中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题02双角平分线模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题02双角平分线模型(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了基础知识回顾，双角平分线模型的概述等内容，欢迎下载使用。

角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
已知OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=12∠AOB
二、双角平分线模型的概述：两角共一边，求角平分线之间夹角。
模型一：两角有公共部分（作和）
已知OC是∠AOB内的一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON
证明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC
∴∠MOC=∠AOC,∠CON=∠BOC
∴∠MON=∠MOC+∠CON=∠AOC+∠BOC=∠AOB
文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角和的一半
模型二：两角有公共部分（作差）
已知OC是∠AOB外的一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON
证明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC
∴∠MOC=∠AOC,∠CON=∠BOC
∴∠MON=∠MOC-∠CON=∠AOC- ∠BOC=∠AOB
文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角差的一半
总结：一条射线把一个角分成两个角，这两个角的平分线所形成的角等于原角的一半。
图解：
【基础过关练】
1．如图所示，是的平分线，是的平分线，若，那么（ ）．
A．B．C．D．
2．如图所示，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．若，OB在内部，OM、ON分别平分和，若，则度数为（ ）．
A．B．C．D．
4．如图，是平角，，，分 别是的平分线，则的度数为( )
A．90ºB．135 ºC．150 ºD．120 º
5．如图，OM，ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线，∠AOB＝84°.(1)∠MON=_____；
(2)当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值____改变．(填“会”或“不会”)
6．如图，在的内部，已知是的平分线，平分，若，，则______．
7．如图，已知，OE平分∠AOB，，OF平分∠BOC．求∠BOC和∠AOC的度数．
8．如图，在外部，和分别是和的平分线．若，求的度数．
9．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．
10．如图所示，∠AOB=100°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON 平分∠BOC，求∠MON的度数．
解：因为射线 ， 分别平分∠ 和∠ ，
所以∠NOB=∠NOC= ∠BOC，∠AOM=∠COM= ∠AOC，
所以∠MON=∠ +∠ = = = °
【提高测试】
1．如图，分别平分平分，下列结论:①；②；③；④其中正确的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图所示，平分，平分，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，∠AOC和∠BOC互补，∠AOB＝α，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠MON的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是______．
5．已知，过作射线，使，若射线是的平分线，则的度数是________．
6．如图，已知射线在内部，平分，平分，平分，现给出以下4个结论：①；②；③；④其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）______．
7．（1）如图，已知，E是的中点，．
①______；
②求的长．
（2）如图，O为直线上的一点，平分．
①______°；
②是的平分线吗？为什么？
8．已知、分别是、的角平分线.
(1)如图1，是外部的一条射线，若，，求的度数；
(2)如图2，是内部的一条射线，若，，求的度数.
9．如图，是的平分线，是的平分线．
(1)如果，，则的度数为 ；
(2)如果，求的度数．
10．己知，
(1)如图1，平分，平分，若，则是__________°；
(2)如图2，、分别平分和，若，求的度数．
(3)若、分别平分和，，则的度数是__________（直接填空）．
11．如图，已知点A、O、B在一条直线上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数．
12．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠2：∠1＝4：1．
(1)求∠AOF的度数．
(2)判断OE与OF的位置关系并说明理由．
专题02 双角平分线模型
一、基础知识回顾
角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
已知OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=12∠AOB
二、双角平分线模型的概述：两角共一边，求角平分线之间夹角。
模型一：两角有公共部分（作和）
已知OC是∠AOB内的一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON
证明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC
∴∠MOC=∠AOC,∠CON=∠BOC
∴∠MON=∠MOC+∠CON=∠AOC+∠BOC=∠AOB
文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角和的一半
模型二：两角有公共部分（作差）
已知OC是∠AOB外的一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON
证明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC
∴∠MOC=∠AOC,∠CON=∠BOC
∴∠MON=∠MOC-∠CON=∠AOC- ∠BOC=∠AOB
文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角差的一半
总结：一条射线把一个角分成两个角，这两个角的平分线所形成的角等于原角的一半。
图解：
【基础过关练】
1．如图所示，是的平分线，是的平分线，若，那么（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义和角的和差关系进行计算即可．
【详解】解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∴∠BOC=∠AOB=∠AOC，∠COD=∠DOE=∠COE，
又∵∠AOC=70°，∠COE=40°，
∴∠BOC=35°，∠COD=20°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=35°+20°=55°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了角与角之间的运算和角平分线等知识，正确寻找角与角之间的关系以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
2．如图所示，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意计算出∠AOC，∠MOC，∠NOC的度数，再根据计算即可．
【详解】解：∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，
又∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC
∴
∴，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了基本几何图形中的角度计算，掌握角度的运算法则是解题的关键．
3．若，OB在内部，OM、ON分别平分和，若，则度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据的度数和OM平分求出的度数，然后可求出的度数，最后根据ON平分即可求出的度数．
【详解】如图所示，
∵，OM平分，
∴，
∴，
∵ON平分，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了角平分线的概念和求角度问题，解题的关键是根据角平分线的概念求出的度数．
4．如图，是平角，，，分 别是的平分线，则的度数为( )
A．90ºB．135 ºC．150 ºD．120 º
【答案】B
【分析】根据条件可求出∠COD的度数，利用角平分线的性质可求出∠MOC与∠DON的度数，最后根据∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON即可求出答案．
【详解】∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，
∴∠COD=180°−∠AOC−∠COD=90°，
∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
∴∠MOC= AOC=15°,∠DON=∠BOD=30°，
∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=135°
∴选B
【点睛】本题考查角的计算、角平分线的定义．熟练掌握角平分线的定义是解答关键.
5．如图，OM，ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线，∠AOB＝84°.(1)∠MON=_____；
(2)当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值____改变．(填“会”或“不会”)
【答案】 42° 不会
【分析】根据角平分线的定义求解即可．
【详解】①∵OM、ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线,∠AOB=84°，
∴∠MON=(∠AOC+∠BOC)÷2=84°÷2=42°.
②当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值不会改变.
故答案为42°、不会.
【点睛】本题较为简单，主要考查了角平分线的定义，牢牢掌握角平分线的定义是解答本题的关键.
6．如图，在的内部，已知是的平分线，平分，若，，则______．
【答案】
【分析】利用角平分线的定义分别求出和，则即可求得结论．
【详解】解：∵是的平分线，
∵，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义．熟练应用角平分线的定义是解题的关键．
7．如图，已知，OE平分∠AOB，，OF平分∠BOC．求∠BOC和∠AOC的度数．
【答案】∠BOC和∠AOC的度数分别为，
【分析】根据角平分线的定义得到，∠BOC=2∠BOF，再计算出，然后根据∠BOC=2∠BOF，∠AOC=∠BOC+∠AOB进行计算．
【详解】解：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，
∴，∠BOC=2∠BOF，
∵，
∴，
．
即∠BOC和∠AOC的度数分别为，．
【点睛】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，正确应用角平分线的定义是解题关键．
8．如图，在外部，和分别是和的平分线．若，求的度数．
【答案】
【分析】利用角平分线平分角，以及大角等于小角加小角，小角等于大角减小角，进行角度的转化计算即可．
【详解】解：∵．
∴．
∵平分平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角度的计算．熟练掌握角平分线平分角，是解题的关键．
9．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．
【答案】120°，30°
【分析】先根据角平分线，求得的度数，再根据角的和差关系，求得的度数，最后根据角平分线，求得、的度数．
【详解】解：∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠BOE=∠AOB =45°，
又∵∠EOF=60°，
∴∠BOF=∠EOF－∠BOE= 15°，
又∵OF平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠BOF=30°，
∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°，
故∠AOC=120°，∠COB=30°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键，注意：也可以根据的度数是度数的2倍进行求解．
10．如图所示，∠AOB=100°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON 平分∠BOC，求∠MON的度数．
解：因为射线 ， 分别平分∠ 和∠ ，
所以∠NOB=∠NOC= ∠BOC，∠AOM=∠COM= ∠AOC，
所以∠MON=∠ +∠ = = = °
【答案】OM；ON；AOC；BOC；；；CON；COM； ；；50
【分析】根据射线OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，可得∠NOB=∠NOC=∠BOC，∠AOM=∠COM=∠AOC，从而得到∠MON=，即可求解．
【详解】解：因为射线OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，
所以∠NOB=∠NOC=∠BOC，∠AOM=∠COM=∠AOC，
所以∠MON=∠CON+∠COM== =50°．
故答案为：OM；ON；AOC；BOC；；；CON；COM； (∠BOC+∠AOC)；∠AOB；50
【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，解决本题的关键是根据题意得到∠MON=．
【提高测试】
1．如图，分别平分平分，下列结论:①；②；③；④其中正确的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质得出∠BOM=∠AOM=∠AOB，∠BON=∠CON=∠COB，∠COH=∠AOH=∠AOC，再根据角度之间的等量关系式进行等量代换即可得出答案.
【详解】∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，OH平分∠AOC
∴∠BOM=∠AOM=∠AOB，∠BON=∠CON=∠COB，∠COH=∠AOH=∠AOC
∴∠MON=∠AOC，∠HOC=∠AOC
∴∠MON=∠HOC，故①正确；
2∠MOH=2(∠BOM-∠BOH)=2∠BOM-2∠BOH=∠AOB-∠BOH-∠BOH=∠AOH-∠BOH，故②正确；
2∠MON=2(∠NOB+∠BOH+∠MOH)=∠AOC≠∠AOC+∠BOH，故③正确；
2∠NOH=2∠NOB+2∠BOH=∠BOC+2∠BOH=∠COH+∠BOH，故④正确；
故答案选择C.
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，难度适中，熟练进行不同角度之间的等量关系的转换是解决本题的关键.
2．如图所示，平分，平分，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由∠MON−∠BOC求出∠CON＋∠BOM的度数，根据OM，ON分别为角平分线，得到两对角相等，进而确定出∠COD＋∠AOB度数，根据∠COD＋∠BOC＋∠AOB即可求出∠AOD的度数．
【详解】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
∴∠CON＝∠DON，∠BOM＝∠AOM，
∵∠CON＋∠BOM＝∠MON−∠BOC＝（m−n）°，
∴∠COD＋∠AOB＝2（∠CON＋∠BOM）＝2（m−n）°，
则∠AOD＝∠COD＋∠AOB＋∠BOC＝（2m−2n＋n）°＝（2m−n）°．
故选C．
【点睛】此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．
3．如图，∠AOC和∠BOC互补，∠AOB＝α，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠MON的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据已知得∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB＝α，相加可求出∠AOC，根据角平分线定义求出∠AOM和∠NOC的和，相减即可求出答案．
【详解】解：∵∠AOC和∠BOC互补，
∴∠AOC+∠BOC＝180°①，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠AOM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC，
∴∠AOM+∠CON＝90°，
∵∠AOB＝α，
∴∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB＝α②，
①+②得：2∠AOC＝180°+α，
∴∠AOC＝90°+α，
∴∠MON＝∠AOC﹣∠AOM﹣∠CON＝90°+﹣90°＝α．
故选B．
【点睛】本题考查角平分线的定义，角的有关计算的应用，解题的关键是求出∠AOC的大小．
4．已知，，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是______．
【答案】或(25°或45°)
【分析】分①在的外部，②在的内部两种情况，利用角平分线的定义、角的和差进行求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当在的外部时，
平分，且，
，
同理可得：，
则；
②如图，当在的内部时，
同理可得：，，
则；
综上，的度数是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，正确分两种情况讨论是解题关键．
5．已知，过作射线，使，若射线是的平分线，则的度数是________．
【答案】50°或10°
【分析】可分两种情况：当∠BOC与∠AOB在OB的同侧时；当∠BOC与∠AOB在OB的异侧时，根据角的和差可求解∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠DOA的度数．
【详解】解：当∠BOC与∠AOB在OB的同侧时，
∵∠BOC＝60°，∠AOB＝40°，
∴∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝60°﹣40°＝20°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOA＝∠AOC＝10°；
当∠BOC与∠AOB在OB的异侧时，
∵∠BOC＝60°，∠AOB＝40°，
∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝60°+40°＝100°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOA＝∠AOC＝50°，
综上，∠DOA的度数为50°或10°．
故答案为：50°或10°．
【点睛】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，理解题意，分类讨论是解题的关键．
6．如图，已知射线在内部，平分，平分，平分，现给出以下4个结论：①；②；③；④其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）______．
【答案】①②④
【分析】①根据平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出结论；
②根据角度之间的关系得出，得出，即可得出结论；
③无法证明；
④根据，得出，，即可得出结论．
【详解】解：①∵平分，平分，平分，
∴，，
，
，
，
即，
∴，故①正确；
②∵
，
∴，故②正确；
③与不一定相等，故③错误；
④根据解析②可知，，
∴，
∵，
∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出，是解题的关键．
7．（1）如图，已知，E是的中点，．
①______；
②求的长．
（2）如图，O为直线上的一点，平分．
①______°；
②是的平分线吗？为什么？
【答案】（1）①；②；（2）①；②是的平分线，理由见解析
【分析】（1）①根据E是的中点，可得；
②根据，可得，从而得到，再由，可得，即可求解；
（2）①根据平分，可得，再由邻补角的性质，即可求解；
②根据，可得，再求出的度数，即可求解．
【详解】解：（1）①∵，E是的中点，
∴；
故答案为：
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①∵平分，
∴，
∴；
故答案为：
②是的平分线，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，即是的平分线．
【点睛】本题主要考查了线段的和与差，有关角平分线的计算，邻补角的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
8．已知、分别是、的角平分线.
(1)如图1，是外部的一条射线，若，，求的度数；
(2)如图2，是内部的一条射线，若，，求的度数.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据角平分线的定义求出，再求出，最后求出即可；
（2）先根据是的平分线，，求出，求出，再根据角平分线定义求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵、分别是、的平分线，
∴，.
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵是的平分线，，
∴.
∴.
∵是的角平分线，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，注意数形结合．
9．如图，是的平分线，是的平分线．
(1)如果，，则的度数为 ；
(2)如果，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用角平分线的定义解答即可；
（2）利用角平分线的定义易求．
【详解】（1）解：，，
，
是的平分线，
，
，
是平分线，
，
故答案为：；
（2）平分，平分，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，解题时，实际上是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
10．己知，
(1)如图1，平分，平分，若，则是__________°；
(2)如图2，、分别平分和，若，求的度数．
(3)若、分别平分和，，则的度数是__________（直接填空）．
【答案】(1)11
(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的性质求出的度数，进而求出的度数，最后根据角平分线的概念计算求解即可；
（2）首先求出，进而求出，然后根据角平分线的概念求出，最后根据角的和差关系求解即可；
（3）分析两种情况讨论，计算方法同（2）．
【详解】（1）∵平分，平分，
∴，
∴
∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）①若或至少有一个在内部时，如下图，
则
；
②若和都在外部时，如下图，
则
，
综上的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，难点在第三小题要根据α的取值范围分情况讨论．
11．如图，已知点A、O、B在一条直线上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数．
【答案】135°
【分析】直接利用角平分线的定义得出，进而得出答案．
【详解】解：∵点A、O、B在一条直线上，∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝∠COE＝∠AOC，
∠DOF＝∠BOF＝∠DOB，
∴∠COE＋∠DOF＝×90°＝45°，
∴∠EOF的度数为：90°＋45°＝135°．
【点睛】此题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，正确得出∠COE＋∠DOF＝45°是解题关键．
12．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠2：∠1＝4：1．
(1)求∠AOF的度数．
(2)判断OE与OF的位置关系并说明理由．
【答案】(1)108°
(2)，理由见解析
【分析】（1）设∠1=x°，则∠2=4x°，求出，，根据∠BOC+∠BOD=180°，求出x=18，代入∠AOF=∠AOC+∠COF求出即可．
（2）根据（1）的结论得出，即可求解．
（1）
解：设∠1=x°，则∠2=4x°，
∵OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，
∴，
∵∠BOC+∠BOD=180°，
∴8x+2x=180，
∴x=18，
∴∠AOC=∠DOB=2x=36°，∠1=18°，∠2=72°，
∴∠AOF=∠AOC+∠2=36°+72°=108°．
（2）
由（1）可得∠1=18°，∠2=72°，
∴,
∴．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．