中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题06老鹰抓小鸡模型与双角平分线模型(三角形)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题06老鹰抓小鸡模型与双角平分线模型(三角形)(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了基础知识回顾，模型的概述等内容，欢迎下载使用。

角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
已知OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=12∠AOB
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°
三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
二、模型的概述：
老鹰抓小鸡模型一: ∠A+∠O=∠1+∠2 （结论）
证明:连接AO
∵∠1是∆ABO的外角 ∴∠1=∠3+∠5 ①
∵∠2是∆ACO的外角 ∴∠2=∠4+∠6 ②
①+②得∠1+∠2=∠3+∠5+∠4+∠6，即∠1+∠2=∠BAC+∠BOC
文字概述：腋下两角之和等于上下两角之和
【变形】将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，∠C与∠1、∠2之间的关系为： 2∠C=∠1+∠2或 ∠C=12（∠1+∠2）
证明：
1）连接CC’，方法同模型一
2）在∆EFC中，将∠FEC=90°-12∠1，∠EFC=90°-12∠2代入∠FEC +∠EFC+∠C=180°化简
老鹰抓小鸡模型二：∠A+∠O=∠2-∠1 （结论）
证明：连接AO
∵∠1是∆ABO的外角 ∴∠1=∠BAO+∠AOB ①
∵∠2是∆AOD的外角 ∴∠2=∠3+ BAO +∠AOB+∠BOD ②
②-①得∠2-∠1=∠3+∠BFD 即∠BAD+∠BOD=∠2-∠1
【变形】将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，∠C与∠1、∠2之间的关系为： 2∠C=∠2-∠1或 ∠C=12（∠2-∠1）
双角平分线模型（三角形）
模型一：已知BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB，则∠D=90°+12∠A
证明：∵BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB
∵在∆ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB =180°∴∠A=180°-2∠DBC -2∠DCB ①
∵在∆BDC中，∠D+∠DBC+∠DCB=180°∴∠D=180°-∠DBC -∠DCB ②
①-2×②得∠A -2∠D=180°-2∠DBC -2∠DCB-360°+2∠DBC+2∠DCB
即∠D=90°+12∠A
模型二：已知BD、DC分别平分∠EBC、∠FCB，则∠D=90°- 12∠A
证明：∵BD、DC分别平分∠EBC、∠FCB
∴∠1=∠2 = 12∠EBC，∠3=∠4 = 12∠FCB
∵在∆ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB =180°∴∠A =180°-(180°-∠1-∠2) –(180°-∠3-∠4)
化简得∠A=∠1+∠2+∠3+∠4-180°=2∠2 +2∠3-180° ①
∵在∆BDC中，∠D+∠2+∠3=180°∴∠D=180°-∠2 -∠3 ②
①+2×②得∠A +2∠D=180°
即∠D=90°- 12∠A
模型三：已知BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD，则
证明：∵BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD
∴∠1=∠2 = 12∠ABC，∠3=∠4 = 12∠ACD
∵∠ACD是∆ABC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC即∠A=2∠3-2∠1 ①
∵∠4是∆EBC的外角 ∴∠4=∠E+∠2即∠E=∠4-∠2 ②
①-2×②得∠A-2∠E=0即∠E=12∠A
【基础过关练】
1．如图，在中，，将沿直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．无法确定
2．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（ ）．
A．B．C．D．
3．如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
4．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（ ）
A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2
C．3A=∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）
5．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为（ ）
A．118°B．119°C．120°D．121°
6．如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ）
A．36°B．30°C．20°D．18°
7．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（ ）
A．∠1+∠0=∠A+∠2B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°
C．∠1+∠2+∠A+∠O=360°D．∠1+∠2+∠A=∠O
9．如图：、是、的角平分线，，（ ）
A．∠BPC=70ºB．∠BPC=140º
C．∠BPC=110ºD．∠BPC=40º
10．如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为_________．
11．如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为______．
12．如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
（1）若∠A＝60°，则∠P＝ °；
（2）若∠A＝40°，则∠P＝ °；
（3）若∠A＝100°，则∠P＝ °；
（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系 ．
【提高测试】
1．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
2．如图，平分，平分，与交于点，若，，则（ ）
A．80°B．75°C．60°D．45°
3．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则_______．
4．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________．
5．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝_________．
6．（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：．
（2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：．
（3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：．
7．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度数；
（2）若∠A=a，求∠E；
（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ．
8．如图，四边形中，和的平分线交于点．
（1）如果，，求的度数；
（2）请直接写出与的数量关系．
9．如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
(1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
10．在△ABC中，已知∠A＝α．
（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．求∠BDC的大小（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，求∠BFC的大小（用含α的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．
专题06 老鹰抓小鸡模型、双角平分线模型（三角形）
一、基础知识回顾
角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
已知OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=12∠AOB
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°
三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
二、模型的概述：
老鹰抓小鸡模型一: ∠A+∠O=∠1+∠2 （结论）
证明:连接AO
∵∠1是∆ABO的外角 ∴∠1=∠3+∠5 ①
∵∠2是∆ACO的外角 ∴∠2=∠4+∠6 ②
①+②得∠1+∠2=∠3+∠5+∠4+∠6，即∠1+∠2=∠BAC+∠BOC
文字概述：腋下两角之和等于上下两角之和
【变形】将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，∠C与∠1、∠2之间的关系为： 2∠C=∠1+∠2或 ∠C=12（∠1+∠2）
证明：
1）连接CC’，方法同模型一
2）在∆EFC中，将∠FEC=90°-12∠1，∠EFC=90°-12∠2代入∠FEC +∠EFC+∠C=180°化简
老鹰抓小鸡模型二：∠A+∠O=∠2-∠1 （结论）
证明：连接AO
∵∠1是∆ABO的外角 ∴∠1=∠BAO+∠AOB ①
∵∠2是∆AOD的外角 ∴∠2=∠3+ BAO +∠AOB+∠BOD ②
②-①得∠2-∠1=∠3+∠BFD 即∠BAD+∠BOD=∠2-∠1
【变形】将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，∠C与∠1、∠2之间的关系为： 2∠C=∠2-∠1或 ∠C=12（∠2-∠1）
双角平分线模型（三角形）
模型一：已知BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB，则∠D=90°+12∠A
证明：∵BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB
∵在∆ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB =180°∴∠A=180°-2∠DBC -2∠DCB ①
∵在∆BDC中，∠D+∠DBC+∠DCB=180°∴∠D=180°-∠DBC -∠DCB ②
①-2×②得∠A -2∠D=180°-2∠DBC -2∠DCB-360°+2∠DBC+2∠DCB
即∠D=90°+12∠A
模型二：已知BD、DC分别平分∠EBC、∠FCB，则∠D=90°- 12∠A
证明：∵BD、DC分别平分∠EBC、∠FCB
∴∠1=∠2 = 12∠EBC，∠3=∠4 = 12∠FCB
∵在∆ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB =180°∴∠A =180°-(180°-∠1-∠2) –(180°-∠3-∠4)
化简得∠A=∠1+∠2+∠3+∠4-180°=2∠2 +2∠3-180° ①
∵在∆BDC中，∠D+∠2+∠3=180°∴∠D=180°-∠2 -∠3 ②
①+2×②得∠A +2∠D=180°
即∠D=90°- 12∠A
模型三：已知BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD，则
证明：∵BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD
∴∠1=∠2 = 12∠ABC，∠3=∠4 = 12∠ACD
∵∠ACD是∆ABC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC即∠A=2∠3-2∠1 ①
∵∠4是∆EBC的外角 ∴∠4=∠E+∠2即∠E=∠4-∠2 ②
①-2×②得∠A-2∠E=0即∠E=12∠A
【基础过关练】
1．如图，在中，，将沿直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【详解】解：由折叠的性质得：，
根据外角性质得：，，
则，
则．
故选：B．
【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题）以及三角形外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
2．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理和平角定义证得∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，再根据折叠性质得出∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，进而求得∠1＋∠2=110°即可求解．
【详解】解：∵∠A＝55°，
∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，
∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，
由折叠可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，
∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，
∵∠1＝95°，
∴∠2＝110°－95°＝15°，
故选：B．
【点睛】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理、平角定义，熟练掌握折叠性质是解答的关键．
3．如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【答案】C
【分析】由折叠的性质可知,再利用平角的定义可求出的度数，进而利用三角形内角和可求∠B的度数.
【详解】由折叠的性质可知
∵
∴
∴
故选C
【点睛】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键.
4．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（ ）
A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2
C．3A=∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）
【答案】B
【分析】本题问的是关于角的问题，当然与折叠中的角是有关系的，∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的2倍都组成平角，结合△AED的内角和为180°可求出答案．
【详解】∵△ABC纸片沿DE折叠，
∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°，
∴∠AED= (180°−∠1),∠ADE= (180°−∠2)，
∴∠AED+∠ADE= (180°−∠1)+ (180°−∠2)=180°− (∠1+∠2)
在△ADE中,∠A=180°−(∠AED+∠ADE)=180°−[180°− (∠1+∠2)]= (∠1+∠2)
则2∠A=∠1+∠2，故选择B项.
【点睛】本题考查折叠和三角形内角和的性质，解题的关键是掌握折叠的性质.
5．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为（ ）
A．118°B．119°C．120°D．121°
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理得∠ABC＋∠ACB＝120°，由角平分线的性质得∠CBE＋∠BCD＝60°，再利用三角形的内角和定理得结果．
【详解】解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝120°，
∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠CBE＝∠ABC，∠BCD＝∠BCA，
∴∠CBE＋∠BCD＝（∠ABC＋∠BCA）＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形内角和和角平分线的相关知识，关键是可以根据题目中的信息，灵活变化求出相应问题的答案．
6．如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ）
A．36°B．30°C．20°D．18°
【答案】A
【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC；由角平分线的性质，得∠ECD=（∠A+∠ABC），∠EBC=∠ABC，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系，即可得到结论．
【详解】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD=（∠A+∠ABC）．
又∵∠ECD=∠E+∠EBC，
∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）．
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABC，
∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC），
∴∠E=∠A=18°，
∴∠A=36°．
故选A．
7．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和，可得∠ABC+∠ACB，根据角的和差，可得∠DBC+∠BCE，根据角平分线的定义，可得∠OBC+∠OCB，根据三角形的内角和，可得答案．
【详解】解：如图：
，
由三角形内角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m，
由角的和差，得∠DBC+∠BCE=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+m，
由∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，得
∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠BCE）=90°+m，
由三角形的内角和，得
∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-m．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，角的和差，角平分线的定义是解题关键．
8．如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（ ）
A．∠1+∠0=∠A+∠2B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°
C．∠1+∠2+∠A+∠O=360°D．∠1+∠2+∠A=∠O
【答案】D
【分析】连接AO并延长，交BC于点D，由三角形外角的性质可知∠BOD=∠BAD+∠1，∠COD=∠CAD+∠2，再把两式相加即可得出结论．
【详解】解：连接AO并延长，交BC于点D，
∵∠BOD是△AOB的外角，∠COD是△AOC的外角，
∴∠BOD=∠BAD+∠1①，∠COD=∠CAD+∠2②，
①+②得，∠BOC=（∠BAD+∠CAD）+∠1+∠2，即∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
9．如图：、是、的角平分线，，（ ）
A．∠BPC=70ºB．∠BPC=140º
C．∠BPC=110ºD．∠BPC=40º
【答案】C
【分析】首先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质可得，，进而可求的度数，再次在中利用三角形内角和即可求解．
【详解】解：，
，
又平分，平分，
，，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解．
10．如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为_________．
【答案】
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．
【详解】解：，，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
11．如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为______．
【答案】##32度
【分析】利用折叠性质得，，再根据三角形外角性质得，利用邻补角得到，则，然后利用进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键．
12．如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
（1）若∠A＝60°，则∠P＝ °；
（2）若∠A＝40°，则∠P＝ °；
（3）若∠A＝100°，则∠P＝ °；
（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系 ．
【答案】（1）65；（2）45；（3）40； （4）∠P=90°-∠A
【分析】（1）若∠A=50°，则有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数；
（2）、（3）和（1）的解题步骤类似．
【详解】解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，
∴∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，
∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，
∴∠DBC+∠BCE=360°-140°=220°，
∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线，
∴，，
∴，
∴；
（3）∵∠A=100°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°，
∴∠DBC+∠BCE=360°-80°=280°，
∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线，
∴，，
∴，
∴；
（4）∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴，
∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：∠P=90°-∠A．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角性质．关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义．
【提高测试】
1．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【答案】D
【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB，
∵∠BA'C=120°，
∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BAC=180°-120°=60°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，
∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，
∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型．
2．如图，平分，平分，与交于点，若，，则（ ）
A．80°B．75°C．60°D．45°
【答案】C
【分析】连接先求解 再求解 可得 再利用角平分线的定义可得： 从而可得： 再利用三角形的内角和定理可得的大小.
【详解】解：连接




平分，平分，



故选：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.
3．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则_______．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．
【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，
∴∠A1=∠A，
∵∠A=α．
∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α，
根据规律推导，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________．
【答案】15°##15度
【分析】先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=∠E．
【详解】解：如图：
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°，
∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，
∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，
∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，
∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，
∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，
即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，
∴2∠F=∠E，
∴∠F=∠E=×30°=15°．
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线、三角形外角性质，解题的关键是掌握三角形内角和是180°．
5．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝_________．
【答案】36°
【分析】由角平分线的定义得∠NCM=∠MBN=×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB=108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果．
【详解】由题意得：∠NCM=∠MBN=×180°=90°，
∴∠CMB+∠CNB=180°，
又∠CMB：∠CNB=3：2，
∴∠CMB=108°，
∴（∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°，
∴∠ACB+∠ABC=144°，
∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN=90°是关键．
6．（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：．
（2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：．
（3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【详解】（1）设．
由的内角和为，得．①
由的内角和为，得．②
由②得．③
把③代入①，得，
即，
即
（2）∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴
由三角形内角和定理得，，
=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-（∠A+180°），
=90°-∠A；
（3）如图：
∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D
∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4，
在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A①
在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），
即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，
把①代入②得∠D=∠A．
【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．
7．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度数；
（2）若∠A=a，求∠E；
（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ．
【答案】（1）35°；（2）90°-α；（3）β
【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-α；
（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．
【详解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，
∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，
∵∠ACG=∠A+∠ABC，
∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，
∵∠DCG=∠D+∠DBC，
∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，
∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，
∴∠D=∠A=35°；
（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，
∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，
∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°，
∴∠DBE=90°，
∵∠D=∠A，∠A=α，
∴∠D=α，
∵∠DBE=90°，
∴∠E=90°-α；
（3）如图，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，
∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC，
∴∠DAM=∠MAC，
∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，
∴∠ADB=∠ACB=β．
故答案为：β．
【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．
8．如图，四边形中，和的平分线交于点．
（1）如果，，求的度数；
（2）请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）120°；（2）
【分析】（1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可；
（2）方法同（1）
【详解】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-240°=120°，
∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠OBC+∠OCB= ，
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°；
（2）
证明：在四边形ABCD中，
∴
∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠OBC+∠OCB=
∴
【点睛】此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角．
9．如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
(1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)∠A的度数是或或或
【分析】（1）在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的定义得出∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC中，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形外角性质得出∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，根据角平分线的定义得出QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，求出∠QBC+∠QCB＝90°+A，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）根据角平分线的定义得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E＝3∠Q，再求出答案即可
【详解】（1）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝55°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°；
（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，
∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，
∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，
∴∠QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°+∠A）＝90°+A，
∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+A）＝90°﹣A；
（3）∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠BCF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠BC+2∠E，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，
即∠E＝A，
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）
＝90°，
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°，
综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键．
10．在△ABC中，已知∠A＝α．
（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．求∠BDC的大小（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，求∠BFC的大小（用含α的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】（1）∠BDC＝90°+；（2）∠BFC＝；（3）∠BMC＝90°+．
【分析】（1）由三角形内角和可求∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，由角平分线的性质可求∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，由三角形的内角和定理可求解；
（2）由角平分线的性质可得∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，由三角形的外角性质可求解；
（3）由折叠的性质可得∠G＝∠BFC＝，方法同（1）可求∠BMC＝90°+，即可求解.
【详解】解：（1）∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB，
∴∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝90°+；
（2）∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠FCE＝∠BFC+∠FBC，
∴∠BFC＝∠A＝；
（3）∵∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M，
∴方法同（1）可得∠BMC＝90°+，
∵将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，
∴∠G＝∠BFC＝，
∴∠BMC＝90°+.
【点睛】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线的性质定理，折叠的性质.