苏科版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训04坐标系与四边形压轴题(含存在性问题)(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训04坐标系与四边形压轴题(含存在性问题)(原卷版+解析)，共95页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，过的直线与直线交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点D是第一象限位于直线上的一动点，过点D作轴交于点H．当时，试在x轴上找一点E，在直线上找一点F，使得的周长最小，求出周长的最小值；
(3)如图2，直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，将直线绕点O逆时针旋转得到直线，点P是直线上一点，且横坐标为．在平面内是否存在一点Q，使得以点M，C，P，Q为项点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，顶点在y轴正半轴上，点在轴正半轴上，．
(1)求，的长；
(2)求点坐标；
(3)在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）．
(1)求直线的解析式；
(2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标；
(3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
4．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，．
(1)求直线的解析式；
(2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标；
(3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．
5．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，A，且，P为上一点，且．
(1)求点A的坐标；
(2)求过点P的反比例函数解析式；
(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
6．在平面直角坐标系中存在矩形，点、点，且、满足：（实数．
(1)求点坐标；
(2)如图1，作的角平分线交轴于，的中点为，作交轴于，求的值（用含式子表示）；
(3)如图2，在（2）的条件下，当时，将矩形向右推倒得到矩形，使与重合，落在轴上，现在将矩形沿射线以1个单位/秒平移，设平移时间为，用表示平移过程中矩形与矩形重合部分的面积．
7．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．
(1)如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)；
(2)如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度．
(3)如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），以OA为一边在第一象限内作矩形OABC，直线CD：交AB于点E，与y轴交于点D，．
(1)求点B的坐标．
(2)点P为线段CE上的一个动点，过点P作轴，交AB于点F，交x轴于点G，连接FD，设点p的横坐标为m，△DFP的面积为S，求S关于m的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，连接BP并延长与x轴交于点M，过点P作，与x轴交于点，当时，在直线CD上是否存在一点R，过点作轴交直线于点Q，得，若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，于点，且点在的正半轴上，点和点分别在的负半轴和正半轴，，．
(1)求点的坐标；
(2)点点出发以1个单位/秒的速度向的负半轴方向运动，同时点从点出发向轴的正方向运动，连接交直线于点.设、两点运动时间为秒，若，连接，的面积为，请用的式子表示，并直接写出的式子表示，并直接写出的取值范围；
(3)在（2）的条件下，过点作，过点作轴的平行线交于于点，连接，是否存在，使的面积等于面积的2倍，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
10．在平面直角坐标系中，点的坐标是，过点作直线轴于，作直线轴于，点、分别是直线和直线上的点，且．
(1)如图，当点、分别在线段和线段上时，求的周长；
(2)如图，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，猜想线段、和之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)若，直接写出的长．
11．如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，且，过点的直线与直线交于点，动点、都在线段上，且．以为边在x轴下方作正方形，设，正方形的周长为．
(1)求直线的函数关系式．
(2)当点在正方形的边上时，直接写出的值．
(3)求与之间的函数关系式．
(4)当正方形只有一个顶点在外部时，直接写出的取值范围．
12．在平面直角坐标系中，矩形，为原点，，将绕点逆时针旋转，点旋转后的对应点为．
(1)如图（1），当时，求的坐标；
(2)如图（2），当点恰好落在轴上时，与交于点．
①此时与是否相等，说明理由；
②求点的坐标；
(3)求面积的最大值．（直接写出答案即可）
13．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．
(1)如图1，当时，求点D的坐标；
(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；
(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．
14．如图，平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，且，．
(1)在长方形的边上找一点，使得直线将长方形的面积分成1:3两部分，则点的坐标为 ．
(2)如图，已知点在边上，且，请你在边上找一点，将沿翻折，使得点恰好落在轴上的点处．
求线段所在直线的函数表达式；
在线段上是否存在一点，使得直线将四边形的面积分成2：3两部分？若存在，求出符合条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，点为原点，直线分别交轴，轴于点，A，点在轴的负半轴上，且，作直线．
(1)求直线的解析式；
(2)点在线段上（不与点A重合），过点作轴交于点，设点的横坐标为，线段的长为d，求d与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，在直线的右侧以线段为斜边作等腰直角，连接，以线段为直角边作等腰直角三角形，且，且点在直线的右侧，则点的坐标为______．（用含有的代数式表示）
(4)在（2）、（3）的条件下，若，则______．
16．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边落在轴的正半轴上，边落在轴的正半轴上，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着射线的方向运动，点关于的对称点为点．运动时间为秒，连接，，，．
(1)如图，当时，求的度数．
(2)如图，当时，求证：．
(3)如图，过点作，且，连接，为的中点．连接，则当____时，有最小值，的最小值为_____．
17．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴的正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H，连接．
(1)填空：菱形的边长______；
(2)求直线的解析式；
(3)动点P从点A出发，沿折线方向以3个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，
①当时，求S与t之间的函数关系式；
②在点P运动过程中，当，请直接写出t的值．
18．如图，，四边形ABCD是正方形，且点A、D始终分别在射线OM和ON上．
(1)如图1，若，点A、D在OM，ON上滑动过程中，OB何时取最大值，并求出此最大值．
(2)如图2，点P在AB上，且，DP交AC于点F，延长射线BF交AD，ON分别于点G、Q．
①求证：．
②若，求的周长．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点为轴负半轴上一点，，．
(1)求的度数．
(2)如图1，若点的坐标为，，求点的坐标（结果用含的式子表示）．
(3)如图2，在（）的条件下，若，过点作轴于点，轴于点，点为线段上一点，若第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，请直接写出符合条件的点坐标，并选取一种情况计算说明．
20．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，O为坐标原点，顶点A，C分别在y轴、x轴上，顶点B在第二象限内，一次函数的图象分别与坐标轴交于点A，C．
(1)如图①，将折叠使得点C落在长方形的边上的点E处，折痕为，求点B，E的坐标；
(2)如图②，将折叠使得点B落在对角线上的点E处，折痕为，求点D的坐标；
(3)在平面直角坐标系内，是否存在一点E(除点B外），使得与全等？若存在，写出所有符合条件的点E的纵坐标；若不存在，请说明理由．
21．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点关于y轴对称，点和点关于直线l对称，则称点是点P关于y轴，直线l的“二次对称点”．
(1)已知点，直线l是经过且平行于x轴的一条直线，则点A的“二次对称点”的坐标为__________；
(2)如图1，正方形ABCD的顶点坐标分别是，，，，点E的坐标为，点K是x轴上的一个动点，直线l经过点K且垂直于x轴，若正方形ABCD上存在点M，使得点是点M关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点在射线OE上，则点K的横坐标x的取值范围是________________；
(3)如图2，是x轴上的动点，线段RS经过点T，且点R、点S的坐标分别是，，直线l经过且与x轴正半轴夹角为60°，在点T的运动过程中，若线段RS上存在点N，使得点是点N关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点在y轴上，则点纵坐标y的取值范围是______________．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知直线交y轴于点A，交x轴于点B，点（0，），直线DE为AB的中垂线，垂足为点E，交x轴于点C．
(1)如图1，点E的坐标为______，直线DC的表达式为______；
(2)如图1，若点M为直线CD上一个动点，且点M在第一象限，过点M作轴，交直线AB于点N，当四边形AMND为菱形时，求点M的坐标；
(3)如图2，点P为x轴上的一个动点，连接PA，PD，将△ADP沿DP翻折得到，当时，点P的坐标为______．
23．在平面直角坐标系中，已知△，点在y轴的正半轴上，点在x轴的负半轴上，点在x轴上．
(1)如图1，已知点与点关于y轴对称，，若是的中点，连接，求证：△是等边三角形
(2)如图2，已知，△是一个轴对称图形，，分别是边，上一点，满足，连接，，，若点的坐标为（，1）．
①求点的坐标；
②求三角形的面积；
(3)如图3，已知与坐标原点重合，，点是y轴的负半轴上一动点，连接，过作于，交线段于，连接．
①若线段，求点的坐标；
②问点在运动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．
24．已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为正方形．
(1)若正方形OABC边长为12，
①如图1，E、F分别在边OA、OC上，CE⊥BF于H，且OE＝9，则点F的坐标为（______，_______）．
②如图2，若D为x轴上一点，且OD＝8，Q为y轴正半轴上一点，且∠DBQ＝45°，求点Q的坐标．
(2)若正方形OABC边长为4，如图3，E、F分别在边OA、OC上，当F为OC的中点，CE⊥BF于H，在直线CE上E点的两侧有点D、G，能使线段AD＝OG，AD//OG，且CH＝DH，求BG．
25．将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立．
(1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______．
(2)，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
①如图①，求证；
②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积．
(3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且，求的最小值．
特训04 坐标系与四边形 压轴题（含存在性问题）
一、解答题
1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，过的直线与直线交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点D是第一象限位于直线上的一动点，过点D作轴交于点H．当时，试在x轴上找一点E，在直线上找一点F，使得的周长最小，求出周长的最小值；
(3)如图2，直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，将直线绕点O逆时针旋转得到直线，点P是直线上一点，且横坐标为．在平面内是否存在一点Q，使得以点M，C，P，Q为项点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析，
(3)或或
【分析】（1）先求得点C的坐标，再利用待定系数法解答，即可；
（2）作点D关于x轴的对称点，关于的对称点，连接，分别交x轴于E，交于F，求出点的坐标和点，进而求得的最小值为的长；
（3）求出点M和点N旋转后的对应点的坐标，从而求出的解析式，进而求得点P的坐标，然后分三种情况，结合根据平行四边形的性质，求得点Q的坐标．
【解析】（1）解：把点代入，得：
，
∴，
∴，
设直线的解析式为∶，
把，代入得：
∴，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解∶如图，
设点D的坐标为，
∵轴，
∴点，
∵，
∴，解得：，
∴，，
作点D关于x轴的对称点，关于的对称点，连接，交x轴于E，交于F，则，，的周长最小，最小值为∶ ，
∵直线由直线沿y轴向上平移1个单位得到的，且直线为第一三象限的角平分线，
∴直线与坐标的夹角都为，
∴，
∴，
∵轴，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
∴的周长最小值为∶；
（3）如图，
∵点，
∴点M和点N旋转后的对应点，
∴直线的解析式为∶，
当时，，
∴，
当时，
∵，
∴，
当时，
∵，
∴，
当时，
∵，，
∴，
综上所述∶点或或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的分类，勾股定理等知识，解决问题的关键是作对称，确定点E，F的位置．
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，顶点在y轴正半轴上，点在轴正半轴上，．
(1)求，的长；
(2)求点坐标；
(3)在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，点的坐标为或或
【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题；
（2）如图，过点作轴于点，证明，推出，，即可解决问题；
（3）分三种情形分别求解即可解决问题．
【解析】（1）解：（1）∵，的长满足，
又∵，，
∴，，
∴，．
（2）如图，过点作轴于点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴点坐标为．
（3）存在．
如图，过点作轴于点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
当时，则，
∴，
当时，则，
∴，
当时，则，
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，非负数的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）．
(1)求直线的解析式；
(2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标；
(3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点N的坐标为或或
【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，得出和的长度，再根据旋转的性质，得出点C和点D的坐标，最后用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）设，则可将点F和点G的坐标表示出来，进而得出的表达式，最后根据列出方程求出a的值，即可进行解答；
（3）根据题意进行分类讨论：①为矩形的边时；②为矩形的对角线时．
【解析】（1）解：把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，
∴，
∵绕点O顺时针旋转得，
∴，
∴，
设直线的函数解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴直线的函数解析式为．
（2）∵，
∴，
∵点E在线段上，
∴设，
∵轴，轴，
∴点F的横坐标为a，点G的纵坐标为，
把代入得：；
把代入得：，解得：，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得：．
∴．
（3）①当为矩形的边时，
过点M作，交直线于点，过点O作，交直线于点N，过点N作交于点P，过点作交于点，
根据作图可得：四边形和四边形都是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵绕点O顺时针旋转得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点M为线段的中点，，
∴，，即点N为中点，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
把点代入得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
把代入得：，解得：，
∴直线的解析式为，
联立直线和直线的解析式为：
，解得：，
∴，
②当为矩形的对角线时，
过点M作轴于点P，过点M作轴于点N，
∵，，
∴轴，
过一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴点C和点N重合，
∴，
综上：点N的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，旋转的性质，矩形的性质．
4．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，．
(1)求直线的解析式；
(2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标；
(3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)，，，
【分析】（1）根据直线的解析式可以求得点的坐标，再结合点的坐标，用待定系数法可以求出直线的解析式；
（2）根据可以求出的面积，设点是轴上一点，且满足，过点作直线的平行线，与直线的交点就是点，进而求出点的坐标，求的最小值，关键是对进行转化，利用垂线段最短可求出此时点的坐标；
（3）先根据题意，找到点的坐标，根据菱形的性质，可求出点的坐标．
【解析】（1）解：在中，令，得，
，
令，得，
，
，
，
设直线的解析式为，将，代入得，
，解得，
直线的解析式为；
（2）解：由可得，
，
，
设点是轴上一点，且满足，
，
，
过点作直线的平行线，与直线的交点就是点，
记直线的解析式为，将代入可得，
直线的解析式为，
联立，解得，
则，显然点为的中点，
如图，作点关于轴的对称点，则，作直线，则直线的解析式为：，
过点作于点，交轴于点，点即为所求，
易得直线的解析式为：，则；
（3）Ⅰ.如图，当为菱形的一条边时，
时，如图所示，过点作轴于点，
根据题意可得，，则，
则，
易得，则，
由，可得，
在Rt中，，，
，
，
同理可得，；
时，如图所示，
根据题意可得，，轴，
；
Ⅱ.如图，当为菱形的一条对角线时，
根据题意可得，，轴，
又，
可得；
综上，当以点为顶点的四边形为菱形时，的坐标分别为：，，，．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查平移变换，菱形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建一次函数解决直线的交点问题．
5．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，A，且，P为上一点，且．
(1)求点A的坐标；
(2)求过点P的反比例函数解析式；
(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在．，，
【分析】（1）用因式分解法求出方程的两个根即可求解；
（2）根据求出点P的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（3）分3种情况，画出图形，结合图形特点求解即可．
【解析】（1），
，
，．
∵，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
∴点P的坐标为．
设过点P的反比例函数解析式为．将点代入，得．
∴过点P的反比例函数解析式为．
（3）存在．
如图1，当为正方形的对角线时，
过点M作交的延长线于点E，过点C作交直线于点F．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
，
∴．
设，则，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，（舍去），
∴，
∴．
∵把先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得，
∴把先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得；
如图2，当为正方形的边时，
过点N作于点H，
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图3，当为正方形的边时，
由图2可知，，
∵把先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得，
∴把先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得；
综上可知，点N的坐标为：，，．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解一元二次方程，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，以及平移的性质，作出辅助线构造全等三角形是解（3）的关键．
6．在平面直角坐标系中存在矩形，点、点，且、满足：（实数．
(1)求点坐标；
(2)如图1，作的角平分线交轴于，的中点为，作交轴于，求的值（用含式子表示）；
(3)如图2，在（2）的条件下，当时，将矩形向右推倒得到矩形，使与重合，落在轴上，现在将矩形沿射线以1个单位/秒平移，设平移时间为，用表示平移过程中矩形与矩形重合部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，根据非负数的性质得，，可求得，则点的坐标为；
（2）连接，由四边形是矩形得，，，则点的坐标为，由的角平分线交轴于得，是等腰直角三角形，而是中点，则，因为，所以，可证明，则，所以，即可求得；
（3）设矩形与矩形重合部分的面积为，交于点，可证明是等腰直角三角形，则，再按三种情况确定的取值范围，并结合图形分别求出相应的用含的代数表示的式子．
【解析】（1）如图1，
，，且，
，，
，，
，，
．
（2）如图1，连接，
四边形是矩形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
的中点为，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）如图2，设矩形与矩形重合部分的面积为，交于点，
，
，
由旋转得，
由平移得轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点与点重合时，则，
；
当与重合时，则，
；
当点与点重合时，则，
，
当时，如图2，；
当时，如图3，，
当时，如图4，；
当时，如图5，，
综上所述，．
【点睛】此题考查图形与坐标、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．
7．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．
(1)如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)；
(2)如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度．
(3)如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，的面积的最大值为
【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）由可证()可得，由可证，可得，，可得点与点重合，点，点，点三点共线，在中，勾股定理，可求的长，由三角形中位线定理可求解；
（3）根据三角形的底边的长度固定，当边上的高最大时即可求解，连接，当轴于点时，则，此时面积最大，利用，求得，再根据三角形面积公式即可求解．
【解析】（1）解：∵四边形．点，)，
，，，
矩形是由矩形旋转得到，
，
在中，，
;
故答案为：．
（2）如图，过点作于，过点作于，连接，
，，
四边形是矩形，
，
，，，
()，
，
又，
()，
，，
又，
点与点重合，
，，
，
点，点，点三点共线，
，
，
，
设
在中，，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：依题意，，
，，
，
当边上的高最大时，面积最大，
如图，当轴于点时，则，此时面积最大，
连接，
，
的面积的最大值为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
8．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），以OA为一边在第一象限内作矩形OABC，直线CD：交AB于点E，与y轴交于点D，．
(1)求点B的坐标．
(2)点P为线段CE上的一个动点，过点P作轴，交AB于点F，交x轴于点G，连接FD，设点p的横坐标为m，△DFP的面积为S，求S关于m的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，连接BP并延长与x轴交于点M，过点P作，与x轴交于点，当时，在直线CD上是否存在一点R，过点作轴交直线于点Q，得，若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；或
【分析】（1）先求出直线CD的解析式即可解决问题；
（2）用M表示PF的长，利用三角形的面积公式计算即可；
（3）由题意可知：，整理得：，解得或（舍去），则，根据，，，可证，则，，则，根据直线解析式为：，结合，可知直线的解析式为：，则，当点再点上方时，设，则，根据，则，进而可知，故，根据对称性可知，也满足条件，由此可得到结果．
【解析】（1）解：由题意知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线，
当时，，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，
∵，F（m，4），
∴，
∴；
（3）解：如图2所示：
由题意可知：，
整理得：，
解得或（舍去），
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵直线解析式为：，
∵，
∴直线的解析式为：，
∴，
当点再点上方时，设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据对称性可知，也满足条件，
∴或．
【点睛】本题考查一次函数综合题，矩形的性质，平行线分段成比例定理，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决本题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，于点，且点在的正半轴上，点和点分别在的负半轴和正半轴，，．
(1)求点的坐标；
(2)点点出发以1个单位/秒的速度向的负半轴方向运动，同时点从点出发向轴的正方向运动，连接交直线于点.设、两点运动时间为秒，若，连接，的面积为，请用的式子表示，并直接写出的式子表示，并直接写出的取值范围；
(3)在（2）的条件下，过点作，过点作轴的平行线交于于点，连接，是否存在，使的面积等于面积的2倍，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可求得的长度，即可求出C点坐标；
（2）先证明是斜边的中线，过点D作轴交直线于点H，再证明，根据全等三角形对应边相等可知，根据,分情况讨论即可；
（3）先判断为等腰直角三角形，利用面积公式表示出和的面积，根据的面积等于面积的2倍建立方程，解出即可．
【解析】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∵点C在y的正半轴上，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即是斜边的中线，
过点D作轴交直线于点H，
∵轴，，．
∴，, ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴D，G两点速度相同，
当时，如图1，
∵，
∴，
∴，
当时，D点与O点重合，此时，
如图2，当时，
∵，
∴；
故 .
（3）解：如图3，
连接、、，过点F作于点E，过点P作交x轴于点I，
∴为等腰直角三角形，且，
∴点，．
过点F作交于点M，
则四边形为正方形，
由（2）可得，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴
当时，，

∴，
解得，
当时，，
∴，
解得．
∴存在t，使的面积等于面积的2倍，或．
【点睛】本题考查坐标与图形，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定．（1）能根据题意得出为等腰直角三角形是解题关键；（2）中能作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质得出D，G两点速度相同是解题关键；（3）中能作辅助线求出P点的坐标是解题关键．
10．在平面直角坐标系中，点的坐标是，过点作直线轴于，作直线轴于，点、分别是直线和直线上的点，且．
(1)如图，当点、分别在线段和线段上时，求的周长；
(2)如图，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，猜想线段、和之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)若，直接写出的长．
【答案】(1)8
(2)，证明见解析
(3)或
【分析】（1）在线段的延长线上取一点D，使，连接．由题意知四边形是边长为4的正方形，先证，再证，通过等量代换可得；
（2）在线段上取一点E，使，连接．同（1）可证，，通过等量代换可得；
（3）分点在线段上和在线段的延长线上两种情况，利用（1）（2）结论，通过勾股定理解即可．
【解析】（1）解：如图，在线段的延长线上取一点D，使，连接．
点的坐标是，直线轴于，直线轴于，
，，
四边形是边长为4的正方形，
，
在和中，
，
，
，．
，，
，
，
在和中，
，
，
．
，
即的周长是8；
（2）解：，理由如下：
如图，在线段上取一点E，使，连接．
在和中，
，
，
，．
，，
，
，
在和中，
，
，
．
；
（3）解：当点在线段上时，如图：
，
，
由（1）知的周长是8，
，
在中，，
，
解得，
；
当点在线段的延长线上时，如图：
同（2）可证，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
综上，的长为或．
【点睛】本题考查坐标与图形，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，难度较大，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形．
11．如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，且，过点的直线与直线交于点，动点、都在线段上，且．以为边在x轴下方作正方形，设，正方形的周长为．
(1)求直线的函数关系式．
(2)当点在正方形的边上时，直接写出的值．
(3)求与之间的函数关系式．
(4)当正方形只有一个顶点在外部时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或3；
(3)；
(4)或．
【分析】（1）由可知点的坐标，设直线的函数关系式为，将点，点的坐标代入求解即可；
（2）分三种情况：当点在、、的边上分别讨论求解即可；
（3）分点在点的左侧和右侧两种情况讨论，表示出的长度，然后求解即可；
（4）分点在点的左侧和右侧两种情况讨论，并考虑点、点在两条直线上是的值，即可求得的取值范围．
【解析】（1）解：∵，
∴，
设直线的函数关系式为，将，代入中，
得：，解得：
∴直线的函数关系式为；
（2）①当点在正方形的边上时，则，
∴
∴，即：
此时，即点的坐标为与点重合，
②当点在正方形的边上时，
∵点为，
∴
∴，即，
③当点在正方形的边上时，则，（此时点在点的左侧）
亦即
∴
∴，
此时，即点的坐标为与点重合，
综上，当点在正方形的边上时，或3；
（3）∵，
当点在点的左侧时，即当时，，
则，
当点在点的右侧时，即当时，，
则，
综上，与之间的函数关系式为：
（4）①当点在点的左侧时，，
则，，，
若点在直线上，即：，得：
若点在直线上，即：，得：，
易知当点在直线上时，正方形的另外个顶点均在的内部，
点在直线上时，点在的外部，
∴当时，正方形只有一个顶点在外部；
②当点在点的右侧时，，
则，，，
若点在直线上，即：，得：
若点在直线上，即：，得：，
易知当点在直线上时，正方形的另外个顶点均在的内部，
点在直线上时，点在的外部，
∴当时，正方形只有一个顶点在外部；
综上，当正方形只有一个顶点在外部时，或
【点睛】本题考查一次函数的综合及正方形的性质，熟练的求解函数解析式，利用正方形的性质表示线段的长度是解决问题的关键．
12．在平面直角坐标系中，矩形，为原点，，将绕点逆时针旋转，点旋转后的对应点为．
(1)如图（1），当时，求的坐标；
(2)如图（2），当点恰好落在轴上时，与交于点．
①此时与是否相等，说明理由；
②求点的坐标；
(3)求面积的最大值．（直接写出答案即可）
【答案】(1)
(2)①；②
(3)14
【分析】（1）如图①中，过点作于点．解直角三角形求出，，可得结论；
（2）①此时与相等，证明即可；
②设，再利用勾股定理构建方程求出即可；
（3）如图③中，当点值的延长线上时，的面积最大．
【解析】（1）如图①中，过点作于点．
四边形是矩形，，
，，
在中，，，
，，
，
∴；
（2）①结论：．
理由：，，
，
，
，
，
；
②，，
，
设，
在中，，
，
，
，
．
（3）如图③中，当点值的延长线上时，此时点到的距离最大，即的面积最大．
的面积的最大值．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
13．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．
(1)如图1，当时，求点D的坐标；
(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；
(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为；
（2）过点作轴于，，于，则则，，由勾股定理得出AE=10，由面积法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为；
（3）连接，作轴于，由旋转的性质得：，，
由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案．
【解析】（1）解：过点作轴于，如图所示：
∵点，点，
∴，，
∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，
∴，，，
在Rt中，，，
∴，
∴点的坐标为；
（2）过点作轴于，，于，如图所示：
则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点的坐标为；
（3）连接，作轴于，如图所示：
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．
14．如图，平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，且，．
(1)在长方形的边上找一点，使得直线将长方形的面积分成1:3两部分，则点的坐标为 ．
(2)如图，已知点在边上，且，请你在边上找一点，将沿翻折，使得点恰好落在轴上的点处．
求线段所在直线的函数表达式；
在线段上是否存在一点，使得直线将四边形的面积分成2：3两部分？若存在，求出符合条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；存在，或
【分析】（1）设，分别求出，，再由题意得到或，求出的值即可求点的坐标；
（2）过点作轴交于点，由折叠可知，则，在Rt 中，，求出，可知点与点重合，再用待定系数法求函数的解析式即可；
设，分别求出，，，，根据题意可得或，求出的值即可求点坐标．
【解析】（1）解：，
，
，
点在上，
设，
，
直线将长方形的面积分成1:3两部分，
或，
解得或（舍），
，
故答案为：；
（2）解：，
，
过点作轴交于点，
由折叠可知，
，
，
，
，
，
在Rt 中，，
解得，
点与点重合，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
；
存在一点，使得直线将四边形的面积分成2：3，理由如下：
设 ，
，
，
，
，
，
或，
解得或，
或．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点为原点，直线分别交轴，轴于点，A，点在轴的负半轴上，且，作直线．
(1)求直线的解析式；
(2)点在线段上（不与点A重合），过点作轴交于点，设点的横坐标为，线段的长为d，求d与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，在直线的右侧以线段为斜边作等腰直角，连接，以线段为直角边作等腰直角三角形，且，且点在直线的右侧，则点的坐标为______．（用含有的代数式表示）
(4)在（2）、（3）的条件下，若，则______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先由直线的解析式求出A、C两点的坐标，根据，求出B点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）过点P作轴于M，过点Q作轴于N，令与y轴的交点为R，由点P在直线上，点P的横坐标为t，得出．根据轴，Q在直线上，得到，进而得出线段的长d与t之间的函数关系式；
（3）连接交y轴于N点，令交y轴于F点，证明可得，，根据（2）即可得到解答；
（4）由（2）得，，进而计算即可得到解答．
【解析】（1）解：∵，
∴当时，，
∴，
当时，，
解得，
∴，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
则，
解得．
∴直线的解析式为．
（2）解：过点P作轴于M，过点Q作轴于N，令PQ与y轴的交点为R，．
∵点P在直线上，点P的横坐标为t，
∴．
∵轴，
∴，
∴轴，
∴，
∴点Q的纵坐标为．
∵直线的解析式为，
∴当时，
，
解得，
∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
即d与t之间的函数关系式为．
（3）如图2，连接交y轴于N点，令交y轴于F点，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
由（2）得，
∴E点的横坐标为，纵坐标为，
∴；
（4）如下图，由（2）得，，
∴
，
∵，
∴，
解得．
【点睛】本题是综合题，其中涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形、矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质准确作出辅助线构造三角形全等，利用数形结合与方程思想是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边落在轴的正半轴上，边落在轴的正半轴上，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着射线的方向运动，点关于的对称点为点．运动时间为秒，连接，，，．
(1)如图，当时，求的度数．
(2)如图，当时，求证：．
(3)如图，过点作，且，连接，为的中点．连接，则当____时，有最小值，的最小值为_____．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)；；
【分析】（1）连接，证明是等边三角形，推出，求出即可解决问题；
（2）如图，作于，交于，设，，在和中，利用勾股定理构建方程，求出x，y的值，再利用勾股定理的逆定理得出结论；
（3）如图3，在的延长线上截取，连接，，，，通过证明求解的长，进而可得的长，当点M落在线段上时，最小，最小值为（如图4中，连接），证明，可得，求出，可得，进而可得答案．
【解析】（1）解：如图，连接，
由翻折的性质可知：，，
，
是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
∴；
（2）证明：如图，作于，交于，
由翻折的性质可知：，，
设，．
，
四边形是矩形，
，，，
在中，由勾股定理得，即，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
，
，，
，
，即；
（3）解：如图3，在的延长线上截取，连接，，，，
∵，，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴当点M落在线段上时，最小，最小值为（如图4中，连接），
此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
17．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴的正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H，连接．
(1)填空：菱形的边长______；
(2)求直线的解析式；
(3)动点P从点A出发，沿折线方向以3个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，
①当时，求S与t之间的函数关系式；
②在点P运动过程中，当，请直接写出t的值．
【答案】(1)5
(2)直线的解析式为
(3)①；②或
【分析】（1）根据点A的坐标，结合勾股定理可计算菱形边长的长度；
（2）先求出C点坐标，设直线的解析式，将点坐标代入得到二元一次方程组，然后解方程组即可得到的值；
（3）①当时，根据题意得到，，然后利用三角形面积公式，即可表示出S与t之间的函数关系；②设M到直线的距离为h，根据等面积方法列方程，求出h，可得到当时，S与t之间的函数关系，将分别代入两个解析式中，分别解方程即可得解．
【解析】（1）解：∵点A的坐标为，
∴
在中，，
故答案为：5；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，即．
设直线的解析式，函数图象过点，
则，
解得，
∴直线的解析式为：；
（3）解：由，令，，则，则，
①当时，如图所示，
，，
∴，
∴，
②设M到直线的距离为h，
∴
则，
解得，
当时，如图所示，
，，
，
当时，代入，
解得，
代入，
解得，
综上所述或．
【点睛】本题考查了菱形的性质、动点问题、求一次函数解析式、勾股定理等知识，采用数形结合并分情况分析是解题关键．
18．如图，，四边形ABCD是正方形，且点A、D始终分别在射线OM和ON上．
(1)如图1，若，点A、D在OM，ON上滑动过程中，OB何时取最大值，并求出此最大值．
(2)如图2，点P在AB上，且，DP交AC于点F，延长射线BF交AD，ON分别于点G、Q．
①求证：．
②若，求的周长．
【答案】(1)经过的中点时最大，最大值为
(2)①见解析；②
【分析】（1）取的中点，连接、，则，当经过的中点时最大，由已知可得，由勾股定理可求得，则可求得最大值；
（2）①由正方形的性质可证明，则有，又由互余的性质可得，再由角平分线的定义及等量代换可得，则可得结论；
②过点作于点，由已知可证明，则，，再由辅助线作法及①中结论易得四边形是矩形，故有，，由①有，则
，最后易得结果．
【解析】（1）解：取的中点，连接、，如图所示，
则，
当经过的中点时最大；
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，的中点为，
∴，
在中，由勾股定理可求得，
∴，
∴最大值为；
即经过的中点时最大，最大值为；
（2）解：①∵四边形是正方形，
∴，，
∵,
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②如图，过点作于点，
则，
由①知，，
∵，
∴，
∴，，
由①知，，
∴四边形是矩形，
∴，，
由①知，，
∴，
∵，
又，，
∴的周长．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点间线段最短，直角三角形斜边上中线的性质及勾股定理等知识，灵活运用这些知识是关键，注意构造适当的辅助线．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点为轴负半轴上一点，，．
(1)求的度数．
(2)如图1，若点的坐标为，，求点的坐标（结果用含的式子表示）．
(3)如图2，在（）的条件下，若，过点作轴于点，轴于点，点为线段上一点，若第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，请直接写出符合条件的点坐标，并选取一种情况计算说明．
【答案】(1)180°
(2)点的坐标为
(3)满足条件的点N的坐标为或或，过程见解析
【分析】（1）如图1中，设与y轴交于点E．根据四边形内角和定理，只要证明即可解决问题；
（2）作于H，证明，即可得到点D的坐标．
（3）分四种情形，利用全等三角形的性质，列出方程分别求解即可．
【解析】（1）解：如图1中，设与y轴交于点E．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，作于H．
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）解：①如图2中，作于G，的延长线交于H．
∵是等腰直角三角形，
∴，
由，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图3中，作于G，于H．
由，得，
∴，
∴，
∴，此时点M不在线段上，不符合题意舍去；
③如图4中，作于G，的延长线交于H．
由得，
∴，
∴，
∴；
④如图5中，作于G，于H．
由得，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，满足条件的点N的坐标为或或．
【点睛】本题考查三角形综合题、四边形内角和定理、坐标与图形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会解题常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
20．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，O为坐标原点，顶点A，C分别在y轴、x轴上，顶点B在第二象限内，一次函数的图象分别与坐标轴交于点A，C．
(1)如图①，将折叠使得点C落在长方形的边上的点E处，折痕为，求点B，E的坐标；
(2)如图②，将折叠使得点B落在对角线上的点E处，折痕为，求点D的坐标；
(3)在平面直角坐标系内，是否存在一点E(除点B外），使得与全等？若存在，写出所有符合条件的点E的纵坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，点E的纵坐标是0或或
【分析】(1)首先可求得点A、C的坐标，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标，再根据折叠的性质，即可求得点E的坐标；
(2)首先根据矩形的性质及勾股定可理，可求得，由折叠的性质可知：，，，设，则，再根据勾股定理可得，可得，，过点E作于点F，根据面积可求得，再根据勾股定理可得，据此即可求得；
(3)分三种情况，根据全等三角形的性质，即可分别求得．
【解析】（1）解：点A、C在直线上，且分别在y轴、x轴上，
令，则；令，则，
，，
四边形是长方形，
，，
，
又点C沿折叠后落在边上的点E处，
，
，
；
（2）解：由知，，，
在中，，
由折叠的性质可知：，，，
设，则，
在中，，
，即，
解得，
，，
如图：过点E作于点F，
，
得，
在中，，
，
；
（3）解：存在，点E的纵坐标是0或或；
如图：设交于点F，作于点H，
当点E在第二象限时，，
，，
又，
，
，
设，则，
由勾股定可理得：，
解得，
，，
，
，
由点的纵坐标为；
当点E在第三象限时，
同理可证，
解得中边上的高为，
则点的纵坐标为，
当点E在坐标原点时，显然，
点E的纵坐标为0，
综上所述，存在点E使得与全等，点E的纵坐标为0或或．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
21．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点关于y轴对称，点和点关于直线l对称，则称点是点P关于y轴，直线l的“二次对称点”．
(1)已知点，直线l是经过且平行于x轴的一条直线，则点A的“二次对称点”的坐标为__________；
(2)如图1，正方形ABCD的顶点坐标分别是，，，，点E的坐标为，点K是x轴上的一个动点，直线l经过点K且垂直于x轴，若正方形ABCD上存在点M，使得点是点M关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点在射线OE上，则点K的横坐标x的取值范围是________________；
(3)如图2，是x轴上的动点，线段RS经过点T，且点R、点S的坐标分别是，，直线l经过且与x轴正半轴夹角为60°，在点T的运动过程中，若线段RS上存在点N，使得点是点N关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点在y轴上，则点纵坐标y的取值范围是______________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据“二次对称点”的定义求解即可；
（2）由题意，直线的解析式为，当点K关于y轴的对称点在x轴的正半轴上时，关于直线y=x的对称点落在y轴上，观察图象可知，当K点坐标为时，正好落在线段上，由此可得结论；
（3）如图2中，当点N与S重合，且在y轴上时，连接交直线于点K，交y轴于点J，连接，设直线l交x轴于点D，交y轴于点C，如图3中，当点T与原点重合，N与重合时，和都与重合，此时．求出这两种特殊位置的坐标，可得结论．
【解析】（1）解∶ 点关于y轴的对称点为，
∵直线l是经过且平行于x轴的一条直线，
∴点关于直线l的对称点为；
故答案为：
（2）解∶如图，
设直线的解析式为，
∵点E的坐标为，
∴，
∴直线的解析式为，
当点K关于y轴的对称点在x轴的正半轴上时，关于直线y=x的对称点落在y轴上，
观察图象可知，当K点坐标为时，正好落在线段上，
观察图象可知当时，在正方形内部，
故答案为：；
（3）解∶如图2，当点N与S重合，且在y轴上时，连接交直线于点K，交y轴于点J，连接，设直线l交x轴于点D，交y轴于点C，
∵，
∴，
∵和关于直线l对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此时点，
如图3，当点T与原点重合，N与重合时，和都与重合，此时．
根据题意得：，
观察图象得：满足条件的的纵坐标为．
故答案为：
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，轴对称变换，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置，解决问题，属于中考压轴题．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知直线交y轴于点A，交x轴于点B，点（0，），直线DE为AB的中垂线，垂足为点E，交x轴于点C．
(1)如图1，点E的坐标为______，直线DC的表达式为______；
(2)如图1，若点M为直线CD上一个动点，且点M在第一象限，过点M作轴，交直线AB于点N，当四边形AMND为菱形时，求点M的坐标；
(3)如图2，点P为x轴上的一个动点，连接PA，PD，将△ADP沿DP翻折得到，当时，点P的坐标为______．
【答案】(1)，
(2)（，6）
(3)（，0）或（，0）
【分析】（1）求出，两点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，设直线的解析式，把点，的坐标代入，可得出结论．
（2）判断出点与点重合，可得出结论．
（3）分两种情形：平分，平分的邻补角，分别求解即可．
【解析】（1）∵直线交轴于点，交轴于点，
∴，，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得到 ，
∴ ，
∴直线的解析式为，
故答案为：，．
（2）∵四边形是菱形，
∴ ，
∴ 点 与重合，
∴点M的横坐标为
∵M在直线DC上
∴；
（3）如图（3）中，
∵当时，点落在直线上，
此时平分，
过点作于点，则，设，
则，
由（1）可知，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当平分的邻补角时，也满足条件，
同理可得，
综上所述，满足条件的点的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质，三角形的面积，角平分线的性质定理，熟练掌握这些性质和学会分类讨论的思想思考问题是解决本题的关键．
23．在平面直角坐标系中，已知△，点在y轴的正半轴上，点在x轴的负半轴上，点在x轴上．
(1)如图1，已知点与点关于y轴对称，，若是的中点，连接，求证：△是等边三角形
(2)如图2，已知，△是一个轴对称图形，，分别是边，上一点，满足，连接，，，若点的坐标为（，1）．
①求点的坐标；
②求三角形的面积；
(3)如图3，已知与坐标原点重合，，点是y轴的负半轴上一动点，连接，过作于，交线段于，连接．
①若线段，求点的坐标；
②问点在运动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①（1，3）；②5；
(3)①点（，0）；②不变；
【分析】（1）由轴对称性质得AB=AC，OB=OC=BC，再由∠B=∠BAC，根据等腰三角形的判定得出BC=AC，从而得AB=BC=AC，即可证得△ABC为等边三角形，再由等边三角形的性质得出∠B=60°，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得BD=OB，即可由等边三角形的判定寒来暑往是出结论；
（2）①过点E作EG⊥x轴于G，过点F作FH⊥y轴于H，先证△OBE△OAF(ASA)，得OE=OF，再证△OGE△OHF(AAS)，得OG=OH，EG=FH，由E(-3，1)，即可得OH=OG=3，FH=EG=1，即可得出点F坐标；
②在Rt△OGE中，由勾股定理，得OE=，从而得OF=OE=，然后由即可求解；
（3）①证明△AOM△BOD（AAS），得OM=OD=2022，再根据点M在x轴负半轴上，即可得出点M的坐标；
②过点O作OP⊥BD于P，OQ⊥AH于Q，则四边形OQHP为矩形，再证明△AOM△BOD(SAS)，得∠AMO=∠BDO，然后证△OQM△OPD(AAS)，得OP=OQ，从而证得矩形OQHP为正方形，根据正方形的性质好戏可得出结果．
【解析】（1）解：∵B、C关于y轴对称，点A在y轴上
∴AB=AC，OB=OC=BC，
又∵∠B=∠BAC，
∴BC=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
又点是的中点，
∴BD=AB，
∴BD=OB，
∴△是等边三角形；
（2）解：①过点E作EG⊥x轴于G，过点F作FH⊥y轴于H，如图，
∵△是一个轴对称图形，
∴OB=OC，∠B=∠C，∠BAO=∠CAO，
∵，
∴OA=OB，∠BAO=∠CAO=45°，∠B=∠C=45°，
∴∠B=∠OAF，
∵OE⊥OF，
∴∠AOF+∠AOE=90°，
∵∠BOE+∠AOE=∠AOB=90°，
∴∠AOF=∠BOE，
在△OBE和△OAF中，
，
∴ △OBE△OAF(ASA)，
∴OE=OF，
∵EG⊥x轴于G， FH⊥y轴于H，
∴∠OGE=∠OHF=90°，
在△OGE和△OHF中，
，
∴△OGE△OHF(AAS)，
∴OG=OH，EG=FH，
∵E(-3，1)，
∴OG=3，EG=1，
∴OH=3，FH=1，
∴F(1，3)；
②在Rt△OGE中，由勾股定理，得
OE=，
∴OF=OE=，
∴；
（3）解：①∵∠AOM=90°，
∴∠OAM+∠AMO=90°，
同理：∠OAM+∠ADH=90°，
∴∠ADH=∠AMO，
∴∠AOB=90°，∠OBA=45°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴OA=OB，
在△AOM和△BOD中，
，
∴△AOM△BOD（AAS），
∴OM=OD=2022，
∵点M在x轴负半轴上，
∴点M的坐标为(-2022，0)；
②的大小不会发生改变，
如图3，过点O作OP⊥BD于P，OQ⊥AH于Q，
则四边形OQHP为矩形，
在△OQM和△OPD中，
，
∴△OQM△OPD(AAS)，
∴OP=OQ，
∴矩形OQHP为正方形，
∴∠AHO=45°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质、图形与坐标，矩形的判定，正方形的判定与性质，本题综合性质较强，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
24．已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为正方形．
(1)若正方形OABC边长为12，
①如图1，E、F分别在边OA、OC上，CE⊥BF于H，且OE＝9，则点F的坐标为（______，_______）．
②如图2，若D为x轴上一点，且OD＝8，Q为y轴正半轴上一点，且∠DBQ＝45°，求点Q的坐标．
(2)若正方形OABC边长为4，如图3，E、F分别在边OA、OC上，当F为OC的中点，CE⊥BF于H，在直线CE上E点的两侧有点D、G，能使线段AD＝OG，AD//OG，且CH＝DH，求BG．
【答案】(1)①3，0；②Q点坐标为（0，15）或（0，6）
(2)BG＝
【分析】（1）①通过证明△OEC≌△CFB（AAS），求出OF，即可求点的坐标；
②分两种情况讨论：当D（8，0）时，过B点作BM⊥BD交y轴于点M，可证明△ABM≌△CBD（AAS），连接BQ，可证明△MBQ≌△DBQ（SAS），设AQ＝x，则OQ＝12﹣x，DQ＝4+x，在Rt△ODQ中由勾股定理求出x＝6，即可求Q（0，6）；当D（﹣8，0）时，过BN⊥BQ交x轴于点N，同理可得△ABQ≌△CBN（AAS），连接DQ，可得△QBD≌△NBD（SAS），设AQ＝CN＝y，则DN＝20﹣y，QO＝12+y，在Rt△DOQ中，由勾股定理求出y＝3，即可求Q（0，15）；
（2）在Rt△BCF中，求出BF＝2，CH＝，再由CH＝DH，可得DC＝，连接OD，OH，证明△OCD≌△CBH（ASA），分别得到CD＝BH＝，OD＝CH＝，则OH＝，再证明△AOD≌△OCH（SAS），可求OH＝AD＝OG＝，∠OAD＝∠HOC，推导出∠GOH＝90°，在Rt△GHO中，由勾股定理求出GH＝，在Rt△BHG中，由勾股定理求出BG＝．
（1）
①∵CE⊥BF，
∴∠BHC＝90°，
∴∠ECO+∠HFC＝90°，
∵∠OEC+∠OCE＝90°，
∴∠HFC＝∠OEC，
∵BC＝OC，
∴△OEC≌△CFB（AAS），
∴OE＝CF＝9，
∴OF＝3，
∴F（3，0），
故答案为：3，0；
②∵D为x轴上一点，且OD＝8，
∴D（8，0）或（﹣8，0），
当D（8，0）时，如图2，过B点作BM⊥BD交y轴于点M，
∴∠DBM＝90°，
∴∠MBA+∠ABD＝90°，
∵∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠MBA＝∠CBD，
∵AB＝BC，
∴△ABM≌△CBD（AAS），
∴BM＝BD，CD＝AM，
连接BQ，
∵∠DBQ＝45°，
∴∠MBQ＝45°，
又∵BM＝BD，
∴△MBQ≌△DBQ（SAS），
∴DQ＝MA，
∵OD＝8，OC＝12，
∴CD＝MA＝4，
设AQ＝x，则OQ＝12﹣x，DQ＝4+x，
在Rt△ODQ中，（4+x）2＝64+（12﹣x）2，
解得x＝6，
∴Q（0，6）；
如图3，当D（﹣8，0）时，过BN⊥BQ交x轴于点N
，
同理可得△ABQ≌△CBN（AAS），
∴AQ＝CN，BQ＝BN，
连接DQ，同理可得△QBD≌△NBD（SAS），
∴DN＝DQ，
设AQ＝CN＝y，则DN＝20﹣y，QO＝12+y，
在Rt△DOQ中，（20﹣y）2＝（12+y）2+64，
解得y＝3，
∴Q（0，15）；
综上所述：Q点坐标为（0，15）或（0，6）；
（2）
∵F为OC的中点，CO＝4，
∴CF＝OF＝2，
在Rt△BCF中，BC＝4，CF＝2，
∴BF＝2，
∵BF⊥CH，
∴CH＝＝，
∵CH＝DH，
∴DC＝，
如图4，连接OD，OH，
∵H是CD的中点，F是OC的中点，
∴FH∥OD，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝∠GHC＝90°，
∵BC＝CO，∠FBC＝∠DCO，
∴△OCD≌△CBH（ASA），
∴CD＝BH＝，OD＝CH＝，
∴OH＝，
∵∠AOD+∠DOC＝∠DOC+∠DCO＝90°，
∴∠AOD＝∠DCO，
∵AO＝CO，OH＝OD，
∴△AOD≌△OCH（SAS），
∴OH＝AD＝OG＝，∠OAD＝∠HOC，
∵AD∥GO，
∴∠OAD＝∠GOA，
∴∠GOH＝90°，
在Rt△GHO中，GH＝＝，
在Rt△BHG中，BG＝＝．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
25．将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立．
(1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______．
(2)，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
①如图①，求证；
②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积．
(3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)①见解析；②
(3)
【分析】（1）由二次根式有意义的条件和相反数的性质可得出a=6，b=3，然后根据正方形的性质即可得出答案；
（2）①取OA的中点K，连接KE，证明△AKE≌△ECF（ASA），由全等三角形的性质可得出AE=EF；②延长CD，并在延长线上截取DH=OE，连接AH，证明△AOE≌△ADH（SAS），由全等三角形的性质得出∠OAE=∠DAH，AE=AH，∠AEO=∠AHD，证明△AEG≌△AHG（SAS），得出EN=EG，同理可得GM=GE，设DG=x，则CG=6-x，由勾股定理得出，解得x=2，根据计算求解即可得出答案；
（3）在外角平分线上取点E，使CF=AO，证明△APB≌△CQF（SAS），得出PB=QF，当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长，过点F作FR⊥x轴于点R，由勾股定理求出OF2，进而可得出答案．
（1）解：∵a，b满足式子，∴a=6，b=3，∴，；
（2）解：①取OA的中点K，连接KE，如图所示，∵，∴，∴，∵，K为OA的中点，，∴，，∴，∴，∵CF是正方形外角的平分线，∴，∴，∴，在△AKE和△ECF中，，∴，∴；②延长CD，并在延长线上截取，连接AH，如图所示，∵四边形AOCD是正方形，∴，，∴，∴，，，由①可知，∴△AEF为等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，，，∴，∵，∴，∴，同理可得，∴，又，设，则，∴，∴，在Rt△ECG中，，解得，∴，∴．
（3）解：在外角平分线上取点F，使，如图所示，∴，∵，∴，∴，∴，∴当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长，过点F作轴于点R，在Rt△ORF中，，∴的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点的坐标等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．