人教A版 (2019)第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算优秀导学案

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掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养．
掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养．
了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养．
能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养.
重点难点
重点：通过类比平面向量的概念来归纳并理解空间向量的含义，发现空间向量也与平面向量满足线性运算(加法、减法和数乘），懂得运算律。
难点：空间向量的线性在简单空间几何体中的计算和应用。
课前预习 自主梳理
要点一 研究空间向量数量积运算
类比平面向量的数量积运算完成表格.
要点二 投影
1.空间向量向向量投影得到的投影向量c的表示： ;
2. 思考：类似于向量向向量投影，如何定义并画出空间向量向直线投影；

3. 思考：定义并画出向量向平面投影，并说说与前面两种向量投影的画法有什么不同之处.

要点三 空间向量的数量积满的运算律
，；
(交换律)；
(分配律)．
自主检测
1.设、、是空间向量，则以下说法中错误的是（ ）
A．、一定共面B．、、一定不共面
2. 棱长为的正四面体中，则等于（ ）
A．B．C．D．
3. 在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，，，则下列等式不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
新课导学
学习探究
（一）新知导入
环节一 创设情境 引入课题
(回顾旧知，类比得到空间向量数量积的概念)
问题1:类比平面向量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关知识？
想一想，在学习平面向量的数量积时，我们都学习了哪些内容，是怎么学习的.请同学们类比平面向量的数量积运算研究空间向量数量积运算，小组合作完成表格.
环节二 观察分析感知概念
借助几何直观，揭示空间向量投影概念的本质
问题2：根据平面向量数量积的学习经验，为了研究数量积的运算律，需要先定义向量的投影.想一想空间向量的投影有哪些情况.
问题3：下面我们分情况展开空间向量投影的研究.如图1(1),如何定义并画出空间向量向向量投影？
如图1.1-11(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量， ，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(图1.1-11(2))．
追问 : 你能用向量,向量表示出投影向量吗?
追问：类似于向量向向量投影，你能定义并画出空间向量向直线投影吗？
追问：请尝试定义并画出向量向平面投影，并说说与前面两种向量投影的画法有什么不同之处.
如图1.1-11(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角．
空间向量的数量积满足如下的运算律：
，；(交换律)；(分配律)．
环节三 抽象概括 形成概念
推广运算律，理解向量运算律与数的运算律的差异
问题4：定义了运算就要研究它的运算律.类比平面向量数量积的运算律，你能说出空间向量的数量积运算具有哪些运算律吗？
追问：你能证明这些运算律吗？
问题5：我们知道，数及其运算是一切运算的基础，空间向量的数量积运算在形式上是两个向量相乘，由此，自然会想到将它与数的乘法作类比.向量的数量积是否具有一些与数的乘法类似的性质呢？它们之间有什么共性和差异吗？
追问：对三个不为0的数,有,也就是说，数的运算满足结合律.对于向量的数量积运算，有“结合律吗？
追问：对于三个均不为0的数，若，则．对于向量，，，由，你能得到吗？如果不能，请举出反例．
追问：对于三个均不为0的数，若，则(或)．对于向量，，若，能不能写成（或）的形式？
环节四 辨析理解 深化概念
例2．如图1.1-12，在平行六面体中，，，，，．求：(1)；(2)的长(精确到0.1)．
解：
环节五 概念应用巩固内化
例3如图1.1-13，，是平面内的两条相交直线，如果，，求证：．
图3
师生活动：教师首先引导学生分析问题的条件和所证明结论的本质，得出证明的基本思路：
分析：要证明，就是要证明垂直于内的任意一条直线（直线与平面垂直的定义）．如果我们能在和，之间建立某种联系，并由，，得到，那么就能解决此问题．
证明：
思考：例3即为直线与平面垂直的判定定理的证明过程.尝试用综合几何方法证明这个定理，并比较两种方法，你能从中体会到向量方法的优越性吗？
环节六 归纳总结反思提升
问题7请同学们回顾本节课所学内容，并回答下列问题：
(1)空间向量数量积的定义、运算律是什么？与平面向量的数量积运算有什么联系与区别？
(2)空间向量投影的意义是什么？与平面向量的投影有什么联系与区别？如何画出空间向量向另一个向量、一条直线和一个平面的投影？
(3)在用空间向量的数量积运算解决一些简单的立体几何问题的过程中，向量及其运算起了什么作用？
课堂小结
环节七目标检测，作业布置
作业布置：
教科书习题1.1第4,7题.
备用练习1. 已知正四面体的棱长为为棱的中点，则（ ）
A．B．C．D．
备用练习2. 已知平行六面体如图所示，其中，，，线段AC，BD交于点O，点E是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
平面
空间（学生填空）
夹角
对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作,.
特例:当时,则.
数量积
两个非零向量,则叫.做的数量积,记作,即数量积.
特例:.
平面
空间（学生填空）
夹角
对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作,.
特例:当时,则.
数量积
两个非零向量,则叫.做的数量积,记作,即数量积.
．
特例:.
平面
空间（学生填空）
夹角
对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作,.
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作．
特例:当时,则.
如果，那么向量，互相垂直，记作．
数量积
两个非零向量,则叫.做的数量积,记作,即数量积.
已知两个非零向量，，则叫做，的数量积(innerprduct)，记作．即
．
特别地，零向量与任意向量的数量积为0．
特例:.
由向量的数量积定义，可以得到：
；．
也记作．