高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线精品当堂达标检测题

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【夯实基础】
题型1 双曲线的定义
1.若双曲线的一个焦点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据双曲线中，，的关系，直接求解即可.
【详解】因为双曲线的一个焦点为，所以
所以，解得.
故选:B
【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.
2.若点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，，则（ ）．
A．5B．13C．5或13D．1或5
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义可得选项.
【详解】由题意可知，，，，
若，则，或13．
故选：C.
3.双曲线上的点到上焦点的距离为12，则到下焦点的距离为（ ）
A．22B．2C．2或22D．24
【答案】A
【分析】设的上、下焦点分别为，根据双曲线的定义求出或，再根据可得.
【详解】设的上、下焦点分别为，则．
因为,,所以，，则，
由双曲线的定义可知，，即，
解得或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意.
综上所述：.
故选：A
4.若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】原方程可变形为，根据已知有，解出即可.
【详解】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线，
可变形为.
所以有，即，解得.
故选：A.
5.已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出即可.
【详解】由双曲线得出.
因为，所以.
作于C，则C是AB的中点.
设，则由双曲线的定义，
可得.
故，
又由余弦定理得，
所以，解得.
故选：C

题型2 求双曲线的标准方程
6.已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出实半轴的长、虚半轴的长，再得到双曲线的标准方程.
【详解】因为双曲线的下、上焦点分别为，，
所以设双曲线的方程为，半焦距为；
又因为是双曲线上一点且，
所以，即，则；
所以双曲线的标准方程为.
故选：C.
7.已知双曲线经过点，，则其标准方程为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【分析】本题已知A，B两点坐标，将其代入双曲线标准方程即可得到结果
【详解】设双曲线方程为
则，解的
所以双曲线的方程为
故选：A
8.已知双曲线的一个焦点为，一个顶点为，则双曲线方程的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线中的关系求解.
【详解】由题可知，双曲线的焦点在轴上，所以可设方程为，
且，所以，
所以双曲线方程为，
故选:D.
9.已知动点满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线B．双曲线左支
C．双曲线右支D．一条射线
【答案】C
【分析】根据 表示动点到点与的距离之差为2，再结合双曲线的定义求解.
【详解】解：因为 的几何意义是动点到点与的距离之差为2，
又因为，
所以由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支．
故选：C
10.已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．椭圆B．椭圆和一条直线
C．双曲线和一条射线D．双曲线的一支
【答案】D
【分析】首先设，根据圆同时与圆及相外切，得到，再结合双曲线的概念即可得到答案.
【详解】圆，，圆心，，
圆，，圆心，，
设，因为圆同时与圆及相外切，
所以，
即的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支.
故选：D
题型3双曲线标准方程的识别
11.已知双曲线的渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据圆的方程求出圆心和半径，结合渐近线和圆相切以及焦点可求方程.
【详解】圆的圆心为，半径为.
由题意双曲线的渐近线的方程为，则；
因为双曲线的右焦点为圆C的圆心，所以，，
所以；
又，所以双曲线的方程为.
故选：C.
12.若，则是方程表示双曲线的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用方程为表示双曲线的条件，求得的取值范围，再利用充要条件的知识得出正确选项.
【详解】由于方程表示双曲线则，解得或.故是其充分不必要条件.故选A.
【点睛】本小题主要考查方程是双曲线的条件，考查充要条件的知识，还考查了一元二次不等式的解法.属于基础题.
13.已知表示焦点在轴上的双曲线有个，表示焦点在轴上的椭圆有个，则的值为（ ）
A．10B．14C．18D．22
【答案】D
【分析】根据方程表示双曲线或椭圆的类型，确定参数的取值，确定m和n的值，即可得答案.
【详解】由题意表示焦点在轴上的双曲线，则，
故b的取值可取，a可取，故，
表示焦点在轴上的椭圆，则，
则可取，
即，故，
故选：D
14.已知点P（x，y）的坐标满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．两条射线D．以上都不对
【答案】B
【分析】利用两点间的距离公式结合双曲线的定义即可求解.
【详解】解：由题知点P（x，y）的坐标满足
且点（1，1）与（-3，-3）的距离为，
因此点的坐标符合双曲线的定义
所以点的轨迹是双曲线.
故选：B.
15.无论为何值，方程所示的曲线必不是（ ）
A．双曲线B．抛物线C．椭圆D．以上都不对
【答案】B
【分析】由的范围可得的取值范围，然后对其分类可得方程所表示的曲线．
【详解】解：是任意实数，
，
当时，方程所表示的曲线是圆；
当且不等于1时，方程所表示的曲线是椭圆；
当时，方程所表示的曲线是双曲线；
当时，方程所表示的曲线是两条直线．
方程所表示的曲线一定不是抛物线．
故选：B ．
【点睛】本题考查曲线与方程，考查了圆锥曲线的标准方程，体现了分类讨论的数学思想方法，属于基础题．
题型4与双曲线有关的轨迹问题
16.已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意，化简得出，利用双曲线的定义，得到点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，即可求解其轨迹方程，得到答案.
【详解】设动圆的圆心M的坐标为，半径为，
则由题意可得，
相减可得，所以点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，
由题意可得，所以，
故点M的轨迹方程为，故选B.
【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义、性质和标准方程的应用，其中解答中根据圆与圆的位置关系，利用双曲线的定义得到动点的轨迹是以为焦点的双曲线的左支是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
17.一动圆与两圆，都外切，则动圆圆心的轨迹是（ ）
A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支
【答案】D
【解析】可知圆的圆心为点，圆的圆心为点，设动圆圆心为点，推导出，利用双曲线的定义可得出结论.
【详解】圆的圆心为点，半径为，
圆的圆心为点，半径为，
设动圆圆心为点，动圆的半径为，则，
由题意可得，，
，因此，动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.
故选：D.
18.．已知定点，，是圆：上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是
A．直线B．圆
C．椭圆D．双曲线
【答案】D
【分析】由是圆上任意—点，可得，结合已知，由垂直平分线的性质可得，从而可得为定值，由双曲线的定义可得点的轨迹是以为焦点的双曲线.
【详解】
因为N为中点，O为中点，
所以，
因为P在线段的中垂线上，所以，
因此，即点的轨迹是双曲线，故选D.
【点睛】本题主要考查定义法求轨迹方程、双曲线定义的应用，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.
19.若动圆与圆和圆都外切，则动圆的圆心的轨迹（ ）
A．是椭圆B．是一条直线C．是双曲线的一支D．与的值有关
【答案】D
【分析】根据圆与圆的位置关系求得，对进行分类讨论，结合双曲线的定义判断出正确答案.
【详解】，，
设动圆的半径为，由两圆外切可得，
所以.
①当时，，动圆的圆心的轨迹是线段的垂直平分线，即直线．
②当时，所以，，
此时动圆的圆心的轨迹是双曲线的一支．
③当时，，此时动圆的圆心的轨迹是一条射线.
故选：D
20.．圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（ ）
A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线
【答案】D
【解析】由l是线段AP的垂直平分线，得到,再由，利用双曲线的定义求解.
【详解】因为l是线段AP的垂直平分线，
所以,
因为，
所以，
所以点Q的轨迹是以点A，O为焦点的双曲线的一支，
故选：D
【能力提升】
单选题
1.若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】首先根据题意得到，再解不等式即可.
【详解】由题知：，，
解得或.
故选：B
2.双曲线与椭圆的焦点相同，则等于（ ）
A．1B．C．1或D．2
【答案】A
【分析】根据双曲线方程形式确定焦点位置，再根据半焦距关系列式求参数.
【详解】因为双曲线的焦点在轴上，
所以椭圆的焦点在轴上，
依题意得
解得.
故选：A
3.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．4B．－4C．－D．
【答案】C
【分析】先将双曲线方程化为标准形式，利用虚轴长是实轴长的倍列方程，解方程求得的值.
【详解】依题意，双曲线的标准方程为，即，由于虚轴长是实轴长的倍，所以，即，也即.故选C.
【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线实轴和虚轴的概念，属于基础题.
4.已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（ ）
A．38B．24C．38或10D．24或4
【答案】B
【分析】分析得到点P在双曲线C的下支上，再化简即得解.
【详解】由题意可得，，，
因为，所以点P在双曲线C的下支上，
则，故．
故选：B.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义及简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5.若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义和充分不必要条件的定义可得答案.
【详解】由题意可知，，，，
若，则，或1（舍去），
若，，或13，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
6.已知，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据双曲线标准方程的定义，可得，再根据充分必要条件的集合关系，可得到答案.
【详解】由方程表示双曲线，可得，解得或，
则为或的充分不必要条件，
故选：B.
7.已知双曲线上一点到其左焦点的距离为8，则的中点到坐标原点的距离为（ ）
A．9B．6C．5D．4
【答案】A
【分析】由已知条件可判断点在双曲线的左支上，设双曲线的右焦点为，则由双曲线的定义可得，再利用三角形中位线定理可求得答案
【详解】解：由，得，则，所以，
所以，
设双曲线的右焦点为，
因为到其左焦点的距离为8，
所以点在双曲线的左支上，
所以，所以，
因为为的中点，为的中点，
所以，
故选：A
8.设为双曲线的左焦点，在轴上点的右侧有一点，以为直径的圆与双曲线左、右两支在轴上方的交点分别为、，则的值为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】考虑特殊情况，设点为双曲线的右焦点，根据双曲线的定义求解即可
【详解】利用“特殊化思想”，不妨设点为双曲线的右焦点，依题意得，，根据双曲线的定义有， 由对称性，所以，＝
故选：C.
多选题
9.已知，满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，可以是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】BC
【分析】根据题意，结合双曲线的定义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由双曲线的焦点坐标，可得，
要使得满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支，
则满足，解得且，
结合选项，选项B、C符合题意.
故选：BC.
10.已知曲线C：，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若，则C是圆，其半径为
C．若，则C是双曲线
D．若，，则C是两条直线
【答案】ACD
【分析】根据不同的取值结合曲线方程的形式逐项判断可得正确的选项.
【详解】对于选项A，∵，∴，方程可变形为，
∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于选项B，∵，∴方程可变形为，该方程表示半径为的圆，故B错误；
对于选项C，∵，∴该方程表示双曲线，故C正确；
对于选项D，∵，，∴方程变形为，该方程表示两条直线，故D正确.
故选：ACD.
11.已知椭圆的右焦点是双曲线的右顶点，点是双曲线第一象限上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．双曲线的渐近线方程为
C．椭圆的左顶点是双曲线的左焦点
D．若椭圆的左、右焦点分别为、，则直线，的斜率之积为定值
【答案】BCD
【分析】利用椭圆与双曲线的定义逐一判断即可.
【详解】A：由椭圆，得a2=25，b2=9，c2=a2-b2=16，∴椭圆的右焦点即双曲线的右顶点为（4，0），
∴a2=16，a=4．A不正确；
B：双曲线的渐近线为．B正确；
C：由上述得椭圆的左顶点是（-5，0），双曲线的左焦点是（-5，0），C正确；
D：椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，恰为双曲线的左、右顶点，设点,
∴为定值，D正确．
故选：BCD．
12.已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点，，为双曲线的左、右焦点，则下列说法中正确的有（ ）
A．若双曲线上一点到它的焦点的距离等于16，则点到另一个焦点的距离为10
B．若是双曲线左支上的点，且，则△的面积为16
C．过点的直线与双曲线有唯一公共点，则直线的方程为或
D．过点的直线与双曲线相交于，两点，且为弦的中点，则直线的方程为
【答案】BD
【分析】先由已知条件求出双曲线的方程，对于A，利用双曲线的定义求解即可，对于B，由题意可得，平方化简结合已知条件可得△为直角三角形，从而可求出其面积，对于C，分直线的斜率存在和不存在两种情况求解即可，对于D，由题意可得双曲线为，然后利用点差法求解即可
【详解】由题意可知，设双曲线的标准方程为，
将点代入双曲线方程，可得，
故双曲线的方程为，
所以，，．
对于选项A，由双曲线的定义可知，，即，
解得或，
故选项A错误；
对于选项，若是双曲线左支上的点，则，
所以，
又，
所以，
又，所以，
故△为直角三角形，
所以，
故选项B正确；
对于选项C，因为为双曲线的右顶点，
当过点的直线与双曲线相切时，直线与双曲线有唯一的公共点，此时的方程为；
当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线有唯一公共点，此时直线的斜率为，
故直线的方程为，即或．
综上所述，直线的方程为，或，或．
故选项C错误；
对于选项D，由题意，双曲线即为，
设，，，，则，，
两式相减可得，，即，
因为为弦的中点，
所以，，且直线的斜率存在，
故，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即，
将直线方程代入中化简得，因为，所以直线与双曲线相交，所以直线方程为，
故选项D正确．
故选：BD
填空题
13.若双曲线的一个焦点坐标为，实轴长为6，则它的标准方程是 .
【答案】
【分析】根据焦点坐标和实轴长，建立关于的方程组，可得答案.
【详解】由焦点，可得，由实轴长为，即，可得，，
故双曲线的标准方程为.
故答案为：.
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，分别在双曲线的左支与右支上，且点，与点共线，若，则 .
【答案】
【分析】利用双曲线的定义，结合已知条件，求解，然后求解的值即可.
【详解】因为，设，，
由双曲线定义可得，所以，
即，，即.
故答案为：.
15.过双曲线的左焦点作一条直线l交双曲线左支于P､Q两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是 .
【答案】12
【分析】根据双曲线的定义，求得，即可求得的周长.
【详解】根据题意，作图如下：
由双曲线定义可知：，，
故，
故的周长为.
故答案为：12.
16.已知的顶点，，顶点C在双曲线上，则的值为 .
【答案】
【分析】由题意得到A与B为双曲线的两焦点，得到c的值，再由双曲线解析式及定义得出|AC﹣BC|的值，将所求式子利用正弦定理化简后，把各自的值代入计算，即可求出值．
【详解】顶点C在双曲线上，则，恰为其两焦点，
则，由正弦定理知
故答案为
【点睛】此题考查了正弦定理，双曲线的简单性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
解答题
17.已知，当为何值时：
(1)方程表示双曲线；
(2)表示焦点在轴上的双曲线；
(3)表示焦点在轴上的双曲线．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】根据双曲线标准方程中的分母的正负解决即可．
【详解】（1）因为，即，方程表示双曲线，
所以，解得或；
所以或；
（2）因为，即，焦点在轴上的双曲线，
则，解得，
所以；
（3）因为1，即，焦点在y轴上的双曲线，
则，解得，
所以.
18.已知三点、A（－2，0）、B（2，0）．
（1）求以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）求以A、B为顶点且以（1）中椭圆左、右顶点为焦点的双曲线方程.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用椭圆的定义求出2a，得出a，可求得椭圆的标准方程；
（2）由（1），再利用在双曲线中之间的关系可求得双曲线方程．
【详解】（1）解：因为，
所以，又c＝2，
所以b2＝a2﹣c2，
所以椭圆方程为：.
（2）由（1）知：，
所以，
所以双曲线方程为：.
19.在平面直角坐标系xOy中，已知点、，点M满足，记点M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)若直线l过圆的圆心D且与圆交于A，B两点，点P为C上一个动点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)23
【分析】（1）根据双曲线的定义判断轨迹，直接写出轨迹方程即可；
（2）设，利用向量坐标运算计算，再由二次函数求最值即可.
【详解】（1）由，
则轨迹C是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹C的方程为，则，可得，，
所以C的方程为；
（2）设，则，且，圆心，
则
因为，则当时，取最小值23.
20.已知双曲线.四个点中恰有三点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且，求原点到直线的距离.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由双曲线性质可知，关于原点对称，可得一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限图象判断点不在双曲线上，即在双曲线上，进而可得答案.
（2）联立直线与双曲线方程消去，由，结合韦达定理可得，再利用点到直线距离公式，化简即可得答案.
【详解】（1）由双曲线性质可知，关于原点对称，
所以一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限图象
而和坐标的数中，，但，
所以点不在双曲线上，即在双曲线上.
解得
双曲线的方程为
（2）直线的方程为，设，
由消去得
所以.
由，可得，即
所以，
可化为
即
则
即
到的距离.