高中人教A版 (2019)2.3 直线的交点坐标与距离公式精品学案

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学习目标
1.理解点到直线距离公式的推导过程，掌握点到直线的距离公式及简单应用；
2.经历点到直线距离公式的探索过程；体会推导过程中蕴含的数形结合、分类讨论、化归转化等数学思想，发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养；
3.通过探索公式的推导过程，培养学生的意志品质；感受数学公式的简洁美。
重点难点
重点：点到直线的距离公式；
难点：点到直线的距离公式的推导．
课前预习 自主梳理
要点一 点到直线的距离公式
点到直线的距离
要点二 点到直线的距离
求点到直线的距离时,直线方程应为一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式;直线方程不同时为0中或时,公式也成立,但由于此时直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可采用数形结合法求点到直线的距离.
要点三 点到平面的距离
已知平面的法向量为是平面内的定点,是平面外一点.过点作平面的垂线1,交平面于点,则点到平面的距离为.
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).( )
(2)直线外一点与直线上任一点距离的最小值就是点到直线的距离．( )
(3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( )
(4)连接两条平行直线上的点，即得两平行线间的距离．( )
【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)×
【详解】(1)错误．点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离d＝eq \f(|kx0－y0＋b|,\r(1＋k2))，即先将直线方程化为一般式后再运用点到直线的距离公式．
(2)正确．由直线外一点与直线上任一点的连线中垂线段最短知结论成立，这是点到直线距离的代数特征．
(3)正确．由平行线间距离的定义可知．
(4)错误．两平行线间的距离是两平行线间的垂线段长，并不是两平行直线上任意两点间的距离．
2.l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为（）
A．x＋2y－3＝0B．x－2y－3＝0
C．2x－y－1＝0D．2x－y－3＝0
【答案】A
【分析】根据题意，当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大，求得直线l1的斜率，结合点斜式，即可求解.
【详解】当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大，
因为，所以
所以l1的方程为，即.
故选：A.
3.点关于直线对称的点的坐标是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设所求的对称点为，根据一垂直，二平方，由求解.
【详解】设所求的对称点为，
则
解得，
故选：A．
【点睛】本题主要考查对称问题，属于基础题.
4.若动直线经过点，当点到直线的距离最远时，直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】点与直线的距离最远时，求出的斜率，可得直线的斜率，用点斜式求直线的方程.
【详解】直线经过，
∴当与直线的距离最远时有，则的斜率等于，
故直线的斜率等于，用点斜式求得：直线的方程为，即.
故选：C.
5.（多选）已知两点到直线的距离相等，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】利用点到直线距离公式表示两个距离，解绝对值方程，即得解
【详解】由题意得，
或
解得或
故选：AD
新课导学
学习探究
环节一创设情境，引入课题
在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短?
设计意图：通过生活中点到直线距离的问题情境，引出在坐标系下探究点到直线距离公式的问题，帮助学生学会联系旧知，制定解决问题的策略，最终探索出点到直线的距离公式，让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。
那么“应该如何求点到直线的距离呢？”
距离问题是几何学的基本问题之一.上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示.在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离就可以由点的坐标与直线的方程确定.如何确定呢?
我们知道，在解析几何中，点在直线上，则满足直线方程.如果点不在直线上，还可以研究点到直线的距离.在就是我们今天要学习的内容——点到直线的距离公式.
环节二观察分析，感知概念
问题1：如图2.3-5，已知点，直线，如何求点到直线的距离?
分析：要求点到直线的距离，即求点与垂足间的垂线段距离.
追问1：如何求出的距离？
点到直线的距离，就是从点到直线的垂线段的长度，其中是垂足(图2.3-5)．
因此，求出垂足的坐标，
追问2：如何求出点的坐标？
利用两点间的距离公式求出，就可以得到点到直线的距离．
追问3：如何求垂线的方程？
设，由，
追问4：如何求垂线的斜率？
以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为，
因此，垂线的方程为，即．
解方程组①
得直线与的交点坐标，即垂足的坐标为．
设计意图：这个推导过程是坐标法的直接体现，思路自然，但运算化简过程稍显繁杂.师生一起做一方面可以给学生起到示范作用，另一方面也让学生掌握这种运算.运算需要训练和积累.
于是
．
环节三抽象概括，形成概念
．
因此，点到直线的距离
可以验证，当，或时，上述公式仍然成立．
问题5：公式有什么结构特征？
公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把的坐标代入到了直线方程中，体现了公式与直线方程关系.特别地，如果在直线上，点到直线的距离为0，此时，式子中的分子为0，整个式子也等于0.运算结果与实际相符.这么一来，这个公式可以表示平面内任一点到任一直线的距离.
注意，因为所求的是距离，所以要加绝对值保证结果为正.
分母则是未知数系数的平方和再开根.从向量法的推导过程中，我们也能发现实际是与已知直线垂直的方向向量的模.
问题6：上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大．反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗?由此能否给出简化运算的方法?
师生活动：学生能想到引起复杂运算的原因，一是求点Q的坐标复杂，二是代入两点间距离公式造成了运算的复杂.
在上述方法中，若设垂足的坐标为，则
．②
对于②式，你能给出它的几何意义吗?
结合方程组①，能否直接求出，进而求出呢?请你试一试！
上述运算思路师生共同探讨分析提出，运算过程由学生自己完成.
设计意图：在直接推导完成后引导学生反思引起复杂运算的原因，一方面培养他们反思习惯与反思能力，善于发现问题并研究缘由；另一方面也为寻找简化方法作铺垫.对推导过程的反思与观察需要教师作恰当的引导，针对原有问题需要回避什么，如何回避.这种设计意在培养学生思考分析问题的基本路径，提升运算能力，体会整体代换思想.
追问5：针对上述原因，观察反思求解过程，能否找到回避计算点Q的坐标从而简化运算的方法？
问题7：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢?
追问6：点与直线上任一点所成向量与向量有何关系呢？
追问7：的模投影向量的模？
如图2.3-6，点到直线的距离，就是向量的模．
追问8：如何利用直线方程得到与直线的方向向量垂直的单位向量n呢?
设是直线上的任意一点，是与直线的方向向量垂直的单位向量，
则是在上的投影向量，．
环节四辨析理解深化概念
思考
如何利用直线的方程得到与的方向向量垂直的单位向量?
设，是直线上的任意两点，
则是直线的方向向量．把，两式相减，得．由平面向量的数量积运算可知，
向量与向量垂直．
向量就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量．
我们取，
从而
．
因为点在直线上，所以．所以．代人上式，
得．
因此．
追问9：请你比较一下上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它们各有什么特点？除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？
思考
比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算．除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗?
师生活动：师生共同分析总结：坐标法思路自然，运算过程略显繁琐；向量法需要较强的整体观，构造性强，但可以简化运算.其他推导方法让学生课后查阅资料独立完成.
设计意图：利用向量投影，通过向量运算求得点到直线的距离公式，简化了运算过程.学生通过对比公式推导的不同方法可以体会向量法的优点，提高运用向量研究解决几何中距离问题的意识与能力.
环节五概念应用，巩固内化
例5求点到直线的距离．
分析：将直线的方程写成，再用点到直线的距离公式求解．
解：点到直线的距离．
直线有什么特性?由此你能给出简便解法吗?
例6已知的三个顶点分别是，，，求的面积．
分析：由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边的长和边上的高即可．
解：如图2.3-7，设边上的高为，则．
．
边上的高就是点到直线的距离．
边所在直线的方程为，即．
点到直线的距离．
因此，
你还有其他解法吗?
环节六归纳总结,反思提升
本节课学习的公式有哪些？
点到直线的距离为：
两条平行直线与间的距离为
2.回顾本节课所学知识与学习过程，你能对本节课的研究内容与结论，不同的研究思路与研究方法作个梳理吗？
本节课，我们学习了点到直线的距离公式，它是解析几何中非常重要的一个公式.
推导公式中完整介绍了两种方法：第一种方法是坐标法，将点到直线距离转化为两点间的距离，由两点间的距离公式得到结论，这种方法思路自然但运算复杂；第二种方法是向量法，运用向量的投影和数量积运算进行推导，虽然运算量不大，但是需要一定的整体观和构造技巧.
能利用点到直线的距离公式，解决数学问题，注意运用公式前，将直线方程化为一般式.
师生活动：先由或生对研究对象与结论，以及研究思路作梳理，并由部分学生进行汇报，其他同学对不同的究方法的特点进行补充.
设计意图：帮助学生理解推导点到直线的距离公式时不同思路、不同方法的差异，体会不同推导方法蕴含的思想.
环节七目标检测，作业布置
完成教科书习题2.3第6,11,12,13,14题.
备用练习
1.与点距离为，且与点距离为的直线的条数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】分析：把已知问题划归为两圆的公切线条数，只需判断两圆的位置关系即可．
详解：到点距离为1的直线
可看作以为圆心1为半径的圆的切线，
同理到点距离为3直线
可看作以为圆心3半径的圆的切线，
故所求直线为两圆的公切线，
又，故两圆相离，则两圆由4条公切线.
故选D.
点睛：本题考查直线的方程，涉及圆与圆的位置关系，划归为公切线条数是解决问题的关键，属基础题．
2.已知点，，若圆：上恰有两点，到直线的距离为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】圆心到直线的距离,由解得即可.
【详解】直线的方程为：，即，
圆心到直线的距离，
依题意可得：，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.
3.如果点P到点，及直线的距离都相等，那么满足条件的点P有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】B
【分析】设，利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式得到关于、的方程组，通过方程组解的个数进行判定.
【详解】设满足条件的点P的坐标为，
因为点P到点，及直线的距离都相等，
所以，
解得，
所以符合条件的P点的个数为1.
故选：B.
4.（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为，
则反射光线所在直线的方程为，
当时，；当时，.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）.
5.已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．过与直线l平行的直线方程是
C．点(到直线l的距离是2
D．若直线则
【答案】BC
【解析】根据条件一一判断即可得出正确选项.
【详解】A选项：直线的斜率为故倾斜角是，A错；
B选项：直线方程的斜率是，且过点，故B正确；
C选项：点(到直线l的距离，故C正确；
D选项：直线的斜率为，所以故与不垂直，D错.
故选：BC