中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇专题05作图题加补全证明过程(原卷版+解析)

这是一份中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇专题05作图题加补全证明过程(原卷版+解析)，共43页。试卷主要包含了如图等内容，欢迎下载使用。
——作图题加补全证明过程（重庆专用）
1．（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE⊥BC交BC于点E，交BD于点G．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点C作AD的垂线，交AD于点F，交BD于点H；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：BG=DH．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC
∴∠ADB=______①______
∵CF⊥AD
∴∠AFC=90°
∵AE⊥BC
∴∠AEC=90°
∵______②______
∴∠GAD=∠AEC=90°，∠HCB=∠AFC=90°．
即______③______
∴△BCH≌△DAGASA
∴______④______
∴BH−GH=DG−GH
∴BG=DH．
2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点O作AC的垂线，分别交AD，BC于点E，F．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)在（1）问所作的图形中，连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴______①______，OA=OC，OB=OD
∴∠ADO=∠CBO
在△DEO和△BFO中
∠ADO=∠CBOOD=OB__②__
∴△DEO≌△BFOASA
∴______③______
∵OA=OC
∴四边形AFCE为平行四边形
∵______④______
∴平行四边形AFCE为菱形
3．（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BD于E．
(1)尺规作图：在边BC上截取BG=AD，过点G作对角线BD的垂线，交BD于点F．（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)连接DG，证明△AEB≌△GFD．请将下面证明过程补充完整．
证明：∵AD∥BC， ①
∴四边形ABGD是平行四边形
∴AB∥GD， ②
∴ ③
∵AE⊥BD，GF⊥BD
∴∠AEB=∠GFD=90°
在△ABE和△GDF中
④∠ABE=∠GDFAB=GD
∴△AEB≌△GFDAAS
4．（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）已知四边形ABCD为菱形，对角线AC、BD相交于点O，射线CP∥DB；
(1)尺规作图：以BC为一边，在菱形ABCD外部作∠CBE=∠ACB，射线BE交射线CP于点E，连接OE．（只保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
(2)求证：BC=OE．（请补全下面的证明过程）
证明：∵∠CBE=∠ACB，
∴ ① ，
又∵CP∥DB，即CE∥BO
∴四边形BECO为 ② ，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴ ③ ，
∴∠BOC=90°
∴ ④ ，
∴BC=OE
5．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）如图，在四边形ABCF中，AF∥BC，连接AC，BF，且AB=AC．
(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D，交BF于点E；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
(2)在（1）所作图形中，若AE=DE，求证：四边形ADCF为矩形．
（补全证明过程）
证明：∵ ① ，
∴∠AFB=∠CBF，
在△AEF和△DEB中，
∠AFB=∠CBF∠AEF=∠DEBAE=DE
∴△AEF≌△DEBAAS
∴ ② ，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴ ③ ，且AD⊥BC
∴AF=BD=CD，∠ADC=90°，
又∵AF∥CD
∴ ④ ．
∵∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCF为矩形．
6．（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE平分∠BAD分别交BC、BD于点E、F．

(1)尺规作图：作∠BCD的角平分线，交AD于点H，交BD的于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问的条件下，求证：BF=DG．
证明：四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD， ①
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，
∴ ② ，∠DCH=12∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ③
∴∠BAE=∠DCH，
在△ABF和△CDG中，
∠ABD=∠CDB④∠BAE=∠DCH，
∴△ABF≌△CDGASA．
∴BF=DG
7．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）如图．四边形ABCD是平行四边形．
(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作出∠ADC的角平分线DE，交BC于点E；在线段AD上截取DF=DC，连接EF；
(2)在（1）所作图中，请证明四边形CDFE是菱形．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴______，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE
∴∠DEC=______
∴DC=______，
∵DC=DF，
∴CE=DF，
而CE∥FD，
∴四边形CDFE为______
∵DC=DF，
∴四边形CDFE为菱形．
8．（2023秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）如图．四边形ABCD是平行四边形．
(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作出∠ADC的角平分线DE，交BC于点E；在线段AD上截取DF=DC，连接EF；
(2)在（1）所作图中，请证明四边形CDFE是菱形．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴____________，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE
∴∠DEC=______
∴DC=______，
∵DC=DF，
∴CE=DF，
而CE∥FD，
∴四边形CDFE为菱形．
9．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，射线BM∥AC；
(1)在原图上用尺规完成以下基本作图：在射线BM上截取线段BD，使BD=AC，连接CD；作∠BAC的平分线交CD于点E.（保留作图痕迹，不写作法）
(2)小明在（1）所作的图形中，连接BE后发现∠BEA=90°，并给出了以下证明，请你将他的证明过程补充完整：
证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°
∴∠BAC=60°，AB=2AC
∵______①
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=30°
∵BM∥AC，BD=AC
∴四边形ABDC是平行四边形
∴AB=CD，∠BDC=∠BAC=60°，______②
∴∠AEC=∠BAE=30°
∴CE=AC=12CD
∴DE=CE=BD
又∵______③
∴△BDE为等边三角形
∴______④
∴∠BEA=180°−∠AEC−∠BED=90°
10．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB>AD，点M在DC上，连接AM，AM=AB．
(1)过点B作BN⊥AM，垂足为N（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；
(2)根据（1）中作图，求证MN=MC．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AB∥CD且AB=CD
∵BN⊥AM
∴∠ANB= ①
∴∠ADC=∠ANB
∵AB∥CD
∴∠NAB=∠AMD
在△BNA与△ADM中
∠NAB=∠AMD∠ANB=∠ADMAB=MA
∴△BNA≌ ②
∴AN=DM
∵AB=AM，AB=CD
∴AM=CD
∴AM−AN= ③ - ④
∴MN=MC
11．（2022秋·重庆·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，连接CE．
(1)用尺规完成以下基本作图：在矩形内部作∠FAB=∠DCE交BC于点F（不写作法和证明，保留作图痕迹）．
(2)在（1）所作的图形中，求证：四边形AFCE是平行四边形（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）．
（2）证明：
∵四边形ABCD为矩形
∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠D= ①
∵∠BAF=∠ECD
∴△ABF≌ ②
∴AF=CE，BF=DE
∴BC− ③ =AD−DE
即CF= ④
又∵AF=CE
∴四边形AFCE是平行四边形．
12．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE．
(1)用尺规完成以下基本作图：作∠BCF，使∠BCF=∠DAE，CF与对角线BD交于点F，连接AF，CE．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)根据（1）中作图，求证：四边形AECF为平行四边形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC，___________①___________
∴___________②___________
在△AED与△CFB中
∵∠DAE=∠BCFAD=BC∠ADE=∠CBF
∴△AED≌△CFBASA
∴AE=CF，___________③___________
∴180°−∠AED=180°−∠CFB
即∠AEF=∠CFE
∴___________④___________
∴四边形AECF为平行四边形
13．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，BA⊥AD，点E是线段AD上的一点，连接BE．
(1)在线段BC上求作一点F，使得∠FDC＝∠ABE（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，证明：四边形BFDE为平行四边形的结论．
解：（2）证明：在平行四边形ABCD中，
∵BA⊥AD
∴
∴四边形ABCD是矩形
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC
在△ABE和△CDF
{∠A=∠C()∠ABE=∠FDC
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴ ，BE＝DF．
∴AD﹣AE＝CB﹣CF
∴
∴四边形BFDE为平行四边形（两边分别相等的四边形为平行四边形）
14．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，四边形ABCD是矩形，连接AC,BD交于点O，∠ADO的平分线DE交AC于点E．
(1)尺规作图：作∠CBD的角平分线交AC于点F，连接BE,DF；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴BO=DO，AD∥BC
∴
∵DE平分∠ADO，BF平分∠CBO
∴∠EDO=12∠ADO,∠FBO=12∠CBO
∴
∵在△EDO和△FBO中
∠EDO=∠FBODO=BO∠EOD=∠FOB
∴
∴
又∵BO=DO
∴四边形BEDF是平行四边形
15．（2022秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，连接AD．
(1)尺规作图：在BC下方作射线BF，使得∠CBF=∠C，且射线BF交AD的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，连接CE，若CE=AC，求证：四边形ABEC是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵点D为BC边上的中点，
∴DC=DB，在△ADC和△EDB中，
∠ACD=∠EBDDC=DB∠ADC=∠EDB
∴△ADC≌ ______ASA，
∴ AC=______，
∵∠CBF=∠ACB，
∴AC∥ ______．
∴四边形ABEC是平行四边形．
又∵______，
∴平行四边形ABEC是菱形．
16．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，在平行四边形ABCD中AD＞AB．
(1)尺规作图：在AD上截取AE，使得AE＝AB．作∠ADC的平分线交BC于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作图形中，连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵DF平分∠ADC，
∴
∵在平行四边形ABCD中，BC∥AD，
∴
∴∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，
又∵AE＝AB，
∴AE＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即
又∵
∴四边形BEDF是平行四边形．
17．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交对角线BD于点E．
(1)用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的平分线，交对角线BD于点F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：BE=DF．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，①__________，
∴∠ABE=∠CDF
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB
∴∠BAE=12∠BAD，②___________，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴③_______________
∴∠BAE=∠DCF
在△ABE与△CDF中
∠ABE=∠CDF——————∠BAE=∠DCF
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴BE=DF
18．（2022春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，在△ABC中，D是边BC的中点．
(1)用尺规完成以下基本作图，在直线CB下方作∠CBE=∠ADC，E为BE与CA延长线的交点．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，取BE中点F，连接AF，若BC=BE，
求证：四边形ADBF是菱形．
证明：∵∠CBE=∠ADC
∴AD∥__________
∴CAAE=CDDB
∵D为BC边上的中点
∴A为CE边上的中点
∴AD为△BCE的中位线
∴AD=__________
∵F为BE中点
∴BF=12BE
∴BF=AD
∴四边形ADBF为__________
又∵D为BC边上的中点
∴BD=12BC
∵____________________
∴BF=BD
∴四边形ADBF是菱形．
19．（2023秋·重庆大渡口·九年级重庆市第九十五初级中学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，AC=2AB．
(1)尺规作图：作∠BAC的平分线AD，交BC于点E；作线段AC的垂直平分线交AC于点F，交AD于点G；连接BG，CG（不写做法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，证明：AB⊥BG．
证明：∵GF垂直平分线段AC，AC=2AB
∴∠AFG=90°，①
∵AD平分∠BAC，
∴② ，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中
AB=AF∠BAG=∠FAG ③
∴△ABG≌△AFG，
∴④ ，
∴AB⊥BG．
20．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）如图，线段AD是△ABC的角平分线．
(1)尺规作图：作线段AD的垂直平分线分别交AB,AD,AC于点E，O，F；（保留痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图中，连接DE,DF，求证：四边形AEDF是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵EF是线段AD的垂直平分线，
∴AE=①______，AF=②_______，
∵AD⊥EF，
∴∠AOE=∠AOF=90°，
∵线段AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=③________，
∵∠AEF=90°−∠BAD,∠AFE=90°−∠CAD，
∴④______=∠AFE，
∴AE=⑤______，
∴AE=AF=DF=DE，
∴四边形AEDF是菱形．
二轮复习【中考冲刺】2022-2023年中考数学重要考点
名校模拟题分类汇编专题05
——作图题加补全证明过程（重庆专用）
1．（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE⊥BC交BC于点E，交BD于点G．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点C作AD的垂线，交AD于点F，交BD于点H；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：BG=DH．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC
∴∠ADB=______①______
∵CF⊥AD
∴∠AFC=90°
∵AE⊥BC
∴∠AEC=90°
∵______②______
∴∠GAD=∠AEC=90°，∠HCB=∠AFC=90°．
即______③______
∴△BCH≌△DAGASA
∴______④______
∴BH−GH=DG−GH
∴BG=DH．
【答案】(1)见解析；
(2)①∠CBD；②AD∥BC；③∠GAD=∠HCB；④BH=DG．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，由CF⊥AD，AE⊥BC及AD∥BC，得∠ADB=∠CBD，∠GAD=∠HCB，则可判断△BCH≌△DAGASA，可得BH=DG，再利用线段得和差关系即可得证结论．
【详解】（1）解：如图，CF即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC
∴∠ADB=∠CBD；
∵CF⊥AD
∴∠AFC=90°
∵AE⊥BC
∴∠AEC=90°
∵AD∥BC，
∴∠GAD=∠AEC=90°，∠HCB=∠AFC=90°．
即∠GAD=∠HCB，
∴△BCH≌△DAGASA
∴BH=DG，
∴BH−GH=DG−GH
∴BG=DH．
故答案为：①∠CBD；②AD∥BC；③∠GAD=∠HCB；④BH=DG．
【点睛】本题考查了作图——尺规作图（作垂线）：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质．
2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点O作AC的垂线，分别交AD，BC于点E，F．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)在（1）问所作的图形中，连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴______①______，OA=OC，OB=OD
∴∠ADO=∠CBO
在△DEO和△BFO中
∠ADO=∠CBOOD=OB__②__
∴△DEO≌△BFOASA
∴______③______
∵OA=OC
∴四边形AFCE为平行四边形
∵______④______
∴平行四边形AFCE为菱形
【答案】(1)见解析；
(2)AD∥BC，∠DOE=∠BOF，OE=OF，EF⊥AC．
【分析】（1）分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于点M，连接MO，分别交AD，BC于点E，F，则直线EF即为所求；
（2）根据平行四边形的性质证明△DEO≌△BFOASA，可得OE=OF，然后根据平行四边形和菱形的判定得出结论．
【详解】（1）解：如图，直线EF即为所求．
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，OB=OD，
∴∠ADO=∠CBO，
在△DEO和△BFO中，
∠ADO=∠CBOOD=OB∠DOE=∠BOF，
∴△DEO≌△BFOASA，
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形，
故答案为：AD∥BC，∠DOE=∠BOF，OE=OF，EF⊥AC．
【点睛】本题考查了尺规作线段垂直平分线、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握5种基本作图的步骤是解答本题的关键．
3．（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BD于E．
(1)尺规作图：在边BC上截取BG=AD，过点G作对角线BD的垂线，交BD于点F．（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)连接DG，证明△AEB≌△GFD．请将下面证明过程补充完整．
证明：∵AD∥BC， ①
∴四边形ABGD是平行四边形
∴AB∥GD， ②
∴ ③
∵AE⊥BD，GF⊥BD
∴∠AEB=∠GFD=90°
在△ABE和△GDF中
④∠ABE=∠GDFAB=GD
∴△AEB≌△GFDAAS
【答案】(1)见解析；
(2)BG=AD，AB=GD，∠ABE=∠GDF，∠AEB=∠GFD=90°．
【分析】（1）先在边BC上截取BG=AD，利用基本作图作GF⊥BD得到GF，然后连接GF即可；
（2）根据已知条件依次写出相应的解答过程即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：∵AD∥BC，BG=AD，
∴四边形ABGD是平行四边形
∴AB∥GD，AB=GD
∴∠ABE=∠GDF
∵AE⊥BD，GF⊥BD
∴∠AEB=∠GFD=90°
在△ABE和△GDF中
∠AEB=∠GFD=90°∠ABE=∠GDFAB=GD
∴△AEB≌△GFDAAS，
故答案为：BG=AD，AB=GD，∠ABE=∠GDF，∠AEB=∠GFD=90°．
【点睛】本题考查了尺规作图——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定、平行四边形的判定和性质．
4．（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）已知四边形ABCD为菱形，对角线AC、BD相交于点O，射线CP∥DB；
(1)尺规作图：以BC为一边，在菱形ABCD外部作∠CBE=∠ACB，射线BE交射线CP于点E，连接OE．（只保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
(2)求证：BC=OE．（请补全下面的证明过程）
证明：∵∠CBE=∠ACB，
∴ ① ，
又∵CP∥DB，即CE∥BO
∴四边形BECO为 ② ，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴ ③ ，
∴∠BOC=90°
∴ ④ ，
∴BC=OE
【答案】(1)见解析
(2)①OC∥BE；②平行四边形；③AC⊥BD；④四边形BECO是矩形
【分析】（1）按照作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可；
（2）先证明OC∥BE，进而证明四边形BECO为平行四边形，根据菱形的性质得到∠BOC=90°即可证明四边形BECO是矩形，进而证明BC=OE．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵∠CBE=∠ACB，
∴OC∥BE，
又∵CP∥DB，即CE∥BO
∴四边形BECO为平行四边形，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°
∴四边形BECO是矩形，
∴BC=OE．
故答案为：①OC∥BE；②平行四边形；③AC⊥BD；④四边形BECO是矩形．
【点睛】本题主要考查了作与已知角相等的角的尺规作图，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，菱形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
5．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）如图，在四边形ABCF中，AF∥BC，连接AC，BF，且AB=AC．
(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D，交BF于点E；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
(2)在（1）所作图形中，若AE=DE，求证：四边形ADCF为矩形．
（补全证明过程）
证明：∵ ① ，
∴∠AFB=∠CBF，
在△AEF和△DEB中，
∠AFB=∠CBF∠AEF=∠DEBAE=DE
∴△AEF≌△DEBAAS
∴ ② ，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴ ③ ，且AD⊥BC
∴AF=BD=CD，∠ADC=90°，
又∵AF∥CD
∴ ④ ．
∵∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCF为矩形．
【答案】(1)见解析
(2)AF∥BC；BD=AF；BD=CD；四边形ADCF为平行四边形
【分析】（1）根据角平分线的作法作出∠BAC的角平分线即可；
（2）根据“AAS”证明△AEF≌△DEB得BD=AF，再根据等腰三角形的性质得BD=CD，且AD⊥BC，从而可证明四边形ADCF为平行四边形以及平行四边形ADCF为矩形
【详解】（1）如图，AD即为所作，
（2）证明：∵ AF∥BC ，
∴∠AFB=∠CBF，
在△AEF和△DEB中，
∠AFB=∠CBF∠AEF=∠DEBAE=DE
∴△AEF≌△DEBAAS
∴ BD=AF ，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴ BD=CD ，且AD⊥BC
∴AF=BD=CD，∠ADC=90°，
又∵AF∥CD
∴ 四边形ADCF为平行四边形 ．
∵∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCF为矩形．
【点睛】本题主要考查了基本作图，平行四边形的判定以及矩形的判定，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
6．（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE平分∠BAD分别交BC、BD于点E、F．

(1)尺规作图：作∠BCD的角平分线，交AD于点H，交BD的于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问的条件下，求证：BF=DG．
证明：四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD， ①
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，
∴ ② ，∠DCH=12∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ③
∴∠BAE=∠DCH，
在△ABF和△CDG中，
∠ABD=∠CDB④∠BAE=∠DCH，
∴△ABF≌△CDGASA．
∴BF=DG
【答案】(1)作图见详解
(2)AB∥CD，∠BAF=12∠BAD，∠BAD=∠DCB，AB=CD
【分析】（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC，DC于点M，N，连接MN，分别以点M，N为圆心，以大于12MN为半径画弧，交于点P，连接CP，交AD于点H，交BD的于点G，由此即可求解；
（2）平行四边形ABCD中，可知AB=CD，AB∥CD，AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，∠BAF=12∠BAD，∠DCH=12∠BCD，从而证明△ABF≌△CDGASA，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∴CH为∠BCD的角平分线．
（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，
∴∠BAF=12∠BAD，∠DCH=12∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD=∠DCB，
∴∠BAE=∠DCH，
在△ABF和△CDG△CDG中，
∠ABD=∠CDBAB=CD∠BAE=∠DCH，
∴△ABF≌△CDGASA．
∴BF=DG．
故答案为：①AB∥CD；②∠BAF=12∠BAD；③∠BAD=∠DCB；④AB=CD．
【点睛】本题主要考查尺规作角平分线，三角形全等的判定和性质，掌握角平分线的画法，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
7．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）如图．四边形ABCD是平行四边形．
(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作出∠ADC的角平分线DE，交BC于点E；在线段AD上截取DF=DC，连接EF；
(2)在（1）所作图中，请证明四边形CDFE是菱形．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴______，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE
∴∠DEC=______
∴DC=______，
∵DC=DF，
∴CE=DF，
而CE∥FD，
∴四边形CDFE为______
∵DC=DF，
∴四边形CDFE为菱形．
【答案】(1)作图见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据尺规作图——作一个角的平分线的步骤进行作图即可；
（2）根据平行四边形的性质和菱形的判定依次推理即可．
【详解】（1）
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠DEC=∠CDE，
∴DC=CE，
∵DC=DF，
∴CE=DF，
而CE∥FD，
∴四边形CDFE为平行四边形，
∵DC=DF，
∴四边形CDFE为菱形．
【点睛】本题考查了尺规作图——作一个角的平分线、菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等，解题关键是牢记作图步骤与相关判定定理与性质．
8．（2023秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）如图．四边形ABCD是平行四边形．
(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作出∠ADC的角平分线DE，交BC于点E；在线段AD上截取DF=DC，连接EF；
(2)在（1）所作图中，请证明四边形CDFE是菱形．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴____________，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE
∴∠DEC=______
∴DC=______，
∵DC=DF，
∴CE=DF，
而CE∥FD，
∴四边形CDFE为菱形．
【答案】(1)图见解析
(2)AD∥BC，∠CDE，CE
【分析】（1）根据要求作图即可；
（2）利用平行四边形的对边平行，以及角平分线得到△CDE是等腰三角形，进而得到DC=CE，再根据DC=DF，得到CE=DF，再根据CE∥FD，即可得到四边形CDFE为菱形．
【详解】（1）解：如图所示，DE，EF即为所求；
以D为圆心，任意长为半径，画弧，交AD,DC于点M,N，分别以点M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点D与交点的射线，交BC于点E，DE即为所求；
（2）证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE
∴∠DEC=∠CDE
∴DC=CE，
∵DC=DF，
∴CE=DF，
而CE∥FD，
∴四边形CDFE为菱形．
故答案为：AD∥BC，∠CDE，CE．
【点睛】本题考查角平分作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握平行四边形中有角平分线，等腰三角形，是解题的关键．
9．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，射线BM∥AC；
(1)在原图上用尺规完成以下基本作图：在射线BM上截取线段BD，使BD=AC，连接CD；作∠BAC的平分线交CD于点E.（保留作图痕迹，不写作法）
(2)小明在（1）所作的图形中，连接BE后发现∠BEA=90°，并给出了以下证明，请你将他的证明过程补充完整：
证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°
∴∠BAC=60°，AB=2AC
∵______①
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=30°
∵BM∥AC，BD=AC
∴四边形ABDC是平行四边形
∴AB=CD，∠BDC=∠BAC=60°，______②
∴∠AEC=∠BAE=30°
∴CE=AC=12CD
∴DE=CE=BD
又∵______③
∴△BDE为等边三角形
∴______④
∴∠BEA=180°−∠AEC−∠BED=90°
【答案】(1)图见详解
(2)AE平分∠BAC，AB∥CD，∠BDC=60°，∠BED=60°
【分析】（1）以点B为圆心，AC长为半径在射线BM上画弧，交于点D，则有BD=AC，连接CD，然后以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点F、N，则以点F、N为圆心，大于12FN长为半径画弧，交于一点，进而连接点A和这个点，交CD于点E，最后问题可求解；
（2）根据平行四边形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定可进行求解问题．
【详解】（1）解：所作图形如下所示：
（2）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，AB=2AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=30°，
∵BM∥AC，BD=AC，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AB=CD，∠BDC=∠BAC=60°，AB∥CD，
∴∠AEC=∠BAE=30°，
∴CE=AC=12CD，
∴DE=CE=BD，
又∵∠BDC=60°，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠BED=60°，
∴∠BEA=180°−∠AEC−∠BED=90°；
故答案为AE平分∠BAC，AB∥CD，∠BDC=60°，∠BED=60°．
【点睛】本题主要考查尺规作图、等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握角平分线的尺规作图及平行四边形的性质与判定是解题的关键．
10．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB>AD，点M在DC上，连接AM，AM=AB．
(1)过点B作BN⊥AM，垂足为N（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；
(2)根据（1）中作图，求证MN=MC．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AB∥CD且AB=CD
∵BN⊥AM
∴∠ANB= ①
∴∠ADC=∠ANB
∵AB∥CD
∴∠NAB=∠AMD
在△BNA与△ADM中
∠NAB=∠AMD∠ANB=∠ADMAB=MA
∴△BNA≌ ②
∴AN=DM
∵AB=AM，AB=CD
∴AM=CD
∴AM−AN= ③ - ④
∴MN=MC
【答案】(1)作图见解析
(2)90°,△ADM,DC,DM
【分析】（1）先以B为圆心，大于B到AM的距离为半径画弧，交AM于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点之间的距离为半径画弧，得两弧的一个交点，过这个交点与B作直线，交AM于N，从而可得答案；
（2）利用矩形的性质证明△BNA≌△ADM可得AN=DM, 再利用线段的和差可得结论.
【详解】（1）解：如图，线段BN即为所求作的线段，
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AB∥CD且AB=CD
∵BN⊥AM
∴∠ANB=90°
∴∠ADC=∠ANB
∵AB∥CD
∴∠NAB=∠AMD
在△BNA与△ADM中
∠NAB=∠AMD∠ANB=∠ADMAB=MA
∴△BNA≌△ADM
∴AN=DM
∵AB=AM，AB=CD
∴AM=CD
∴AM−AN=DC−DM
∴MN=MC
【点睛】本题考查的是过已知点作直线的垂线，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BNA≌△ADM是解本题的关键.
11．（2022秋·重庆·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，连接CE．
(1)用尺规完成以下基本作图：在矩形内部作∠FAB=∠DCE交BC于点F（不写作法和证明，保留作图痕迹）．
(2)在（1）所作的图形中，求证：四边形AFCE是平行四边形（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）．
（2）证明：
∵四边形ABCD为矩形
∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠D= ①
∵∠BAF=∠ECD
∴△ABF≌ ②
∴AF=CE，BF=DE
∴BC− ③ =AD−DE
即CF= ④
又∵AF=CE
∴四边形AFCE是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)90°，△CDE，BF，AE
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法完成即可；
（2）理解证明思路，读懂每步推理，即可完成．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）证明：∵四边形ABCD为矩形
∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠D=90°，
∵∠BAF=∠ECD，
∴△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，BF=DE，
∴BC−BF=AD−DE
即CF=AE
又∵AF=CE
∴四边形AFCE是平行四边形．
故答案为：90°，△CDE，BF，AE
【点睛】本题考查了作图：作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定等知识，作角等于已知角，读懂每步推理是完成本题的关键．
12．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE．
(1)用尺规完成以下基本作图：作∠BCF，使∠BCF=∠DAE，CF与对角线BD交于点F，连接AF，CE．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)根据（1）中作图，求证：四边形AECF为平行四边形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC，___________①___________
∴___________②___________
在△AED与△CFB中
∵∠DAE=∠BCFAD=BC∠ADE=∠CBF
∴△AED≌△CFBASA
∴AE=CF，___________③___________
∴180°−∠AED=180°−∠CFB
即∠AEF=∠CFE
∴___________④___________
∴四边形AECF为平行四边形
【答案】(1)见详解
(2)AD=BC，∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，AE∥CF
【分析】（1）以B点为圆心DE长为半径画弧，交BD于点F，连接CF，则∠BCF即为所求；
（2）根据平行四边形的判定方法：一组对边平行且相等即可证明．
【详解】（1）如图：以B点为圆心DE长为半径画弧，交BD于点F，连接CF，则∠BCF即为所求
（2）如图：连接CE，AF
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC
∴∠ADE=∠CBF
在△AED与△CFB中
∵∠DAE=∠BCFAD=BC∠ADE=∠CBF
∴△AED≌△CFB（ASA）
∴AE=CF，∠AED=∠CFB
∴180°−∠AED=180°−∠CFB
即∠AEF=∠CFE
∴AE∥CF
∴四边形AECF为平行四边形
故答案为：AD=BC，∠ADE=∠CBF，，∠AED=∠CFB，AE∥CF
【点睛】本题考查了尺规作图—复杂作图，平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题关键．
13．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，BA⊥AD，点E是线段AD上的一点，连接BE．
(1)在线段BC上求作一点F，使得∠FDC＝∠ABE（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，证明：四边形BFDE为平行四边形的结论．
解：（2）证明：在平行四边形ABCD中，
∵BA⊥AD
∴
∴四边形ABCD是矩形
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC
在△ABE和△CDF
{∠A=∠C ∠ABE=∠FDC
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴ ，BE＝DF．
∴AD﹣AE＝CB﹣CF
∴
∴四边形BFDE为平行四边形（两边分别相等的四边形为平行四边形）
【答案】(1)见解析
(2)∠ A＝90°；AB＝CD；AE＝CF；ED=BF；
【分析】（1）根据尺规作图的要求和作一个角等于已知角的步骤即可得出；
（2）根据全等三角形的性质得到AE=CF，再根据等量代换得到DE=BF，才可结合ED// FB利用“一组对边平行且相等”判定平行四边形．
【详解】（1）解：如图，
（2）证明：在平行四边形ABCD中，
∵BA⊥AD，
∴∠ A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC，
在△ABE和△CDF
{∠A=∠CAB=CD∠ABE=∠FDC
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，BE＝DF，
∴AD﹣AE＝CB﹣CF
∴ED=BF，
∴四边形BFDE为平行四边形（两边分别相等的四边形为平行四边形）．
故答案是：∠ A＝90°；AB＝CD；AE＝CF；ED=BF．
【点睛】本题主要考查了尺规作图－作一个角等于已知角、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理以及矩形的判定定理和性质定理．熟记相关性质和判定定理是解题关键．
14．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，四边形ABCD是矩形，连接AC,BD交于点O，∠ADO的平分线DE交AC于点E．
(1)尺规作图：作∠CBD的角平分线交AC于点F，连接BE,DF；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴BO=DO，AD∥BC
∴
∵DE平分∠ADO，BF平分∠CBO
∴∠EDO=12∠ADO,∠FBO=12∠CBO
∴
∵在△EDO和△FBO中
∠EDO=∠FBODO=BO∠EOD=∠FOB
∴
∴
又∵BO=DO
∴四边形BEDF是平行四边形
【答案】(1)见解析
(2)∠ADO=∠CBO；∠EDO=∠FBO；△EDO≌△FBO；OE=OF
【分析】（1）利用尺规作出图形即可；
（2）证明△EDO≌△FBO，推出OE=OF，可得结论．
【详解】（1）解∶如图， BF即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BO=DO，AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，
∵DE平分∠ADO，BF平分∠CBO，
∴∠EDO=12∠ADO,∠FBO=12∠CBO，
∴∠EDO=∠FBO，
∵在△EDO和△FBO中，
∠EDO=∠FBODO=BO∠EOD=∠FOB，
∴△EDO≌△FBO，
∴OE=OF，
又∵BO=DO，
∴四边形BEDF是平行四边形．
故答案为：∠ADO=∠CBO；∠EDO=∠FBO；△EDO≌△FBO；OE=OF
【点睛】本题考查作图——基本作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
15．（2022秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，连接AD．
(1)尺规作图：在BC下方作射线BF，使得∠CBF=∠C，且射线BF交AD的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，连接CE，若CE=AC，求证：四边形ABEC是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵点D为BC边上的中点，
∴DC=DB，在△ADC和△EDB中，
∠ACD=∠EBDDC=DB∠ADC=∠EDB
∴△ADC≌ ______ASA，
∴ AC=______，
∵∠CBF=∠ACB，
∴AC∥ ______．
∴四边形ABEC是平行四边形．
又∵______，
∴平行四边形ABEC是菱形．
【答案】(1)见解析；
(2)△EDB，BE，BE，CE=AC．
【分析】（1）根据题意即可完成作图；
（2）结合（1）根据菱形的判定即可完成证明．
【详解】（1）解：如图，射线BF即为所求；
（2）证明：∵点D为BC边上的中点，
∴DC=DB，在△ADC和△EDB中，
∠ACD=∠EBDDC=DB∠ADC=∠EDB
∴△ADC≌△EDBASA，
∴ AC=BE
∵∠CBF=∠ACB，
∴AC∥BE
∴四边形ABEC是平行四边形．
又∵CE=AC，
∴平行四边形ABEC是菱形．
故答案为：△EDB，BE，BE，CE=AC．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图．全等三角形的判定与性质．平行四边形的判定与性质．菱形的判定．解题关键是掌握基本作图方法．
16．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，在平行四边形ABCD中AD＞AB．
(1)尺规作图：在AD上截取AE，使得AE＝AB．作∠ADC的平分线交BC于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作图形中，连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵DF平分∠ADC，
∴
∵在平行四边形ABCD中，BC∥AD，
∴
∴∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，
又∵AE＝AB，
∴AE＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即
又∵
∴四边形BEDF是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用基本作图画出对应的几何图形；
（2）由角平分线的性质得到∠ADF=∠CDF，由平行线的性质得到∠ADF=∠CFD，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答．
【详解】（1）解：如图就是所求作的图形；
（2）证明：∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF
∵在平行四边形ABCD中，BC∥AD，
∴∠ADF=∠CFD
∴∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，
又∵AE＝AB，
∴AE＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即DE=BF
又∵DE∥BF
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点睛】本题考查四边形综合题，涉及平行四边形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，在重要考点，掌握相关知识是解题关键．
17．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交对角线BD于点E．
(1)用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的平分线，交对角线BD于点F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：BE=DF．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，①__________，
∴∠ABE=∠CDF
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB
∴∠BAE=12∠BAD，②___________，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴③_______________
∴∠BAE=∠DCF
在△ABE与△CDF中
∠ABE=∠CDF ∠BAE=∠DCF
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴BE=DF
【答案】(1)见解析
(2)AB//CD，∠DCF=12∠BCD，∠BAD=∠BCD，AB=CD
【分析】（1）在CB，CD上，分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M，点N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，在∠BCD内，两弧交于点P，作射线CP交BD于点F，CF即为所求；
（2）根据平行四边形的性质得AB//CD，根据平行线的性质得∠ABE=∠CDF，根据角平分线得∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠BCD，根据平行四边形的性质得∠BAD=∠BCD，即∠BAE=∠DCF，根据ASA即可得△ABE≌△CDF，即BE=DF．
【详解】（1）解：如图，在CB，CD上，分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M，点N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，在∠BCD内，两弧交于点P，作射线CP交BD于点F，CF即为所求．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠BCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
∠ABE=∠CDFAB=CD∠BAE=∠DCF
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
故答案为：AB//CD，∠DCF=12∠BCD，∠BAD=∠BCD，AB=CD．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
18．（2022春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，在△ABC中，D是边BC的中点．
(1)用尺规完成以下基本作图，在直线CB下方作∠CBE=∠ADC，E为BE与CA延长线的交点．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，取BE中点F，连接AF，若BC=BE，
求证：四边形ADBF是菱形．
证明：∵∠CBE=∠ADC
∴AD∥__________
∴CAAE=CDDB
∵D为BC边上的中点
∴A为CE边上的中点
∴AD为△BCE的中位线
∴AD=__________
∵F为BE中点
∴BF=12BE
∴BF=AD
∴四边形ADBF为__________
又∵D为BC边上的中点
∴BD=12BC
∵____________________
∴BF=BD
∴四边形ADBF是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法画图即可；
（2）根据平行线的判定和性质、平行四边形的判定和性质和菱形的判定补全即可．
【详解】（1）作如图所示：
（2）证明：∵∠CBE=∠ADC ，
∴AD∥BE，
∴CAAE=CDDB，
∵D为BC边上的中点，
∴A为CE边上的中点，
∴AD为△BCE的中位线，
∴AD=12BE，
∵F为BE中点，
∴BF=12BE，
∴BF=AD，
∴四边形ADBF为平行四边形，
又∵D为BC边上的中点，
∴BD=12BC，
∵BC=BE，
∴BF=BD，
∴四边形ADBF是菱形．
故答案为：BE；12BE；平行四边形；BC=BE．
【点睛】本题考查了尺规作图、平行线的判定和性质、菱形的判定和平行四边形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
19．（2023秋·重庆大渡口·九年级重庆市第九十五初级中学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，AC=2AB．
(1)尺规作图：作∠BAC的平分线AD，交BC于点E；作线段AC的垂直平分线交AC于点F，交AD于点G；连接BG，CG（不写做法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，证明：AB⊥BG．
证明：∵GF垂直平分线段AC，AC=2AB
∴∠AFG=90°，①
∵AD平分∠BAC，
∴② ，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中
AB=AF∠BAG=∠FAG ③
∴△ABG≌△AFG，
∴④ ，
∴AB⊥BG．
【答案】(1)见解析；
(2)①AB=12AC=AF；②∠BAG=∠FAG；③AG=AG；④∠ABG=∠AFG=90°
【分析】（1）按照角平分线和垂直平分线的尺规作图方法，求解即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质，求证即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）∵GF垂直平分线段AC，AC=2AB
∴∠AFG=90°，AB=12AC=AF
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAG=∠FAG，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中
AB=AF∠BAG=∠FAGAG=AG
∴△ABG≌△AFG，
∴∠ABG=∠AFG=90°，
∴AB⊥BG
故答案为：①AB=12AC=AF；②∠BAG=∠FAG；③AG=AG；④∠ABG=∠AFG=90°
【点睛】此题考查了尺规作图－角平分线和垂直平分线，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
20．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）如图，线段AD是△ABC的角平分线．
(1)尺规作图：作线段AD的垂直平分线分别交AB,AD,AC于点E，O，F；（保留痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图中，连接DE,DF，求证：四边形AEDF是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵EF是线段AD的垂直平分线，
∴AE=①______，AF=②_______，
∵AD⊥EF，
∴∠AOE=∠AOF=90°，
∵线段AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=③________，
∵∠AEF=90°−∠BAD,∠AFE=90°−∠CAD，
∴④______=∠AFE，
∴AE=⑤______，
∴AE=AF=DF=DE，
∴四边形AEDF是菱形．
【答案】(1)图见解析
(2)DE，DF，∠CAD，∠AEF，AF
【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图即可得；
（2）先根据线段垂直平分线的性质可得AE=DE，AF=DF，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，从而可得∠AEF=∠AFE，然后根据等腰三角形的判定可得AE=AF，从而可得AE=AF=DF=DE，最后根据菱形的判定即可得证．
【详解】（1）解：作线段AD的垂直平分线分别交AB,AD,AC于点E,O,F，如图所示：
（2）证明：∵EF是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∵AD⊥EF，
∴∠AOE=∠AOF=90°，
∵线段AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠AEF=90°−∠BAD,∠AFE=90°−∠CAD，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DF=DE，
∴四边形AEDF是菱形．
故答案为：DE，DF，∠CAD，∠AEF，AF．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握尺规作图和菱形的判定是解题关键．