高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置精品第1课时课时作业

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【夯实基础】
题型1 直线与圆的位置关系
1.直线与圆交点的个数为
A．2个B．1个C．0个D．不确定
【答案】A
【详解】化为点斜式：，
显然直线过定点，且定点在圆内
∴直线与圆相交，
故选A
2.直线l：mx＋（m＋1）y-5m-3＝0（m∈R）与圆O1：x2-6x＋y2-8y＋16＝0的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．与m有关
【答案】A
【分析】由直线系方程求得直线所过定点，化圆的方程为标准方程，证明定点在圆内，即可得到直线与圆的位置关系．
【详解】解：由，得，
联立，解得，则直线过定点，
化圆为，
，
定点在圆内，
故直线与圆相交，
故选：A．
3.已知圆的弦过点P（1，2），当弦长最短时，该弦所在直线方程为
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题意可得该直线与直线垂直，又，所以直线的斜率为，由点斜式可求得直线方程为，故选A.
4.已知直线与圆相交于A、B两点，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，进而利用垂径定理求出弦长.
【详解】圆的圆心到直线距离，
所以.
故选：D
5.已知圆，直线交圆于，两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式即可得解.
【详解】由已知可得：
圆的圆心为，
半径，
圆心到直线的距离，
所以，
故选：C.
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了圆的弦长公式，是基本概念的考查，属于基础题.
题型2直线与圆相切的有关问题
6.已知直线与圆相切于点，则圆C的半径为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】A
【分析】将点代入直线方程中求出，再求出圆心的坐标为，然后由列方程求出，再将点坐标代入圆方程中可求出，从而可求得圆的方程，进而可求出圆的半径
【详解】将代，得.
易知圆心的坐标为，∴，，解得，
将代入圆的方程得，∴，
∴圆C的方程为，即，
∴圆C的半径为.
故选：A
7.直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交不过圆心
【答案】B
【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小关系确定直线与圆的位置关系.
【详解】圆的圆心为，半径为，
∴ 圆心到直线的距离，
∴ 直线与圆相切.
故选：B.
8.当曲线与直线有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作曲线与直线的图象，计算出直线与曲线相切时对应的实数的值，数形结合可得结果.
【详解】对方程变形得，即，
所以曲线表示圆的上半圆，
对直线方程变形得，该直线过定点，且斜率为，如下图所示：
当直线与半圆相切时，则有，解得，
当直线过点时，，解得.
由图形可知，当曲线与直线有两个相异的交点时，.
故选：C
9.设，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用直线与圆相切的性质可得，的关系式，再借助均值不等式求解能求出的取值范围．
【详解】,直线与圆相切，
圆的圆心，半径，
则，整理得，
，
，，
解得或，
的取值范围是
故选：D
10.（多选题）过点引圆的切线，则切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据题意分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线的方程．
【详解】根据题意知圆的圆心为，半径，
若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，符合题意；
若切线的斜率存在，设切线方程为，即，
则有，解可得，所以切线方程为，
综上可知，切线方程为或.
故选：BC．
题型3圆的弦长问题
11.经过原点且倾斜角为的直线被圆C:截得的弦长是，则圆在轴下方部分与轴围成的图形的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知利用垂径定理求得，得到圆的半径，画出图形，由扇形面积减去三角形面积求解．
【详解】解：直线方程为，圆的圆心坐标为，半径为．
圆心到直线的距离．
则，解得．
圆的圆心坐标为，半径为4．
如图，
，则，．
，，
圆在轴下方部分与轴围成的图形的面积等于．
故选：．
【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查扇形面积的求法，考查计算能力，属于中档题．
12.已知直线与圆相交所得的弦长为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出圆心的直线的距离，根据弦长即可求出.
【详解】圆化为标准方程为，
则圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为，
因为弦长为2，所以，解得.
故选：C.
13.已知圆，过点的直线将圆的面积分割成两个部分，若使得这两部分的面积之差最大，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先明确两部分的面积之差最大时的状态，结合直线垂直和点斜式可得直线方程.
【详解】圆心坐标为，要使面积之差最大，必须使过点的弦长最小，即直线与直线垂直.
又，所以直线的斜率为，
由点斜式可求得直线的方程为，
整理得.
故选：C.
14.（多选题）已知，，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C，则以下选项正确的有（ ）
A．曲线C的方程为：
B．过O且被曲线C所截得的弦长为的直线有两条
C．曲线C上只有1个点到点A的距离为
D．若D，E为曲线C上的两点，且，则的最大值为
【答案】AB
【分析】设出点的坐标，利用动点P满足，建立方程，化简可得点P的轨迹方程，再逐一判断即可.
【详解】设，∵点，，动点P满足，
∴，化简整理可得，故A正确；
设过原点的直线方程为，则圆心到直线的距离，则由弦长公式可得，即，解得，则过O且被曲线C所截得的弦长为的直线有两条，故B正确；
设曲线C上的点，则，联立，解得，，即满足曲线C上到点A的距离为的点有两个，故C错误；
不妨设，由于，即点E可以看做由点D逆时针旋转90°得到的，（不妨设为逆时针），则，即点E为，则，故，故D错误.
故选：AB.
15.已知圆，直线，则下列命题正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．直线l与圆C恒相离
D．直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为
【答案】ABD
【分析】A由，联立求定点；B令求y轴交点纵坐标即可得弦长；C判断A中定点、圆心距离与半径大小判断直线与圆位置；D根据直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求直线斜率，进而求出参数m，即可得方程.
【详解】由，则，得，即l恒过定点，A正确；
令，则，可得，故圆C被y轴截得的弦长为，B正确；
由到圆心的距离，故直线l与圆C恒相交，C错误；
要使直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则，
所以，可得，故直线l为，D正确.
故选：ABD
【能力提升】
单选题
1.若圆的半径为1，且圆心为坐标原点，过该圆上一点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【解析】根据题意，分析圆的圆心以及半径，由勾股定理分析可得，当最小时，最小，由点与圆的位置关系分析的最小值，计算可得答案．
【详解】由题意可知，点在圆上，圆的圆心，半径
过点作圆的切线，切点为，则
当最小时，最小
又由点在圆上，则的最小值为
则的最小值为；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线与圆位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于中档题．
2.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化简曲线方程，表示圆心为，半径为的圆在轴以及右侧的部分，由直线与曲线的交点个数可以确定的取值范围.
【详解】表示的曲线是圆心为，半径为的圆在轴以及右侧的部分，如图所示：
直线必过定点，
当直线与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，
即，结合直线与半圆的相切可得，
当直的斜率不存在时，即时，直线和曲线恰有两个交点，
所以要使直线和曲线有两个交点，
则.
故选：B.
3.已知圆截直线所得线段的长度是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求圆心到直线的距离，然后求弦心距、弦长的一半、半径构成直角三角形，根据勾股定理即可求得，再根据三角形三边长可判断三角形是直角三角形.
【详解】如图
取中点,所以，
，
所以圆心，半径,，
圆心到直线距离为
由勾股定理得，即，
，
所以
故选：.
【点睛】本题注意考查圆的方程，直线与圆的位置关系，弦心距、半径构成的直角三角形.
4.在平面直角坐标系中，过点向圆引切线，切线长为.设点到直线的距离为，当取最小值时，的值为
A．B．3C．D．4
【答案】B
【分析】先求出点到圆心的距离，利用勾股定理求出，可以得到为到定点的距离，则的最小值即为A到直线的距离，即可根据直线方程求出.
【详解】由题可知圆心，半径，
则点到圆心的距离，
切线长，可看作到定点的距离，
则的最小值即为A到直线的距离，如图，过A作直线垂直于，垂足为，与轴的交点即为点，

，则直线：，代入，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查与直线，圆相关的距离最值问题，属于中档题.
5.一条光线从射出，经过y轴反射后与圆C：相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【分析】设入射光线为，进而写出反射光线的方程，根据直线与圆相切，结合点线距离公式求k值，即可知反射光线所在直线的斜率.
【详解】由题设，可设射出光线所在直线为且，
令，则在y轴反射点为，
∴反射后直线为，要使其与圆C相切，即到的距离为1，
∴，整理得，解得或，
∴反射光线所在直线的斜率为或.
故选：D
6.已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】圆的方程可化为，
其圆心坐标为，半径为，
当时，直线，圆心到直线的距离，此时直线与圆相切，故充分性成立；
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，所以，故必要性成立，
所以“”是“直线与圆相切”的充要条件.
故选：C.
7.若直线与圆相切，则m的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径.
【详解】圆的圆心为，半径为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，列出方程得：，解得：
故选：D
8.在平面直角坐标系中，过点向圆引切线，切线长为.设点到直线的距离为，当取最小值时，的值为
A．B．3C．D．4
【答案】B
【分析】先求出点到圆心的距离，利用勾股定理求出，可以得到为到定点的距离，则的最小值即为A到直线的距离，即可根据直线方程求出.
【详解】由题可知圆心，半径，
则点到圆心的距离，
切线长，可看作到定点的距离，
则的最小值即为A到直线的距离，如图，过A作直线垂直于，垂足为，与轴的交点即为点，

，则直线：，代入，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查与直线，圆相关的距离最值问题，属于中档题.
多选题
9.已知圆的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为5
B．点在圆外
C．圆关于直线对称
D．圆被直线截得得弦长为2
【答案】BD
【分析】根据圆方程得到圆心，半径，得到A错误，代入点坐标得到B正确，圆心不过直线得到C错误，计算弦长得到D正确，得到答案.
【详解】，即，圆心，半径，
圆的半径为，A错误；
，故点在圆外，B正确；
圆心不在直线上，故C错误；
当时，，解得或，故弦长为2，D正确.
故选：BD
10.已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．点到的最大距离为
B．若被圆所截得的弦长最大，则
C．若为圆的切线，则的取值范围为
D．若点也在圆上，则到的距离的最大值为
【答案】ABD
【分析】求出圆心到直线距离的最大值，可求得到的最大距离，可判断A选项的正误；将圆心的坐标代入直线的方程，求出的值，可判断B选项的正误；利用圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线的距离公式求出的值，可判断C选项的正误；分析可知当直线与圆相切，求出到的距离的最大值，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，由题意可知，直线过定点，
圆的圆心为原点，半径为，设圆心到直线的距离为.
当时，，
当与直线不垂直时，.
综上所述，，所以，点到的最大距离为，A对；
对于B选项，若被圆所截得的弦长最大，则直线过圆心，可得，所以，B对；
对于C选项，若为圆的切线，则，解得，C错；
对于D选项，若也在圆上，则直线与圆相切或相交，
当直线与圆相切时，到的距离取最大值，D对.
故选：ABD.
11.已知圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则的值可取（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】依题可知圆心到直线的距离小于1，计算即可.
【详解】依题可知：圆心到直线的距离小于1
所以
故选：AB
12.实数，满足，则的（ ）
A．最小值为B．最小值为
C．最大值为D．最大值为
【答案】AD
【分析】转化为直线与总有公共点，联立方程利用判别式大于等于零可得答案.
【详解】设，则，
由得，
所以，解得，
故选：AD.
填空题
13.．已知半径为的圆经过点，则圆上的点到直线距离的最大值为 .
【答案】
【分析】先求得圆心的轨迹，然后结合点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】因为半径为的圆经过点，
所以圆的圆心的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
到直线距离为，
所以圆的圆心到直线距离的最大值为，
圆上的点到直线距离的最大值为4.
故答案为：.
14.已知过点的直线被圆:截得的弦长为，则直线的方程是 .
【答案】或
【分析】根据条件设直线的斜率不存在和存在两种情况，分别根据弦长公式求直线方程.
【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，
由题意可知，圆心到直线的距离为.
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得，
此时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
故答案为：或.
15.已知圆，直线过点，且与圆交于，两点，且，则直线的方程为 .
【答案】或.
【分析】当直线的斜率不存在时，直接计算出的值并判断，当直线的斜率存在时，根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成直角三角形的三边进行求解.
【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，代入圆的方程中可得：，
此时，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线方程，圆心为，半径，
所以，所以，所以直线方程为，
所以直线的方程为或，
故答案为：或.
16.直线与圆相交，所得的弦的长为 .
【答案】
【分析】写出圆的标准方程，然后利用弦长公式计算即得.
【详解】因为圆即：，
则圆心到直线的距离：，
由弦长公式可得弦长为：.
故答案为：.
解答题
17.已知圆，若直线与圆C相交于A，B两点，且.
（I）求圆C的方程.
（II）请从条件①条件②这两个条件中选择一个作为点P的坐标，求过点P与圆C相切的直线l2的方程.
①（2，－3）；②（1，）.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（I）；（II）选①：或；选②：.
【分析】（I）根据弦长关系求出半径即可得出；
（II）选①：分斜率不存在和存在两种情况讨论，利用圆心到直线距离为半径求出；
选②：可得为切点，易求切线斜率，即可得出方程.
【详解】（I）设圆心到直线的距离为，则，即，
又，，
故圆C的方程为；
（II）选①：当直线斜率不存在时，的方程为，恰好与圆相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
此时直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或；
选②，可得在圆上，即为切点，
则切点与圆心连线斜率为，则切线斜率为，
所以直线的方程为，即.
18.已知过点的直线l与圆相交，求直线l的斜率的取值范围.
【答案】
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，即可判断点在圆外，再设直线的方程为，则圆心到直线的距离小于半径，即可得到不等式，解得即可；
【详解】解：圆可化为，即圆心为，半径，又，即点在圆外，由题意，点在圆外，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，直线与圆相交，圆心到直线的距离小于半径，即，解得，
直线的斜率的取值范围为．
19.平面直角坐标系中，圆C过点，，且圆心C在直线上，
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过点A 的圆C的切线方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意建立方程组，解之即可求出结果；
（2）根据圆心C与点A所在直线的斜率，进而求出过点A 的圆C的切线的斜率，然后根据点斜式即可求出结果.
【详解】（1）设圆C的标准方程为，圆心为，则，解得，故圆C的标准方程为；
（2）因为直线的斜率为，则所求切线的斜率为，所以过点A 的圆C的切线方程为，即.
20.已知圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦．
(1)当时，求弦AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；
(3)求过点P的弦的中点的轨迹．
【答案】(1)
(2)
(3)以为圆心，为半径的圆．
【分析】（1）根据点到直线的距离公式以及勾股定理即可求解弦长，
（2）根据直线垂直斜率乘积为，即可得直线的斜率，进而根据点斜式即可求方程，
（3）根据向量垂直，利用坐标运算即可求解轨迹方程，进而可通过轨迹方程得轨迹.
【详解】（1）当时，则，此时直线方程为：，故圆心到直线的距离，又，
所以，
（2）弦AB被点P平分时，则,,所以直线方程为：，
（3）设中点为，则，由于,
所以，即，
故点是以为圆心，为半径的圆．