高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示优质学案及答案

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2.会根据坐标找相应的点和向量，学写一些简单几何体的有关坐标，发展数学运算和逻辑推理等素养;
3.掌握空间向量及其运算的坐标表示，提升数学运算的核心素养.
重点难点
重点： 空间直角坐标系的建立和空间向量运算的坐标表示.
难点：空间向量运算的坐标表示及其应用.
课前预习 自主梳理
要点一 空间直角坐标系
1．概念：在空间选定一点O和一个 基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为 、以它们的长为 建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做 .这时就建立了一个空间直角坐标系O-xyz，O叫做 ，i，j，k都叫做 ，通过每两个坐标轴的平面叫做 ，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
2．右手直角坐标系的概念：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系．
要点二 空间向量的坐标表示
1．点的坐标表示：在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq \(OA,\s\up6(→))对应的 叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点A的横坐标， 叫做点A的纵坐标， 叫做点A的竖坐标．
2．向量的坐标表示：在空间直角坐标系O-xyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组 叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作 .
思考：空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？
提示 若点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标也为(x，y，z)．
画空间直角坐标系时，一般使（或 ），．
在空间直角坐标系中，让 指向 的正方向，食指指向 的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为 ．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系．
在单位 下与向量对应的有序实数组，叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的 ，叫做点的 ，叫做点的 ．
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 空间直角坐标系中, 在 轴上的点的坐标一定是 的形式. ( )
(2)空间直角坐标系中, 在坐标平面 Ozx 内的点的坐标一定是 的形式. ( )
(3)关于坐标平面 Oyz 对称的点其横坐标、纵坐标保持不变, 角坐标相反. ( )
(4)若点 的坐标为 , 则 . ( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
【解析】(1)错误. 空间直角坐标系中, 在 轴上的点的坐标一定是 的形式.
(2)错误. 空间直角坐标系中, 在坐标平面 Ozx 内的点的坐标一定是 的形式.
(3)错误. 关于坐标平面 Oyz 对称的点其纵坐标、角坐标保持不变, 横坐标相反.
(4)正确. 由点和向量坐标的概念可知正确.
2.下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.
【详解】对于A，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A错误；
对于B，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故B错误；
对于C，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；
对于D，设，解得，所以共面，故不可以作为空间向量一个基底，故D正确.
故选：D
新课导学
环节一：创设情境，引入课题
问题1：在初中，我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因数有哪些？数轴上的点怎么表示？
问题2：在初中，我们学过直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系的因素有哪些？决定平面直角坐标系有哪些？平面直角坐标系中的点怎样表示？
我们知道，平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成．利用单位正交基底概念，我们还可以这样理解平面直角坐标系：如图1.3-1，在平面内选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：轴、轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系．
环节二：观察分析，感知概念
知识点1 空间直角坐标系
问题3：空间直角坐标系该如何建立？
类似地，在空间选定一点和一个单位正交基底（图1.3-2）．以点为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，，，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分．
环节三：抽象概括，形成概念
问题4：在空间，我们是否可以建立一个坐标系，使空间中任意一点都可以用对应的有序实数组表示出来呢？
探究
在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？
在空间直角坐标系中（图1.3-3）， ，，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使．
环节四：辨析理解，深化概念
在空间直角坐标系中，给定向量，作（图1.3-4）．由空间向量基本定理，存在唯一的有序数组，使．
有序数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作．
这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示．
符号具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分．
问题5：建立空间直角坐标系后，空间中任意一点A如何用坐标表示呢？
探究
在空间直角坐标系中，对空间任意一点，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标吗？
事实上，如图1.3-5，过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面，依次交轴、轴和轴于点，，．可以证明在轴、轴和轴上的投影向量分别为，，，且．设点，和在轴、轴和轴上的坐标分别是，和，那么点（向量）的坐标为．
环节五：课堂练习，巩固运用
例1 如图1.3-6，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出，，，四点的坐标；
（2）写出向量，，，的坐标．
解：（1）点在轴上，且，所以．所以点的坐标是．
同理，点的坐标是．
点在轴、轴和轴上的射影分别为，，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是．
点在轴、轴和轴上的射影分别为，，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是．
（2）；；
；．
环节六:归纳总结，反思提升
空间直角坐标系是如何建立的？
空间直角坐标系,中点的坐标是如何确定的？
空间直角坐标系中点的位置的确定方法是什么？
环节七：目标检测，作业布置
教材18-19页：练习1.2.3题。
备选练习：
1.在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标为
A.B. C.(-1,2,3)D.
【答案】C
【解析】点关于平面对称的点的坐标与点的横坐标相反,故选.
2.在直三棱柱中,为的中点,则在空间直角坐标系中(O为坐标原点),的坐标是 ,的坐标是
【答案】
【解析】如图建系,则为的中点,∴
3.已知为原点,,则等于
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】∵,故选A.
4.已知向量,则
A. B. C.D.
【答案】A
【解析】,故选A.