高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程优秀达标测试

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【夯实基础】
题型1直线的一般式方程
1.若直线过点且倾斜角为45°，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由倾斜角求出斜率，写出直线方程的点斜式，然后化为一般式.
【详解】直线倾斜角为45°，则斜率为，又直线过点，
则直线的方程为，即.
故选：C.
2.下列直线中，倾斜角最大的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先分别求直线的斜率，再结合直线倾斜角与斜率的关系，即可判断选项.
【详解】A.直线的斜率；B.直线的斜率；
C.直线的斜率；D.直线的斜率，
因为，结合直线的斜率与倾斜角的关系，可知直线的倾斜角最大.
故选：D
3.已知直线，其中m，n为常数，满足，则l不同时经过的象限为（ ）
A．第一二象限B．第一三象限C．第二四象限D．第三四象限
【答案】D
【详解】由已知直线的斜率为，y轴截距为.且；
当时，，直线l经过一二四象限；
当时，，直线l经过一二三象限.
故选：D.
4.设k为实数，则方程表示的图形是
A．通过点的所有直线
B．通过点的所有直线
C．通过点且不与y轴平行的所有直线
D．通过点且不与y轴平行的所有直线
【答案】D
【分析】由直线方程的斜截式判断，再由直线方程得到过定点判断．
【详解】由直线方程的斜截式可知，直线斜率为，故直线不能与轴平行．再由直线方程得到过定点，
【点睛】本题考查了直线方程的斜截式及过定点问题．
5.下列说法中不正确的是（ ）．
A．平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程（A，B不同时为0）表示
B．当时，方程（A，B不同时为0）表示的直线过原点
C．当，，时，方程表示的直线与x轴平行
D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
【答案】D
【分析】考虑斜率存在和不存在两种情况，将直线方程化为一般式即可判断A；
将代入方程即可验证直线是否过原点，进而判断B；
根据题意解出y即可判断C；
斜率不存在的直线不能化为点斜式，进而判断D.
【详解】对于选项A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，当时，直线的斜率k存在，其方程可写成，它可变形为，与比较，可得，，；当时，直线的斜率不存在，其方程可写成，与比较，可得，，，显然A，B不同时为0，所以此说法是正确的；
对于选项B，当时，方程（A，B不同时为0），即，显然有，即直线过原点，故此说法正确；
对于选项C，因为当，，时，方程可化为，它表示的直线与x轴平行，故此说法正确；
对于选项D，若直线方程为，显然它不能表示为点斜式，故错误．
故选：D.
6.过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【分析】由题意，分截距为或不为两种情况，分别设对应的直线方程，代入已知点，可得答案.
【详解】显然，所求直线的斜率存在．
当两截距均为时，设直线方程为，将点代入得，此时直线方程为；
当两截距均不为时，设直线方程为，将点代入得，此时直线方程为．
故选：D．
题型2利用一般式解决直线的平行与垂直问题
7.直线与直线垂直，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面内两直线垂直，得，解之即可．
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，解得.
故选：B
8.直线，，若直线与直线平行，则
（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【解析】对的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．
【详解】当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线不平行；
当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线不平行；
当时，
两条直线分别化为：x+，+，
∵两条直线平行，∴，≠，解得．
综上可得：．
9.已知直线：，与：平行，则的值是（ ）
A．0或1B．0或C．0D．
【答案】C
【解析】根据直线一般式方程下直线平行的关系列式求解即可.
【详解】解：因为对于直线（不同时为零），直线（不同时为零）；当直线时，等价于；
所以有，解得.
故选：C.
【点睛】方法点睛：
对于直线（不同时为零），直线（不同时为零）；
当直线时，等价于；
当直线时，等价于；
10.经过点，且平行于直线的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先设出平行于直线的直线系方程，再将点代入方程，进而求得所求直线的方程.
【详解】平行于直线的直线方程可设为，
又所求直线过点，
则，解之得，
则所求直线为.
故选：A
11.若△的三个顶点为，，，则BC边上的高所在直线的方程为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据所在直线的斜率求得高线的斜率，结合点斜式即可求得结果.
【详解】因为，，故可得所在直线的斜率为，
则边上的高所在直线的斜率，又其过点，
故其方程为，整理得：.
故选：B.
12.过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据直线垂直时的斜率关系,先求得直线的斜率.再由点斜式即可求得直线方程,进而化为一般式可得解.
【详解】因为直线可化为
当直线垂直时的斜率乘积为1,所以
因为经过点
由点斜式可知直线方程为
化简可得
故选:D
【点睛】本题考查了垂直直线的斜率关系,点斜式方程的用法,将方程化为一般式的方法,属于基础题.
题型3直线一般式方程的应用
13.已知，，，则过点且与线段垂直的直线方程为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出直线的斜率，可得其垂线的斜率，再利用点斜式可求出答案
【详解】解：因为，
所以与垂直的直线的斜率为，
所以过点且与线段垂直的直线方程为
，即，
故选：D
14.下列说法不正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为
D．过点且垂直于直线的直线方程为
【答案】C
【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；根据直线截距的定义可判断B选项；求出直线的倾斜角，可判断C选项；根据两直线垂直求出所求直线方程，可判断D选项.
【详解】对于A选项，直线方程可化为，由，解得，
故直线必过定点，A对；
对于B选项，直线在轴上的截距为，B对；
对于C选项，直线的斜率为，故该直线的倾斜角为，C错；
对于D选项，直线的斜率为，
故过点且垂直于直线的直线方程为，即，D对.
故选：C
15.已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【解析】根据得到，再将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为，所以，即，
因为，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：D
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
16.设，则“”是“直线与垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用直线垂直的判断条件可求，从而可得正确的选项.
【详解】直线与垂直，则，
∴“”是“直线垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
【能力提升】
单选题
1.不论k为何值，直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】与参数无关，化简后计算
【详解】，可化为，则过定点
故选：B
2.不论为何实数，直线恒过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】求出直线恒过定点，即可作出判断.
【详解】直线可化为，由，解得，因为点在第四象限，所以直线恒过第四象限.
故选：D
3.已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．直线l在x轴上的截距为1
C．若直线m：，则
D．过与直线l平行的直线方程是
【答案】D
【分析】A.将直线方程的一般式化为斜截式可得；B. 令y＝0可得；C.求出直线m斜率即可判断；D. 设要求直线的方程为，将代入即可.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，直线l：，即，其斜率，则倾斜角是，A错误；
对于B，直线l：，令y＝0，可得，l在x轴上的截距为，B错误；
对于C，直线m：，其斜率，，故直线m与直线l不垂直，C错误；
对于D，设要求直线的方程为，将代入，可得t＝0，即要求直线为，D正确；
故选：D
4.已知直线恒过定点点在直线上，则的方程可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出直线恒过的定点再代入选项一一验证即可得出答案.
【详解】由题意知可化为，
则直线恒过定点，验证选项得直线l的方程可以为.
故选：B.
5.某直线l过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】讨论在x轴和y轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率.
【详解】当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，
设直线的方程为，代入点，则，解得，
当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，
设直线的方程为，代入点，则，解得，
所以所求直线的方程为，即，
综上，该直线的斜率是或．
故选：D
6.已知直线：，：，和两点（0,1），（-1,0），给出如下结论：
①不论为何值时，与都互相垂直；
②当变化时，与分别经过定点A（0,1）和B（-1,0）；
③不论为何值时，与都关于直线对称；
④如果与交于点，则的最大值是1；
其中，所有正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4.
【答案】C
【详解】对于①，当时，两条直线分别化为:，此时两条直线互相垂直，当时，两条直线斜率分别为:,满足,此时两条直线互相垂直，因此不论为何值时，与都互相垂直，故①正确；
对于②，当变化时，代入验证可得:与分别经过定点和，故②正确；
对于③，由①可知:两条直线交点在以为直径的圆上，不一定在直线上，因此与关于直线不一定对称，故③不正确；
对于④，如果与交于点，由③可知:，则，所以的最大值是1，故④正确.
所有正确结论的个数是3.
故选C
7.已知命题p：“”是“直线与平行”的充要条件；命题q：对任意，总有.则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分别判断出命题p和命题q的真假即可选出答案
【详解】对于命题p：由可得：
解得，所以命题p正确
因为对任意，总有
所以命题q正确
故为真命题
故选：C
【点睛】直线与平行的充要条件是
8.已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别令、得直线在y轴、x轴上的截距，再由在x轴的截距大于在y轴的截距可得答案.
【详解】由已知，
令得直线在y轴的截距为，
令得直线在x轴的截距为，
由直线在x轴的截距大于在y轴的截距可得，
即.
故选：D.
多选题
9.已知直线l过点，倾斜角为，若，则直线l的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由求出，得到直线l的斜率，可求出直线l的方程
【详解】因为，，所以，所以直线l的斜率.
当时，直线l的方程为，即；
当时，直线l的方程为，即.
故选：AC.
10.下列说法中正确的是（ ）
A．若直线斜率为，则它的倾斜角为
B．若，，则直线的倾斜角为
C．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
D．若直线的斜率为，则这条直线必过与两点
【答案】ABC
【分析】根据斜率与倾斜角关系以及两点间斜率公式，结合直线的点斜式方程可判断ABC；举反例可排除D.
【详解】对于A，设直线的倾斜角为，则由题意得，所以，故A正确；
对于B，因为，，所以直线与轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为，故B正确；
对于C，因为直线过定点，且斜率为，所以直线的方程为，即，
易知，故直线必过，故C正确；
对于D，不妨取，满足直线的斜率为，但显然该直线不过与两点，故D错误．
故选：ABC.
11.已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．直线一定不与坐标轴垂直
C．直线与直线一定平行
D．直线与直线一定垂直
【答案】AD
【解析】多项选择题，一个一个选项验证：
对于A: 整理为：，判断过定点；
对于B、D：判断直线与直线的垂直，用两直线垂直的条件判断；
对于C: 用两直线平行的条件判断.
【详解】对于A:整理为：，恒过定点(-1,0)，故A正确；
当时，直线与轴垂直，故B错误；
当时，两直线重合，故C错误；
因为，故直线与直线一定垂直，故D正确，
故选：AD.
【点睛】（1）证明直线过定点，通常有两类：直线方程整理为斜截式y=kx+b，过定点(0,b)；
（2）若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A1A2+B1 B2=0,两直线垂直；只要A1B2=A2B1,B1C2≠B2C1，可判断两直线平行.
12.给出下列四个结论，正确的是（ ）
A．平面直角坐标系中，过点且的所有直线可以用方程表示
B．直线的斜率为
C．直线的倾斜角为
D．直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1
【答案】BC
【分析】举反例判断A；将直线方程化为点斜式得出斜率以及倾斜角，从而判断BC；分别令，从而判断D.
【详解】对于A，直线过点，但不能用方程表示，故A错误；
对于B，直线可化为，则其斜率为，故B正确；
对于C，直线可化为，其斜率为，则倾斜角为，故C正确；
对于D，令，得出，令，得出，则直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，故D错误；
故选：BC
填空题
13.已知直线：和：垂直，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】对a分类讨论，利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．
【详解】a=1时，两条直线不垂直，舍去．
a≠1时，由﹣×=﹣1，解得a=．
故答案为．
【点睛】本题考查了分类讨论、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
14.经过点，且斜率等于直线的斜率的2倍的直线的一般式方程为 ．
【答案】
【分析】由已知求得所求直线的斜率，运用直线的点斜式方程，从而求出直线的一般式方程．
【详解】因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率．
又所求直线经过点，所以所求直线的方程为，即．
故答案为：.
15.直线2mx+y–m–1＝0恒过定点 ．
【答案】（）
【分析】直线方程对整理，令的系数为，从而得到关于的方程组，解出的值，得到答案.
【详解】直线2mx+y–m–1＝0，
可化为（2x–1）m+（y–1）＝0，
由，解得，
∴直线过定点（）．
故答案为（）．
【点睛】本题考查直线过定点问题，属于简单题.
16.下列说法正确的是 （填序号）．
①直线必过定点；
②直线在y轴上的截距为-2；
③直线的倾斜角为120°；
④若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为
【答案】①③④
【分析】①将点代入判断；
②转化为斜截式即可；
③转化为斜截式即可；
④设直线l方程为，求出平移后的直线方程，根据系数对应相等得等式，利用该等式可求出斜率.
【详解】因为，所以点在直线上，①正确；
对，即，所以直线在y轴上的截距为2，②错误；
直线，即，其斜率为，倾斜角为120°，③正确；
设直线l方程为，沿x轴向左平移3个单位长度，
再沿y轴向上平移2个单位长度后得到，
即，由题意得，所以，④正确．
故答案为：①③④.
解答题
17.已知中，，，.求：
(1)中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程；
(2)BC边的中线所在直线的截距式方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出边中点坐标及直线斜率，写出直线方程并化简；
（2）求出边中点坐标，写出直线方程后变形即得．
(1)
由题意中点为，，
所求中位线所在直线方程为，整理得．
(2)
由已知边中点为，直线的斜率为，
直线方程为，整理得截距式方程为．
18.直线l经过点(1，3)，直线l3：2x－y－1＝0.
(1)若l∥l3，求l的直线方程；
(2)若l⊥l3，求l的直线方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设与直线平行的直线为，代点求出即得解；
（2）设与直线垂直的直线为，代点求出即得解.
【详解】（1）解：设与直线平行的直线为，
因为直线l经过点(1，3)，则，．
所求直线方程为．
（2）解：设与直线垂直的直线为，
因为直线l经过点(1，3)，则，解得．
所求直线方程为．
19.设直线l的方程为（a﹣1）x+y+a+3=0，（a∈R）．
（1）若直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l的方程；
（2）若直线l不经过第一象限，求实数a的取值范围．
【答案】（1）﹣4x+y=0，﹣x+y+3=0或x+y+5=0．（2）a≥﹣1．
【分析】（1）由直线截距的概念，列方程求解即可；
（2）先讨论直线的斜率是否存在，然后分情况讨论截距是否为0，再列不等式组运算即可得解.
【详解】解：（1）由直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，可得，
令，得，令，得，
由已知有，解得或或，
故直线l的方程为﹣4x+y=0或﹣x+y+3=0或x+y+5=0；
（2）由直线l不经过第一象限，
则①当，即时，直线l的方程为，显然满足题意；
②当，即时，则或，解得，
综合①②可得：实数a的取值范围为．
【点睛】本题考查了直线截距的概念，重点考查了直线的性质，属基础题.
20.过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点.
(1)求面积的最小值以及面积最小时直线的方程;
(2)是否存在直线，使的周长为12，若存在，求出直线的方程;若不存在，说明理由.
【答案】(1)最小值为，
(2)存在， 或
【分析】（1）设直线，代入点坐标，利用均值不等式求解即可；
（2）结合以及周长为12列出方程组，求解即可.
【详解】（1）设 ，
则直线，
直线过点 ，
则
故，
故 ，
当且仅当，
即时取得等号，此时直线，
故，此时直线的方程为.
（2）假设存在满足条件的直线 ，
由已知有
解得 或
故存在满足条件的直线 或