沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷专题06特殊平行四边形(重点)(原卷版+解析)

这是一份沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷专题06特殊平行四边形(重点)(原卷版+解析)，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等B．两组对边分别平行
C．两条对角线相等D．两条对角线互相垂直
2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．下列四个命题中，真命题是（ ）
A．对角线垂直且相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．一组邻边相等的平行四边形是正方形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
4．已知矩形的较短边长为6，对角线相交成60°角，则这个矩形的较长边的长是（ ）
A．B．C．9D．12
5．如图，E是矩形的边上一点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在正方形 中， 是 上的一点，且 ，则 的度数是（)
A．B．C．D．
7．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，与交于点，则重叠部分的面积是( )
A．20B．16C．12D．10
9．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A． B．四边形面积不变
C． D．四边形周长不变
10．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①②③④
二、填空题
11．菱形的对角线之比为3：4，且面积为24，则它的周长为__________．
12．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_______ (只填写序号)．
13．如图，矩形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的周长是______．
14．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上一点，且，则的度数是______．
15．如图，在菱形中，E，F，G分别是，，的中点，且，，则菱形的面积是___．
16．如图，在正方形ABCD中，AB=3，延长BC到点E，使CE=1，连接DE，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为__．
17．如图，正方形的边长为，点为边上一点，，点为的中点，过点作直线分别与，相交于点，.若，则长为______.
18．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点H在边AD上，AH＝2，E为边AB上一个动点，连接HE．以HE为一边在HE的右上方作菱形HEFG，使点G落在边DC上，连接CF．
（1）当菱形HEFG为正方形时，DG的长为___；
（2）在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为___．
三、解答题
19．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于E．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长．
20．如图，在中，点，分别是线段，的中点，且，延长至点使得，连结和．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，求的长．
21．如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．
22．如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点，过点D作，且，连接，连接交于点.
（1）求证：；
（2）若菱形ABCD的边长为4，，求的长.
23．如图，正方形中，点分别在边上，且，连接相交于点，作，垂足是．
（1）求证：；
（2）求证：．
24．已知，如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，，连接．
（1）若，求证四边形为正方形；
（2）若，求的面积．
25．已知正方形的边长为4，E是上一个动点，以点E为直角顶点，在正方形外侧等腰直角三角形，连结、、．
（1）与的位置关系是__________．
（2）①如图1，当（即点E与点D重合）时，的面积为_________．
②如图2，当（即点E为的中点）时，的面积为________．
③如图3，当时，的面积为_______．
（3）如图4，根据上述计算的结果，当E是上任意一点时，请提出你对面积与正方形的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想．
26．如图，在中，，E，F分别为，的中点，作于点G，的延长线交的延长线于点H．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）当时，
①求的长．
②如图2，交于点P，记的面积为，的面积为，则的值为________．
27．如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接．过点E作，交射线点F，以为邻边作矩形．连接．
(1)连接，求证：．
(2)求证：矩形是正方形．
(3)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
专题06 特殊平行四边形（重点）
一、单选题
1．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等B．两组对边分别平行
C．两条对角线相等D．两条对角线互相垂直
【答案】C
【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．
【解析】解：矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，
所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，
故选：C．
【点睛】本题主要考查矩形和菱形的性质，解题的关键是掌握矩形的对角线相等且平分、菱形的对角线垂直且平分．
2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据菱形的性质得到，，再进一步求解即可．
【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和平行线的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键．
3．下列四个命题中，真命题是（ ）
A．对角线垂直且相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．一组邻边相等的平行四边形是正方形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【答案】D
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理等知识逐项判定即可．
【解析】解：选项，对角线相等且互相垂直的四边形是菱形，若对角线不互相平分，则不是菱形，故原命题为假命题；
选项，对角线互相平分说明是平行四边形，菱形的判定定理：对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题为假命题；
选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题为假命题；
选项，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，为真命题；
故选：．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键．
4．已知矩形的较短边长为6，对角线相交成60°角，则这个矩形的较长边的长是（ ）
A．B．C．9D．12
【答案】B
【分析】根据矩形对角线相等且互相平分的性质和题中的条件易得△AOB为等边三角形，即可得到矩形对角线的长，进而求解即可．
【解析】
如图：AB=6，∠AOB=60°，
∵四边形是矩形，AC，BD是对角线，
∴OA=OB=OC=OD=BD=AC，
在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60°，
∴OA=OB=AB=6，BD=2OB=12，
∴BC=．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理等内容，熟悉性质是解题的关键．
5．如图，E是矩形的边上一点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由矩形证得，从而得，再由等腰三角形的性质求出等腰三角形的底角，再由平行线性质得出结论．
【解析】解：四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴，
故选：C
【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的性质，正确得出的度数是解题关键．
6．如图，在正方形 中， 是 上的一点，且 ，则 的度数是（)
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在正方形中可知∠BAC＝45°，由AB＝AE，进而求出∠ABE，又知∠ABE＋∠EBC＝90°，故能求出∠EBC．
【解析】解：在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，
∵∠ABE＋∠EBC＝90°，
∴∠EBC＝22.5°，
故选B．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握基础知识是解题关键．
7．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据菱形的性质得O为的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得的长度，利用勾股定理求得的长，最后由菱形的面积公式求解．
【解析】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∵，即，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得．
8．如图所示，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，与交于点，则重叠部分的面积是( )
A．20B．16C．12D．10
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得∠ADB=∠EDB，由平行可得∠ADB=∠CBD，推出∠CBD=∠EDB，设BF为x，在Rt△DCF中，根据勾股定理列出方程求出x，再根据面积公式求出△BDF的面积即可．
【解析】∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵△BDE是△BDA折叠后的图形，
∴∠ADB=∠EDB，
∴∠CBD=∠EDB，
设BF为x，则DF为x，CF为8－x，
在Rt△DCF中，
解得：x=5，
∴S△BDF=．
故选D．
【点睛】本题考查折叠中矩形的性质，关键在于利用勾股定理列出方程求解．
9．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A． B．四边形面积不变
C． D．四边形周长不变
【答案】A
【分析】两张等宽的纸条的宽为h，根据题意可得，从而得到四边形是平行四边形，再由，可得，进而得到四边形是菱形，即可．
【解析】解∶ 设两张等宽的纸条的宽为h，
∵纸条的对边平行，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，故A选项正确，符合题意，C选项错误，不符合题意；
∵在旋转的过程中，在变化，
∴四边形面积和周长也在变化，故B、D选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，面积法等知识，学握菱形的性质是解题的关键．
10．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①②③④
【答案】A
【分析】过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出平分，故③正确；进而求得，故②错误；当时，点与点重合，得到不一定等于，故④错误；故选A．
【解析】过作，过作于，如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，故①正确；
∴，
∵四边形是正方形
∴，
∴
在和中
∴
∴，
∵
∴平分，故③正确；
∴，故②错误；
当时，点与点重合，
∴不一定等于，故④错误．
故选：A
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
二、填空题
11．菱形的对角线之比为3：4，且面积为24，则它的周长为__________．
【答案】20
【分析】依题意，已知菱形的面积以及对角线之比，首先根据面积公式求出菱形的对角线长，然后利用勾股定理求出菱形的边长．
【解析】解：如图：
由题：，
∴可设，，
∵菱形ABCD的面积为，
∴（舍去），
∴，，
∴，，
∴中，由勾股定理得：，
∴菱形的周长是：．
故答案是：20．
【点睛】此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，利用菱形的面积求解是解题的关键．
12．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_______ (只填写序号)．
【答案】②③或①④
【分析】要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．
【解析】有6种选法：（1）①②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（2）②③：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（3）①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（4）②④：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（5）①④：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（6）③④：由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
综上所述：错误的是：②③或①④．
故答案为②③或①④．
【点睛】本题考查了正方形的判定方法：先判定四边形是菱形，再判定四边形是矩形；或先判定四边形是矩形，再判定四边形是菱形；那么四边形一定是正方形；熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．
13．如图，矩形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的周长是______．
【答案】40
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，即可求出其周长．
【解析】∵四边形为矩形，
，，且，
∴，
，
∴四边形为平行四边形，
，
∴四边形为菱形，
．
故答案为：40
【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
14．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上一点，且，则的度数是______．
【答案】
【分析】由菱形的性质可得，，可得，由三角形内角和定理求得的度数，据此即可求解．
【解析】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
15．如图，在菱形中，E，F，G分别是，，的中点，且，，则菱形的面积是___．
【答案】96
【分析】连接，，交点为，与交于点，与交于点，由三角形中位线定理得出，，，，得出，由勾股定理求出的长，根据菱形的面积公式可得出答案．
【解析】解：如图，连接，，交点为，与交于点，与交于点，
四边形是菱形，
，
，，分别是，，的中点，
，，，，
四边形是矩形，
，
，，
，
，，
菱形的面积是．
故答案为96．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，菱形的面积，根据三角形的中位线定理求出AC和BD的长是解题的关键．
16．如图，在正方形ABCD中，AB=3，延长BC到点E，使CE=1，连接DE，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为__．
【答案】4或11
【分析】根据运动过程，根据点P运动的位置和全等情况分类讨论，根据全等三角形的性质即可分别求解．
【解析】解：当点P在AB上运动时，显然A、B、P构不成三角形
∴此时不符合题意；
当点P在BC上运动时，
由AB=CD， ∠ABP=∠DCE=90°，显然此时存在△ABP≌△DCE
∴BP=CE
∴t-3=1，即t=4；
当点P在CD上运动时，如下图所示，显然不存在点P，使得△ABP和△DCE全等；
当点P在DA上运动时，如下图所示
由AB=CD， ∠A=∠DCE=90°，显然此时存在△ABP≌△CDE
∴AP=CE=1
∴3×4-t=1
解得t=11．
综上：当△ABP和△DCE全等时，t的值为4或11．
故答案为：4或11．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应情况分类讨论是解题关键．
17．如图，正方形的边长为，点为边上一点，，点为的中点，过点作直线分别与，相交于点，.若，则长为______.
【答案】1或2
【分析】根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．
【解析】根据题意画出图形，过点作，交于点，交于点，四边形为正方形，.
在中，，cm，
cm.
根据勾股定理得cm.
为的中点，
cm，
在和中，
，
，.
PN//DC，
，
，即.
在中，，
cm.
由对称性得到 cm，
综上，等于1cm或2cm.
故答案为1或2.
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
18．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点H在边AD上，AH＝2，E为边AB上一个动点，连接HE．以HE为一边在HE的右上方作菱形HEFG，使点G落在边DC上，连接CF．
（1）当菱形HEFG为正方形时，DG的长为___；
（2）在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为___．
【答案】 2
【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为正方形，那么∠D=∠A=∠GHE=，HG=HE，易证△GDH≌△HAE，得DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于ABCD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2，进而可求△FCG的面积S的最大值和最小值，从而确定S的取值范围．
【解析】解：（1）如图1，当菱形为正方形时，，，
四边形为矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
；
故答案为：2；
（2）如图2，过作，交延长线于，连接，
∵ABCD，
，
∵HEGF，
，
，
在和中，
，
，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2，
∴，
设，则，
在中，，
，
，
即，
，
，
的最小值为，此时，
的最大值为8时，，
在点的运动过程中，的面积的取值范围为：；
故答案为：；
【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题
19．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于E．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)见详解
(2)24
【分析】（1）只要证明是的中位线即可．
（2）在中求出，再求出、即可解决问题．
【解析】（1）证明：四边形是菱形，
，，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
，
．
（2）解：在菱形中，，
在中，，，
，
，
，
周长．
【点睛】本题考查菱形的性质、三角形中位线定理、三角形周长等知识，解题的关键是证明点是中点，记住菱形的对角线互相垂直，属于中考常考题型．
20．如图，在中，点，分别是线段，的中点，且，延长至点使得，连结和．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】（1）先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明∠CDA=90°即可；
（2）利用矩形的性质得到BD，再利用勾股定理求解．
【解析】解：（1）∵E是AC中点，
∴，
∵，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形ADCF是矩形．
（2）∵四边形ADCF是矩形，
∴，
∵D是AB中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查矩形的判定，勾股定理，记住矩形的判定方法是解题关键，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有三个角直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，属于中考常考题型．
21．如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．
【答案】（1）OE＝OF，详见解析；（2）四边形AFCE是菱形，详见解析
【分析】（1）根据矩形的性质得出AD//BC，求出∠EAO＝∠FCO，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AC的中点是O，
∴OA＝OC，
在和中，
，
，
∴OE＝OF；
（2）∵OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定、菱形的判定；关键在于掌握好相关的基础知识．
22．如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点，过点D作，且，连接，连接交于点.
（1）求证：；
（2）若菱形ABCD的边长为4，，求的长.
【答案】（1）证明过程见解析；（2）
【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD即可；
（2）根据菱形的性质得出AC＝AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．
【解析】(1)证明：在菱形ABCD中
OC=AC，AC⊥BD，
∵DE=AC，
∴DE=OC，
∵DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴□OCED是矩形，
∴OE=CD．
(2) 在菱形ABCD中,AB=BC=4，
∵∠ABC=60˚，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，OA=AC=2，
在Rt△AOB中，，
∵四边形OCED是矩形，
∴OD=CE=OB=，
在Rt△ACE中，．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
23．如图，正方形中，点分别在边上，且，连接相交于点，作，垂足是．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，即，可得，可得，（2）根据（1）的结论得，从而可证，根据全等三角形的性质，可得线段之间的等量关系，可求解答案．
【解析】（1）四边形是正方形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）由（1）知，
，
，
又，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
24．已知，如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，，连接．
（1）若，求证四边形为正方形；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）见详解；（2）1
【分析】(1)由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG=∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°，易证四边形HEFG为正方形；
(2)过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB//CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2，进而可求三角形面积.
【解析】解：(1)∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，
∴∠D=∠A=90°，HG=HE，又AH=DG=2，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH(HL)，
∴∠DHG=∠HEA，
∵∠AHE+∠HEA=90°，
∴∠AHE+∠DHG=90°，
∴∠EHG=90°，
∴四边形HEFG为正方形；
(2)过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB//CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE//GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S△FCG=×FM×GC=×2×(7−6)=1.
【点睛】本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角．
25．已知正方形的边长为4，E是上一个动点，以点E为直角顶点，在正方形外侧等腰直角三角形，连结、、．
（1）与的位置关系是__________．
（2）①如图1，当（即点E与点D重合）时，的面积为_________．
②如图2，当（即点E为的中点）时，的面积为________．
③如图3，当时，的面积为_______．
（3）如图4，根据上述计算的结果，当E是上任意一点时，请提出你对面积与正方形的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想．
【答案】（1）平行；（2）①8；②8；③8；（3）S正方形ABCD，理由见解析
【分析】（1）证、、共线，根据平行四边形的判定推出平行四边形即可；
（2）①根据三角形的面积公式求出即可；
②③根据代入求出即可；
（3）由（2）求出的面积，求出正方形的面积，即可得出答案．
【解析】
解：（1）正方形，等腰直角三角形，
，
，
即、、三点共线，
，，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：平行．
（2）①的面积是，
故答案为：8．
②的面积是：
，
故答案为：8．
③与②求法类似：的面积是
，
故答案为：8．
（3）面积与正方形的面积之间关系是S正方形ABCD．
证明：，
S正方形ABCD，
∴S正方形ABCD．
【点睛】本题综合考查了正方形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是把要求的三角形的面积转化成能根据已知求出的三角形的面积的和或差的形式，再根据三角形的面积公式求出每一部分的面积．
26．如图，在中，，E，F分别为，的中点，作于点G，的延长线交的延长线于点H．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）当时，
①求的长．
②如图2，交于点P，记的面积为，的面积为，则的值为________．
【答案】（1）见解析；（2）①12；②
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，再根据中点的定义得到AF=BE，可得四边形ABCD是平行四边形，结合AB=AF，可得结论；
（2）①连接AE交BF于点O，由菱形性质可得∠AOB=90°，从而求出菱形ABEF的面积，可得四边形ABCD的面积，根据CG⊥AB可得CG，从而求出AG，证明△AFG≌△DFH，得到AG=DH，在△GCH中利用勾股定理求出GH即可；
②过F作FK⊥AB交BA延长线于K，求出FK，从而得到△BGF和△BGC的面积，从而分别得出S1和S2，可得S1-S2．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别为BC、AD中点，
∴AF=AD，BE=BC，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AD=2AB，AD=2AF，
∴AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）①连接AE交BF于点O，
∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF=BE=4，OA=OE=AE，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，OA==3,
∴AE=2OA=6，
∴S菱形ABEF=AE·BF=×6×8=24，
∵E、F分别是BC、AD中点，
∴BE=EC，AF=FD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABEF，四边形EFDC都是平行四边形，且底和高相等，
∴S四边形ABEF=S四边形EFDC=24，
∴S四边形ABCD=S四边形ABEF+S四边形EFDC=48，
∵CG⊥AB，
∴S四边形ABEF=AB·CG=5CG=48，∠BGC=90°，
∴CG=，
∵AD=BC=2AB=10，
∴BG=，
∴AG=AB-BG=5-=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，AB∥CD，
∴∠A=∠FDH，∠GCH=∠BGC=90°，
∵F是AD中点，
∴AF=DF，
在△AFG和△DFH中，
，
∴△AFG≌△DFH（ASA），
∴AG=DH=，
∴CH=CD+DH=5+=，
在Rt△GCH中，GH==12；
②过F作FK⊥AB交BA延长线于K，
∴S四边形ABEF=AB·FK=5FK=24，
∴FK=，
∴S△BGF=BG·FK==，
S△BGC=BG·CG==，
∵S2=S△BGC-S△BGP=-S△BGP，
S1=S△BGF-S△BGP=-S△BGP，
∴S2-S1=-=．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，重点考查了几何图形的推理论证能力，同时也要结合已知条件作出辅助线，扩大运用范围．
27．如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接．过点E作，交射线点F，以为邻边作矩形．连接．
(1)连接，求证：．
(2)求证：矩形是正方形．
(3)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)的值是定值，定值为4．
【分析】（1）根据正方形的性质以及边角边的关系证明即可得到结论；
（2）作出辅助线，得到，然后判断，得到，则有即可证明矩形是正方形；
（3）同（法判断出得到，即可求解．
【解析】（1）证明：∵点E是正方形对角线上的点，
∴，，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，作，
∴，
∵点E是正方形对角线上的点，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
∴矩形是正方形；
（3）解：的值是定值，定值为4．
理由：∵四边形、都是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．