高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀第2课时同步测试题

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【夯实基础】
题型1证明线线垂直
1.设的一个方向向量为，的一个方向向量为，若，则m等于（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】B
【分析】由，可得其两直线的方向向量垂直，结合空间向量的坐标运算求解.
【详解】因为，即，
可得，解得.
故选：B.
2.如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，正确的是（ ）
A．平面
B．存在点，使平面
C．存在点，使
D．
【答案】D
【分析】当与重合时，平面，即可判断A；设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，可得坐标，由可知与不垂直，即可判断B；若，则，列方程组求解可判断C；由可判断D.
【详解】当与重合时，又平面，则平面，故A错误；
设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，又，∴，
，则，∴，
∵，，∴与不垂直，而平面，则与平面不垂直，故B错误；
，若，则，则，此方程无解，故不存在点，使，故C错误；
∵，，，∴，故D正确．
故选：D．
3.（多选题）已知空间中三点，则下列结论正确的有（ ）
A．B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
【答案】AD
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算可判断AD，根据共线向量和单位向量判断B，根据向量夹角的坐标运算判断C.
【详解】由题意可得，，，
选项A：，故，正确；
选项B：不是单位向量，且与不共线，错误；
选项C：，错误；
选项D：设，则，，
所以，，又，所以平面的一个法向量是，正确；
故选：AD
题型2直线和平面垂直
4.四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，.
(1)求证：PA⊥底面ABCD；
(2)求PC的长.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据两个向量的数量积为0，可以判断出AP⊥AB且AP⊥AD，进而根据线面垂直的判定定理得到PA⊥底面ABCD；
（2）根据向量加法的三角形法则，可以求出向量PC的坐标，进而代入向量模的计算公式，得到答案．
【详解】（1）∵，
∴，，
∴，，
即AP⊥AB且AP⊥AD，
又∵AB∩AD＝A，平面ABCD
∴AP⊥平面ABCD.
（2）∵，
∴，，
∴．
5.已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据每个选项中P点的坐标，求出的坐标，计算，根据结果是否等于0，结合线面垂直的性质，即可判断点是否在平面内.
【详解】对于选项A，，所以，
根据线面垂直的性质可知,故在平面内；
对于选项B，，则，
在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内；
对于选项C，，则，
在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内；
对于选项D，，则，
在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内；
故选：A
6.已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则＝（ ）
A．﹣3B．3C．6D．9
【答案】B
【分析】根据线面垂直的向量表示即可求解.
【详解】因为，所以，解得，
所以.
题型3平面和平面垂直
7.两平面α，β的法向量分别为，若α⊥β，则y＋z的值是（ ）
A．－3B．6C．－6D．－12
【答案】B
【分析】根据题意结合空间向量的坐标运算求解.
【详解】∵分别为α，β的法向量且α⊥β，则，
∴，整理得：y＋z＝6.
故选：B.
8.在正方体中，M是线段（不含端点）上的动点，N为BC的中点，则（ ）
A．B．平面平面
C．平面D．平面
【答案】B
【分析】由面面垂直的判定定理判断B，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法证明面面、线面的位置关系判断ACD．
【详解】因为，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确；
以点D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设，则，，，，.
设，则，.设平面的法向量为，
则有可取，得.
又，
则，故A不正确；
因为，所以，故D不正确；
因为，所以，故C不正确．
故选：B．
9.已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可．
【详解】对于A，若，则或，故A错误；
对于B，若，则或，
若，因为，则，
若，如图所示，则在平面一定存在一条直线，
因为，所以，
又，所以，
综上若，则，故B正确；
对于C，若，则直线相交或平行或异面，故C错误；
对于D，若，则直线相交或平行或异面，故D错误.
故选：B.
【能力提升】
单选题
1.若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A． B．
C． D．l与斜交
【答案】B
【分析】根据题意可得，进而可得.
【详解】∵，，可得，
∴，可得
故选：B.
2.已知向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先判断由能否推出，再判断由能否推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论.
【详解】当时，，
当时，
综上所述，是的充要条件.
故选：C.
3.如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）．
A．（1，，4）B．（，1，）
C．（2，，1）D．（1，2，）
【答案】B
【分析】设正方体的棱长为2，依次求出各点坐标，设向量是平面的法向量，根据法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案．
【详解】解：设正方体的棱长为2，则，，
∴，
设向量是平面的法向量，
则取，得，
则是平面的一个法向量，
结合其他选项，只需和共线即可，
检验可知，ACD选项均不与共线.
所以能作为平面的法向量只有选项B
故选：B．
4.如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中正确的是（ ）
①平面平面
②
③
④平面
A．①②B．①②④C．②③④D．①④
【答案】B
【分析】对于①，根据题意得，，平面，得，得平面，又由，对于②③，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，根据空间向量法即可解决；对于④，由①中得，，，得，即可解决.
【详解】由题知，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，
如图，连接，
所以，，平面，
所以，
因为平面，
所以平面，
因为在中，分别为中点，
所以，
所以平面，
因为平面
所以平面平面，故①正确，
由题知，两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，
因为分别为所在棱的中点，为下底面的中心，
所以，
所以，
因为，
所以成立，不成立；故②正确，③错误；
又由①中得，，，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，故④正确，
故选：B
5.如图，在三棱柱中，平面．，，分别为的中点，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．直线在平面内D．相交且不垂直
【答案】D
【分析】根据图形位置证明线线垂直，建立空间直角坐标系，通过计算平面的法向量，直线的方向向量，判断平面的法向量是否与直线的法向量垂直，又判断直线与直线是否垂直，可得直线与平面的位置关系.
【详解】解：如图取中点，连接，
因为为中点，所以
又在三棱柱中，平面，为中点，所以
则平面，又平面，所以，，
又，则，所以，
以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系如图所示，
则,2,，,0,，,0,，,0,，,2,，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，故，
又，
因为，又
所以直线与平面相交，且不垂直于平面．
故选：D.
6.下列利用方向向量、法向量判断线线、线面位置关系的结论，其中正确的是（ ）
A．两条直线，的方向向量分别是，，则
B．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则
C．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则
D．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则
【答案】C
【分析】根据题意，结合线、面位置关系的向量判断方法，一一判断即可
【详解】A项，因为，，即，所以，所以或重合，故A项错误；
B项，因为，所以，所以或在面内，故B错误；
C项，因为，，即，所以，所以，故C项正确；
D项，因为，所以，所以或在面内，故D项错误.
故选：C
7.若平面的法向量分别为，则与的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直
C．相交但不垂直D．无法确定
【答案】B
【分析】先判断法向量的位置关系，进而判断两平面的位置关系.
【详解】∵，则，
∴，故.
故选：B.
8.如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在平面与直线垂直
B．四边形可能是正方形
C．不存在平面与直线平行
D．任意平面与平面垂直
【答案】D
【分析】根据正方体的性质判断A，根据面面平行的性质得到四边形是平行四边形，再由，即可判断B，当为的中点时为的中点，即可判断C，建立空间直角坐标系，利用向量法说明D.
【详解】对于A：在正方体中平面，
显然平面与平面不平行，故直线不可能垂直平面，故A错误；
对于B：在正方体中，是棱上一点，平面与棱交于点，
由平面平面， 并且四点共面，
平面平面，平面平面，
∴， 同理可证，故四边形是平行四边形，
在正方体中，由几何知识得，平面，
∵平面，∴，
若是正方形，有，
此时与重合时，但显然四边形不是正方形，故B错误；
对于C：当为的中点时，为的中点，所以且，
所以为平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，故C错误；
对于D：设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，

由几何知识得，,
∴,
∵，
∴，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴任意平面与平面垂直，故D正确.
故选：D
多选题
9.下列说法正确的是（ ）
A．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
B．若是空间任意一点，，则四点共面
C．已知，若，则
D．若和是相互垂直的两个单位向量，，，则
【答案】BCD
【分析】根据线面关系判断A，根据空间共面定理判断B，设得到方程组，解得、，即可判断C，根据向量数量积的运算律判断D.
【详解】对于A：因为直线的方向向量为，平面的一个法向量为，
则，所以，所以或，故A错误；
对于B：因为，且，所以、、、四点共面，故B 正确；
对于C：因为，，设，
所以，解得，所以，所以C正确；
对于D：因为，所以
，故D正确.
故选：BCD.
10.已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（ ）．
A．B．
C．是平面的一个法向量D．
【答案】ABC
【分析】由平行四边形法则,可判定正确；由，可判定正确；由且，可判定正确；由是平面的一个法向量，得到，可判定不正确.
【详解】由题意，向量，
对于中，由平行四边形法则加法可得
,所以正确；
对于中，由，
可得，所以正确；
对于中，又因，
由且，,平面,平面
可得向量是平面的一个法向量，所以正确；
对于中，由是平面的一个法向量，可得，所以错误.
故选：.
11.下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线的方向向量分别是，则
B．直线的方向向量，平面的法向量是，则
C．两个不同的平面的法向量分别是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
【答案】AC
【分析】根据条件，利用方向向量､法向量的定义与性质，结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．
【详解】解：对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，
则，所以，即，故正确；
对于，两个不同的平面，的法向量分别是，
则，所以，故正确；
对于，直线的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即或，故错误；
对于，直线的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即，故错误．
故选：．
12.如图，在正方体中，为棱上的动点（不含端点），下列选项正确的是（ ）

A．当时，平面
B．平面与平面的交线垂直于
C．直线，与平面所成角相等
D．点在平面内的射影在正方体的内部
【答案】BC
【分析】A选项，可证明平面，然后注意到平面与平面不重合从而得出结论；
B选项，先补全两个平面的交线后进行证明；
C选项，利用平行关系转化线面角后进行说明；
D选项，投影点是否在内部，结合B选项构建的平面，考虑二面角是钝角还是锐角.
【详解】
对于A，连接，，，，
，，
类似可说明，
故，，又，平面，
于是平面，而为中点时，平面与平面不重合，
故A错误；
对于B，延长，交于，连接交于，连接，
则为平面与平面的交线，
根据正方体性质易知为平行四边形，故//，
由中位线性质，//，于是，
而根据A选项，平面，由平面，，
，故B正确；
对于C，连接，则，由可知，
与平面所成角相等，于是直线，与平面所成角也相等，
故C正确；

对于D，易知三棱锥是正三棱锥，
除为等边三角形之外，其余都是等腰直角三角形，
取中点，连接，由，
得（三线合一），同理，
于是的平面角是，
若设长方体的边长为，则，，
可得，，又，
根据勾股定理可得，即是锐二面角.
于是是钝二面角，根据B选项可知//，于是共面，
点在平面内的射影在四边形之外，
即正方体的外部，故D错误．
故选：BC．
填空题
13.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则___________.
【答案】
【分析】由得出，再由向量知识得出.
【详解】∵，∴，∴，解得，∴．
故答案为：．
14.已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】设平面的法向量为，则有，然后赋值即可得出答案.
【详解】解：，
设平面的法向量为，
则有，令，则，
所以，
所以平面的法向量可以是.
故答案为：（答案不唯一）.
15.如图的空间直角坐标系中，垂直于正方形所在平面，与平面的所成角为，E为中点，则平面的单位法向量______．（用坐标表示）
【答案】
【分析】根据给定条件，借助线面角求出DP长，并求出点A，B，P的坐标，再利用空间向量求出平面的单位法向量作答.
【详解】如图，连接BD，因平面，则是与平面所成的角，即，
在正方形中，，而，则有，
于是得，PB中点，，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
与共线的单位向量为，
所以平面的单位法向量.
故答案为：
16.放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：
（1）直线BC的一个方向向量___________；
（2）点OD的一个方向向量___________；
（3）平面BHD的一个法向量___________；
（4）的重心坐标___________.
【答案】
【分析】先求出正四面体中各边的长度，得到各个点的坐标.
对于（1）（2）：直接求出方向向量；
对于（3）：根据法向量的定义列方程组，即可求得；
对于（4）：利用重心坐标公式直接求得.
【详解】由题意可得：,,..
由图示，可得：，，，，，，
（1）直线BC的一个方向向量为，
（2）点OD的一个方向向量为；
（3）,.设为平面BHD的一个法向量，
则，不妨设，则.
故平面BHD的一个法向量为.
（4）因为，，，，
所以的重心坐标为.
故答案为：（1）；（2）；（3）（4）.
解答题
17.如图，在三棱柱中，平面，分别为，，，的中点，，.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理判定即可；
（2）根据两两垂直关系建立空间直角坐标系，再用向量法求点到直线的距离.
(1)在三棱柱中，因为平面，所以四边形为矩形．
又因为分别为，的中点，，所以.
又因为，所以.
由于，所以平面.
(2)
由（1）知，，．又平面，
所以平面． 因为平面，所以．如图建立空间直角坐称系．
由题意得，，，，所以，，.
设平面的法向量为，所以， 从而，令，则，，
所以平面的法向量.所以点到平面的距离．
18.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，，点E在CC1上且．
(1)求平面BED的一个法向量；
(2)证明：A1C⊥平面BED．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量的性质即可求解；
（2）只需证明与平面BED的法向量共线即可.
【详解】（1）如图所示：
以为坐标原点，射线分别为轴的
正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系：；
依题知，，，，
，，
则有，，，
设平面BED的一个法向量为：，
则有，即，
令，解得：，，
故平面BED的一个法向量为：；
（2）由（1）知，
平面BED的一个法向量为：，
又，
所以与平面BED的一个法向量共线，
即可证明：A1C⊥平面BED.
19.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：
(1)BE∥平面PAD；
(2)平面PCD⊥平面PAD．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解
【分析】（1）根据题意，先证明AB，AD，AP两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再利用空间向量法证明平面PAD的一个法向量与垂直，进而即可证明结论；
（2）结合（1），先证明平面PCD的一个法向量与平面PAD的一个法向量垂直，进而即可证明结论．
【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，
又因为AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
依题意，以点A为原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)，则，
所以为平面PAD的一个法向量，
又，所以BE⊥AB，
又平面PAD，所以BE∥平面PAD．
（2）由（1）知平面PAD的法向量，，，
设平面PCD的一个法向量为，
则，即，令y＝1，可得z＝1，所以，
又，
所以，所以平面PAD⊥平面PCD．
20.在直四棱柱 中，四边形为平行四边形,为的中点，.

(1)求证: 面；
(2)求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)三棱锥 的体积为.
【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，利用向量方法证明，，结合线面垂直判定定理证明平面；
方法二：证明和，再根据线面垂直判定定理证明平面；
（2）先求的面积和，结合锥体体积公式可求三棱锥 的体积.
【详解】（1）方法一：四边形为平行四边形，
，又，
，，又平面，
以为坐标原点，为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
，即，，
，平面，平面.
方法二：因为，，可得，
，
又 ， .
又是直四棱柱，
平面，平面，.
，平面，
平面，平面，
，
取中点，连接，
且，为平行四边形，，
= ，，
，，
又，，
又，平面，
平面；
（2）在中，，
所以，
在中，，
所以，
因为，，，
所以，
所以为直角三角形，其面积，
因为面，
所以三棱锥 的底面上的高为，
在中，，
所以，
所以.
所以三棱锥 的体积为.