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人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率精品学案
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率精品学案，文件包含人教A版数学高二选择性必修第一册211倾斜角与斜率导学案原卷版docx、人教A版数学高二选择性必修第一册211倾斜角与斜率导学案解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共25页， 欢迎下载使用。
学习目标
(1)初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想.
(2)理解直线的倾斜角与斜率的概念.
(3)掌握过两点的直线的斜率公式.
重点难点
重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率公式.
难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征，建立直线的倾斜角、斜率及直线上任意两点纵横坐标差商之间的关系.
课前预习 自主梳理
知识点一 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2．直线的倾斜角α的取值范围为 .
思考：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
提示 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．
知识点二 直线的斜率
1．直线的斜率：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ .
2．斜率与倾斜角的对应关系
3.过两点的直线的斜率公式:过两点的
直线的斜率公式为
思考：你能说出直线的倾斜角与斜率的区别与联系吗?
提示(1)直线的斜率与倾斜角既有区别,又有联系.它们都反映了直线相对于轴的倾斜程度,本质上是一致的.但倾斜角是角度,是直线倾斜度的直接体现;斜率是实数,是直线倾斜度的间接反映,用斜率比用倾斜角更方便.
(2)倾斜角可正、可零,但不可为负,而斜率不仅可正、可零,还可以为负.
(3)当时,直线斜率不存在,当时,可以建立倾斜角和斜率之间的函数关系,即.
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率．( )
(2)若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.( )
(3)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．( )
(4)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．( )
2.下面说法正确的是（ ）
A．一条直线和轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角
B．直线的斜率为，则其倾斜角为
C．若直线的倾斜角为，则斜率为
D．每一条直线都存在倾斜角，但不一定存在斜率
3.已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角.
（1），
（2），
（3），．
4.求证：，，三点共线.
5.（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．有的直线斜率不存在
B．若直线的倾斜角为，且，则它的斜率
C．若直线的斜率为1，则它的倾斜角为
D．截距可以为负值
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念.在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡儿、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化.这是解析几何的创始.
我们知道，点是构成直线的基本元素．在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来．
问题1：回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？
我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数对象对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，实现通过代数运算来研究几何图形性质的目的.
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k=上升高度水平距离=DBAD.k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.
追问：那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢?
为了用代数方法研究直线的有关问题，需要把直线代数化.也就是教科书中提到的“直线如何表示?”，这个表示指的就是代数化.何为代数化？如何代数化？
环节二 观察分析，感知概念
问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？
追问：还有没有其他确定一条直线的方法？
思考
确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线（图2.1-1)，如何利用坐标系确定它的位置？
我们知道，两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线．
问题3：下面我们利用直角坐标系进一步研究确定直线位置的几何要素.观察图2.1-2中经过定点P的直线束，它们的区别是什么？你能用利用直角坐标系中的一些元素将这些直线区分开来吗？
设，为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．所以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线．
在平面直角坐标系中，经过一点可以作无数条直线，它们组成一个直线束（图2.1-2)，这些直线的区别是什么？
在上述探究过程中，学生的第一反应是与x轴的夹角.教师要做好引导，说明方向与夹角之间的关系，两者都描述了直线的倾斜程度.
在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向．因此，这些直线的区别是它们的方向不同．如何表示这些直线的方向？
我们看到，这些直线相对于轴的倾斜程度不同，也就是它们与轴所成的角不同．因此，我们可以利用这样图2.1-2的角来表示这些直线的方向．
问题4:你认为直线的倾斜角在什么范围内变化？
当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．图2.1-2中直线的倾斜角为锐角，直线的倾斜角为钝角．当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为．因此，直线的倾斜角的取值范围为
这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向．
环节三 抽象概括，形成概念
问题5：直线的倾斜角刻画了它的倾斜程度，是否还能用其他方法刻画直线的倾斜程度呢?
我们知道，直线可由其上任意两点，唯一确定，可以推断，直线的倾斜角一定与两点的坐标有内在联系．到底具有怎样的联系？
下面我们利用向量来研究这个问题.在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为．
（1）已知直线经过，，与，的坐标有什么关系？
（2）类似地，如果直线经过，，与，的坐标又有什么关系？
追问：你能将上述方法进行一般性的推广吗？
环节四 辨析理解 深化概念
下面我们利用向量法探究上述问题
对于问题(1)，如图2.1-3(1)，向量，且直线的倾斜角为．由正切函数的定义，有
对于问题(2)，如图2.1-3(2)，．平移向量到，则点的坐标为，且直线的倾斜角也是．
由正切函数的定义，有
．
一般地，如图2.1-4，当向量的方向向上时，，平移向量到，则点的坐标为，且直线的倾斜角也是，由正切函数的定义，有
．
同样，当向量的方向向上时，如图2.1-5，，也有
．
问题6：这个公式对任何给定的两点都适用吗？这个公式的意义是什么？与我
们日常生活中刻画斜面倾斜程度的坡度有联系吗？
思考
当直线与轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
综上可知，直线的倾斜角与直线上的两点，的坐标有如下关系：
．
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示，即
②
注释：日常生活中常用坡度表示倾斜面的倾斜程度：．当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的．
问题7：当直线的倾斜角变化时，直线的斜率如何变化？当直线的倾斜角是0°或90。时，直线的斜率是多少？
倾斜角是的直线没有斜率，倾斜角不是的直线都有斜率，
例如，倾斜角时，这条直线的斜率．
倾斜角时，这条直线的斜率．
注释：当直线的倾斜角由逐渐增大到时，其斜率如何变化？为什么？
由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于的直线相对轴的倾斜程度，进而表示直线的方向．
如果直线经过两点，，那么由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②可得如下的斜率公式：
．
我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于轴的倾斜程度．
思考
（1）已知直线上的两点，，运用上述公式计算直线的斜率时，与两点的顺序有关吗？
（2）当直线平行于轴，或与轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？
问题8：你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗？
我们知道，直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量．直线的方向向量的坐标为．
当直线与轴不垂直时，，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标为，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则．
环节五 概念应用，巩固内化
例1如图2.1-6，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
环节六 归纳总结,反思提升
问题9：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
环节七目标检测，作业布置
完成教材：布置作业
教科书习题2.1第1,2,3,4,7,8题.
备用练习
1.直线的倾斜角为（ ）
A．0°B．45°C．90°D．135°
2.若点，则直线AB的斜率是（ ）
A．B．C．1D．2
3.若，，三点在同一条直线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4.下列命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是
D．当直线的倾斜角时，直线的斜率在这个区间上单调递增.
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率(范围)
k＝0
k>0
不存在
k<0
学习目标
(1)初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想.
(2)理解直线的倾斜角与斜率的概念.
(3)掌握过两点的直线的斜率公式.
重点难点
重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率公式.
难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征，建立直线的倾斜角、斜率及直线上任意两点纵横坐标差商之间的关系.
课前预习 自主梳理
知识点一 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2．直线的倾斜角α的取值范围为 .
思考：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
提示 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．
知识点二 直线的斜率
1．直线的斜率：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ .
2．斜率与倾斜角的对应关系
3.过两点的直线的斜率公式:过两点的
直线的斜率公式为
思考：你能说出直线的倾斜角与斜率的区别与联系吗?
提示(1)直线的斜率与倾斜角既有区别,又有联系.它们都反映了直线相对于轴的倾斜程度,本质上是一致的.但倾斜角是角度,是直线倾斜度的直接体现;斜率是实数,是直线倾斜度的间接反映,用斜率比用倾斜角更方便.
(2)倾斜角可正、可零,但不可为负,而斜率不仅可正、可零,还可以为负.
(3)当时,直线斜率不存在,当时,可以建立倾斜角和斜率之间的函数关系,即.
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率．( )
(2)若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.( )
(3)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．( )
(4)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．( )
2.下面说法正确的是（ ）
A．一条直线和轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角
B．直线的斜率为，则其倾斜角为
C．若直线的倾斜角为，则斜率为
D．每一条直线都存在倾斜角，但不一定存在斜率
3.已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角.
（1），
（2），
（3），．
4.求证：，，三点共线.
5.（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．有的直线斜率不存在
B．若直线的倾斜角为，且，则它的斜率
C．若直线的斜率为1，则它的倾斜角为
D．截距可以为负值
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念.在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡儿、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化.这是解析几何的创始.
我们知道，点是构成直线的基本元素．在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来．
问题1：回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？
我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数对象对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，实现通过代数运算来研究几何图形性质的目的.
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k=上升高度水平距离=DBAD.k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.
追问：那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢?
为了用代数方法研究直线的有关问题，需要把直线代数化.也就是教科书中提到的“直线如何表示?”，这个表示指的就是代数化.何为代数化？如何代数化？
环节二 观察分析，感知概念
问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？
追问：还有没有其他确定一条直线的方法？
思考
确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线（图2.1-1)，如何利用坐标系确定它的位置？
我们知道，两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线．
问题3：下面我们利用直角坐标系进一步研究确定直线位置的几何要素.观察图2.1-2中经过定点P的直线束，它们的区别是什么？你能用利用直角坐标系中的一些元素将这些直线区分开来吗？
设，为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．所以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线．
在平面直角坐标系中，经过一点可以作无数条直线，它们组成一个直线束（图2.1-2)，这些直线的区别是什么？
在上述探究过程中，学生的第一反应是与x轴的夹角.教师要做好引导，说明方向与夹角之间的关系，两者都描述了直线的倾斜程度.
在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向．因此，这些直线的区别是它们的方向不同．如何表示这些直线的方向？
我们看到，这些直线相对于轴的倾斜程度不同，也就是它们与轴所成的角不同．因此，我们可以利用这样图2.1-2的角来表示这些直线的方向．
问题4:你认为直线的倾斜角在什么范围内变化？
当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．图2.1-2中直线的倾斜角为锐角，直线的倾斜角为钝角．当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为．因此，直线的倾斜角的取值范围为
这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向．
环节三 抽象概括，形成概念
问题5：直线的倾斜角刻画了它的倾斜程度，是否还能用其他方法刻画直线的倾斜程度呢?
我们知道，直线可由其上任意两点，唯一确定，可以推断，直线的倾斜角一定与两点的坐标有内在联系．到底具有怎样的联系？
下面我们利用向量来研究这个问题.在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为．
（1）已知直线经过，，与，的坐标有什么关系？
（2）类似地，如果直线经过，，与，的坐标又有什么关系？
追问：你能将上述方法进行一般性的推广吗？
环节四 辨析理解 深化概念
下面我们利用向量法探究上述问题
对于问题(1)，如图2.1-3(1)，向量，且直线的倾斜角为．由正切函数的定义，有
对于问题(2)，如图2.1-3(2)，．平移向量到，则点的坐标为，且直线的倾斜角也是．
由正切函数的定义，有
．
一般地，如图2.1-4，当向量的方向向上时，，平移向量到，则点的坐标为，且直线的倾斜角也是，由正切函数的定义，有
．
同样，当向量的方向向上时，如图2.1-5，，也有
．
问题6：这个公式对任何给定的两点都适用吗？这个公式的意义是什么？与我
们日常生活中刻画斜面倾斜程度的坡度有联系吗？
思考
当直线与轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
综上可知，直线的倾斜角与直线上的两点，的坐标有如下关系：
．
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示，即
②
注释：日常生活中常用坡度表示倾斜面的倾斜程度：．当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的．
问题7：当直线的倾斜角变化时，直线的斜率如何变化？当直线的倾斜角是0°或90。时，直线的斜率是多少？
倾斜角是的直线没有斜率，倾斜角不是的直线都有斜率，
例如，倾斜角时，这条直线的斜率．
倾斜角时，这条直线的斜率．
注释：当直线的倾斜角由逐渐增大到时，其斜率如何变化？为什么？
由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于的直线相对轴的倾斜程度，进而表示直线的方向．
如果直线经过两点，，那么由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②可得如下的斜率公式：
．
我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于轴的倾斜程度．
思考
（1）已知直线上的两点，，运用上述公式计算直线的斜率时，与两点的顺序有关吗？
（2）当直线平行于轴，或与轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？
问题8：你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗？
我们知道，直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量．直线的方向向量的坐标为．
当直线与轴不垂直时，，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标为，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则．
环节五 概念应用，巩固内化
例1如图2.1-6，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
环节六 归纳总结,反思提升
问题9：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
环节七目标检测，作业布置
完成教材：布置作业
教科书习题2.1第1,2,3,4,7,8题.
备用练习
1.直线的倾斜角为（ ）
A．0°B．45°C．90°D．135°
2.若点，则直线AB的斜率是（ ）
A．B．C．1D．2
3.若，，三点在同一条直线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4.下列命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是
D．当直线的倾斜角时，直线的斜率在这个区间上单调递增.
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率(范围)
k＝0
k>0
不存在
k<0
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