数学七年级下册5.2.1 平行线习题

这是一份数学七年级下册5.2.1 平行线习题，共39页。试卷主要包含了问题发现等内容，欢迎下载使用。
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
1．（2022春•海阳市期末）如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．60°D．80°
2．（2022春•内乡县期末）如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）
A．55°B．75°C．80°D．105°
3．（2022•临清市二模）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（ ）
A．180°﹣∠2+∠1B．180°﹣∠1﹣∠2
C．∠2＝2∠1 D．∠1+∠2
4．（2022春•安新县期末）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．180°﹣αB．120°﹣αC．60°+αD．60°﹣α
5．（2022秋•咸安区期中）如图所示，△ABC中∠C＝60°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A'BD，此时A'D∥BC，则∠ABC＝ 度．
6．（2022春•麒麟区期末）如图，AB∥CD，∠1+∠2＝110°，则∠G的度数为 ．
7．（2022秋•长春期末）（1）【问题】如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFD＝30°．则∠EPF＝ ；
（2）【问题归纳】如图1，若AB∥CD，请猜想∠BEP，∠PFD，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？直接写出结论．
8．（2022秋•朝阳区校级期末）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（ ）．
∴∠C＝∠CEF．（ ）．
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（同理）．
∴∠B+∠C＝ ．
即∠B+∠C＝∠BEC．
（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠BEC+∠C＝360°．
（3）解决问题：如图③，AB∥DC，E、F、G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系 ．
9．（2022秋•南关区校级期末）【感知】如图①，AD∥BC，∠PAB＝125°，∠PCD＝130°，∠APC的度数为 ．
【探究】如图②，AD∥BC，点P在射线ON上运动，∠DAP＝∠α，∠CBP＝∠β，
（1）当点P在线段CD上运动时，试探究∠APB，∠α，∠β之间的数量关系．
（2）当点P在线段C，D两点外侧运动时（点P与点C，D，O三点不重合），直接写出∠APB，∠α，∠β之间的数量关系为 ．
10．（2022秋•小店区校级期末）（1）问题背景：如图1，已知AB∥CD，点P的位置如图所示，连结PA，PC，试探究∠APC与∠A、∠C之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点P作PE∥AB
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（ ），
∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（ ），
∴∠A+∠C＝ + （等式的性质）．
即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是 ．
（2）类比探究：如图2，已知AB∥CD，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若∠ABC＝41°，∠ADC＝78°，则∠AEC＝ ．
（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC与∠ADC的角平分线相交于点F，请直接写出∠BFD与∠AEC之间的数量关系 ．
11．（2022春•天府新区月考）已知直线AB∥CD．直线EF分别与AB、CD交于点G、H，直线MS经过点G，与CD交于点P，且∠BGM＝2∠EGM．
（1）如图1所示，当∠EGM＝25°时，
①求∠GPH的度数；
②在直线MS上取一点O，使得∠GHO＝10°，求∠GOH的度数．
（2）如图2所示，在射线GA上任取一点I，连接HI，∠IGP的角平分线GQ和∠IHC的角平分线HQ交于点Q，请写出∠GQH、∠QGH、∠GIH间的数量关系，并说明理由．
12．（2022春•江都区月考）已知：AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，写出∠A、∠AED、∠D之间的数量关系并说明理由；
（2）如图2，写出∠A、∠AED、∠D之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，AH平分∠BAE，DH交AH于点H，交AE于点K，且∠EDH：∠CDH＝2：1，∠AED＝20°，∠H＝30°，求∠EKD的度数．
13．（2022春•濠江区期末）已知直线AB∥CD，直线EF分别截AB、CD于点G、H，点M在直线AB、CD之间，连接MG，MH．
（1）如图1，求证：∠M＝∠AGM+∠MHC；
（2）如图2，若HM平分∠GHC，在HM上取点Q，使得∠HGQ＝∠AGM，求证：∠M+∠GQH＝180°；
（3）如图3，若GH平分∠MGB，N在为HD上一点，连接GN，且∠GNH＝∠M，∠HGN＝2∠MHC，求∠MHG的度数．
14.（2022春•来宾期末）如图，直线PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．
（1）若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC＝ 90 °；
（2）若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；
（3）如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．
15.（2022春•宁阳县期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
16．（2021秋•皇姑区期末）已知：直线AB∥CD，直线AD与直线BC交于点E，∠AEC＝110°．
（1）如图①，BF平分∠ABE交AD于F，DG平分∠CDE交BC于G，求∠AFB+∠CGD的度数；
（2）如图②，∠ABC＝30°，在∠BAE的平分线上取一点P，连接PC，当∠PCD＝∠PCB时，直接写出∠APC的度数．
17.（2021春•镇海区校级期中）已知AB∥CD，点M、N分别为AB、CD上的点，在AB、CD之间存在一点P满足MP⊥PN．
（1）如图1，若∠AMP＝α，求∠PNC的度数（用含α的代数式表达）．
（2）如图2，过点P作PH⊥AB于点H，点E、F在AB上，连接PE、PF、NF，若PE平分∠HPM，PF平分∠HPN，求∠EPF与∠MPN的数量关系．
（3）在（2）的条件下，若∠PNF+∠CNF＝180°，∠PFN＝2∠HPE，求∠EPN的度数．
18．（2021春•金华月考）如图，MN∥PQ，点A，B分别在直线MN，PQ上，若射线AN绕点A逆时针旋转至AM后立即回转，射线BP绕点B顺时针旋转至BQ后立即回转，两射线分别绕点A，点B不停地旋转，若射线AN转动的速度是a°/秒，射线BP转动的速度是b°/秒，且a，b满足方程组．
（1）求a，b的值；
（2）若射线AN和射线BP同时旋转，至少旋转多少秒时，射线AN和射线BP互相垂直？
19．（郫都区期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图①，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是∠POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D得∠BPD＝∠B﹣∠D，将点P移到AB、CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；
（3）根据（2）的结论求图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、 CD内部
“猪蹄”模型
（培优特训）专项5.3 平行线模型-猪蹄模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
1．（2022春•海阳市期末）如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．60°D．80°
【答案】B
【解答】解：反向延长DE交BC于M，如图：
∵AB∥DE，
∴∠BMD＝∠ABC＝80°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；
又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，
∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．
故选：B．
2．（2022春•内乡县期末）如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）
A．55°B．75°C．80°D．105°
【答案】B
【解答】解：方法一：过点E作EM∥AB，如图所示，
∵AB∥EM．
∴∠HEM＝∠1＝45°．
∵AB∥CD．
∴EM∥CD．
∴∠GEM＝∠2＝30°．
∴∠3＝∠HEM+∠GEM＝75°．
故选：B．
方法二：∵AB∥CD．
∴∠HFG＝∠1＝45°．
∵∠3是△EFG的外角．
∴∠3＝∠HFG+∠2＝45°+30°＝75°．
故选：B．
3．（2022•临清市二模）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（ ）
A．180°﹣∠2+∠1B．180°﹣∠1﹣∠2
C．∠2＝2∠1 D．∠1+∠2
【答案】A
【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°．
∴∠BCE＝∠3+∠4
＝∠1+180°﹣∠2．
故选：A．
4．（2022春•安新县期末）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．180°﹣αB．120°﹣αC．60°+αD．60°﹣α
【答案】C
【解答】解：连接BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD＝180°，
而∠CBO+∠BCO+∠O＝180°，
∴∠O＝∠ABO+∠DCO＝60°+α．
故选：C．
5．（2022秋•咸安区期中）如图所示，△ABC中∠C＝60°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A'BD，此时A'D∥BC，则∠ABC＝ 度．
【答案】90
【解答】解：∵A'D∥BC
∴∠CBA′＝∠A′．
∵△ABD沿BD翻折得△A'BD，
∴∠A＝∠A′，∠ABD＝∠A′BD．
∵∠A＝∠ABD，
∴∠CBA′＝∠A′BD＝∠ABD＝∠A．
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A+3∠A＝120°．
∴∠A＝30°．
∴∠ABC＝90°．
故答案为：90．
6．（2022春•麒麟区期末）如图，AB∥CD，∠1+∠2＝110°，则∠G的度数为 ．
【答案】110°
【解答】解：延长EG交直线CD于点H，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EHF，
∵∠1+∠2＝110°，
∴∠2+∠EHF＝110°，
∵∠EGF是△GFH的一个外角，
∴∠EGF＝∠2+∠EHF＝110°，
故答案为：110°．
7．（2022秋•长春期末）（1）【问题】如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFD＝30°．则∠EPF＝ ；
（2）【问题归纳】如图1，若AB∥CD，请猜想∠BEP，∠PFD，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？直接写出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PM∥CD，
∴∠1＝∠BEP＝25°，∠2＝∠PFD＝30°，
∴∠EPF＝∠1+∠2＝25°+30°＝55°．
故答案为：55°；
（2）∠EPF＝∠BEP+∠PFD，
理由如下：如图1，
∵AB∥CD，
∴AB∥PM∥CD，
∴∠1＝∠BEP，∠2＝∠PFD，
∴∠EPF＝∠1+∠2＝∠BEP+∠PFD；
（3）∠PFC＝∠PEA+∠EPF，
理由如下：如图2，过P点作PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠FPN＝∠NPE+∠EPF＝∠PEA+∠EPF．
8．（2022秋•朝阳区校级期末）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（ ）．
∴∠C＝∠CEF．（ ）．
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（同理）．
∴∠B+∠C＝ ．
即∠B+∠C＝∠BEC．
（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠BEC+∠C＝360°．
（3）解决问题：如图③，AB∥DC，E、F、G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系 ．
【解答】（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（同理），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠CEF（等量代换），
即∠B+∠C＝∠BEC，
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF+∠CEF；
（2）解：如图②，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，
∴∠B+∠C+∠AEC＝360°，
∴∠B+∠C＝360°﹣（∠BEF+∠CEF），
即∠B+∠C＝360°﹣∠BEC；
∠B+∠BEC+∠C＝360°．
（3）解：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4，理由如下：
如图，过点F作FM∥AB，则AB∥FM∥CD，
由（1）得，∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．
故答案为：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．
9．（2022秋•南关区校级期末）【感知】如图①，AD∥BC，∠PAB＝125°，∠PCD＝130°，∠APC的度数为 ．
【探究】如图②，AD∥BC，点P在射线ON上运动，∠DAP＝∠α，∠CBP＝∠β，
（1）当点P在线段CD上运动时，试探究∠APB，∠α，∠β之间的数量关系．
（2）当点P在线段C，D两点外侧运动时（点P与点C，D，O三点不重合），直接写出∠APB，∠α，∠β之间的数量关系为 ．
【解答】【感知】解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠APQ＝180°﹣∠PAB＝55°，∠CPQ＝180°﹣∠PCD＝50°，
∴∠APC＝50°+55°＝105°；
故答案为：105°；
【探究】解：（1）∠APB＝∠α+∠β，理由如下：
如图②，过P作PE∥AD交AB于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠BPE，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠α+∠β；
（2）当点P在D、N两点之间时，∠APDB∠β﹣∠α；
理由：如图③，过P作PE∥AD交AB于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠BPE，
∴∠APB＝∠BPE﹣∠APE＝∠β﹣∠α；
当点P在C、O两点之间时，∠APB＝∠α﹣∠β．
理由：如图④，过P作PE∥AD交AB于E点，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠BPE，
∴∠APB＝∠APE﹣∠BPE＝∠α﹣∠β．
故答案为：当点P在D、N两点之间时，∠APB＝∠β﹣∠α；当点P在C、O两点之间时，∠APB＝∠α﹣∠β．
10．（2022秋•小店区校级期末）（1）问题背景：如图1，已知AB∥CD，点P的位置如图所示，连结PA，PC，试探究∠APC与∠A、∠C之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点P作PE∥AB
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（ ），
∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（ ），
∴∠A+∠C＝ + （等式的性质）．
即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是 ．
（2）类比探究：如图2，已知AB∥CD，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若∠ABC＝41°，∠ADC＝78°，则∠AEC＝ ．
（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC与∠ADC的角平分线相交于点F，请直接写出∠BFD与∠AEC之间的数量关系 ．
【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（两直线平行，内错角相等），
∴∠A+∠C＝∠APE+∠CPE（等式的性质）．
即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠APE；∠CPE；∠APC＝∠A+∠C；
（2）过点E作EP∥AB，如图，
∵AB∥CD（已知），
∴∠ADC＝∠BAD＝78°，
∴PE∥CD，
∴∠BAD＝∠AEP＝78°，∠ABC＝∠PEC＝41°，
∴∠AEC＝∠AEP+∠PEC＝78°+41°＝119°，
故答案为：119°；
（3）由（2）知：∠AEC＝∠ABC+∠ADC，
∵DF，BF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠ABC＝2∠ABF，∠ADC＝2∠FDC，
∴∠AEC＝2（∠ABF+∠FDC）．
过点F作FP∥AB，如图，
则∠ABF＝∠BFP，
∵AB∥CD，
∴FP∥CD，
∴∠PFD＝∠FDC，
∴∠BFD＝∠BFP+∠PFD＝∠ABF+∠FDC，
∴2∠BFD＝∠AEC，
故答案为：2∠BFD＝∠AEC．
11．（2022春•天府新区月考）已知直线AB∥CD．直线EF分别与AB、CD交于点G、H，直线MS经过点G，与CD交于点P，且∠BGM＝2∠EGM．
（1）如图1所示，当∠EGM＝25°时，
①求∠GPH的度数；
②在直线MS上取一点O，使得∠GHO＝10°，求∠GOH的度数．
（2）如图2所示，在射线GA上任取一点I，连接HI，∠IGP的角平分线GQ和∠IHC的角平分线HQ交于点Q，请写出∠GQH、∠QGH、∠GIH间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）①∠BGM＝2∠EGM，∠EGM＝25°，
∴∠BGM＝2×25°＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠GPH＝∠BGM＝50°；
②如图1，过点O作ON∥AB，
则∠MON＝∠BOM＝50°，
∵∠BGE＝∠BGM+∠EGM＝50°+25°＝75°，AB∥CD，
∴∠EHD＝∠BGE＝75°，
∴∠DHO＝∠EHD+∠GHO＝75°+10°＝85°，
∵AB∥CD，ON∥AB，
∴ON∥CD，
∴∠NOH＝180°﹣∠DHO＝180°﹣85°＝95°，
∴∠GOH＝∠MON+∠NOH＝50°+95°＝145°；
（2）2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．理由如下：
如图2，过点Q作QN∥AB，
则∠GQN＝∠AGQ，
∵∠BGM＝2∠EGM，∠BGM＝∠AGP，∠EGM＝∠FGP，
∴∠AGS＝2∠FGS，
∵GQ平分∠AGP，
∴∠AGQ＝∠QGP＝∠AGP＝∠QGH，
∵AB∥CD，
∴∠GIH＝∠IHC，
∵HQ平分∠IHC，
∴∠QHC＝∠IHC＝∠GIH，
∵QN∥AB，AB∥CD，
∴QN∥CD，
∴∠NQH＝∠QHC，
∴∠GQH＝∠AGQ+∠QHC＝∠QGH+∠GIH，
∴2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．
12．（2022春•江都区月考）已知：AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，写出∠A、∠AED、∠D之间的数量关系并说明理由；
（2）如图2，写出∠A、∠AED、∠D之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，AH平分∠BAE，DH交AH于点H，交AE于点K，且∠EDH：∠CDH＝2：1，∠AED＝20°，∠H＝30°，求∠EKD的度数．
【解答】解：（1）∠A+∠D＝∠AED．理由如下：
如图1，过点E作ES∥AB，
则∠AES＝∠A，
∵AB∥CD，
∴CD∥ES，
∴∠DES＝∠D，
∵∠AES+∠DES＝∠AED，
∴∠A+∠D＝∠AED；
（2）∠AED+∠D＝∠A．理由如下：
如图2，过点E作ES∥CD，
则∠DES+∠D＝180°，
即∠AES+∠AED+∠D＝180°，
∵AB∥CD，
∴ES∥AB，
∴∠A+∠AES＝180°，
即∠AES＝180°﹣∠A，
∴180°﹣∠A+∠AED+∠D＝180°，
∴∠AED+∠D＝∠A；
（3）如图3，过点E作ES∥CD，
由（2）可知：∠AED+∠CDE＝∠BAE，
∵∠AED＝20°，
∴∠BAE＝∠CDE+20°，
∵AH平分∠BAE，
∴∠BAH＝∠EAH＝∠BAE＝∠CDE+10°，
∵∠EDH：∠CDH＝2：1，
∴∠EDH＝∠CDE，
∴∠EKD＝180°﹣（∠EDH+∠AED）＝180°﹣（∠CDE+20°）＝160°﹣∠CDE，
∠AKH＝180°﹣（∠EAH+∠H）＝180°﹣（∠CDE+10°+30°）＝140°﹣∠CDE，
∵∠EKD＝∠AKH，
∴160°﹣∠CDE＝140°﹣∠CDE，
∴∠CDE＝120°，
∴∠EKD＝160°﹣∠CDE＝160°﹣×120°＝160°﹣80°＝80°．
13．（2022春•濠江区期末）已知直线AB∥CD，直线EF分别截AB、CD于点G、H，点M在直线AB、CD之间，连接MG，MH．
（1）如图1，求证：∠M＝∠AGM+∠MHC；
（2）如图2，若HM平分∠GHC，在HM上取点Q，使得∠HGQ＝∠AGM，求证：∠M+∠GQH＝180°；
（3）如图3，若GH平分∠MGB，N在为HD上一点，连接GN，且∠GNH＝∠M，∠HGN＝2∠MHC，求∠MHG的度数．
【解答】（1）证明：过点M作MN∥AB，
∴∠AGM＝∠GMN，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠NMH＝∠CHM，
∵∠GMH＝∠GMN+∠NMH，
∴∠GMH＝∠AGM+∠MHC；
（2）证明：∵HM平分∠GHC，
∴∠MHG＝∠CHM，
由（1）得：
∠GMH＝∠AGM+∠MHC，
∵∠HGQ＝∠AGM，
∴∠GMH＝∠HGQ+∠MHG，
∵∠GQH+∠HGQ+∠MHG＝180°，
∴∠GMH+∠GQH＝180°；
（3）解：设∠AGM＝2α，∠CHM＝β，
由（1）可得：
∠GMH＝∠AGM+∠MHC，
∴∠GMH＝2α+β，
∵∠GNH＝∠M，
∴∠GNH＝2α+β，
∵∠HGN＝2∠MHC，
∴∠HGN＝2β，
∵GH平分∠MGB，
∴∠MGH＝∠BGM＝（180°﹣∠AGM）＝90°﹣α，
∵∠CHG是△GHN的一个外角，
∴∠CHG＝∠HGN+∠GNH＝2β+2α+β＝3β+2α，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴∠AGM+∠MGH+∠CHG＝180°，
∴2α+90°﹣α+3β+2α＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠MHG＝∠CHG﹣∠CHM
＝3β+2α﹣β
＝2β+2α
＝60°，
∴∠MHG的度数为60°．
14.（2022春•来宾期末）如图，直线PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．
（1）若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC＝ 90 °；
（2）若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；
（3）如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．
【解答】解：（1）延长BC交MN于点D，
∵PQ∥MN，
∴∠PBC＝∠ADC，
∵∠ACB是△ACD的一个外角，
∴∠ACB＝∠ADC+∠MAC，
∴∠ACB＝∠PBC+∠MAC＝90°，
故答案为：90；
（2）∵∠AEN＝∠A，∠BAC＝30°，
∴∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠CEM＝∠AEN＝30°，
利用（1）的结论可得：
∠ACB＝∠PDC+∠MEC，
∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°，
∴∠BDF的度数为60°；
（3）∵CE平分∠MEG，
∴∠CEM＝∠CEG，
设∠CEM＝∠CEG＝x，
∴∠GEN＝180°﹣∠CEM﹣∠CEG＝180°﹣2x，
利用（1）的结论可得：
∠ACB＝∠PDC+∠MEC，
∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝90°﹣x，
∴∠BDF＝∠PDC＝90°﹣x，
∴＝＝2，
∴的值为2．
15.（2022春•宁阳县期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
【解答】解：
（1）55°
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，
故答案为55°．
（2）如图所示，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，
∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．
（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：
由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，
由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴2∠AFC+∠AEC＝360°．
②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE＝360°，
∵∠BAF＝
∠FAE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，
∴∠F＝（∠FAE+∠FCE），
∴∠FAE+∠FCE＝n∠F，
∴∠F+∠E+n∠F＝360°，
∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，
∴∠F＝．
16．（2021秋•皇姑区期末）已知：直线AB∥CD，直线AD与直线BC交于点E，∠AEC＝110°．
（1）如图①，BF平分∠ABE交AD于F，DG平分∠CDE交BC于G，求∠AFB+∠CGD的度数；
（2）如图②，∠ABC＝30°，在∠BAE的平分线上取一点P，连接PC，当∠PCD＝∠PCB时，直接写出∠APC的度数．
【解答】解：（1）过点E作MN∥AB，
∵AB∥CD，MN∥AB，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠BAE＝∠AEM，∠DCE＝∠CEM，∠ABE＝∠BEN，∠NED＝∠EDC，
∵∠AEC＝110°，
∴∠BED＝110°，
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEM+∠CEM＝∠AEC＝110°，
∠ABE+∠CDE＝∠BEN+∠NED＝∠BED＝110°，
∵BF平分∠ABE交AD于F，DG平分∠CDE交BC于G，
∴∠ABF＝∠ABE，∠CDG＝∠CDE，
∴∠AFB+∠CGD＝180°﹣（∠BAE+∠ABF）+180°﹣（∠DCE+∠CDG）
＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE+180°﹣∠DCE﹣∠CDE
＝360°﹣（∠BAE+∠DCE）﹣（∠ABE+∠CDE）
＝360°﹣110°﹣×110°
＝195°，
即∠AFB+∠CGD的度数为195°；
（2）①当点P位于BC左侧时，
此时∠PCD＝∠PCB不可能成立，故此情况不存在；
②当点P位于BC右侧且位于CD上方时，过点P作PM∥AB，
∵∠AEC＝110°，∠ABC＝30°，
∴∠BAE＝110°﹣30°＝80°，
∵AB∥CD，MP∥AB，
∴AB∥MP∥CD，
∴∠APM＝∠BAP＝∠BAE＝40°，
∠ABC＝∠BCD＝30°，
又∵∠PCD＝∠PCB，
∴∠PCD＝∠BCD＝10°，
∴∠MPC＝∠PCD＝10°，
∴∠APC＝∠MPC+∠APM＝50°，
③当点P位于BC右侧且位于CD下方时，过点P作PM∥AB，
∵∠AEC＝110°，∠ABC＝30°，
∴∠BAE＝110°﹣30°＝80°，
∵AB∥CD，MP∥AB，
∴AB∥MP∥CD，
∴∠APM＝∠BAP＝∠BAE＝40°，
∠ABC＝∠BCD＝30°，
又∵∠PCD＝∠PCB，
∴∠PCD＝∠BCD＝30°，
∴∠MPC＝∠PCD＝30°，
∴∠APC＝∠APM﹣＝∠MPC＝10°，
综上，∠APC的度数为50°或10°．
17.（2021春•镇海区校级期中）已知AB∥CD，点M、N分别为AB、CD上的点，在AB、CD之间存在一点P满足MP⊥PN．
（1）如图1，若∠AMP＝α，求∠PNC的度数（用含α的代数式表达）．
（2）如图2，过点P作PH⊥AB于点H，点E、F在AB上，连接PE、PF、NF，若PE平分∠HPM，PF平分∠HPN，求∠EPF与∠MPN的数量关系．
（3）在（2）的条件下，若∠PNF+∠CNF＝180°，∠PFN＝2∠HPE，求∠EPN的度数．
【解答】解：（1）如图，过点P作PP′∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PP′∥CD，
∴∠AMP＝∠MPP′，∠P′PN＝∠PNC，
∵∠MPN＝∠MPP′+∠P′PN，
∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，
∵∠AMP＝α，MP⊥PN，
∴∠PNC＝90°﹣∠AMP＝90°﹣α，
（2）∵PE平分∠HPM，PF平分∠HPN，
∴∠HPE＝∠HPM，∠HPF＝∠HPN，
∴∠EPF＝∠HPF﹣∠HPE＝∠HPN﹣∠HPM＝（∠HPN﹣∠HPM）＝∠MPN，
∴∠EPF与∠MPN的数量关系为∠EPF＝∠MPN，
（3）设∠HPE＝x，
∵EP平分∠HPM，
∴∠EPM＝∠HPE＝x，
∵MP⊥PN，
∴∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPF＝45°，
∴∠MPF＝∠EPF﹣∠EPM＝45°﹣x，
∴∠HPF＝∠HPE+∠EPM+∠MPF＝x+x+45°﹣x＝45°+x，∠FPN＝∠MPN﹣∠MPF＝90°﹣（45°﹣x）＝45°+x，
∵HP⊥AB，
∴∠PHF＝90°，
∴∠HFP＝90°﹣（45°+x）＝45°﹣x，
∵∠PFN＝2∠HPE，
∴∠PFN＝2x，
∴∠HFN＝∠HFP+∠PFN＝45°﹣x+2x＝45°+x，∠PNF＝180°﹣∠FPN﹣∠PFN＝180°﹣（45°+x）﹣2x＝135°﹣3x，
∵AB∥CD，
∴∠DNF＝∠HFN＝45°+x，
∵∠PNF+∠CNF＝180°，∠DNF+∠CNF＝180°，
∴∠PNF＝∠DNF，
∴135°﹣3x＝45°+x，
解得：x＝22.5°，
∴∠EPN＝∠EPM+∠MPN＝22.5°+90°＝112.5°．
18．（2021春•金华月考）如图，MN∥PQ，点A，B分别在直线MN，PQ上，若射线AN绕点A逆时针旋转至AM后立即回转，射线BP绕点B顺时针旋转至BQ后立即回转，两射线分别绕点A，点B不停地旋转，若射线AN转动的速度是a°/秒，射线BP转动的速度是b°/秒，且a，b满足方程组．
（1）求a，b的值；
（2）若射线AN和射线BP同时旋转，至少旋转多少秒时，射线AN和射线BP互相垂直？
【解答】解：（1），
①+②得：4a＝12，
解得：a＝3，
把a＝3代入②得：3+2b＝7，
解得：b＝2，
∴原方程组的解为：，
∴a的值为3，b的值为2；
（2）设至少旋转x秒时，射线AN和射线BP互相垂直，旋转后的两条射线交于点C，且∠BCA＝90°，连接AB，如图：
由题意得：
∠PBC＝2x°，∠CAN＝3x°，
∵MN∥PQ，
∴∠PBA+∠BAN＝180°，
∵∠BCA＝90°，
∴∠CBA+∠BAC＝90°，
∴∠PBC+∠CAN＝90°，
∴2x°+3x°＝90°，
∴x＝18，
答：至少旋转18秒时，射线AN和射线BP互相垂直．
19．（郫都区期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图①，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是∠POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D得∠BPD＝∠B﹣∠D，将点P移到AB、CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；
（3）根据（2）的结论求图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
【解答】解：（1）不成立，结论是∠BPD＝∠B+∠D．
延长BP交CD于点E，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BED，
又∵∠BPD＝∠BED+∠D，
∴∠BPD＝∠B+∠D；
（2）结论：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．
连接QP并延长，
∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，
∴∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，
∴∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；
（3）由（2）的结论得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．
又∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、 CD内部
“猪蹄”模型