人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程优质学案设计

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学习目标
1.建立圆的标准方程；
2.运用坐标法判断点与圆的位置关系；
3.利用待定系数法及结合图形几何性质确定圆的标准方程.
重点难点
1.教学重点：圆的标准方程及其推导过程；
2.教学难点：确定圆的标准方程.
课前预习 自主梳理
要点一 圆的定义
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合．
要点二 圆的标准方程
思考：若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝c2，则此圆的半径一定等于c吗？
提示 不一定，圆的半径应为|c|.
要点三 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法如表所示.
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( )
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( )
(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标为(1,2)，半径为4.( )
(4)(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．( )
2.圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
3.圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
4.给定圆，下列说法正确的是（ ）
A．圆心是，半径为1
B．圆心是，半径为1
C．圆心是，半径为5
D．圆心是，半径为5
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形．建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题．类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程．
类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素．
问题1：在平面中，圆的定义是什么？如何用集合语言描述？
我们知道，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合．
在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了．
由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程．
如图2.4-1，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，就是以下点的集合．
环节二 观察分析，感知概念
问题2：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
设圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，则根据两点间的距离公式有，两边平方得到
（1）
显然，若点在圆上，则点的坐标就满足方程(1)；反过来，若点的坐标满足方程(1)，就说明点与圆心间的距离为，点就在圆上．
如此，我们就可以通过方程(1)，在平面直角坐标系中确定一个圆．
环节三 抽象概括，形成概念
问题3：圆的特征是什么？通过哪些要素刻画圆？
由上述过程可知，若点在上，点的坐标就满足方程（1）；反过来，若点的坐标满足方程（1），就说明点与圆心间的距离为，点就在上．这时，我们把方程（1）称为圆心为，半径为的圆的标准方程(standard equatin f circle)．
圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，通过圆心和半径这两个要素来刻画圆．所以，在平面直角坐标系中，确定一个圆的方程，核心就是确定它的圆心坐标以及半径大小．我们把方程(1)称为圆心为，半径为的圆的标准方程．
环节四 辨析理解 深化概念
问题4：例1求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上．
分析：
探究
点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？
问题5：例2 的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程．
的外接圆的圆心是的外心，即三边垂直平分线的交点．
环节五 概念应用，巩固内化
问题6：例3已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程．
环节六 归纳总结,反思提升
问题7：通过本节课，你学到了哪些知识？
环节七目标检测，作业布置
完成教材：课本P85练习题 1，2，3，4
备用练习
1.．“方程表示的图形是圆”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.若点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
A．B．C．圆心为D．圆心为
4.已知圆，圆，则这两圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．外切D．内含
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM|＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外
|CM|>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内
|CM|(x0－a)2＋(y0－b)2