高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示优秀学案及答案

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学习目标
1.掌握空间向量的坐标运算；
2.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；
3.掌握向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；
4.会应用这些知识解决简单的立体几何问题.
重点难点
重点
利用空间向量的运算证明解决空间中直线、平面的平行与垂直问题；
利用空间向量的运算求两点间的距离.
难点
1.利用空间向量的坐标运算求两条异面直线所成的角
2.运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题
课前预习 自主梳理
知识点一 空间向量的坐标运算
设则有
由表可知空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的．例如，一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
知识点二 空间向量的平行、垂直、模及夹角
设,则有
当时,;
;
;
.
知识点三 空间两点间的距离公式
设是空间中任意两点,则.
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)若,则( )
(2)四边形是平行四边形,则向量与的坐标相同.．( )
(3)对于空间任意两个向量,若与共线,则.( )
(4)设,若,则.( )
【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)√
【详解】(1)错误.因为一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标,所以.
(2)正确.因为平行四边形的对应边平行且相等,所以向量与的坐标相同.
(3)错误.当至少有一个为0时不成立.
(4)正确.由得,解得.
2.已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由空间向量共线知识可得答案.
【详解】因，则.
故选：A
3.向量，若，则（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】D
【分析】由，可得以，再根据空间向量数量积的坐标表示即可得解.
【详解】因为，，
所以，即，解得.
故选：D.
4.下列关于空间向量的命题中，错误的是（ ）
A．若非零向量，，满足，，则有
B．任意向量，，满足
C．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面
D．已知向量，，若，则为锐角
【答案】B
【分析】根据共线向量的性质、共面向量的结论、空间向量夹角的计算公式逐一判断即可.
【详解】A：因为，，是非零向量，所以由，，可得，因此本选项说法正确；
B：因为向量， 不一定是共线向量，因此不一定成立，所以本选项说法不正确；
C：，，是空间的一组基底，
且
所以A，B，C，D四点共面，因此本选项说法正确；
D：，
当时，，
若向量，同向，则有，
所以有，则（舍去）
所以向量，不能同向，
因此为锐角，故本选项说法正确，
故选：B.
新课导学
学习探究
（一）新知导入
环节一：创设情境，引入课题
探究
问题1：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
知识点1 空间向量及其运算的坐标表示
设，，
与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：
，
，
，，
．
环节二：观察分析，感知概念
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示．其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们自己完成．
设为空间的一个单位正交基底，则，，
所以．
利用向量数量积的分配律以及，，
得．
环节三：抽象概括，形成概念
由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的．例如，我们有：
一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到：
知识点2：空间向量共线或平行的判定
当时，，，（）；
；
知识点3.空间向量的模
；
知识点4.空间向量的夹角公式
．
环节四：辨析理解，深化概念
知识点5.空间两点之间的距离公式
探究
问题2：你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？
如图1.3-7建立空间直角坐标系，设，是空间中任意两点，则
．
于是

所以
．
这就是空间两点间的距离公式．
将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单．:
环节五：课堂练习，巩固运用
例2 如图1.3-8，在正方体中，，分别是，的中点．求证．
分析：要证明，只要证明，即证．我们只要用坐标表示，，并进行数量积即可．证明垂直和利用空间向量的坐标运算求夹角的问题，并通过向量及其坐标的运算求解问题.
证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图1.3-8所示的空间直角坐标系，则
，，所以．
又，，所以．
所以．所以，即．
问题3：你能从本题的解答中体会到根据问题的特点，建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题的基本思路吗？
例3 如图1.3-9，在棱长为1的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，．
（1）求的长．
（2）求与所成角的余弦值．
分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点，的坐标，利用空间两点间的距离公式求出的长．（2）与所成的角就是，所成的角或它的补角．因此，可以通过，的坐标运算得到结果．根据条件建立适当的空间直角坐标系,用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题.
解：（1）建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系，则点的坐标为，点的坐标为．于是．
（2）由已知，得，，，，
所以，，
，．
所以，
所以．
所以，与所成角的余弦值为．
环节六 归纳总结，反思提升
基本知识:
空间向量运算的坐标表示
空间向量的长度公式与空间两点间的距离公式;
求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的空间直角坐标系中找到两个向量的坐标,然后用公式计算
思想方法
用向量计算或证明几何问题时,可以先建立空间直角坐标系,然后把向量 点坐标化,借助空间向量运算的坐标表示进行计算或证明.
环节七：目标检测，作业布置
教材第21-22页,练习第1-5题,习题1.3 第3-5题
备用练习
1. 已知，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的平行、垂直关系求，再根据空间向量的坐标运算求夹角.
【详解】∵，∴，解得，即.
又∵，注意到，则，使得，
∴，解得，故.
∴，
∴，又，
∴.
故选：B.
2.已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．不存在实数，使得
D．若，则
【答案】ACD
【分析】运用空间向量的垂直、共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算、模的运算，逐项判断即可.
【详解】对于A项，由可得，解得，故A项正确；
对于B项，由可得，解得，故B项错误；
对于C项，假设存在实数，使得，则，所以不存在实数，使得，故C项正确；
对于D项，由可得，解得，所以，故D项正确.
故选：ACD.
3.已知空间三点，，，设，，
(1)求和的夹角；
(2)若向量与互相垂直，求k的值．
(3)求
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据和的数量积夹角公式计算求解；
（2）向量与互相垂直应用数量积公式求k值；
（3）把模转化为数量积即可计算.
【详解】（1）空间三点，，．
设
，
，
（2），
解得.
（3）.
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
减法
数乘
，
数量积