高中人教A版 (2019)1.4 空间向量的应用精品第2课时一课一练

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学习目标
1.能用向量方法解决简单夹角问题.
2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．
重点难点
重点
用向量方法求平面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角；
难点
用空间向量解决立体几何中的夹角问题与综合问题.
课前预习 自主梳理
知识点 ：空间角的向量求法
思考：为什么求空间角的公式中都带有绝对值？
提示 因为异面直线所成的角的范围是 , 斜线与平面所成的角的范围是 , 平面与平面的夹角的范围是 , 而两个向量的夹角的范围是 , 因此计算时要加绝对值.
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )
(2)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角．( )
(3)平面与平面的夹角的取值范围与二面角的取值范围相同．( )
(4)两个平面的夹角就是该二面角两个面的法向量的夹角．( )
2.在正方体中，为线段上的动点，则与直线夹角为定值的直线为（ ）
A．B．C．D．
新课导学
学习探究
环节一：创设情境，引入课题
知识点1：求解直线与直线所成的角
导入问题：与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题.本质上，角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势.本节我们用空间向量研究夹角问题，你认为可以按怎样的顺序展开研究.
师生活动：学生独立思考、小组交流后，通过全班讨论达成对研究路径的共识，即：直线与直线所成的角----直线与平面所成的角----平面与平面所成的角.
设计意图:明确研究路径,为具体研究提供思路.
环节二：观察分析，感知概念
问题1：例7如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值．
追问1:这个问题的已知条件是什么?根据以往的经验,你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化为向量问题?
用向量方法求解几何问题时,首先要用向量表示问题中的几何元素.对于本问题,如何用向量表示异面直线与?它们所成的角可以用向量之间的夹角表示吗?
在此基础上,将此问题推广到一般,学生思考后作答,教师对学生的回答给予补充.梳理出将立体几何问题转化为向量问题的途径:
途径1:通过建立一个基底,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素,从而把立体几何问题转化为向量问题;
途径2:通过建立空间直角坐标系,用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素,从而把立体几何问题转化为向量问题.实际上,空间直角坐标系也是基底,是“特殊”的基底.
进行向量运算
追问2:请你通过向量运算,求出向量夹角的余弦值,进而求出直线和夹角的余弦值.
思考
以上我们用量方法解决了异面直线AM和CN所成角的问题，你能用向量方法求直线AB与平面BCD所成的角吗？
追问3:回顾问题1的求解过程,你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成的角的一般方法吗?
一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得．也就是说，若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是，，则
环节三：抽象概括，形成概念
知识点2：类比研究,求解直线与平面、平面与平面所成的角
问题2:你能用向量方法求问题1中直线与平面所成的角吗?一般地,如何求直线与平面所成的角?
追问:这个问题的已知条件是什么?如何将几何问题转化为向量问题?
类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角．
如图1.4-20，直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量，平面的法向量为，则
环节四：辨析理解，深化概念
问题3:类比已有的直线、平面所成角的定义,你认为应如何合理定义两个平面所成的角?进一步地,如何求平面和平面的夹角?
在学生讨论、交流的基础上,教师小结如下:
如图1.4-21，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角．
类似于两条异面直线所成的角，若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角．设平面与平面的夹角为，则
追问1:如何求平面的法向量?
追问2:你能说说平面与平面的夹角与二面角的区别和联系吗?
二面角的大小是指其两个半平面的张开程度,可以用其平面角的大小来定义,它的取值范围是;而平面与平面的夹角是指平面与平面相交,形成的四个二面角中不大于的二面角.
环节五：课堂练习，巩固运用
巩固应用,解决立体几何中的角度问题
例8 如图1.4-22，在直三棱柱中， ，，，为的中点，点，分别在棱，上，，．求平面与平面夹角的余弦值．
分析：
例9 图1.4-23为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)．
师生活动:教师引导学生思考下列问题:
(1)降落伞匀速下落,下落过程中,8根绳子拉力的合力大小与礼物重力大小有什么关系?
(2)每根绳子的拉力和合力有什么关系?
(3)如何用向量方法解决这个问题?
分析：
例10 如图1.4-25， 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
（1）求证：平面；
（2）求证： 平面；
（3）求平面与平面的夹角的大小．
你能找到解决问题的方法吗?
分析：
追问2:直线和平面是由哪些要素确定的?直线和平面的平行关系是用这些要素之间怎样的关系来刻画的?你能用这些要素之间的关系证明平面吗?
追问3:直线和平面的垂直关系是用确定直线和平面的要素之间怎样的关系来刻画的?你能证明平面吗?
追问4:如何根据平面与平面的夹角与两个平面的法向量的关系求出平面与平面的夹角?
例8如图1.4-22，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，．求平面与平面夹角的余弦值．
分析：
环节六：归纳总结,反思提升
教师引导学生回顾本单元的学习内容,并回答以下问题:
（1）向量方法解决立体几何问题的基本步骤是什么?你能用一个框图表示吗?
（2）通过本节的学习,你对立体几何中的向量方法是否有了一定的认识?请结合例题和上面的框图谈谈体会.
（3）解决立体几何中的问题,可用三种方法:综合法、向量法、坐标法.你能说出它们各自的特点吗?
师生共同梳理总结本单元的学习内容,引导学生画出用向量法解决立体几何问题的一般步骤的“三步曲”的框图,具体如下:
环节七：目标检测，作业布置
布置作业
教科书习题1.4第14,15题.
备用练习
1.在由三棱柱截得的几何体中，平面点分别是棱的中点.若直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A．B．C．D．
2.已知二面角的大小为，点B、C在棱l上，，，，，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
3.若的二面角的棱l上有A，B两点，AC，BD分别在半平面α，β内，，，且，则CD的长等于（ ）
A．B．2C．D．
空间角
向量求法
空间角的范围
异面直线
所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是则
直线与
平面所
成的角
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则
两个平面
的夹角
若平面α，β的法向量分别是，则平面α与平面β的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹夹角为θ，则