数学3.1 椭圆优秀课时训练

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【夯实基础】
题型1 求椭圆的标准方程
1.已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【分析】根据题意得到，，求得，再结合焦点位置，即可求得椭圆的标准方程.
【详解】由题意，椭圆的焦距是6，可得，即，
又由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，可得，即，
则，
当焦点可以在轴上时，椭圆的方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为.
故选：D．
2.过点且与有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知方程求出焦点即为所求椭圆焦点，设出所求椭圆方程，代入，解方程组即可.
【详解】由知，焦点为，，即，.
设所求椭圆方程为，则，解得，
故所求椭圆方程为.
故选：A.
3.已知方程表示的曲线是椭圆,则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为方程表示的曲线是椭圆，所以，解得且，即实数的取值范围是，故选B.
4.椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，代入椭圆的方程两式相减得到，结合直线的斜率和的斜率，得到，进而求得的值，即可求解.
【详解】设，由直线过椭圆的右焦点，
可得，即，
又由直线的斜率为，
因为点为的中点，可得，
将代入椭圆的方程，可得，
两式相减得
又因为的斜率为，即，
所以，可得，
又由，且，可得，
所以椭圆的标准方程为.
故选：A.
5.已知椭圆C的焦点为，，过的直线与C交于A，B两点．若，，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得，再由隐含条件求得，则椭圆的方程可求．
【详解】解：，且，，，
，，
，，
，则在轴上．
在△中，，
在△中，由余弦定理可得，
根据，可得，
解得，．
椭圆的方程为：．
故选：．
题型2椭圆标准方程的判定
6.．到点和的距离之和为的点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义知动点的轨迹是以和为焦点，长轴长为的椭圆，然后求出即可求解.
【详解】解：因为和两点间的距离，
所有由椭圆的定义知动点的轨迹是以和为焦点，长轴长为的椭圆，
所以，，即，
所以，
所以所求动点的轨迹方程为，
故选：A.
7.已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径，消去，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心的轨迹，进一步求出其方程.
【详解】设动圆的圆心，半径为
圆与圆:内切，与C2：外切.
所以.
由椭圆的定义，的轨迹是以为焦点，长轴为16的椭圆.
则，所以
动圆的圆心的轨迹方程为：
故选：D
【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.
8.焦点为，离心率为的椭圆的标准方程为（ ）
A．B．．
C．D．
【答案】B
【分析】设椭圆的方程为，解方程求出椭圆的即得解.
【详解】设椭圆的方程为，
由题得，
所以.
所以椭圆的标准方程为.
故选：B
9.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；当平面不垂直于圆锥轴时得到的截面可能是椭圆．若用周长为的矩形截某圆锥得到椭圆，且椭圆与矩形的四边恰好相切．设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由已知条件，可推得a＋b＝7（a＞b＞0），分别将4个选项代入验证，即可求解．
【点睛】∵用周长为28的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆，且与矩形ABCD的四边相切，
∴4（a＋b）＝28，即a＋b＝7，
对于A，a＝6，b＝8，不满足a＞b＞0，故A错误，
对于B，a＝8，b＝6，a＋b＝14≠7，故B错误，
对于C，a＝4，b＝3，满足a＋b＝7，故C正确，
对于D，a＝3，b＝4，不满足a＞b＞0，故D错误．
故选：C．
10.已知椭圆：的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为3，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件结合椭圆定义求出a，设出点F2坐标，由给定弦长求出b即可得解.
【详解】依题意，由椭圆定义得，即，
令椭圆：的半焦距为c，则F2(c，0)，直线AB：x=c，
由得，于是得，则，
所以椭圆的方程为.
故选：C
题型3椭圆的定义及应用
11.已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是（ ）．
A．B．6C．D．12
【答案】D
【分析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.
【详解】由椭圆知，该椭圆的长半轴，
A是椭圆的一个焦点，设另一焦点为，而点在BC边上，点B，C又在椭圆上，
由椭圆定义得，
所以的周长
故选：D.
12.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆的定义可得；
利用基本不等式，若 ，则，当且仅当时取等号.
【详解】根据椭圆的定义可知，，即，
因为，，
所以，
当且仅当，时等号成立.
故选：A
13.设、分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，若，则点到原点的距离为（ ）
A．4B．5C．8D．10
【答案】B
【分析】由椭圆的方程求出，，的值，再利用椭圆的定义求出的值，由勾股定理得出三角形是以为直角顶点的直角三角形，而是斜边的中线，由此即可求解．
【详解】解：由椭圆的方程可得：，，所以，，
则，且，所以，
所以，
所以三角形是以为直角顶点的直角三角形，
又是斜边的中线，所以，
故选：．
14.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】将方程变形为，根据方程表示焦点在轴上的椭圆，由求解.
【详解】方程化为，
因为是焦点在轴上的椭圆，
所以，
解得，
故选：A.
15.设分别是椭圆的左､右焦点，O为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A．B．8C．7D．16
【答案】C
【解析】根据题意知，从而可得是以为直角顶点的直角三角形，再根据椭圆的定义以及勾股定理可得36，，即可解出，最后根据三角形的面积公式可算出的面积
【详解】由已知得因为所以点在以为直径的圆上，即是以为直角顶点的直角三角形，故即36.又
所以
解得所以
故选：C．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及简单几何性质的应用，属于基础题．
【能力提升】
单选题
1.如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则点到另一个焦点的距离是（ ）
A．6B．26C．4D．14
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义及椭圆上一点到焦点的距离等于6 ，可得的长.
【详解】解：根据椭圆的定义，
又椭圆上一点到焦点的距离等于6，
，则，
故选：D.
2.已知定点，，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】题目条件符合椭圆的定义，求出即可写出轨迹方程
【详解】结合椭圆定义可知，动点的轨迹为以，为焦点且长轴长为6的椭圆，，，所以，动点的轨迹方程为.
故选：B
3.P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，O是坐标原点，已知点M是线段PF的中点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由三角形中位线定理，先求出，然后再根据椭圆的定义，即可算出.
【详解】设为椭圆的右焦点，连接，
因为M是线段PF的中点，为的中点，所以，
因为，所以，
因为椭圆标准方程为，所以，
又由椭圆的定义，有，所以.
故选：C
4.已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】本题根据已知判断出、，再利用，可求出答案.
【详解】∵椭圆的焦点在轴上，
∴，，
∵焦距为4，∴，即，
∵，∴，
解得.
故选：D
【点睛】本题考查椭圆的标准方程和，，满足的方程关系，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
5.已知椭圆的一个焦点为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据焦点坐标，可知焦点在x轴上，以及，即可求解.
【详解】解：由题意得：，故，
解得：，
故选：A
6.已知是椭圆的左焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设椭圆右焦点为，容易判断点A在椭圆内部，进而根据椭圆定义得到，最后求出答案.
【详解】因为，所以在椭圆的内部，设椭圆右焦点为，易得，则，由椭圆定义可知：，所以，因为，所以.
故选：D.
7.已知椭圆的一个焦点为，则实数的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据方程是椭圆方程，得，然后由关系得出值．
【详解】由题意，
，，
故选：A．
8.椭圆的长轴端点为M，N，不同于M，N的点P在此椭圆上，那么PM，PN的斜率之积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆方程求得M，N的坐标，设P的坐标为，进而表示出PM，PN的斜率，二者相乘整理可求得答案．
【详解】依题意可知，，P是椭圆上任意一点，设坐标为，
则，PM，PN的斜率分别是，，
.
故选：A．
多选题
9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上的一个动点，点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为6B．的面积的最大值为
C．存在点P，使得D．的最大值为7
【答案】BD
【分析】由定义得出的周长，从而判断A；当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，从而判断B；由余弦定理得出的最大角为锐角，从而判断C；由椭圆的定义得出，从而判断D.
【详解】对于A，由椭圆，得的周长为，A错误；
对于B，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积，B正确；
对于C，当P为椭圆短轴顶点时，最大，
此时，
即为锐角，故不存在点P使得，C错误；
对于D，由椭圆，所以．
又，所以，
所以，当且仅当三点共线时，取等号，D正确．
故选：BD．
10.设椭圆的右焦点为且，点A为左顶点，点B为上顶点，直线过原点且与椭圆交于M，N两点（异于长轴顶点），则以下命题正确的是（ ）
A．
B．
C．面积最大值为
D．直线AM与直线AN的斜率之积是
【答案】ACD
【分析】结合椭圆的定义、向量运算、三角形的面积、直线斜率的乘积等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】设是左焦点，是下顶点.
由于直线过原点，关于原点对称，也关于原点对称，
所以，所以四边形是平行四边形，
根据椭圆的定义知，A选项正确.
，B选项错误.
，C选项正确.
设直线的方程为，
设，，，
，D选项正确.
故选：ACD
11.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于，两点，则（ ）
A．的周长为4
B．的周长为8
C．椭圆上的点到焦点的最短距离为1
D．椭圆上的点到焦点的最短距离为3
【答案】BC
【分析】根据椭圆的定义和椭圆的几何性质，即可求得三角形的周长和最短距离，得到答案.
【详解】由题意，椭圆，可得，则，
则的周长为，
又由椭圆的几何性质，可得椭圆上的点到焦点的最短距离为.
故选：BC
12.（多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，点P的轨迹不存在
B．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
【答案】AC
【分析】根据两点间的距离与到两点间距离和满足的条件，结合椭圆的定义逐个选项分析即可.
【详解】对A，，故点P的轨迹不存在，A正确；
对BC，，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为，故B错误，C正确；
对D，，故点P的轨迹为线段AB，D错误.
故选：AC
填空题
13.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则t的取值范围为 .
【答案】
【分析】由焦点在y轴上的椭圆方程的特征求解即可．
【详解】∵已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴解得.
∴t的取值范围是.
故答案为：.
14.已知F是椭圆C：的右焦点，P是椭圆上一点，，当△APF周长最大时，该三角形的面积为 .
【答案】//
【分析】根据椭圆的定义，结合三角形的几何性质，可得当共线时周长最大，由截距式求得直线方程，可得此时点的纵坐标，由三角形面积公式可得结果.
【详解】
由得右焦点，左焦点，
周长，
当共线时周长最大，
此时直线方程为与联立，
解得，可得，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，
15.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为
【答案】7
【详解】试题分析：由椭圆定义知:,所以到另一焦点距离为7.
考点：椭圆的定义.
16.已知为坐标原点，椭圆上的点到左焦点的距离为4，为的中点，则的值等于 ．
【答案】3
【分析】连结，易得为三角形的中位线，进而可求出结果.
【详解】如图所示，连结，因为为的中点，且为坐标原点，所以，
由椭圆定义可得，又，所以，因此.
故答案为3
【点睛】本题主要考查椭圆的定义，熟记定义即可求解，属于常考题型.
解答题
17.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)短轴长等于，离心率等于的椭圆；
(2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点；
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由题意得到，且，利用，求得的值，结合椭圆的焦点位置分类讨论，即可求解.
（2）设所求椭圆方程为，代入和两点的坐标，联立方程组，求得的值，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，短轴长等于，离心率等于，可得，且，
又由，可得，，
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为．
（2）解：设所求椭圆方程为，
由和两点在椭圆上，可得，
即，解得，
故所求椭圆的标准方程为．
18.（1）点是圆内一定点，动圆与已知圆相内切且过点，判断圆心的轨迹．
（2）已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程．
【答案】（1）轨迹是椭圆；（2）．
【分析】（1）根据椭圆的定义求出圆心 M 的轨迹；
（2）应用相关点法设点求轨迹方程即可.
【详解】（1）方程化成标准形式为，圆心为，半径．
因为动圆与已知圆相内切且过点，
所以，
根据椭圆的定义，动点到两定点的距离之和为定值，所以动点的轨迹是椭圆．
（2）设，
由中点坐标公式得所以
又点在椭圆上，
所以，
即．
19.已知点､分别是椭圆C：）的左､右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF1F2=时，面积达到最大，且最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：与椭圆C交于A､B两点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据焦点三角形的性质可求出，从而可得标准方程,
（2）联立直线方程和椭圆方程，消元后利用公式表示三角形面积，从而可求面积的最大值.
【详解】（1）△PF1F2面积达到最大时为椭圆的上顶点或下顶点，
而此时∠PF1F2=，故面积最大时为等边三角形，
故，因面积的最大值为，故，
故，
故椭圆的标准方程为：.
（2）设，则由可得，
此时恒成立.
而，
到的距离为,
故的面积，
令，设，则，
故在上为增函数，故即的最大值为3.
20.已知椭圆C:经过点， 是椭圆的两个焦点，，是椭圆上的一个动点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在第一象限，且，求点的横坐标的取值范围；
【答案】（1）；（2）．
【解析】(1)由条件可得，由两点间的距离公式求出，的长度，根据椭圆的定义得出的值，从而得到方程.
(2) 则，，由结合椭圆方程可得到关于点横坐标的不等式，从而解出答案.
【详解】（1）由已知得，，∴，
，同理，
∴，，∴，
椭圆标准方程为．
（2）设，则
，
由椭圆方程可得
整理得，所以
即点横坐标取值范围是．
【点睛】本题考查求椭圆的方程，根据条件求椭圆上点的坐标的范围，属于中档题.