沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训04平行四边形压轴题(原卷版+解析)

这是一份沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训04平行四边形压轴题(原卷版+解析)，共79页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，在中，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，，，求的面积．
2．如图，中，，连结，是边上一点，连结交于点．
（1）如图1，连结，若，，求的面积；
（2）如图2，延长至点，连结、，点在上，且，，过作于点．若，求证：．
3．在平行四边形ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE．
(1)如图1，点G在BD上，且DG＝DC，连接CG，过G作GH⊥CE于点H，连接DH并延长交AB于点M，若HG＝BM，求证：BM+DH＝DB；
(2)如图2，∠ABC＝120°，AB＝，点N在BC边上，BC＝4CN，若CE是∠DCB的角平分线，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，PQ＝，连接BP、NQ，请直接写出BP+PQ+QN的最小值．
4．如图，在中，，，点E为边AC的中点，，交AC于点E，交DE的延长线于点F，连结CD．
（1）求证：；
（2）求证：AC是DF的中垂线；
（3）过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：．
5．在中，，点P为所在平面内的一点，过点P分别作交于点，交于点，交于点．
(1)如图1，若点在边上，此时，直接写出、、与满足的数量关系；
(2)如图2，当点P在内，猜想并写出、、与满足的数量关系，然后证明你的猜想；
(3)如图3，当点P在外，猜想并写出、、与满足的数量关系．（不用说明理由）
6．已知：四边形是平行四边形，点E是边的中点，连接，过点A作，垂足为点G，交边于点F，点H是线段上一点，连接，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交C边于点K，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长至点M，连接、，若，，，求的长．
7．【问题原型】如图①，在中，点D是的中点，连接，．求证：．请补全证明过程．
证明：如图①，点D是的中点（已知），
∴（中点定义）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴______， ______．（____________）（填推理依据）
∵，
∴，
∴．
【结论应用】如图②，中，点D是的中点，连接，将沿翻折得到，连接，交于点O，连接．请判断与的位置关系，并说明理由．
【应用拓展】如图③，在中，，点E是边的中点，连接，将沿翻折得到，连接并延长，交于点F．若，，，则的长为______．
8．已知平行四边形，E为边上的中点，F为边上的一点，
(1)如图1，连接并延长交的延长线于点G，求证：；
(2)如图2，若，，求；
(3)如图3，若，P为的中点，Q为的中点，，，
①判断与的位置关系，并说明理由；
②求．
9．如图，在四边形中，．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图1，连接，射线沿翻折交边于点E，点F，G在上，点H在上，连接，若，求证：；
(3)如图2，在（2）的条件下，G为中点，若， ，求的长．
10．在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F，连结AF、CE．
(1)如图1，求证：四边形AFCE为平行四边形；
(2)如图2，若AB＝AF，∠ACB＝45°，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，交AF于点M．
①试判断线段BH与AB的数量关系，并说明理由；
②当∠CBG＝15°，BC＝2时，连结EH，求△CEH的面积．
11．在矩形ABCD（）中，点E在边AD上，点F在DC延长线上，连接BE、BF，且．
(1)如图1，求证，，
(2)如图2，当E是AD中点时，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作交CD于点G，若，求线段DG的长．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与x轴、y轴分别交于点和点C，直线与直线交于点．

(1)求直线的解析式；
(2)若点E为线段上一个动点，过点E作轴，垂足为F，且与直线交于点G，当时，求点G的坐标；
(3)问在平面上是否存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图像经过点D，交边于点E，作直线．
(1)求反比例函数的解析式和E点坐标；
(2)在y轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标；
(3)若点M在反比例函数的图像上，点N在坐标轴上，是否存在以D、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标，若不存在，请说明理由．
14．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点作轴交直线于点K，点坐标为，连接，点H是的中点，点G是线段上任意一点，将沿边翻折得．
(1)直接写出点的坐标______；线段的长为______；
(2)当折叠后点落在直线的下方时，如图所示，连接，与重叠部分的面积是面积的，请判断以为顶点的四边形的形状，并说明理由，同时求出的长；
(3)当折叠后点落在直线的上方时，其它条件与（2）相同，以为顶点的四边形的形状是______；直接写出此时的长为______．
15．平行四边形中，，，在的延长线上，在上，连接．
(1)如图1，连接，若，，求的面积；
(2)如图2，将绕着逆时针旋转，连接交于点，若点为中点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，取中点，当，时，直接写出的面积.
16．如图1，线段．点D为射线上一动点，以为边作菱形使，且点E、F与点N在的两侧，在线段上取一点G，使，直线与线段相交于点H（点H与点M、N不重合），与相交于点K．
(1)求证：；
(2)探索与的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，若，在上作一点P，使．
①求证：；
②求的周长（用含m的代数式表示）．
17．已知，和都是等腰直角三角形，C为它们公共的直角顶点，如图1，D，E分别在，边上，F是的中点，连接．
(1)求证：．
(2)请猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)如图2，将固定不动，由图1位置绕点C逆时针旋转，旋转角，旋转过程中，其他条件不变．试判断，与的关系是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出相关正确结论．
18．在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积．
解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积．
(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 cm2．
(2)如图2，在中，，且，求线段的最小值．
(3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积．
19．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且满足：．
(1)求：的值；
(2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
20．如图，在的同侧以、为底边向外作等腰、，其中，为的中点，连接、．
(1)如图，当时，直接写出与的关系．
(2)如图，当时，（1）的结论还成立吗？请你做出判断并说明理由；
(3)如图，当，，连接，取其中点，若动点A从的位置运动到时停止，则点的运动路径长为______．
21．如图，点P是内一点，
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若 且 求的面积；
(3)如图3，将绕点P旋转至处，过D作，交延长线于F，若 ，直接写出的值为 ．
22．已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
23．如图，在中，，点D是边上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转至，连接，取的中点M，连接．
(1)求证：；
(2)问与有何数量关系？写出你的结论并证明；
(3)若点D在上运动，则四边形能否形成平行四边形？若能，请直接写出此时的长；若不能，说明理由．
24．如图1，与均为等腰直角三角形，且，连接BC、AG，延长AG与BC交于点F．
(1)求证：；
(2)当点G为CE的中点，时，求CF的长；
(3)如图2，过点C作，过点A作，AD、CD交于点D，在边AB上取一点H，使得，连接DH，探究CG、CD、DH三条线段之间的数量关系，并证明．
25．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝α（0°＜α＜90°），AD∥BC．
(1)如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)如图2，BE平分∠ABC，交AD于点E，若α＝30°，AB＝2，求△ABE的面积；
(3)如图3，BE平分∠ABC，交AD于点E，作AH⊥CD交射线DC于点H，交BE于点F，若AB＝AH，请探究线段AF，DE，CH的数量关系．
26．在平行四边形ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE，交BD于点F．
(1)如图1，若点E为AD中点，对角线AC与BD相交于点O，且△DFE的面积为，DF＝2，求CD的长；
(2)如图2，若点G在BD上，且DG＝AB，连接CG，过G作GH⊥CE于点H，连接DH并延长交AB于点M，若，用等式表示线段BM，DH，BD的数量关系，并证明；
(3)如图3，若∠ABC＝120°，AB＝2，点N在BC边上，BC＝4CN，且CE平分∠BCD，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，且，连接BP，NQ，请直接写出BP＋PQ＋QN的最小值．
特训04 平行四边形 压轴题
一、解答题
1．如图，在中，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，，，求的面积．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（3）
【分析】（1）根据已知条件求得∠BCD=∠CBA，即可得解；
（2）证明∠DCB+∠A=∠DCB+∠ACD=90°，即可得解；
（3）过点作于点，过点作，过作交于点,于点,过点作于点,过点作分别交，于点,连接,分别证明，，通过导角可得是等腰直角三角形，进而求得,进而求得的面积．
【解析】解：（1）证明：∵，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠CAB+∠CBA=90°，
又∵，
∴∠BCD=∠CBA，
∴BD=CD；
（2）证明：∠FED=∠DCB+∠CFE=∠DCB+∠A-45°，
∵，
∴∠DCB+∠A=∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠FED=90°-45°=45°；
（3）如图，过点作于点，过点作，过作交于点,于点,过点作于点,
即为的角平分线，
在与中，
（AAS）
过点作分别交，于点,
四边形是平行四边形
是等腰直角三角形
又
①
设
则
，
,
②
连接,如图，
是等腰直角三角形
③
在与中
，
是等腰直角三角形
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等角对等边，平行四边形的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．
2．如图，中，，连结，是边上一点，连结交于点．
（1）如图1，连结，若，，求的面积；
（2）如图2，延长至点，连结、，点在上，且，，过作于点．若，求证：．
【答案】（1）；（2）见详解．
【分析】（1）根据所给的60°，判断出等边三角形，得出BE=6，根据所给比例关系，求出CE，然后求出三角形面积；
（2）利用已知条件能够求出≌，之后需要构造全等图形，使所求的BG+GD转化在同一直线上，然后根据含有30°的特殊直角三角形的关系，即可证明出结果．
【解析】解：（1）
如图：过A点作AN⊥BE，交BE于N．
∵，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB=BE=AE=6
即：AN=
∵
∴
∵BE=6
∴BC=10
∴EC=4
∴
即：的面积为．
（2）
如图：延长GD至P使DP=BG，连接AP，
∵AH=AF，
∴∠AFH=∠AHF
即：∠AFB=∠AHD，
又∵AF=AH，BF=DH，
∴≌
∴AB=AD
又∵，，
∴∠ABG=∠ADP
∵BG=DP，
∴≌
∴AG=AP，∠BAG=∠DAP
∵∠ABC=60°
∴∠BAD=120°
即：∠GAP=120°
∴∠AGP=∠APG=60°，
又∵AM⊥GD
∴GP=2GM=AG，
∵BG=GP
∴BG+GD=GD+DP=GP
即：BG+GD=AG．
【点睛】本题重点考察在平行四边形中利用平行四边形的性质证明图形面积，以及构造全等图形求多边之间的关系，构造全等三角形是本题的解题关键．
3．在平行四边形ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE．
(1)如图1，点G在BD上，且DG＝DC，连接CG，过G作GH⊥CE于点H，连接DH并延长交AB于点M，若HG＝BM，求证：BM+DH＝DB；
(2)如图2，∠ABC＝120°，AB＝，点N在BC边上，BC＝4CN，若CE是∠DCB的角平分线，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，PQ＝，连接BP、NQ，请直接写出BP+PQ+QN的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图1，过点D作DF⊥DM交CE于点F，设CE与BD交于点K，先证明△DCF≌△DGH（ASA），进而证得△DFH是等腰直角三角形，得出FH＝DH，再证明△DMB≌△CGH（AAS），推出CF＝BM，即可证得结论；
（2）如图2，在CD上截取CG＝CN，连接GQ，过点B作BF∥CE，使BF＝PQ＝，连接DF交CE于点T，连接QF，过点F作FM⊥BD于点M，过点G作GH⊥DF于点H，应用平行四边形的性质和含30°直角三角形三边关系可得：BC＝2CD＝2，利用勾股定理可得BD＝，再利用含30°直角三角形三边关系可得：BM＝BF＝，FM＝BM＝，进而可得DM＝，求得：FG＝，再证四边形BPQF是平行四边形，得出BP＝FQ，再证明△CNQ≌△CGQ（SAS），得出QN＝QG，根据FQ+QG≥FG，可得出：当点Q在线段FG上时，FQ+QG的最小值为FG，即BP+QN的最小值为FG，即可求得BP+PQ+QN的最小值．
【解析】（1）如图1，过点D作DF⊥DM交CE于点F，设CE与BD交于点K，
∵BD⊥CD，DF⊥DM，GH⊥CE，
∴∠CDG＝∠FDH＝∠CHG＝90°，
∴∠CDF＝∠GDH，
∵∠DGH+∠HKG＝∠DCF+∠DKC＝90°，∠HKG＝∠DKC，
∴∠DCF＝∠DGH，
在△DCF和△DGH中，
，
∴△DCF≌△DGH（ASA），
∴DF＝DH，CF＝GH，
∵∠FDH＝90°，
∴△DFH是等腰直角三角形，
∴∠DFH＝∠DHF＝45°，FH＝DH，
∵DC＝DG，∠CDG＝90°，
∴∠CGD＝DCG＝45°，
∴∠CGD＝∠DHF，
∵∠CGD+∠GCH+∠CKG＝∠DHF+∠BDM+∠DKH＝180°，∠CKG＝∠DKH，
∴∠GCH＝∠BDM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，
∴∠DBM＝∠CDG＝90°＝∠CHG，
在△DMB和△CGH中，
，
∴△DMB≌△CGH（AAS），
∴DB＝CH，
∵CF＝GH，BM＝GH，
∴CF＝BM，
∵CF+FH＝CH，
∴BM+DH＝DB；
；
（2）如图2，在CD上截取CG＝CN，连接GQ，过点B作BF∥CE，使BF＝PQ＝，
连接DF交CE于点T，连接QF，过点F作FM⊥BD于点M，过点G作GH⊥DF于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，CD＝AB＝，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝180°﹣120°＝60°，
∵BD⊥CD，CD＝，
∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°，
∴BC＝2CD＝2，
∴BD＝＝＝，
∵CE平分∠DCB，
∴∠BCE＝∠DCE＝∠DCB＝×60°＝30°，
∵BFCE，
∴∠CBF＝∠BCE＝30°，
∴∠DBF＝∠CBF+∠CBD＝30°+30°＝60°，
∵FM⊥BD，BF＝，
∴BM＝BF＝＝，FM＝BM＝×＝，
∴DM＝BD-BM＝＝，
∴DF＝＝＝，
∵DF2+BF2＝，
∴DF2+BF2＝BD2，
∴BF⊥DF，
∵BFCE，
∴CE⊥DF，
∵∠DCE＝30°，
∴∠CDF＝90°-30°＝60°，
∵BC＝2，BC＝4CN，
∴CN＝＝，
∴CG＝CN＝，
∴DG＝CD-CG＝-＝，
∵GH⊥DF，∠CDF＝60°，
∴DH＝DG＝＝，GH＝DH＝×＝，
∴FH＝DF-DH＝+＝，
∴FG＝＝＝，
∵BFCE，BF＝PQ，
∴四边形BPQF是平行四边形，
∴BP＝FQ，
在△CNQ和△CGQ中，
，
∴△CNQ≌△CGQ（SAS），
∴QN＝QG，
∵FQ+QG≥FG，
∴当点Q在线段FG上时，FQ+QG的最小值为FG，
∴BP+QN的最小值为FG，
∵PQ＝，FG＝，
∴BP+PQ+QN的最小值为FG+PQ＝＝，
故BP+PQ+QN的最小值为．
；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，截长补短方法，熟练运用所学知识点是解题关键
4．如图，在中，，，点E为边AC的中点，，交AC于点E，交DE的延长线于点F，连结CD．
（1）求证：；
（2）求证：AC是DF的中垂线；
（3）过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解．
【分析】（1）根据，，点E为边AC的中点，可得，可证DE是AC的垂直平分线，得出，再根据，点E为边AC的中点，可得点D为边AB的中点，则有，证得；
（2）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明，进而得到，，即可证出DE=EF，由（1）知，证得AC是DF的中垂线；
（3）首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．
【解析】证明：（1）∵，，点E为边AC的中点，
∴
∴DE是AC的垂直平分线，
∴，
又∵，点E为边AC的中点，
∴点D为边AB的中点，
∴，
∴；
（2）∵DE∥BC，CF∥AB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF=BC，
∵D为边AB的中点，DE∥BC，
∴，
∴
∴DE=EF，
由（1）知，
∴AC是DF的中垂线；
（3）如图示：
∵DB∥CF，
∴∠ADG=∠G，
∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，
∴CD=DB=AD，
∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，
∵DG⊥DC，
∴∠DCA+∠1=90°，
∵∠DCB+∠DCA=90°，
∴∠1=∠DCB=∠B，
∵∠A+∠ADG=∠1，
∴∠A+∠DGC=∠B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，熟练地应用相关性质是解题的关键．
5．在中，，点P为所在平面内的一点，过点P分别作交于点，交于点，交于点．
(1)如图1，若点在边上，此时，直接写出、、与满足的数量关系；
(2)如图2，当点P在内，猜想并写出、、与满足的数量关系，然后证明你的猜想；
(3)如图3，当点P在外，猜想并写出、、与满足的数量关系．（不用说明理由）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）证平行四边形，推出，，根据等腰三角形性质推出，推出即可；
（2）过点作分别交、于、两点，推出，再推出即可；
（3）过点作分别交、于、两点，推出，再推出即可．
【解析】（1）结论是，
证明：∵，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
．
（2）结论是，
证明：过点作分别交、于、两点，
由（1）得：，
四边形是平行四边形，
，
．
（3）结论是．
证明：过点作分别交、延长线于、两点，
由（1）得：，
四边形是平行四边形，
，
．
即
【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质等知识点，关键是熟练地运性质进行推理和证明，题目含有一定的规律性，难度不大，但题型较好．
6．已知：四边形是平行四边形，点E是边的中点，连接，过点A作，垂足为点G，交边于点F，点H是线段上一点，连接，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交C边于点K，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长至点M，连接、，若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得，利用等量关系得，根据等腰三角形的性质可得G是AH的中点，则可得AG是△ABH的中位线，进而可求证结论．
（2）根据平行四边形的性质得，进而可根据平行线的性质可得，又根据等腰三角形的性质结合平行线的性质可得，，根据三角形内角和可得∠KBF=∠BKF，可得△BFK为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质即可求证结论．
（3）连接，作，垂足为点R，作交的延长线于点N，根据平行四边形的判定及性质可得，，则，利用勾股定理的逆定理得△AKD为直角三角形，且，则可得，进而可得，利用SAS可得，进而可得，根据利用勾股定理即可求解．
(1)
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴△ADH为等腰三角形，
∵，
∴，
∴G是的中点，
∴E是的中点，
∴EG是△ABH的中位线，且EG与DE在同一直线上，
∴．
(2)
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∠KBF=∠BKF，HF⊥BK，
∴△BFK为等腰三角形，
∴HF为BK的垂直平分线，
∴BH=HK．
(3)
连接，作，垂足为点R，作交的延长线于点N，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
设，
∴
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴△AKD为直角三角形，且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、平行四边形的性质、勾股定理及勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理及判定定理，巧妙借助辅助线解决问题是解题的关键．
7．【问题原型】如图①，在中，点D是的中点，连接，．求证：．请补全证明过程．
证明：如图①，点D是的中点（已知），
∴（中点定义）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴______， ______．（____________）（填推理依据）
∵，
∴，
∴．
【结论应用】如图②，中，点D是的中点，连接，将沿翻折得到，连接，交于点O，连接．请判断与的位置关系，并说明理由．
【应用拓展】如图③，在中，，点E是边的中点，连接，将沿翻折得到，连接并延长，交于点F．若，，，则的长为______．
【答案】【问题原型】；；等边对等角；【结论应用】；理由见解析【应用拓展】
【分析】（1）由，根据等边对等角得出，，根据三角形内角和定理即可得出答案；
（2）利用得出的结论，得出，根据平行线的判定即可得出结论；
（3）过点D作于点G，连接交于点O，根据的面积，求出，根据勾股定理先求出，求出，再根据勾股定理求出，根据上面得出的结论，得出，证明四边形为平行四边形，即可得出结果．
【解析】证明：【问题原型】如图①，点D是的中点（已知），
∴（中点定义）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴，，（等边对等角）
∵，
∴，
∴；
故答案为：；；等边对等角．
解：【结论应用】；理由如下：
根据折叠可知，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
根据【问题原型】中的结论可知，，
∴，
∴．
解：【应用拓展】过点D作于点G，连接交于点O，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴在中，根据勾股定理可得：
，
∵为的中点，
∴，
∴，
根据勾股定理可得，，
根据折叠可知，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，作出辅助线，熟练掌握勾股定理．
8．已知平行四边形，E为边上的中点，F为边上的一点，
(1)如图1，连接并延长交的延长线于点G，求证：；
(2)如图2，若，，求；
(3)如图3，若，P为的中点，Q为的中点，，，
①判断与的位置关系，并说明理由；
②求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)①；理由见解析；②
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）法一：连接并延长交的延长线于点，易得，进而得到，利用，得到，即可得解；法二：延长与相交于点，可证，得到，易得，得到，利用，得到，即可得解；
（3）①连接并延长交的延长线于点，易得，进而得到，从而得到，即可得证；②由①可知为直角三角形，利用勾股定理进行求解即可．
【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵为边上的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
连接并延长交的延长线于点，由（1）可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
方法二：延长与相交于点，
同（1）可得： （AAS或ASA），
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）①连接并延长交的延长线于点，由（1）可得，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②由①的为直角三角形，
∵为的中点，为的中点，
∴设，，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质，通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键．
9．如图，在四边形中，．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图1，连接，射线沿翻折交边于点E，点F，G在上，点H在上，连接，若，求证：；
(3)如图2，在（2）的条件下，G为中点，若， ，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据已知条件利用两组对边互相平行即可得出结论；
（2）根据，可得出，再根据已知条件表示出，，即可得出结论；
（3）在上截取，延长交于N，过D作交于P．
可得出为等边三角形，得出，设，则，可得出，再利用勾股定理可得出．
（1）
∵，
∴，
∵．
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）
∵，
∴，
∵，
∴，．
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵射线沿翻折交边于点E，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）
在上截取，作EK⊥BC于K，延长交于N，过D作交于P．
∵，，
∴．
∴
∵，
∴
∵
∴
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴
设，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴解得，
∴．
【点睛】本题考查了四边形的综合知识，题中多次用到三角形全等的判定以及性质，还利用了等边三角形的性质、勾股定理等知识，解题时要细心，本题难度比较大．
10．在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F，连结AF、CE．
(1)如图1，求证：四边形AFCE为平行四边形；
(2)如图2，若AB＝AF，∠ACB＝45°，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，交AF于点M．
①试判断线段BH与AB的数量关系，并说明理由；
②当∠CBG＝15°，BC＝2时，连结EH，求△CEH的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①AB=BH，理由见解析；②
【分析】（1）通过证明AE∥CF，AE=CF，一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可；
（2）①由平行四边形证得∠ABC+∠BAD=180°，∠DAF=∠AFB，∠DAC=∠ACB=45°，∠ECF=∠AFB=∠ABF，再进一步证得∠BAC=90°-∠ECA，∠AHB =90°-∠ECA，从而得∠AHB=∠BAC，最后由等角对等边即可得证；
②如图，证明△ABH为等边三角形，构造30°的直角三角形CGH，直角三角形CGQ，令HG=x，将三角形的各边用含x的式子表示，根据勾股定理求出 ，由三角形面积公式求出，将x2整体代入求出三角形面积即可．
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，∴∠EAO=∠OCF，∠AEO=∠CFO，∵O是对角线AC的中点，∴AO=CO，∴△AEO≌△CFO(AAS)∴AE=FC，∴四边形AFCE为平行四边形；
（2）①AB=BH，理由如下，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∠DAF=∠AFB，∠DAC=∠ACB=45°，∴∠BAC=180°-∠DAC-∠ABF，由（1）知四边形AFCE为平行四边形，∴AF∥CE，∴∠ECF=∠AFB=∠ABF，∴∠BAC=180°-∠DAC-∠ECF=180°-45°-(45°+∠ECA)=90°-∠ECA∵BG⊥CE，∴∠BGC=90°，∠GHC=90°-∠ECA又∵∠AHB=∠GHC，∴∠AHB =90°-∠ECA，∴∠AHB=∠BAC，∴AB=BH．②如图，以CB为一边作∠BCQ=15°，角的另一边交BG于点Q，∵∠CBG=15°，∴∠CBG=∠BCQ，∠GQC=∠CBG+∠BCQ=30°∴BQ=CQ，∵∠CBG=15°，∠ACB＝45°∴∠AHB=∠CBG+∠ACB=60°由①知BH=AB，∴△ABH为等边三角形，在△CHG中，∠GHC=∠AHB=60°,令HG=x，则CH=2HG=2x，∴CG=，在△CGQ中，∠GQC=30°,∴CQ=2CG=，∴，BQ=CQ=，在Rt△BCG中，∵BC=，CG=，BG=BQ+QG=+3x∴解得，∵CE=AF，AB=AF，AB=BH，∴CE=BH=BG-HG=+3x-x=+2x，∵∴
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，30°的直角三角形的性质，勾股定理等，难度较大，属于压轴题，巧妙构造30°的直角三角形是解题关键．
11．在矩形ABCD（）中，点E在边AD上，点F在DC延长线上，连接BE、BF，且．
(1)如图1，求证，，
(2)如图2，当E是AD中点时，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作交CD于点G，若，求线段DG的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）设，则，，根据，即有，则有，在中，可得，即有；
（2）连接EC并延长交BF的延长线于点H，延长CE交BA延长线于点G，先证得，再证，即可得证结论；
（3）过点E作于K，延长EK交BF于L，先证明四边形ELFG为平行四边形，再证明，得到KL=DG，BL=EG，在求证KL是中位线，进而求出KL的长度，设，则，由（2）知，在和中，利用勾股定理得：，即可求出KL，则DG得解．
(1)
∵矩形ABCD，
∴，
在中，设，则，，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
∴；
(2)
连接EC并延长交BF的延长线于点H，延长CE交BA延长线于点G，
如图，
∵E为AD中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即；
(3)
根据（2）的结论有，
过点E作于K，延长EK交BF于L，
如图，
0
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ELFG为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，可证长方形ABKE，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，，
∴（中位线）
设，则，由（2）知，
∴，
在和中，
利用勾股定理得：，
∵，
∴，
∴解得：，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、中位线的判定与性质、解一元二次方程等知识，作出科学的辅助线，证得是解答本题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与x轴、y轴分别交于点和点C，直线与直线交于点．

(1)求直线的解析式；
(2)若点E为线段上一个动点，过点E作轴，垂足为F，且与直线交于点G，当时，求点G的坐标；
(3)问在平面上是否存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的解析式为
(2)
(3)存在，符合条件的H点的坐标为或或
【分析】（1）根据题意求出D点的坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）设出G点的坐标，根据直线解析式得出E点坐标，根据，列方程求解即可得出G点的坐标；
（3）分为对角线，为对角线，为对角线三种情况分别讨论求出H点的坐标即可．
【解析】（1）解：由题意知，在直线上，
∵当时，，
∴，
设直线的解析式为，
由题意得：，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵轴，
∴G，E的横坐标相同，
设，则，
∴，，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：存在，点H的坐标为：或或，
①如下图，当四边形是以为对角线的平行四边形时，
令，则，
∴，
∵，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴，
∵，
∴直线的解析式为，
∴，
解得，
∴此时；
②如下图，当四边形是以为对角线的平行四边形时，
∵，
∴直线为，
∵，，
∴；
③如下图，当四边形是以为对角线的平行四边形时，
∵，
∴直线为，
∵，，
∴；
综上所述，符合条件的H点的坐标为：或或．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的存在性问题，熟练掌握平行四边形的性质，注意分情况讨论是解题的关键．
13．如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图像经过点D，交边于点E，作直线．
(1)求反比例函数的解析式和E点坐标；
(2)在y轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标；
(3)若点M在反比例函数的图像上，点N在坐标轴上，是否存在以D、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数表达式为，；
(2)；
(3)存在，或．
【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到点D的坐标，再利用待定系数法求函数的解析式．
（2）作点E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，此时的周长最小，设交y轴于F，易证，根据相似三角形性质求解即可；
（3）若要形成平行四边形，则需要分当为平行四边形一边时点N在x轴上时以及点N在y轴上，当为平行四边形对角线时点N在x轴上时以及点N在y轴上，进行分类讨论即可．
【解析】（1）解∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵反比例函数的图像经过点D，
∴，
∴反比例函数表达式为
当时，，
∴；
（2）作点E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，此时的周长最小，设交y轴于F，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
（3）①当为平行四边形一边时，
且，
当点N在x轴上时，，此时舍去
当点N在y轴上时，，此时舍去
②当为平行四边形对角线时
当点N在x轴上时，设点，，
由中点坐标公式得
得
∴
当点N在y轴上时，设点
由中点坐标公式得
∴
综上所述，或
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，平行四边形的性质及判定，轴对称最短路线的问题，正确的理解题意是解题的关键．
14．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点作轴交直线于点K，点坐标为，连接，点H是的中点，点G是线段上任意一点，将沿边翻折得．
(1)直接写出点的坐标______；线段的长为______；
(2)当折叠后点落在直线的下方时，如图所示，连接，与重叠部分的面积是面积的，请判断以为顶点的四边形的形状，并说明理由，同时求出的长；
(3)当折叠后点落在直线的上方时，其它条件与（2）相同，以为顶点的四边形的形状是______；直接写出此时的长为______．
【答案】(1)，
(2)平行四边形，理由见解析，
(3)平行四边形，
【分析】（1）在中，当时，，则，再利用勾股定理求出的长即可；
（2）先由，得到，再由线段中点的定义得到，从而推出，再由折叠的性质得到，推出，即可证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质得到，据此求解即可；
（3）由题意得，重叠部分为，它和等高，先证明，再由，推出，则；再由折叠的性质得到，推出，即可证明四边形为平行四边形；由，得到，由折叠的性质可得，即可证明，得到，设， 则，解方程求出点G的坐标，即可利用勾股定理求出的长．
【解析】（1）解：在中，当时，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，
（2）解：四边形为平行四边形，理由如下：
由题意得，重叠部分为，它和等高，
∵，
∴，
又∵是的中点，即，
∴，
∴，
∵沿翻折得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形；
∴，
∵点H是的中点，
∴，
∴；
（3）解：四边形为平行四边形，理由如下：
由题意得，重叠部分为，它和等高，
∵是的中点，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
∵沿翻折得，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形为平行四边形；
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∵H是的中点，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴
解得（不符合题意的值舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
15．平行四边形中，，，在的延长线上，在上，连接．
(1)如图1，连接，若，，求的面积；
(2)如图2，将绕着逆时针旋转，连接交于点，若点为中点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，取中点，当，时，直接写出的面积.
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质并结合，可求出的值，进而求出的面积，再利用等高的三角形的面积比等于底之比，可以求出的面积．
（2）通过作辅助线构建三角形可以证明≌，再证明和是等腰直角三角形找出、与、之间的关系即可．
（3）通过作辅助线可以将求的面积转化为求的面积，构建直角三角形同时结合（1）（2）找出相应线段之间的等量关系式可求出和的长，从而可以求出 的面积．
【解析】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
；
，
，
．
（2）
证明：过作交的延长线于点，过作交于点，
，是的中点，，
，
点为中点，
是的中位线，
；
由（1）得，，，
，
，，
，
，
；
将绕着逆时针旋转，
，，
，
又，
，
在和中
，
≌，
，，
，，
，
即：，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
（3）
解：连接、、，
由（2）得：，，，
，
，
，
点为中点，
四边形是平行四边形，，
，，
，，
由（1）得：，
，
，
又是的中点，
，
、、三点共线，，
，
是直角三角形，
，
，
设，则有，，
，，
，，
在中：，
即：，
解得：，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及判定，旋转的性质，等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理、三角形的中位线等三角形知识的综合应用；熟练掌握相关的性质及定理并会灵活运用是解题的关键．
16．如图1，线段．点D为射线上一动点，以为边作菱形使，且点E、F与点N在的两侧，在线段上取一点G，使，直线与线段相交于点H（点H与点M、N不重合），与相交于点K．
(1)求证：；
(2)探索与的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，若，在上作一点P，使．
①求证：；
②求的周长（用含m的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)，详见解析
(3)①见解析；②
【分析】（1）由可证；（2）由全等三角形的性质和外角和的性质可证，即可得结论；（3）①由可证，可得；②通过证明四边形是平行四边形，可得，，由全等三角形的性质可得，即可求解．
【解析】（1）∵四边形是菱形，
∴
在和中，
∴
（2），理由如下：
∵
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
（3）①∵，，
∴
∴
②如图2，过点E作交于点Q
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴
∴是等边三角形
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴的周长
∴的周长为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
17．已知，和都是等腰直角三角形，C为它们公共的直角顶点，如图1，D，E分别在，边上，F是的中点，连接．
(1)求证：．
(2)请猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)如图2，将固定不动，由图1位置绕点C逆时针旋转，旋转角，旋转过程中，其他条件不变．试判断，与的关系是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出相关正确结论．
【答案】(1)见解析
(2)，，理由见解析
(3)不变，理由见解析
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，再根据全等三角形的判定定理，即可证出结论；
（2）首先根据全等三角形的性质及直角三角形的性质，即可得，，再由，即可解答；
（3）延长到点，使，交的延长线于点N，连接、，即可证得四边形为平行四边形，，再根据角的和差，即可证得，即可证得，，，据此即可证得结论
【解析】（1）证明：和都是等腰直角三角形，
，，，
在与中，
；
（2）解：结论：，；
理由如下：
，
，，
在，F是的中点，
，
，，
，，
，
；
（3）解：不变；理由如下：
如图：延长到点，使，交的延长线于点N，连接、，
又，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
在与中，
，
，，
，，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．
18．在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积．
解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积．
(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 cm2．
(2)如图2，在中，，且，求线段的最小值．
(3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积．
【答案】(1)12.5
(2)
(3)不是，，
【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形的面积，从而可以得到四边形的面积；
（2）由勾股定理可得，由配方法可求解；
（3）由平行四边形的性质可得，，由勾股定理可求，由配方法可求的最小值，即可求解．
【解析】（1）解：由题意可得，，，
则的面积，
即四边形的面积为，
故答案为：12.5；
（2）解：，
，
，
，
当时，取最小值，最小值为2；
（3）解：如图，过点B作于H，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
当时，有最小值，即的最小值为，
此时：，，
是等边三角形，
．
综上可知，不是定值，的最小值为，此时平行四边形的面积为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
19．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且满足：．
(1)求：的值；
(2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据非负数的性质求得的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解；
（2）过点E作轴于G，证明，得出，设，则，得出点的坐标为，求得的解析式为，令，即可求得点的坐标；
（3）由得出点的坐标，进而根据题意，分类讨论，利用平行四边形对角线的中点坐标相等，即可求解．
【解析】（1）由题意可得：解得，
∴，
∴
（2）如图所示，过点E作轴于G．
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵，
∴设，
代入点和点的坐标得：，
解得，
∴的解析式为，
∴当时，，
∴与轴的交点坐标为．
（3）存在，点Р的坐标为：
∵，点的坐标为，
∴
又，，为顶点的四边形是平行四边形
设，当为平行四边形的对角线时，
解得：，则，
当为对角线时，，
解得：，则，
当为对角线时，，
解得：，则，
综上所述，点Р的坐标为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质，一次函数与几何图形综合，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
20．如图，在的同侧以、为底边向外作等腰、，其中，为的中点，连接、．
(1)如图，当时，直接写出与的关系．
(2)如图，当时，（1）的结论还成立吗？请你做出判断并说明理由；
(3)如图，当，，连接，取其中点，若动点A从的位置运动到时停止，则点的运动路径长为______．
【答案】(1)
(2)结论仍然成立，理由见解析
(3)
【分析】（1）先证点，点A，点三点共线，由等腰直角三角形的性质可求解；
（2）由“”SAS””可证≌，可得，，由三角形内角和定理可求解；
（3）先证点A,点，点三点共圆，由等腰直角三角形的性质可求，可得，由弧长公式可求解．
【解析】（1）解：，，理由如下：
如图，连接，
等腰和等腰，
，，，
，为边的中点，
，，
点，点A，点三点共线，
垂直平分，
，
同理可得：，
，
，，
；
（2）结论仍然成立，理由如下：
如图，分别取、中点、，连接、，再连接、，
，，点是的中点，点是的中点，
，，，，
为边的中点，点是的中点，点是的中点，
,，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，连接，并延长至,使，连接，，，
，，
，
，
点是的中点，
，
又，
四边形是平行四边形，
∥，，
，
又，
是的中垂线，
，
同理可得：，
，
点，点，点三点都在以为圆心，为半径的圆上，
，
，
，
，
，
动点从的位置运动到，
点旋转的角度为，
点的运动路径长，
故答案为：．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21．如图，点P是内一点，
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若 且 求的面积；
(3)如图3，将绕点P旋转至处，过D作，交延长线于F，若 ，直接写出的值为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由平行四边形的性质及，可得，再由已知可得结论；
（2）过点作于点E，交于点，则由平行四边形的性质得，证明，可得，从而由已知面积关系可得，由勾股定理可求得的长，从而可求得平行四边形的面积；
（3）连接，由旋转性质易得，则可得，设，由旋转及勾股定理可分别求得、、，进而可求得，由勾股定理求得，则最后可求得结果．
【解析】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴；
（2）过点作于点E，交于点，如图，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：；
∴，
∴平行四边形的面积为；；
（3）连接，如图，
由旋转性质得：，，，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，综合性强，既要灵活运用这些知识，又要构造适当的辅助线，对学生而言有一定的难度．
22．已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】(1)60°
(2)
(3)当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【分析】（1）易证∠DPC=∠DCP，得DP=CD，又CD=CP，则△PDC是等边三角形，即可得出结果；
（2）如图②中，由四边形ABCD是平行四边形，推出ABCD，BCAD，，推出，推出，可得由此即可解决问题；
（3）若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD=BQ，设运动时间为t秒，分①当0＜t≤3时；②当3＜t≤6时；③当6＜t≤9时；④当9＜t≤12时，四种情况讨论求解即可．
【解析】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠DPC＝∠PCB
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD＝∠PCB，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC．
∵CD＝CP，
∴PC＝CD＝PD，
∴△PDC是等边三角形
∴∠D＝∠B＝60° ；
（2）解：如图②中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，BCAD，，
∴，
∴
∴
∴，
∵△PCD为等边三角形，
∴PD=CD=8cm，PD边上的高为=，
∴；
（3）解：解：四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴PDBC
若要使四边形PDQB是平行四边形，则PD＝BQ，
设运动时间为t秒，
①当0＜t≤3时，PD＝12-t，BQ＝12-4t，
∴12-t＝12-4t，解得t＝0，不合题意，舍去；
②当3＜t≤6时，PD＝12-t，BQ＝4（t-3）=4t-12，
∴12-t＝4t-12，解得t＝4.8；
③当6＜t≤9时，PD＝12-t，BQ＝12-4（t-6）=36-4t，
∴12-t＝36-4t，解得t＝8；
④当9＜t≤12时，PD＝12-t，BQ＝4（t-9）=4t-36，
∴12-t＝4t-36，解得t＝9.6；
综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．如图，在中，，点D是边上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转至，连接，取的中点M，连接．
(1)求证：；
(2)问与有何数量关系？写出你的结论并证明；
(3)若点D在上运动，则四边形能否形成平行四边形？若能，请直接写出此时的长；若不能，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)能，
【分析】（1）由旋转的性质得出，．证明，由全等三角形的性质得出；
（2）延长到，使，交于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）证出CM∥BE，若，则四边形是平行四边形，由全等三角形的性质及可列出关于的方程，求出即可得出答案．
（1）
解：证明：把绕点逆时针旋转得到线段，
，．
又，
，
在和中，
，
，
；
（2）
．
证明：延长到，使，交于点，
，，
，
，
，，
，
为的中点，
，
在的垂直平分线上，
又，
点在的垂直平分线上，
垂直平分，
，
在和中，
，
，
，
又，，
，
在和中，
，
，
，
又，
；
（3）
四边形能形成平行四边形．
，，
，
，
∴CM∥BE，
若，则四边形是平行四边形，
，
，
，
由（2）知，，
，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
24．如图1，与均为等腰直角三角形，且，连接BC、AG，延长AG与BC交于点F．
(1)求证：；
(2)当点G为CE的中点，时，求CF的长；
(3)如图2，过点C作，过点A作，AD、CD交于点D，在边AB上取一点H，使得，连接DH，探究CG、CD、DH三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）证明△BEC≌△GEA（SAS），根据全等三角形的性质得∠BCE=∠GAE，由∠BCE+∠CBE=90°得∠GAE+∠CBE=90°，可得∠AFB=90°，即可得AF⊥BC；
（2）当点G为CE的中点，AE=2时，可得EB=EG=CG=1，AE=2，利用面积法求出BF的值，根据勾股定理求出BC，即可得CF的长；
（3）过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于M，连接DG，HG，延长HG、DC交于N，证明△DHN为等腰直角三角形，可得2DH2=（CD+CN）2，再证四边形ACNH是平行四边形，则AH=CN=CG，即可得2DH2=（CD+CN）2=（CD+CG）2．
（1）
解：证明：∵△ACE与△BGE均为等腰直角三角形，
∴EB=EG，CE=AE，
∵∠AEC=∠BEC=90°，
∴△BEC≌△GEA（SAS），
∴∠BCE=∠GAE，
∵∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠GAE+∠CBE=90°，
∴∠AFB=90°，
∴AF⊥BC；
（2）
当点G为CE的中点，AE=2时，
∵△ACE与△BGE均为等腰直角三角形，
∴EB=EG=CG=1，AE=CE=2，
∴AB=EB+AE=3，AG=，BC=，
由（1）知AF⊥BC，
∴S△ABG=AB•EG=AG•BF，
∴3×1=BF，
∴BF=，
∴CF=BC-BF=；
（3）
，
证明：如图：过点D作DM⊥AB，交BA的延长线于M，连接DG，HG，延长HG、DC交于N，
∵CD∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵∠AEC=∠BEC=90°，
∴∠ECD=90°，
∴四边形CEMD是矩形，
∴EM=CD，CE=DM，
∴EM=AB，
∴BE=AM，
∵AH=CG，CE=AE，
∴EG=EH．
∵EB=EG，
∴EB=EG=EH=AM，
∴∠EHG=45°，AE=HM，
∵AE=CE=DM，
∴HM=DM，
∴∠DHM=45°，
∴∠DHG=180°-∠EHG-∠DHM=90°，
∵CD∥AB，
∴∠CDH=∠DHM=45°，
∴△DHN为等腰直角三角形，
∴，
∵∠CAE=45°，∠EHG=45°，
∴AC∥NH，
∵CD∥AB，
∴四边形ACNH是平行四边形，
∴AH=CN，
∵AH=CG，
∴CN=CG，
∴
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的相关知识．
25．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝α（0°＜α＜90°），AD∥BC．
(1)如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)如图2，BE平分∠ABC，交AD于点E，若α＝30°，AB＝2，求△ABE的面积；
(3)如图3，BE平分∠ABC，交AD于点E，作AH⊥CD交射线DC于点H，交BE于点F，若AB＝AH，请探究线段AF，DE，CH的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)DE+CH＝AF或DE﹣CH＝AF
【分析】（1）通过证明AB∥CD，可证四边形ABCD是平行四边形；
（2）作BH⊥AD交DA的延长线于点H，由直角三角形的性质可求BH的长，由三角形的面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，由全等三角形的判定和性质可求解．
【解析】（1）解：∵∠ABC＝α，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°．
∵∠ADC＝∠ABC＝α，
∴∠A+∠ADC＝180°．
∴AB∥CD，
又AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EBC＝∠AEB，
又 BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝，
作BH⊥AD交DA的延长线于点H，
∴∠AHB＝90°，
∵∠ABC＝30°，AD∥BC，
∴∠HAB＝∠ABC＝30°，
∴BH＝AB＝，
∴S△ABE＝AE•BH＝×2×＝3；
（3）解：①若点H在CD上时，作AG⊥BE交DC的延长线于G．
∵AG⊥BE，AH⊥CD，
∴∠G＝∠BFA＝90°﹣∠HAG．
又∠BAF＝∠AHG＝90°，AB＝AH，
∴△AGH≌△BFA（AAS），
∴GH＝AF，
∵BE平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠EBC，∠EBC＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝CD，
∴∠BAG＝∠EAG＝∠G，
∴AD＝DG，
∴DE＝AD﹣AE＝DG﹣CD＝CG，
又CG＝GH﹣CH＝AF﹣CH，
∴DE＝AF﹣CH，
即DE+CH＝AF；
②如图4，若点H在DC的延长线上，
则DE＝AD﹣AE＝DG﹣CD＝CG，
又CG＝GH+CH＝AF+CH，
∴DE﹣CH＝AF．
∴线段AF，DE，CH的数量关系为：DE+CH＝AF或DE﹣CH＝AF
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
26．在平行四边形ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE，交BD于点F．
(1)如图1，若点E为AD中点，对角线AC与BD相交于点O，且△DFE的面积为，DF＝2，求CD的长；
(2)如图2，若点G在BD上，且DG＝AB，连接CG，过G作GH⊥CE于点H，连接DH并延长交AB于点M，若，用等式表示线段BM，DH，BD的数量关系，并证明；
(3)如图3，若∠ABC＝120°，AB＝2，点N在BC边上，BC＝4CN，且CE平分∠BCD，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，且，连接BP，NQ，请直接写出BP＋PQ＋QN的最小值．
【答案】(1)
(2)，理由见详解
(3)
【分析】（1）连接EO，先证EO为△ABD的中位线，即有，，根据BD⊥CD，可得EO⊥BD，即△EDF的面积为，结合已知条件即可求出EO，则CD可求；
（2）过D点作DR⊥DM，交EC于R点，先证明△DHG≌△DRC，即有DH=DR，HG=CR，可得△HDR为等腰直角三角形，则有∠DHR=∠DRH=45°，，再证明△GDC为等腰直角三角形， ∠DGC=∠DCG=45°，，接着证明DM=CG，进而证明△CHG≌△DBM，即有CH=BD，BM=HG，则问题得解；
（3）在CD上取一点G，使得CG=CN，连接QG，过B点作，使得，连接DS交EC于点T，连接QS、GS，过S点作SM⊥BD于M点，过G点作HG⊥BD于H点，根据平行四边形的性质可求得CD=AB=2，∠BCD=60°，进而可得∠DBC=30°，在Rt△DCB中根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=4，，则有CN=1=CG，DG=1，再证四边形BSQP是平行四边形，即有BP=QS，通过证明△QNC≌△QGC，可得QN=QG，即有，即当Q点在GS上时，QS+QG最小，最小为GS，则最小值为，根据平行的性质可得∠SBM=60°，根据含30°角的直角三角形的性质可得，，进而有，利用勾股定理可得，再根据，可得△BSD是直角三角形，即有∠BSD=90°，进而求出∠BDS=30°，∠GDH=60°，在Rt△DHG中，可得，，进而有，利用勾股定理有，则的最小值可求．
（1）连接EO，如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，O点为BD中点，，∵E点为AD中点，∴EO为△ABD的中位线，∴，，∴，∵BD⊥CD，∴EO⊥BD，∴△EDF的面积为，∵，DF=2，∴，∵，∴，∴；
（2）等量关系：，理由如下：过D点作DR⊥DM，交EC于R点，如图，∵CD⊥BD，DR⊥MD，∴∠MDR=∠BDC=90°，∴∠HDG+∠GDR=∠GDR+∠RDC=90°，∴∠HDG=∠RDC，∵CH⊥EC，∴∠GHC=90°=∠FDC，∵∠HFG=∠DFC，∴在△HFG和△DFC中有∠HGF=∠DCF，∵在平行四边形ABCD中，AB=CD，又∵DG=AB，∴DG=CD，即，∴△DHG≌△DRC，∴DH=DR，HG=CR，∵∠HDR=90°，∴△HDR为等腰直角三角形，∴∠DHR=∠DRH=45°，，∵DG=CD，∠GDC=90°，∴△GDC为等腰直角三角形，∴∠DGC=∠DCG=45°，，∵AB=CD，∴，∵，∴DM=CG，∵在平行四边形ABCD中，，∵CD⊥BD，∴AB⊥BD，∴∠ABD=90°，∵∠GHC=90°，∴∠GHC=∠MBD，∵在△HFD和△GFC中，∠DHF=45°=∠FGC，∠HFD=∠GFC，∴∠HDF=∠FCG，即，∴△CHG≌△DBM，∴CH=BD，BM=HG，∵CR=HG，∴BM=CR，∵CR+RH=CH，∴BM+RH=CH=BD，∵，∴；
（3）在CD上取一点G，使得CG=CN，连接QG，过B点作，使得，连接DS交EC于点T，连接QS、GS，过S点作SM⊥BD于M点，过G点作HG⊥BD于H点，如图，∵在平行四边形ABCD中，有AB=CD，，，∴CD=AB=2，∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABC=120°，∴∠BCD=60°，∵CD⊥BD，CE平分∠BCD，∴∠BDC=90°，∠DCF=∠BCF=30°，∴∠DBC=30°，∴在Rt△DCB中，BC=2DC=4，，∵4CN=BC，CG=CN，∴CN=1=CG，∴DG=CD-CG=2-1=1，∵，，∴四边形BSQP是平行四边形，∴BP=QS，∵QC=QC，∠NCQ=∠GCQ，CG=CN，∴△QNC≌△QGC，∴QN=QG，∴，即当Q点在GS上时，QS+QG最小，最小为GS，则最小值为，∵，∴∠SBC=∠BCE=30°，∴∠SBM=∠SBC+∠CBD=30°+30°=60°，∵SM⊥BD，∴∠SMB=90°，即∠MSB=30°，∵在Rt△SMB中，，∴，，∴，∴在Rt△MSD中，，∴，∴△BSD是直角三角形，∠BSD=90°，∴∠BDS=90°-∠DBS=90°-60°=30°，∵GH⊥DS，∴∠DHG=90°，∵∠BDC=90°，∴∠GDH=∠BDC-∠BDS=60°，∴在Rt△DHG中，∠DGH=30°，∴，，∴，∴在Rt△HSG中，，即，则有的最小值为：．
【点睛】本题是四边形的综合，主要考查了平行四边形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质、勾股定理及其逆定理、全等三角形的判定与性质、中位线的判定与性质等知识，添加辅助线构造平行四边形和全等三角形是解答本题的关键．