中考数学必考特色题型讲练(河南专用)二次函数压轴题型解读(原卷版+解析)

这是一份中考数学必考特色题型讲练(河南专用)二次函数压轴题型解读(原卷版+解析)，共31页。
二次函数在中考中占的比重还是比较大的，一般在选择填空部分出题会相对基础比较容易得分，在解答题中会出一道中等难度实际应用问题，考察二次函数的图像性质以及在实际问题中的应用，26题可以说是代数部分最难的一道题了，这道题想要得满分比较困难，需要学生熟练掌握二次函数基础知识以及函数区间最值、分段函数、新定义函数、交点问题等。
【知识点1】二次函数交点问题：
问题引入：平面直角坐标系中xOy中，已知点A(−1，2)，点B(3，2)，若直线y=kx+3与线段AB有公共点，结合函数图像,求出k的取值范围.
在二次函数中：
（1）抛物线的解析式系数不全为定值时，分类讨论，确定函数图像怎么变化，进而确定与线段交点。
（2）利用函数中的特殊值：对称轴（确定a、b关系），与y轴交点纵坐标（确定c值），顶点轨迹等。
（3）解题思路：确定三个临界点，及抛物线过线段两端点以及与线段所在直线只有一个交点时的点。
例题1、在平面直角坐标系xOy中，已知点A−1，2，点B3，2，若抛物线y=x2−4x−3+c与线段AB有公共点，结合函数图像，求出c的取值范围.
变式练习1、已知点A−1，2，点B3，2，若抛物线y=x2−2bx+b2−1与线段AB有公共点，结合函数图像，求出b的取值范围.
变式练习2、已知点A−1，2，点B3，2，若抛物线y=ax2−4ax−5a与线段AB恰有一个公共点，结合函数图像，求出a的取值范围.
【知识点2】区间最值问题：
解题思路：
（1）二次函数区间最值问题的核心思想：数形结合
（2）找对称轴，找到顶点、交点，根据a的值（判断开口方向）画出图像。
（3）判断给出的区间x值距对称轴的远近求出最大值最小值。
分情况讨论：
①取值范围包含对称轴；
②取值范围在对称轴左侧；
③取值范围在对称轴右侧，判断y随x的变化情况求最值。
例题1、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知点A(-1,0)、B(4,0)、C(0,-3)
(1)求二次函数的解析式；
(2)当y>0时，请直接写出自变量x的取值范围；
(3)当3≤x≤4时，求函数y的最大与最小值
变式练习1、在平面直角坐标系中，直线l1：y=12mx+mm≠0与直线l2：y=nxn≠0且n≠12m相交于点A，直线l1与x轴相交于点B，直线x=-1与直线l1、l2分别相交于点C、D，点P是线段CD的中点，以点P为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过点A.
（1） ①点B的坐标是_____________;
②点P的坐标是_____________(用含m、n的代数式表示)；
（2）求a的值(用含m、n的代数式表示)；
（3）若n=1，当-2≤x≤1时，ax2+bx+c≤1，求m的取值范围.
变式练习2、已知二次函数y=−x2+bx+c（b、c为常数）
(1)当b=-2，c=3时，此二次函数图像的顶点坐标是_______.
(2)当c=5时，若在函数值y=9的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的表达式.
(3)当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为15，求此时二次函数的表达式.
【知识点3】双抛问题：
（1）解二次函数双抛问题一般性步骤：
①审题，审清题意，求解析式；
②数形结合，画出图形，利用图像性质进行解题；
③对于计算能力的考查，“快、准”。
（2）解题过程中使用数形结合，对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，在代数和几何的结合上找出解题思路。
例题1、定义：对于给定的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），把形如y=ax2+bx+c（x≥0）−ax2+bx+c（x＜0）的函数称为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的衍生函数.
（1）已知二次函数y=x2−2x−2.
①直接写出这个二次函数的衍生函数的表达式：
②若点P(m，−32)在这个二次函数的衍生函数的图像上，求m的值；
③当时，求这个二次函数的衍生函数的最大值和最小值；
（2）①当二次函数y=1ax2+2x−2（a＜0）的衍生函数的图像与以A(-3，2)、B(5，2)为端点的线段只有一个公共点时，求出a的取值或取值范围；
②当a=-1时，当t-1≤x≤t+1时，伴随抛物线的最大值为-1，直接写出t的值或t的取值范围.
变式练习1、已知函数y=−x2+nx+nx≥n−12x2+n2x+n2x＜n(n为常数）
（1)若n=5，
①点P(4,b)在此函数图像上，求b的值：
②求此函数的最大值。
（2)已知线段AB的两个端点坐标分别为A(2，2)、B(4，2)，当此函数的图像与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围；
（3)当此函数图像上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围，
变式练习2、如图在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-4ax+3（a≠0）与抛物线y=12（x+1）2+k均经过点A（1,0）。直线x=m在着两条抛物线的对称轴之间（不与对称轴结合），函数y=ax2-4ax+3（x≥m）的图像记为G1，函数y=12（x+1）2+k（x≤m）的图像记为G2，图像G1 与G2合起来的图形记为G.
（1）求a、k的值；
（2）当m= 12时，求图形G上y随x的增大而减小时x的取值范围；
（3）当-2≤x≤72时，图形G上最高点在纵坐标为2，求m的值；
（4）当直线y=2m-1与图形G有2个公共点时，直接写出m的取值范围.
变式练习3、定义:点P（m,m）是平面直角坐标系内一点，将函数l的图像位于直线x=m左侧部分，以直线y=m为对称轴翻折，得到新的函数l'的图像，我们称函数l'是函数l的相关函数，函数l'的图像记作F1,函数l的图像未翻折的部分记作F2,图像F1和图像F2合起来记作图像F，例如函数l的解析式为y=x2−1,当m=-1时,它的相关函数l'的解析式为y=−x2+3（x＜1）.
(1) 如图，函数l的解析式为y=−12x+2,当m=-1时，求它的相关函数l'的解析式
(2)函数l的解析式为y=−3x，当m=0时，图像F上某点的纵坐标为-2,求该点的横坐标;
(3)已知函数l的解析式为y=x2−4x+3,
已知点A、B坐标分别为（0，2）、（6，2），当图像F与线段AB只有一个公共点时，结合函数图像，求的取值范围m;
若点C（x，n）是图像F上任意一点，当m-2≤x≤5时，n的最小值始终保持不变，求m的取值范围（直接写出结果）.
1、把函数C1：y=ax2−2ax−3a（a≠0）的图像绕点P（m，0）旋转180°得到新函数C2的图像，我们称C2是C1关于点P的相关函数. C2的图像的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）.
（1）填空：t的值为 （用含m的代数式表示）
（2）若a=-1，当12≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值y2，且y1−y2=1，求C2的解析式；
2、在平面直角坐标系xOy中，函数F1和F2的图像关于y轴对称，它们与直线x＝t（t＞0）相交于点P、Q．
（1）如图，函数F1为y＝x+1，当t＝2时，PQ的长为 ；
（2）函数F1为y＝，当PQ＝6时，t的值为 ；
（3）函数F1为y＝ax2+bx+c（a≠0），
①当t＝时，求△OPQ的面积；
②若c＞0，函数F1和F2的图像与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），当c≤x≤c+1时，设函数F1的最大值和函数F2的最小值的差为h，求h关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围．
3、已知函数y＝−12x2+12x+m（x＜m）x2−mx+m（x≥m），记该函数图像为G．
（1）当m＝2时，
①已知M（4，n）在该函数图像上，求n的值；
②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．
（2）当m＞0时，作直线x＝12m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m的值；
（3）当m≤3时，设图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．
4、在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相
于点C，连接AC．
（1）求点B、点C的坐标；
（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE＝OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S＝S1+S2，当S取最大值时，求m的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
5、如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣14＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．
（1）填空：抛物线的顶点坐标为 （用含m的代数式表示）；
（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；
（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．
二次函数压轴题型解读
二次函数在中考中占的比重还是比较大的，一般在选择填空部分出题会相对基础比较容易得分，在解答题中会出一道中等难度实际应用问题，考察二次函数的图像性质以及在实际问题中的应用，26题可以说是代数部分最难的一道题了，这道题想要得满分比较困难，需要学生熟练掌握二次函数基础知识以及函数区间最值、分段函数、新定义函数、交点问题等。
【知识点1】二次函数交点问题：
问题引入：平面直角坐标系中xOy中，已知点A(−1，2)，点B(3，2)，若直线y=kx+3与线段AB有公共点，结合函数图像,求出k的取值范围.
【解析】可将A、B两点坐标代入一次函数解析式中，求出对应的k值，即为k的取值范围。
在二次函数中：
（1）抛物线的解析式系数不全为定值时，分类讨论，确定函数图像怎么变化，进而确定与线段交点。
（2）利用函数中的特殊值：对称轴（确定a、b关系），与y轴交点纵坐标（确定c值），顶点轨迹等。
（3）解题思路：确定三个临界点，及抛物线过线段两端点以及与线段所在直线只有一个交点时的点。
例题1、在平面直角坐标系xOy中，已知点A−1，2，点B3，2，若抛物线y=x2−4x−3+c与线段AB有公共点，结合函数图像，求出c的取值范围.
【答案】c的取值范围为0≤c≤9．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线顶点所在直线及抛物线经过定点，结合图像求解．
【解析】解：∵抛物线的解析式为y=x2-4x-3+c=（x−2）2-7+c,
∴抛物线的顶点坐标为（2，c-7），
如解图，
①当抛物线的顶点在线段AB上时，c-7=2，
解得c=9；
②当抛物线过点A时，将A（-1，2）代入y=x2-4x-3+c中，
解得c=0；
③当抛物线过点B时，将B（3，2）代入y=x2-4x-3+c中，
解得c=8．
结合函数图像，c的取值范围为0≤c≤9．
变式练习1、已知点A−1，2，点B3，2，若抛物线y=x2−2bx+b2−1与线段AB有公共点，结合函数图像，求出b的取值范围.
【答案】−3−1≤b≤−3+3 或 3−1≤b≤3+3
【分析】先求得顶点的坐标，可知抛物线的顶点在直线y=-1上移动，分别求出抛物线过点A、点B时b的值，画出此时函数的图像，结合图像即可求出b的取值范围．
【解析】解：如图：
y=x2-2bx+b2-1=（x-b）2-1，
∴抛物线顶点坐标为（b,-1），
∴抛物线y=x2-2bx+b2-1的顶点在直线y=-1上，
把A（-1，2）的坐标代入y=x2-2bx+b2-1，
得2=1+2b+b2-1，即b2+2b-2=0，
解得b=b=3−1 或 b=−3−1
把B（3，2）的坐标代入y=x2-2bx+b2-1，
得2=32-2b×3+b2-1，即b2-6b+6=0，
解得b=3+3 或b=−3+3
结合函数图像可知： −3−1≤b≤−3+3 或 3−1≤b≤3+3
变式练习2、已知点A−1，2，点B3，2，若抛物线y=ax2−4ax−5a与线段AB恰有一个公共点，结合函数图像，求出a的取值范围.
【答案】a=-29 或 a＜-14
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线顶点所在直线及抛物线经过定点，结合图像求解．
【解析】∵y=ax2-4ax-5a=a（x-2）2-9a,
∴抛物线顶点坐标为（2，-9a），
当-9a=2时，a=-29，
抛物线顶点在线段AB上，符合题意，
∵y=ax2-4ax-5a=a（x+1）（x-5），
∴抛物线经过定点（-1，0），（5，0），
a减小，抛物线顶点上升，当点B（3，2）经过抛物线时，2=9a-12a-5a,
解得a=-14，
∴a＜-14时满足题意，
综上所述，a=-29 或 a＜-14
【知识点2】区间最值问题：
解题思路：
（1）二次函数区间最值问题的核心思想：数形结合
（2）找对称轴，找到顶点、交点，根据a的值（判断开口方向）画出图像。
（3）判断给出的区间x值距对称轴的远近求出最大值最小值。
分情况讨论：
①取值范围包含对称轴；
②取值范围在对称轴左侧；
③取值范围在对称轴右侧，判断y随x的变化情况求最值。
例题1、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知点A(-1,0)、B(4,0)、C(0,-3)
(1)求二次函数的解析式；
(2)当y>0时，请直接写出自变量x的取值范围；
(3)当3≤x≤4时，求函数y的最大与最小值
【分析】通过已知三点坐标抛物线解析式可求；由图像可以看出y＞0时x的取值范围，并且也能够看出3≤x≤4这个区间上的增减性，从而确定y的最值
【答案】（1）y=34x²-94x-3 （2）x＜-1或x＞4（3）y最小值为-3， y最大值为0.
【解析】
（1）二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴交于点A（-1，0）和点B（4,0），
设函数解析式为y=a（x+1）（x-4）
代入点C（0，-3）解得：a=34
∴二次函数解析式为：y=34x²-94x-3
(2)当y>0时，x＜-1或x＞4
(3)函数对称轴为x=32，当32＜3≤x≤4时，由图像可知，y随x的增大而增大
∴x=3时，y有最小值；x=4时，y有最大值
y最小值为-3， y最大值为0.
变式练习1、在平面直角坐标系中，直线l1：y=12mx+mm≠0与直线l2：y=nxn≠0且n≠12m相交于点A，直线l1与x轴相交于点B，直线x=-1与直线l1、l2分别相交于点C、D，点P是线段CD的中点，以点P为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过点A.
（1） ①点B的坐标是_____________;
②点P的坐标是_____________(用含m、n的代数式表示)；
（2）求a的值(用含m、n的代数式表示)；
（3）若n=1，当-2≤x≤1时，ax2+bx+c≤1，求m的取值范围.
【答案】（1）（-2,0） （-1，m−2n4） （2）a=2n−m4（3）23≤m