选择性必修 第一册2.4 圆的方程精品导学案

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1.通过将圆的标准方程变形成一般方程，理解圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的联系，培养学生数学抽象的核心素养.
2.通过对圆的一般方程和标准方程的互化，能正确理解圆的一般方程中系数所满足的条件，发展学生数学运算的核心素养.
3.通过具体例题的讲解，能掌握求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升学生逻辑推理和直观想象的核心素养.
重点难点
1.重点：掌握圆的一般方程及其特点并会求圆的一般方程.
2.难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题.
课前预习 自主梳理
知识点 圆的一般方程
1．圆的一般方程
当时，二元二次方程称为圆的一般方程．
2．方程表示的图形
思考： 若二元二次方程 表示圆, 需满足什么条件?
提示 (1) ; (2) ; (3) .
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．( )
(2)二元二次方程一定是某个圆的方程．( )
(3)若方程表示圆，则有E≠0.( )
(4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．( )
【答案】(1)√ (2)× (3)√ (4)√
【详解】(1)正确．将圆的一般方程配方，可以得到圆的标准方程．
(2)错误．当满足D2＋E2－4F>0时，此方程才表示圆的方程．
(3)正确．由圆的一般方程的定义可知．
(4)正确．由圆的一般方程在形式上的特点可知，任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．
2.圆的圆心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的圆的方程，直接求出圆心坐标作答.
【详解】圆，即，所以圆的圆心为.
故选：C
3.已知点在圆的内部，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由点与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，由此可求得实数的取值范围.
【详解】因为点在圆的内部，则，
解得.故选：D.
4.方程表示圆心在直线上的圆,则该圆的半径为（ ）
A．B．2C．D．6
【答案】C
【分析】将圆方程化为标准形式得到圆心坐标，根据圆心在直线上求得参数，然后可得圆的半径．
【详解】由题意得圆方程为，
∴圆心坐标为，半径为．
∵圆心在直线上，∴，解得：，
∴半径．故选：C．
5.如果方程表示圆，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用，解不等式即可得结果.
【详解】因为方程表示圆，所以，解得，即的取值范围是，故选B.
【点睛】本题主要考查圆的方程，属于基础题.
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
问题1：我们知道，方程表示以为圆心，2为半径的圆．可以将此方程变形为．
一般地，圆的标准方程可以变形为
（2）
的形式．反过来，形如（2）的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？
师生活动：（1）学生们热烈讨论，教师适当引导提示.
（2）追问1：方程表示什么图形？
（3）学生自主对方程进行配方得到，学生总结“该方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径的圆”.
（4）追问2：方程表示什么图形？
（5）学生通过配方得到，由于不存在这样的使方程成立，所以该方程不能表示任何图形.
环节二 观察分析，感知概念
例如，对于方程，对其进行配方，得，因为任意一个点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形．所以，形如（2）的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程．这表明，形如（2）的方程不一定是圆的方程．
师生共同总结：这表明形如的方程不一定是圆的方程.
设计意图：引导学生认识圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的关系.
环节三 抽象概括，形成概念
问题2：方程中的，，满足什么条件时，这个方程表示圆？
将方程（2）的左边配方，并把常数项移到右边，得
．
（1）当时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程（2）表示以为圆心，为半径的圆；
（2）当时，方程（2）只有实数解，，它表示一个点；
（3）当时，方程（2）没有实数解，它不表示任何图形．
因此，当时，方程（2）表示一个圆．我们把方程（2）叫做圆的一般方程(general equatin f circle)．
设计意图：由特殊到一般，引导学生思考，总结，从而自然引出方法，得到结论，培养学生的逻辑思维能力，类比迁移能力；再由一般到特殊，检验学生的掌握情况和应用水平.
环节四 辨析理解,深化概念
问题3：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
例4求过三点，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
分析：将，，点的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程．
解：设圆的方程是
． ①
因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于，，的一个三元一次方程组
解这个方程组，得
所以，所求圆的方程是．
由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是，半径．
与例2的方法比较，你有什么体会？
师生活动：（1）教师引导学生观察和思考，根据两个方程的形式特点，启发学生得出结论.
（2）学生回答：圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径（重“形”）,而圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程,方程的代数特征非常明显（重“数”）.
（3）求过三点的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于，，或，，的方程组；
（3）解出，，或，，，得到标准方程或一般方程．
设计意图：培养学生的独立思考能力，总结归纳的能力.通过归纳总结使学生明白两个方程的区别并促进学生思考在不同的情境下使用不同的方程.
问题4：与课本P83例2的方法比较，有什么体会呢？
师生活动：（1）教师引导学生观察比较两种运算量的区别，启发学生思考哪种运算更简洁.
（2）学生自主讨论得出结论：例4的解答过程中，教科书选择了先求圆的一般方程，再求出圆心坐标和半径，用的仍然是待定系数法来解.这里选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.容易的原因是得到的方程没有二次项，是一个三元一次方程组.而用圆的标准方程的话，得到的是三元二次方程组，需要消去二次项.一般来说，解一次方程比解二次方程容易.
（3）追问1：请同学们总结用待定系数法求圆的方程的大致步骤:
①根据题意，选择标准方程或一般方程；
②根据条件列出关于或的方程组；
③解出或，得到标准方程或一般方程.
设计意图：通过对比两种解题方法，加深学生思考，优化解题步骤，培养学生良好的数学思维习惯和反思总结的能力
环节五 概念应用，巩固内化
问题5：请同学们做课本例5，思考探究如何求与圆相关的轨迹方程问题？
师生活动：（1）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程
例5已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点 的轨迹方程．
点的运动轨迹是指点的坐标满足的关系式．轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）．
分析：如图2.4-4，点运动引起点运动，而点在已知圆上运动，点的坐标满足方程．建立点与点坐标之间的关系，就可以利用点的坐标所满足的关系式得到点的坐标满足的关系式，求出点的轨迹方程．
解：设点的坐标是，点的坐标是．由于点的坐标是，且是线段的中点，所以
，
于是有
，． ①
因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即
． ②
把①代入②得
．
整理，得
．
这就是点的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆．
根据上述例题，大家可以总结求解轨迹方程的一般步骤吗？
师生总结：相关点法：利用所求曲线上的动点与已知曲线上的动点的关系，找到关系式，列式求出.
设计意图：通过分析解题思路，给出解答示范，提升学生推理论证的能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
环节六 归纳总结,反思提升
圆的一般方程：1.圆的一般方程满足的特点.
圆的一般方程中D、E、F满足的条件.
与圆有关的轨迹方程的求法.
环节七目标检测，作业布置
完成教材：页习题2.4第7、8、9题.
备用练习1. 已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是（ ）
A．(－∞，－1)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．
【答案】A
【分析】把圆的方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0化为标准型，利用，解出k的取值范围.
【详解】方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．
故选：A.
2.圆的方程为，则圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的一般方程可求出结果.
【详解】由可知，，
所以，，所以圆心为.故选：D.
3.已知圆：的圆心坐标是，则半径为
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径，再根据圆心坐标为，求得D、E，可得半径的值．
【详解】圆：，即 ，表示以 为圆心，半径为的圆．
再根据它的圆心坐标是，，∴ ，半径为，
故选A．
【点睛】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．
4.若当方程所表示的圆取得最大面积时，则直线 的倾斜角（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：，当有最大半径时有最大面积，此时，，∴直线方程为，设倾斜角为，则由且得． 故选．
5.已知圆关于直线对称，则原点到直线的距离为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】根据圆关于直线对称求出，再根据点到直线的距离可求得结果.
【详解】由圆，可得圆心，
因为圆关于直线对称，
所以圆心在直线上，
所以，得，所以直线，
所以原点到直线的距离为.故选：C
条件
图形
不表示任何图形
表示一个点
表示以为圆心，以为半径的圆