中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇专题13二次函数最值问题(原卷版+解析)

这是一份中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇专题13二次函数最值问题(原卷版+解析)，共79页。试卷主要包含了，与y轴交于点C，，tan∠ACO＝13等内容，欢迎下载使用。
——二次函数最值问题（重庆专用）
1．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）如图，已知抛物线y=ax2+bx+23与x轴交A2,0，B6,0，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)若点P是直线BC下方抛物线上一点，且位于对称轴左侧，过点P作PD⊥BC于点D，作PE∥x轴交抛物线于点E，求PD+12PE的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线ax2+bx+23向左平移2个单位长度得到新抛物线y'，平移后的抛物线y'与原抛物线交于点Q，点M是原抛物线对称轴上一点，点N是新抛物线上一点，请直接写出使得以点B，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与直线AB交于点A0,−4，B4,0．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P为直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求2PM+PN的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将该抛物线先向左平移4个单位，再向上移3个单位，得到新抛物线y'，新抛物线y'与y轴交于点F，点M为y轴左侧新抛物线y'上一点，过M作MN∥y轴交射线BF于点N，连接MF，当△FMN为等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点M的横坐标．
3．（2022春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A、B(4，0)两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C(0，2)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接BC，点P为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）的一动点，过点P作PF//BC交x轴于点F，PE//x轴交AC于点E，PH//y轴交BC于点H，HQ⊥PF，垂足为点Q，求PE+PQ的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将原抛物线沿射线BC方向平移5个单位得到新抛物线y'，点M为原抛物线对称轴上一点，在新抛物线y'上是否存在一点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．
4．（2021春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0交x轴于A−1,0，B4,0两点，交y轴于C0,−3，点G为抛物线的顶点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点D为线段BC下方抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，再过点E作EF⊥BC于点F，请求出DE+53EF的最大值；
（3）如图2，过点B作BM⊥AC于点M，将抛物线y先向右平移32单位，再向下平移516个单位得到抛物线y'，点G的对应点为点G'，点Q为第四象限内原抛物线y的对称轴上的一点，若以点Q、M、G'为顶点的三角形是以MG'为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标，并任选一个你喜欢的Q点坐标书写求解过程．
5．（2019秋·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣38x2+94x+6与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）如图1，点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴，交直线BC于点H，过点P作PQ⊥BC于点Q，当PQ﹣12PH最大时，点C关于x轴的对称点为点D，点M为直线BC上一动点，点N为y轴上一动点，连接PM、MN，求PM+MN+45ND的最小值；
（2）如图2，连接AC，将△OAC绕着点O顺时针旋转，记旋转过程中的△OAC为△OA'C'，点A的对应点为点A'，点C的对应点为点C'．当点A'刚好落在线段AC上时，将△OA'C'沿着直线BC平移，在平移过程中，直线OC'与抛物线对称轴交于点E，与x轴交于点F，设点R是平面内任意一点，是否存在点R，使得以B、E、F、R为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2019春·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-34x2+94x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C：连接BC，点P为线段BC上方抛物线上的一动点，连接OP交BC于点Q．
（1）如图1，当PQOQ值最大时，点E为线段AB上一点，在线段BC上有两动点M，N（M在N上方），且MN=1，求PM+MN+NE-35BE的最小值；
（2）如图2，连接AC，将△AOC沿射线CB方向平移，点A，C，O平移后的对应点分别记作A1，C1，O1，当C1B=O1B时，连接A1B、O1B，将△A1O1B绕点O1沿顺时针方向旋转90°后得△A2O1B1在直线x=12上是否存在点K，使得△A2B1K为等腰三角形？若存在，直接写出点K的坐标；不存在，请说明理由．
7．（2021春·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+94x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，其中A（﹣2，0），tan∠ACO＝13．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，点D、E是线段BC上的两点（E在D的右侧），DE＝52，过点D作DP∥y轴，交直线BC上方抛物线于点P，过点E作EF⊥x轴于点F，连接FD、FP，当△DFP面积最大时，求点P的坐标及△DFP面积的最大值；
（3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线水平向左平移，使得平移后的抛物线恰好经过点F，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，连接BP，将线段沿直线BC平移，平移后的线段记为B' P'，是否存在以B' P'为直角边的等腰Rt△GB' P'？若存在，请直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
解得x= -2或x=8，
∴B（8，0）；
设直线BC的解析式为y=kx+6，
∴8k+6=0，
解得k=−34，
∴直线的解析式为y=−34x+6，
设点D的横坐标为m，则点D（m，−34m+6），点P（m，−38m2+94m+6），
∴PD=−38m2+94m+6-（−34m+6）
=−38m2+3m，
过点E作EQ⊥DP，垂足为Q，则EQ∥AB，
∴∠DEQ=∠EBA，
∵OB=8，OC=6，
∴BC=82+62=10，
∴cs∠EBA=OBBC=45，
∴cs∠DEQ=EQDE=45，
∵DE=52，
∴EQ=2，
∵DP∥EF，
∴底边PD上的高为2，
∴S△DPF=12×PD×2=−38m2+3m，
∵−38＜0，
∴S△DPF有最大值，
当m=−32×(−38)=4时，面积最大，且最大为−38×42+3×4=6
当m=4时，
−38m2+94m+6=−38×42+94×4+6=9，
∴P(4，9)，
故点P(4，9)，S△DPF的最大值为6；
（3）∵y=−38x2+94x+6
=−38(x−3)2+758，
不妨设向左平移n个单位，函数图像经过点F，
则新函数的解析式为y=−38(x−3+n)2+758，
由（2）得F（6，0），
∴−38(6−3+n)2+758=0，
解得n=2或n= -8（舍去）
∴新函数的解析式为y=−38(x−1)2+758，
∴直线l=1，
如图2，当等腰直角三角形的顶点在B处时，过点P作PR⊥AB，垂足为R，过点M作MN⊥AB，垂足为N，
∵∠PBR+∠NBM=90°，∠NMB+∠NBM=90°，
∴∠PBR=∠NMB，
∵∠MNB=∠PRB=90°，BP=BM,
∴△NMB≌△RPB，
∴MN=BR=8-4=4，NB=RP=9，
∵OB=8，
∴ON=1，
∴点M（-1，-4），
由（2）知，当BP沿着BC方向平移n个单位时，其水平方向平移45n个单位，竖直方向平移35n个单位，
∴平移后点M到点G的位置，此时点G的坐标为（-1+45n，-4-35n），
∴-1+45n=1，
∴n=52，
∴-4-35n= -4−32=−112，
故点G（1，−112）；
如图3，当等腰直角三角形的顶点在B处时，过点P作PS⊥BP，过点M作MS⊥MB，二线交于点S，设S（m，n），
∵MB=BP=PS=MS，∠PBM=90°，
∴四边形MBPS是正方形，
∴MS∥PB，PS∥BM，
∴n+4m+1=9−04−8，n−9m−4=4+01+8
∴9m+4n+25=04m−9n+65=0，
解得m=−48597n=48597
∴点S（−48597，48597），
由（2）知，当BP沿着BC方向平移n个单位时，其水平方向平移45n个单位，竖直方向平移35n个单位，
∴平移后点M到点G的位置，此时点G的坐标为（−48597+45n，48597-35n），
∴−48597+45n=1，
∴48597-35n =12，
故点G（1，12）．
故这样的点G存在，且点G（1，−112）或点G（1，12）．
．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定，二次函数中的平移，二次函数的最值，用坐标表示平行y轴直线上两点间的距离，锐角三角函数的定义，图像的交点问题，熟练掌握用坐标表示特殊线段的长，配方法确定平移后解析式，准确应用平移的规律，灵活运用分类思想是解题的关键．
8．（2021秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A2,0、B两点，与y轴交于点C，顶点D的坐标为4,−2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l:y=34x与抛物线交于E、F两点（点E在F的左侧），点G为线段EF上的一个动点，过G作y轴的平行线交抛物线于点H，求GH+GF的最大值及此时点G的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图2，若点G是OF的中点，将△OBG绕点O旋转，旋转过程中，点B的对应点为B'、点G的对应点为G'，将抛物线沿直线AF的方向平移（两侧均可），在平移过程中点D的对应点为D'，在运动过程中是否存在点B'和点D'关于△ABF的某一边所在直线对称（B'与D'不重合），若存在，请直接写出点B'的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2021秋·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2−32x+2交x轴于点A、B，交y轴于点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图，过点C作射线CM，交x轴的负半轴于点M，且∠OCM=∠OAC，点P为线段AC上方抛物线上的一点，过点P作AC的垂线交CM于点G，求线段PG的最大值及点P的坐标；
（3）将该抛物线沿射线AC方向平移5个单位后得到的新抛物线为y'=ax2+bx+c，新抛物线y'与原抛物线的交点为E，点F为新抛物线y对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点A、E、F、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2020秋·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2−32x−2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）如图 1，点E3，m在抛物线上，连接AE，BE，求△ABE的面积；
（2）如图2，点P，Q是第四象限内的抛物线上两点（P在Q的左侧），分别过点P，Q作PM//QN//y轴交直线BC于点M，N，且平行线PM，QN之间的距离为1，求12PM+QN的最大值，并求出此时点P坐标；
（3）如图3，连接AC，将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A'OC'，点C'落在线段BC上，动点K在y轴上，点R是平面内一点，当以C'，K，R，B为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点R的坐标．
11．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC及抛物线的解析式，并求出D点的坐标；
（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）若点P是x轴上一个动点，过P作直线1∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2021·重庆·重庆八中校考三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋233x＋c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣3，0），tan∠ACO＝33．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求S1S2的最大值；
（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至C′处，且OC′＝OC，动点M在平移后抛物线的对称轴上，当△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
13．（2021·重庆沙坪坝·重庆八中校考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的图像经过点（2，3），与x轴分别交于点A、点B（-1，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，过点B作BM∥AC交抛物线于点M，点P是直线AC上方抛物线上一动点，连接PB交AC于点N，连接PM，NM，当S△PNM取得最大值时，求点P的坐标和S△PNM最大值；
（3）如图2，将该抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线y′与原抛物线相交于点E，点F为原抛物线上对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以F、C、E、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出Q点坐标．
14．（2021春·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣38x2+34x+3与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）过P作PM⊥x轴，交BC于M，当PM﹣CM的值最大时，求P的坐标和PM﹣CM的最大值；
（3）如图2，将该抛物线向右平移1个单位，得到新的抛物线y1，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，作y1对称轴的垂线，垂足为F，连接EF，请直接写出当△PEF是以PF为腰的等腰三角形时，点P的横坐标．
15．（2020秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,2)．
（1）求抛物线的解析式：
（2）如图1，点D为第一象限内抛物线上一点，连接OD、BC交于点E，过点D作DG⊥x轴于G，交BC于点F，连接DB，P为x轴上一动点，当S△DBES△OBE取得最大值时，求点D的坐标及DP+55BP的最小值；
（3）如图2，在满足（2）问的条件下，将直线OD沿y轴负方向平移得到直线1，使它经过点G，点M为直线l上一点，点N为抛物线上一点，若以F、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
16．（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−18x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C0,1，且OA=2OC．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)如图2，点P为线段BC上方抛物线上一动点，过P点作线段BC的垂线交BC于点R，作x轴的平行线交BC于点Q，当△PQR的周长最大时，请求出△PQR周长的最大值及点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线y沿射线CA方向平移5个单位到新抛物线y1，M为新抛物线y1与原抛物线y的交点，N为原抛物线对称轴上一点，S为平面上任意一点，是否存在点S使得以点M，N，P，S为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出满足条件的S点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2022秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）已知顶点为A1,5的抛物线y=ax2+bx+c经过点B5,1，
(1)求抛物线的解析式；
(2)设C，D分别是x轴、y轴上的两个动点．
①当四边形ABCD的周长最小时，在图1中作直线CD，保留作图痕迹并直接写出直线CD的解析式；
②点Pm,nm>0是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图2所示构造等腰Rt△PQR．在①的条件下，记△PQR与△COD的公共部分的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值．
18．（2022春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）如图1，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与直线y=−43x+4的交点分别位于x轴、y轴上的AB两点，与x轴的另一交点为C−2,0．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接BC，点P为AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ∥BC交AB于点Q，过点P作PR⊥x轴交AB于点R，求△PQR周长最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）问条件下，当△PQR面积最大时，将△PQR绕点R顺时针旋转n°（00是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图2所示构造等腰Rt△PQR．在①的条件下，记△PQR与△COD的公共部分的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值．
【答案】(1)y=−14x2+12x+194
(2)①y=−x+4；②当0