高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优秀第1课时学案

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1.根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形，培养数学抽象的核心素养．
2．了解离心率对椭圆扁平程度的影响，培养数学运算的核心素养．
3. 根据几何条件求出椭圆的方程，培养数学运算的核心素养．
4.掌握椭圆标准方程中的a，b以及c，e的几何意义，a，b，c，e之间的相互关系.
重点难点
重点：由几何条件求出椭圆的方程
难点：由椭圆的方程研究椭圆的几何性质
课前预习 自主梳理
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距．
[想一想]
定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹还是椭圆吗？
提示：不是．
知识点二 椭圆的标准方程
阅读教材，完成下表。
注意点：
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.、
知识点三 椭椭圆的离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)．
注意点：
(1)e＝eq \r(1－\f(b2,a2)).
(2)离心率的范围为(0,1)．
(3)e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆．
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长是a.( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(3)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.( )
(4)设F为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．( )
2.过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|＝2|FB|，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3.已知椭圆的两焦点为，是椭圆上一点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4.如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
5.航天器的轨道有很多种，其中的“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点，如图所示，已知某航天器的近地点A（离地面最近的点）距地面n千米，远地点B（离地面最远的点）距地面m千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为r千米，用m，n，r表示该航天器的地球同步转移轨道的离心率为（ ）
A．B．C．D．
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
【实际情境】神舟飞船发射成功，飞行轨道具有何种特征？
与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等．
通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置，所以，本章对几种圆锥曲线都是从范围、对称性、顶点及其他特性等方面研究它们的几何性质．
下面，我们用椭圆方程来研究椭圆的几何性质．
问题1：观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
环节二 观察分析，感知概念
1．范围
问题2：观察图3.1-7，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程（代数方法）确定出它的具体边界吗？
由方程，可知，
所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式即，．
同理有，即．这说明椭圆位于直线，围成的矩形框里（图3.1-7）．
用代数方法研究曲线的范围，就是利用方程确定曲线上点的横、纵坐标的取值范围．
2．对称性
问题:3：观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，如何利用方程说明椭圆的对称性？
在椭圆的标准方程中，以代，方程不变．这说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称．
同理，以代，方程也不变，这说明如果点在椭圆上，那么它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称．
以代，以代，方程也不变，这说明当点在椭圆上时，它关于原点对称点也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称．
综上，椭圆关于轴、轴都是对称的．这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
环节三 抽象概括，形成概念
3．顶点
研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置．
问题4：你认为椭圆上哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？
在椭圆的标准方程中，令，得．因此，是椭圆与 轴的两个交点．同理，令，得．因此，是椭圆与轴的两个交点．因为轴、轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点（图3.1-8）．
线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
环节四 辨析理解 深化概念
4．离心率
问题5：观察图3.1-9，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同．扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？
如图3.1-10，椭圆的长半轴长为，半焦距为．利用信息技术，保持长半轴长不变，改变椭圆的半焦距，可以发现，越接近，椭圆越扁平．
类似地，保持不变，改变的大小，则越接近，椭圆越扁平；而当，扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变这样，利用和这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度．
我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用表示，即．
①随着学习的深入你将体会到，虽然也能刻画椭圆的扁平程度，但中，是确定圆锥曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性．
因为，所以．越接近1，越接近，就越小，因此椭圆越扁平；反之，越接近0，越接近0，越接近，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为．
问题6：你能运用三角函数的知识解释，
为什么越大，椭圆越扁平？越小，椭圆越接近于圆吗？
环节五 概念应用，巩固内化
例4 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
解：
环节六 归纳总结,反思提升
问题7：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


环节七目标检测，作业布置
完成教材：第112页 练习 第1，2，3,4,5题
第115 页 习题3.1 第3,4题
备用练习
1.设，是椭圆：的左，右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2.中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标是，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3.已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为20，若短轴长为6，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4.法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为28，则椭圆的长轴长为（ ）
A．5B．8C．4D．10
5.已知分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线的斜率分别为，若，则椭圆的短轴长为（ ）
A．B．C．D．
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范围
≤x≤ ， ≤y≤
≤x≤ ， ≤y≤
顶点
A1( ,0)，A2( ,0)，B1(0， )，B2(0， )
A1(0， )，A2(0， )，B1( ,0)，B2( ,0)
轴长
短轴长等于 ，长轴长等于
焦点
(±eq \r(a2－b2)，0)
(0，±eq \r(a2－b2))
焦距
|F1F2|＝2eq \r(a2－b2)
对称性
对称轴： 轴、 轴，对称中心：