沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷专题07特殊平行四边形(难点)(原卷版+解析)

这是一份沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷专题07特殊平行四边形(难点)(原卷版+解析)，共60页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，、、、分别是四边形四条边的中点，顺次连接、、、得四边形，连接、，下列命题不正确的是（ ）
A．当四边形是矩形时，四边形是菱形
B．当四边形是菱形时，四边形是矩形
C．当四边形满足时，四边形是菱形
D．当四边形满足，时，四边形是矩形
2．如图，E、F、H分别为正方形的边、、上的点，连接，，且，平分交于点G．若，则的度数为（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
3．如下图，在菱形中，，，过菱形的对称中心分别作边，的垂线，交各边于点，，，，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
4．如图：是边长为1的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BF⊥AC交CD于点F，DE⊥AC交AB于点E，垂足分别为M、N，连接EM、FN．则下列四个结论：①；②EM//FN；③；④当时，四边形DEBF是菱形；其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如图，正方形中，，点、分别在边、上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接、，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．如图，在矩形中，是延长线上一点，，连接、，过点作于点，为上一点，连接，．若，，则的长为（ ）
A．B．8C．D．
8．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．②③④
9．如图，矩形中，点G，E分别在边，上，连接，，，将和分别沿，折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，，则的长度为（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接，在下列结论中：①；②；③；④若，则，
⑤，其中正确的结论有（ ）
A．个B．个C．个D．个
二、填空题
11．给定下列命题：（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（4）一个角为直角,两条对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形；其中不正确的命题的序号是____________
12．如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G.若G是CD的中点，则BC的长是___.
13．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则的值为________________．
14．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是_____cm．
15．已知，如图，在矩形ABCD中，，，点E为线段AB上一动点不与点A、点B重合，先将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H，若折叠后，点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，则AE的长是______．
16．如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO．若CA=2，CO=，那么CB的长为________．
17．如图，直线经过正方形的顶点，先分别过此正方形的顶点、作于点、于点．然后再以正方形对角线的交点为端点，引两条相互垂直的射线分别与，交于，两点．若，，则线段长度的最小值是___．
18．如图，菱形中，，点E在对角线上，且，点F在延长线上，连接，作．交延长线于点G，，则_________，延长，交于点H，则的长是________．
三、解答题
19．如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，过点作交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是菱形．
20．如图，矩形ABCD 和正方形ECGF，其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH.
（1）求证：；
（2）求证：；
21．四边形中，对角线于点，且；
（1）如图1，若，求四边形的面积；
（2）如图2，若，，求；
（3）如图3，若，，，求四边形的面积．
22．在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边AD上一动点，以CE为边，在CE的右侧作正方形CEFG，连结BF．
（1）如图1，当点E与点A重合时，则BF的长为 ．
（2）如图2，当AE＝1时，求点F到AD的距离和BF的长．
（3）当BF最短时，请直接写出此时AE的长．
23．如图，正方形中，，，分别是，，上的中点，连结，，，连结分别交，于点，，交于点．
（1）求证：；
（2）当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点处，若，设．
①求的长．
②当时，用含代数式表示四边形的面积．
③在，整个运动过程中，当，与四边形的两个顶点构成平行四边形时，求的值．
24．如图1，已知线段BE＝8，点C是线段BC上的动点，分别以BC，CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF．
（1）若BC＝7，则AF的长为 ；
（2）如图2，连接BD交AF于点H，求证：点H恰为AF中点；
（3）如图3，连接AC，CF，HG并延长HG交CF于点M，求证：四边形CMHO为矩形；
（4）如图4，连接OM，直接写出OM的最小值 ．
25．如图1，在矩形中，，，点为边上一动点，连结，作点关于直线的对称点，连结，，，，与交于点．
（1）若，求证：．
（2）如图2，连结，，若点在矩形的对角线上，求所有满足条件的的长．
（3）如图3，连结，当点到矩形一个顶点的距离等于2时，请直接写出的面积．
26．菱形中，，点在的内部或三边上，且．点在线段上，点在线段上，，连接．
(1)如图1，当点与点重合时，直接写出的形状；
(2)如图2，与交于点，连接且．
①若，求菱形的边长；
②如图3，若点在上，求的值．
27．如图，在中，过点作交于点，且．
(1)如图1，过点作且，连接，若，求的长；
(2)如图2，点是上一点，且，交于点．求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，且．连接，线段与相交于点．将沿着翻折，点与点重合，连接．请直接写出的值．
28．如图1所示，在正方形中，，是对角线上一点，，，分别为垂足，连结．
(1)与的数量关系式___________；
(2)如图2，过点作，交直线于点，连结．点为中点，回答以下问题：
当点在线段上时，求；
是否存在一点，使得，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．
专题07 特殊平行四边形（难点）
一、单选题
1．如图，、、、分别是四边形四条边的中点，顺次连接、、、得四边形，连接、，下列命题不正确的是（ ）
A．当四边形是矩形时，四边形是菱形
B．当四边形是菱形时，四边形是矩形
C．当四边形满足时，四边形是菱形
D．当四边形满足，时，四边形是矩形
【答案】C
【分析】先证四边形EFGH是平行四边形；再根据选项条件结合矩形、菱形的判定定理进行判断即可．
【解析】解：，分别是，的中点，
，，
，分别是，的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形；
，分别是，的中点，、分别是、中点，
，，
当四边形是矩形时，，
，
四边形是菱形，故A正确，不符合题意；
当四边形是菱形时，，
，，
，
四边形是菱形，故B正确，不符合题意；
当四边形满足时，不能证明四边形是菱形，故C错误，符合题意；
当四边形满足，时，
∵，，
∴AC是BD的垂直平分线，即
∵，
∴∠HEF=∠EFG=∠DGH=∠GHE=90°
∴四边形是矩形，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中点四边形，灵活利用矩形、菱形的判定定理是解答本题的关键
2．如图，E、F、H分别为正方形的边、、上的点，连接，，且，平分交于点G．若，则的度数为（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
【答案】D
【分析】过点作，由正方形的性质，，，四边形为矩形，利用HL易证得，可得，进而可得，由角平分线可得的度数，即可求得得度数．
【解析】解：过点作，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，则四边形为矩形，
∴，
∵，
∴（HL），
∴，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线，构造全等三角形，利用其性质转化角度是解决问题的关键．
3．如下图，在菱形中，，，过菱形的对称中心分别作边，的垂线，交各边于点，，，，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先证明是等边三角形，求出EF，同理可证都是等边三角形，然后求出EH，GF，FG即可．
【解析】解：如图，连接BD，AC，
∵四边形ABCD是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
同法可证，都是等边三角形，
∴，，
∴四边形EFGH的周长为．
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
4．如图：是边长为1的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，过作，利用面积法求解，的值等于点到的距离，即正方形对角线的一半．
【解析】解：连接，过作，如图所示：
，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，，
为中点，
，
即值是．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法求解是解决问题的关键．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BF⊥AC交CD于点F，DE⊥AC交AB于点E，垂足分别为M、N，连接EM、FN．则下列四个结论：①；②EM//FN；③；④当时，四边形DEBF是菱形；其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据矩形的性质得到AB=CD，AB//CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD//BC，根据平行线的性质得到DE⊥AC，根据垂直的定义得到∠DNA=∠BMC=90°，由全等三角形的性质得到DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；证△ADE≌△CBF（ASA），得出AE=FC，DE=BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM//FN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN=∠ABD，则DE=BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD//BC，
∴∠DAN=∠BCM，
∵BF⊥AC，DE//BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA=∠BMC=90°，
在△DNA和△BMC中，
，
∴△DNA≌△BMC（AAS），
∴DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=FC，DE=BF，故③正确；
∴DE-DN=BFBM，即NE=MF，
∵DE//BF，
∴四边形NEMF是平行四边形，
∴EM//FN，故②正确；
∵AB=CD，AE=CF，
∴BE=DF，
∵BE//DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵AO=AD，
∴AO=AD=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO=∠DAN=60°，
∴∠ABD=90°-∠ADO=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN=∠ODN=30°，
∴∠ODN=∠ABD，
∴DE=BE，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
6．如图，正方形中，，点、分别在边、上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接、，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】根据沿对折至，得到，，可判定；由折叠和三角形全等，可判定；设，则，，，根据勾股定理，得到，，可以判断；根据，，得到即，可判定；先计算，根据，计算．
【解析】沿对折至，四边形ABCD是正方形，
，，
在和中，
，
，
①正确；
由折叠和三角形全等，得，，
，
，
，
，
②正确；
设，则，，
，
根据勾股定理得：，即，
解得，
，
；
③正确；
，
，
，
，
，
，即，
；
④正确；
，，
，
因为，
，
⑤正确；
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等判定和性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的判定，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键．
7．如图，在矩形中，是延长线上一点，，连接、，过点作于点，为上一点，连接，．若，，则的长为（ ）
A．B．8C．D．
【答案】A
【分析】先证得△CDE是等腰直角三角形，再进一步说明∠EBC=∠CGB得到CG=BC=EG=4,说明三角形BCG为等腰三角形，进而说明GH=BH、∠CHB=90°，再根据直角三角形的性质求得CH=BC=2，进而求得GH=BH=CH=2，最后根据EH=GH+GE求解即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠CDA=90°，AD//BC
∴∠CDE=90°，∠AEB=∠EBC=30°
∵ED=CD
∴△CDE是等腰直角三角形
∴∠DCE=∠DEC=45°
∴∠CEB=45°-30°=15°
∵EG=CG
∴∠GCE=∠GEB=15°
∴∠CGB=∠GCE+∠CEB=30°
∴∠EBC=∠CGB
∴CG=BC=4
∴EG=4
∵CH⊥BE
∴GH=BH,∠CHB=90°
∵∠EBC=30°
∴CH=BC=2,GH=BH=CH=2
∴EH=GH+EG=4+2．
故选A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
8．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ABD的中位线，得出OG=AB，①正确；
③先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确；
②连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△ABD三边的距离相等，则S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四边形ODGF，则S四边形ODGF=S△ABF，②错误；即可得出结论．
④∵连接CG，由O、G分别是AC，AD的中点，得到，则S△ACD＝4S△AOG，再由S△AOG＝S△BOG，得到S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG＝AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；
∵连接CG，
∵O、G分别是AC，AD的中点，
∴，
∴S△ACD＝4S△AOG，
∵，
∴S△AOG＝S△BOG，
∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
连接FD，如图：
∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，
∴F到△ABD三边的距离相等，
∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，
∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②错误；
正确的是①③④，
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识，综合运用以上知识是解题的关键．
9．如图，矩形中，点G，E分别在边，上，连接，，，将和分别沿，折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，，则的长度为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】设，根据折叠的性质表示出，，再利用勾股定理得到DE的长．
【解析】解：设，
由翻折性质得：，
∵，
由翻折性质得：，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，和沿，折叠，点B，C落在上的同一点F，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，灵活运用所学知识是解题关键．
10．如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接，在下列结论中：①；②；③；④若，则，
⑤，其中正确的结论有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】由“”可证，可得，故正确；
如图，在上截取连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，
，故正确；
如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，由勾股定理可得，故正确；
如图1，设，则，利用勾股定理可求,故错误；
由三角形的面积公式可求，故正确；
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
故正确；
如图1，在上截取，连接，

，,，
，
,，
，
，
，
又，，
，
，，
故正确；
如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，

，，
，，，
，
，，
，
，
又，，
，
，
在中， ，
，
故正确；
，
设，则，
，
如图1，在上截取，连接，

由可得：，
设，则，
，
，
，
，
，
故错误；
如图1，，
，
，
故正确；
正确的结论有，共个．
故选：
【点睛】本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
二、填空题
11．给定下列命题：（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（4）一个角为直角,两条对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形；其中不正确的命题的序号是____________
【答案】（1）、（2）、（4）
【解析】（1）对角线相等的平行四边形是矩形，则原命题错误；（2）对角相等的四边形是平行四边形，则原命题错误；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；（4）一个角为直角,两条对角线互相平分的四边形是矩形，则原命题错误；（5）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形，则原命题错误，所以错误的命题有（1）、（2）、（4），故答案为（1）、（2）、（4）.
12．如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G.若G是CD的中点，则BC的长是___.
【答案】7
【分析】根据线段中点的定义可得CG=DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF，EG=FG，设DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC=AD．
【解析】∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=8，
∴CG=DG=×8=4，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG(ASA)，
∴DE=CF，EG=FG，
设DE=x，
则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，
在Rt△DEG中,EG=，
∴EF=，
∵FH垂直平分BE，
∴BF=EF，
∴4+2x=，
解得x=3，
∴AD=AE+DE=4+3=7，
∴BC=AD=7.
故答案为7.
【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题关键在于综合运用勾股定理、全等三角形的性质解答即可.
13．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则的值为________________．
【答案】
【分析】连接BE，BD，证明△BCD是等边三角形，证得∠ABE=∠CEB=90°，由折叠可得AF=EF，由EF2=BE2+BF2可求出答案．
【解析】解：如图，连接BE，BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴AB=4=BC=CD，∠A=60°=∠C，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是CD中点，
∴DE=2=CE，BE⊥CD，∠EBC=30°，
∴，
∵CD∥AB，
∴∠ABE=∠CEB=90°，
由折叠可得AF=EF，
∵EF2=BE2+BF2，
∴EF2=12+（4-EF）2，解得，，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．
14．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是_____cm．
【答案】2
【分析】连接BP，根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝，S△ABP＋S△BPC＝AB•PE＋BC•PE把相应的值代入即可．
【解析】解：连接BP，
∵ 四边形ABCD是菱形，且周长是12cm，面积是6cm2
∴AB＝BC＝×12＝3，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴ S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝＝3，
∴S△ABP＋S△BPC＝AB•PE＋BC•PE＝3，
∴×3×PE＋×3×PF＝3，
∴PE＋PF＝3×＝2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查菱形的性质，S△ABP＋S△BPC＝S△ABC＝是解题的关键．注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．
15．已知，如图，在矩形ABCD中，，，点E为线段AB上一动点不与点A、点B重合，先将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H，若折叠后，点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，则AE的长是______．
【答案】或
【分析】依据点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，分两种情况讨论：F在横对称轴上与F在竖对称轴上，分别求出BF的长即可．
【解析】解：分两种情况：
当F在横对称轴MN上，如图所示，
此时，，
，
，
由折叠得，，，
，
即，
，
；
当F在竖对称轴MN上时，如图所示，
此时，
，
，
，
，
由折叠的性质得，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
综上所述，点B的对应F落在矩形ABCD的对称轴上，此时AE的长是或．
故答案为或．
【点睛】本题考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
16．如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO．若CA=2，CO=，那么CB的长为________．
【答案】+2
【解析】如图，在BC上截取BD=AC=2，连接OD，
∵四边形AFEB是正方形，
∴AO=BO，∠AOB=∠ACB=90°，
∴∠CAO=90°-∠ACH，∠DBO=90°-∠BHO，
∵∠ACH=∠BHO，
∴∠CAO=∠DBO，
∴△ACO≌△BDO，
∴DO=CO=，∠AOC=∠BOD，
∵∠BOD+∠AOD=90°，
∴∠AOD+∠AOC=90°，即∠COD=90°，
∴CD=，
∴BC=BD+CD=．
故答案为：．
【点睛】本题的解题要点是，通过在BC上截取BD=AC，并结合已知条件证△ACO≌△BDO来证得△COD是等腰直角三角形，这样即可求得CD的长，从而使问题得到解决．
17．如图，直线经过正方形的顶点，先分别过此正方形的顶点、作于点、于点．然后再以正方形对角线的交点为端点，引两条相互垂直的射线分别与，交于，两点．若，，则线段长度的最小值是___．
【答案】
【分析】根据正方形的性质可得，，然后利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，设，，然后列出方程组求出、的值，再利用勾股定理列式求出正方形的边长，根据正方形的对角线平分一组对角可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断出是等腰直角三角形，再根据垂线段最短和等腰直角三角形的性质可得时最短，然后求解即可．
【解析】在正方形中，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，，
，，
，
消掉并整理得，，
解得，，
当，，
当，，
由勾股定理得，，
在正方形中，，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
由垂线段最短可得，时最短，也最短，
此时，的最小值为．
故答案为．
【点睛】考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于多次证明三角形全等并判断出长度最小时的情况．
18．如图，菱形中，，点E在对角线上，且，点F在延长线上，连接，作．交延长线于点G，，则_________，延长，交于点H，则的长是________．
【答案】
【分析】先根据题意求得，如图，过点作，则可的是等边三角形，由可得,,则，,进而根据AAS可证明，进而可得的长，过点作于点，过作于，根据勾股定理可得的长，设，进而求得的长由，可得是等边三角形，进而求得,根据的面积等于，据此列出方程，解方程即可求得,进而求得．
【解析】如图，过点作，
四边形是菱形，
，是等边三角形
是等边三角形
，
,
即
在和中
（AAS）
,
是等边三角形，
过点作于点，过作于，如图，
在中，
在中，
在中，设,
是等边三角形，
的面积等于
整理得
因式分解得：
解得或（舍）
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．
三、解答题
19．如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，过点作交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据已知条件证明BE＝DF，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，即可证明DE∥BF，
（2）先证明DE＝BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD．
∴BE＝DF，BE∥DF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE＝DE，
∵四边形DFBE是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，比较综合，难度适中．
20．如图，矩形ABCD 和正方形ECGF，其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH.
（1）求证：；
（2）求证：；
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）根据题意可先证明四边形AHCE为平行四边形，再根据正方形的性质得到∴，，故可证明四边形AHGF是平行四边形，即可求解；
（2）根据四边形AHGF是平行四边形，得，根据四边形ABCD是矩形，可得 ，再根据平角的性质及等量替换即可证明.
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，且E、H分别为AD、BC的中点，
∴，，
∴四边形AHCE为平行四边形，
∴，，
又∵四边形ECGF为正方形，
∴，，
∴，，
∴四边形AHGF是平行四边形，
∴；
（2）证明：∵四边形AHGF是平行四边形，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知特殊平行四边形的性质定理.
21．四边形中，对角线于点，且；
（1）如图1，若，求四边形的面积；
（2）如图2，若，，求；
（3）如图3，若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由 可得：，从而可得答案；
（2）设，，则 再证明，利用勾股定理求解 从而可得答案；
（3）如图3中，过点作于，过点作于．设，则，再证明，可得，而，可得，从而可得：，再证明四边形是矩形，，，再由，列方程，解得，从而可得答案.
【解析】解：（1）如图1中，
，，
，
，
．
（2）如图2中，
，
可以假设，，则

，，
，
，，
．
（3）如图3中，过点作于，过点作于．
，
可以假设，，
，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
整理得，
，
，
经检验：符合题意；
．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，对角线互相垂直的四边形的特点，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，一元二次方程的解法，二次根式的运算，典型的综合题，知识的系统化与灵活运用是解题的关键.
22．在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边AD上一动点，以CE为边，在CE的右侧作正方形CEFG，连结BF．
（1）如图1，当点E与点A重合时，则BF的长为 ．
（2）如图2，当AE＝1时，求点F到AD的距离和BF的长．
（3）当BF最短时，请直接写出此时AE的长．
【答案】（1）；（2）点F到AD的距离为3，BF=；（3）2
【分析】（1）连接DF，证明△ADF≌△CDA，得出CDF共线，然后用勾股定理即可；
（2）过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，FH⊥BC交BC的延长线于K，证明△EHF≌△CDE，再用勾股定理即可；
（3）当B，D，F共线时，此时BF取最小值，求出此时AE的值即可．
【解析】解：（1）如图，连接DF，
∵∠CAF=90°，∠CAD=45°，
∴∠DAF=45°，
在△CAD和△FAD中，
，
∴△CAD≌△FAD（SAS），
∴DF=CD，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
∴C，D，F共线，
∴BF2=BC2+CF2=42+82=80，
∴BF＝，
故答案为：；
（2）如图，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，FH⊥BC交BC的延长线于K，
∵四边形CFG是正方形，∴EC=EF，∠FEC=90°，
∴∠DEC+∠FEH=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∴∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠FEH，
又∵∠EDC=∠FHE=90°，
在△ECD和△FEH中，
，
∴△ECD≌△FEH（AAS），
∴FH=ED，
∵AD=4，AE=1，
∴ED=AD-AE=4-1=3，
∴FH=3，即点F到AD的距离为3，
∴∠DHK=∠HDC=∠DCK=90°，
∴四边形CDHK为矩形，
∴HK=CD=4，
∴FK=FH+HK=3+4=7，
∵△ECD≌△FEH，
∴EH=CD=AD=4，
∴AE=DH=CK=1，
∴BK=BC+CK=4+1=5，
在Rt△BFK中，BF＝；
（3）∵当A，D，F三点共线时，BF的最短，
∴∠CBF=45°，
∴FH=DH，
由（2）知FH=DE，EH=CD=4，
∴ED=DH=4÷2=2，
∴AE=2．
【点睛】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，关键是要作辅助线构造全等的三角形，在正方形和三角形中辅助线一般是垂线段，要牢记正方形的两个性质，即四边相等，四个内角都是90°．
23．如图，正方形中，，，分别是，，上的中点，连结，，，连结分别交，于点，，交于点．
（1）求证：；
（2）当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点处，若，设．
①求的长．
②当时，用含代数式表示四边形的面积．
③在，整个运动过程中，当，与四边形的两个顶点构成平行四边形时，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）①；②；③、、．
【分析】（1）通过证明四边形AECG是平行四边形，可得AECG；
（2）①由“SAS”可证△ABF≌△DAE，可得∠AFB＝∠AED，AE＝BF＝ ，由余角的性质可得∠AHF＝90°，由面积法可求解；
②先求出点P与点Q的速度比，分别求出PH，HN，NQ的长度，即可求解；
③分三种情况讨论，由平行四边形的对边相等列出等式，即可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴ABCD，AB＝CD＝AD，
∵点E是CD中点，点G是AB的中点，
∴AG＝CE，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AECG；
（2）解：①∵AB＝AD＝CD＝10，点F是AD中点，
∴AF＝5，
∴ ，
∵E，F分别是CD，AD上的中点，
∴AF＝FD＝DE＝CE，
又∵AB＝AD，∠BAF＝∠ADE，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠AFB＝∠AED，AE＝BF＝ ，
∵∠DAE＋∠AED＝90°，
∴∠DAE＋∠AFB＝90°，
∴∠AHF＝90°，
∵，
∴,
∴AH＝.
②如图1，连接PQ，
∵AH＝，AB＝10，
∴ ，
∵∠ABF＋∠CBF＝90°，∠ABF＋∠BAH＝90°，
∴∠CBF＝∠BAH，
∵AECG，
∴∠AHB＝∠GNB＝90°＝∠BNC，
又∵AB＝BC，
∴△ABH≌△BCN（AAS），
∴CN＝BH＝ ，BN＝AH＝，
∴HN＝，
∵当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动到点N处，
∴点P的速度与点Q的速度比为＝5：4，
∵CQ＝4t，
∴AP＝5t，
∴HP＝AP−AH＝5t−，NQ＝NC−CQ＝−4t，
∴＝ ×（HP＋NQ）×HN＝ ×（5t−＋−4t）×＝10＋t；
③当点P在点H右侧开始有满足条件的平行四边形，
若PH＝MQ时，且AEGC，则四边形HPQM是平行四边形，如图，
此时，，
∴；
当HP＝NQ时，且AEGC，则四边形HPQN是平行四边形，如图，
此时，，
∴；
当PE＝QM时，且AEGC，则四边形PEMQ是平行四边形，如图，
此时，，
∴；
综上所述：t的值为或或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，求出点P与点Q的速度比是解题的关键．
24．如图1，已知线段BE＝8，点C是线段BC上的动点，分别以BC，CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF．
（1）若BC＝7，则AF的长为 ；
（2）如图2，连接BD交AF于点H，求证：点H恰为AF中点；
（3）如图3，连接AC，CF，HG并延长HG交CF于点M，求证：四边形CMHO为矩形；
（4）如图4，连接OM，直接写出OM的最小值 ．
【答案】（1）10；（2）见解析；（3）见解析；（4）4
【分析】（1）延长交于，勾股定理求得即可；
（2）连接，，连接，可得，再根据平行线的性质证明，可得，进而可得，即证明点H恰为AF中点；
（3）延长交于,证明，即可求得，进而证明，根据正方形的性质，可得根据（2）可知，即可求得，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得证；
（4）过分别向作垂线，交于点，根据，当重合时，即可求得最小值即为．
【解析】（1）延长交于，如图，
四边形，是正方形，
四边形是矩形
，
在中，
故答案为：；
（2）如图，连接，
四边形是正方形，
,
又
，
四边形是正方形
，
即
即为的中点
（3）如图，延长交于,
由（2）可知，
又，
即
由（2）可知，则
四边形为矩形
（4）如图，过分别向作垂线，交于点，
则为正方形的中心，因为点为正方形的中心，
根据垂线段最短，当时，最小，
当重合时，取得最小值，
此时
的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，矩形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，掌握以上知识，正确的添加辅助线是解题的关键．
25．如图1，在矩形中，，，点为边上一动点，连结，作点关于直线的对称点，连结，，，，与交于点．
（1）若，求证：．
（2）如图2，连结，，若点在矩形的对角线上，求所有满足条件的的长．
（3）如图3，连结，当点到矩形一个顶点的距离等于2时，请直接写出的面积．
【答案】（1）见解析；（2）或；（3）①当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为；②当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为；③当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为．
【分析】（1）因为点关于的对称点为点，得到，即点为的中点．因为，，得到点为的中点即可求解；
（2）分两种情况：①点在对角线上．，，；②点在对角线上．求出DB 和AG ，再根据勾股定理即可求解；
（3）分三种情况：①当点到矩形顶点的距离等于2时．②当点到矩形顶点的距离等于2时．③当点到矩形顶点的距离等于2时．
【解析】（1）证明：∵点关于的对称点为点，
∴，即点为的中点．
∵，，
∴点为的中点，
∴为的中位线．
∴．
（2）分两种情况：
①如图1，点在对角线上．
∵点关于的对称点为点，
∴，，．
∴AC=5
设，
∴，
∴，即．
②如图2，点在对角线上．

∵，，
∴．
∵S△ABD=
∴．
∴．
设，，
∵DG2+GE2=DE2，
∴
∵S△ADE=
∴
∴．
∴，即．
综上：或．
（3）分三种情况：
①点到矩形顶点A的距离等于2时
∵AF=AD=3＞2
∴此种情况不存在；
②当点到矩形顶点的距离等于2时，连接FB，
则BF=2，AF=AD=3
过F作FH⊥AB于H，FQ⊥BC于Q，如图，
∴∠FHB=∠ABC=∠BQF=90°
∴四边形BHFQ是矩形
∴FQ=BH
设BH=x，则AH=4-x
∵FH2=AF2-FH2=FB2-BH2
∴4-x2=9-（4-x）2
∴x=
∴FQ=BH=
∴的面积为=．
③当点到矩形顶点的距离等于2时，如图，连接BF
则FC=2
∵AF+FC≥AC，又AF+FC=5，AC=5
∴AC+FC=AC
∴A，C，F三点共线，F在线段AC上
∵
∴=
即的面积为．
④当点到矩形顶点的距离等于2时，连接BF，过F点作MNAB
则DF=2
∴DG=FG=1
∴AG=
∵
∴MF=
∴NF=MN-MF=4-
∴的面积为=．
综上①当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为；②当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为；③当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为．
【点睛】此题考查了四边形的综合、轴对称的性质和矩形的性质，掌握它们的性质，根据题意作图分类讨论是解题的关键．
26．菱形中，，点在的内部或三边上，且．点在线段上，点在线段上，，连接．
(1)如图1，当点与点重合时，直接写出的形状；
(2)如图2，与交于点，连接且．
①若，求菱形的边长；
②如图3，若点在上，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据菱形的性质得出，进而得出是等边三角形，，由，得出结论；
（2）①连接，证明得出，进而得出是等边三角形，在中勾股定理即可求解；
②连接，设菱形的边长为，根据①的结论，分别求得，即可求解．
【解析】（1）解：是等边三角形，
∵四边形是菱形，
∴
∵
∴是等边三角形，
∴
∴
∵
∴是等边三角形，
（2）①如图所示，连接，
∴是等边三角形，
在中，
∴（负值舍去）
∴菱形的边长为；
②如图所示，连接，设菱形的边长为，
∵都是等边三角形，
∴，
由①可得，
∵垂直平分，
∴，
∴，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
27．如图，在中，过点作交于点，且．
(1)如图1，过点作且，连接，若，求的长；
(2)如图2，点是上一点，且，交于点．求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，且．连接，线段与相交于点．将沿着翻折，点与点重合，连接．请直接写出的值．
【答案】(1)10
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）根据，结合得到，继而得到，运用勾股定理求得．
（2）如图，连接，延长到点Q，使得，连接，过点C作于点M，证明，，，证明即可．
（3）根据已知和（2）的结论得出是等边三角形，连接，交于点，延长交于点，延长交于点，证明是等腰直角三角形，得出，在中，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【解析】（1）∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）如图，连接，延长到点，使得，连接，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
又，
∴，
∵
∴
即
∴
∵，
∴，即是等边三角形，
∴
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴,
∵是的一个外角，
∴，
在中，，
如图所示，连接，交于点，
由（2）可知，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∵折叠
∴，
∴
∴，
∴是等边三角形，
在中，
∴
∴
延长交于点，
∵，，
∴，
延长交于点，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，则，
又∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，则，
，
∴是等腰直角三角形，
则，又，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，平行四边形的性质，折叠的性质，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
28．如图1所示，在正方形中，，是对角线上一点，，，分别为垂足，连结．
(1)与的数量关系式___________；
(2)如图2，过点作，交直线于点，连结．点为中点，回答以下问题：
当点在线段上时，求；
是否存在一点，使得，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，存在，
【分析】（1）根据正方形的性质可得到，，从而可证明，得到，再通过矩形的判定得到四边形为矩形，从而得到，最终即可得到答案；
（2）由，，得到四边形为平行四边形，从而可得到，由（1）可得，，，再根据角度的转变和等腰三角形的性质从而可得到，进而得到为等腰直角三角形，即可得到答案；分两种情况：当在上时，当在上时，分别讨论，求出符合情况的值即可．
【解析】（1）解：，
四边形是正方形，为对角线，
，，，
在和中，
，
，
，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
故答案为：；
（2）解：四边形是正方形，为对角线，
，，
，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
由（1）可得，，，
，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
；
存在，，
假设当在上时成立，使得，
四边形是正方形，为对角线，点为中点，
，，
在和中，
，
，
，
，，
四边形为矩形，为等腰直角三角形，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
当在上时，如图所示，
此时，
不存在，
综上所述，当时，使得．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及采用分类讨论的思想去解决问题．