向量加法的坐标表示即可将用标准正交基表示；
（2）直接利用空间向量的坐标表示即可得到坐标.
（1）
因为，，，
所以点的坐标为，从而．
（2）
同理因为，，，易得点的坐标为，所以．
20.如图，在等腰梯形中，，，，平面，且，建立适当的空间直角坐标系并确定点的坐标．
【答案】答案见解析
【分析】方法一：利用余弦定理可求得，并证得，以为坐标原点，正方向为轴可建立空间直角坐标系，根据长度关系可得各点坐标；
方法二：作，利用余弦定理可求得的长，以为坐标原点，正方向为轴可建立空间直角坐标系，根据长度关系可得各点坐标.
【详解】方法一：连接，
，，，，
在中，，，
由，，得：，，即，
以为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，.
方法二：过作，垂足为，连接，
，，，，
在中，，，
由，，得：，
，，，，
以为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，.