沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训10特殊平行四边形、梯形解答证明压轴题(原卷版+解析)

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1．如图，在矩形中，平分交于E，连接，．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，若点F是边上的一点，若，连结交于G，
①猜想的度数，并说明理由；
②若，求的值．
2．如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段与、分别相交于点、．
(1)求证：；
(2)判断与的关系，并说明理由；
(3)若，，求的长．
3．在梯形中，，点分别在边上，，点与在直线的两侧，，射线与边分别相交于点，设．
（1）求边的长；
（2）如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式；
（3）如果的长为，求梯形的面积．
4．已知，菱形中，，、分别是边和上的点，且．
(1)求证：．
(2)如图2，在延长线上，且，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，，点是的中点，求的长．
5．如图①，已知正方形中，，分别是边，上的点（点，不与端点重合），且，，交于点，过点作交于点．
(1)求证：．
(2)若，试求线段的长．
(3)如图②，连接并延长交于点，若点是的中点，试求的值．
6．如图，正方形中，点是上一点，点是上一点，．
(1)如图1，若，求的面积．
(2)如图2，求证：．
(3)如图3，点为延长线上一点，点为延长线上一点，．请直接写出线段、、的数量关系．
7．已知点是正方形对角线上一点，与交于点，，垂足为，直线与交于点．
(1)如图1，当在线段上时，求证；
(2)如图2，当在线段上时，的延长线交于点，若，求证：①四边形为菱形；②；
(3)如图3，若，在点从到的运动过程中，的最小值为______．
8．如图1，点O是正方形的对角线BD的中点，过点O作直线，点D关于直线的对称点为E，连接．
(1)求的值．
(2)如图2，作于点F，请用等式表示线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点G，当时，请你探究线段与之间的数量关系，并说明理由．
9．在菱形ABCD中，P是直线BD上一点，点E在射线AD上，连接PC，
(1)如图（1），当∠BAD=90°时，连接PE，交CD于点F，若∠CPE=90°，求证：PC=PE；
(2)当∠BAD=60°时，连接PE，CE，PC交AE于点F，∠CPE=60°，AC=CE=4．
①如图（2），若点P在线段BD的延长线上，求BP的长；
②如图（3），若点P在线段DB的延长线上，直接写出BP的长．
10．如图1，已知菱形的边长为6，， 点、分别是边、上的动点(不与端点重合)，且.
（1）求证: 是等边三角形；
（2）点、在运动过程中，四边形的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；
（3）当点在什么位置时，的面积最大，并求出此时面积的最大值；
（4）如图2，连接分别与边、交于、，当时，求证:.
11．如图①，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PC=PE，PE交CD于点F．
(1)求证：∠PCD=∠PED；
(2)连接EC，求证：EC=AP；
(3)如图②，把正方形ABCD改成菱形ABCD，其他条件不变，当∠DAB=60°时，请直接写出线段EC和AP的数量关系______．
12．在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原．
（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图1)．
①当点P与点A重合时，∠DEF= °，当点E与点A重合时，∠DEF= °．
②当点E在AB上时，点F在DC上时(如图2)，若AP=，求四边形EPFD的周长．
（2）若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M(如图3)，当AM=DE时，请求出线段AE的长度．
（3）若点P落在矩形的内部(如图4)，且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值．
13．如图，边长为2的正方形纸片ABCD中，点M为边CD上一点（不与C，D重合），将△ADM沿AM折叠得到△AME，延长ME交边BC于点N，连结AN．
（1）猜想∠MAN的大小是否变化，并说明理由；
（2）如图1，当N点恰为BC中点时，求DM的长度；
（3）如图2，连结BD，分别交AN，AM于点Q，H．若BQ＝，求线段QH的长度．
14．在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化.
（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
（2）当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，
请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).
(3) 如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若 , ,求四边形的面积.
15．如图1，，是线段上的一个动点，分别以为边，在的同侧构造菱形和菱形，三点在同一条直线上连结，设射线与射线交于.

（1）当在点的右侧时，求证：四边形是平形四边形.
（2）连结，当四边形恰为矩形时，求的长.
（3）如图2，设，，记点与之间的距离为，直接写出的所有值.
16．如图，已知平行四边形中，平分，
（1）求证：平行四边形是菱形；
（2）为边上一动点，连接，作的垂直平分线交于，交于，连接、，
①求证：为等腰三角形；
②若，求的值．
17． 在正方形ABCD中．
（1）如图1，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，试判断AE与BF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于点O，∠GOH=90°，且EG=7，求FH的长；
（3）如图3，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，若AB=5，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为4：5，求△ABO的周长．
18．已知正方形ABCD，点E在AB上，点G在AD，点F在射线BC上，点H在CD上．
（1）如图1，DE⊥FG，求证：BF＝AE+AG；
（2）如图2，DE⊥DF，P为EF中点，求证：BE＝PC；
（3）如图3，EH交FG于O，∠GOH＝45°，若CD＝4，BF＝DG＝1，则线段EH的长为 ．
19．四边形ABCD是矩形，点E是射线BC上一点，连接AC，DE．
（1）如图1，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若∠ACB＝40°，求∠E的度数；
（2）如图2，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若M是DE的中点，连接AM，CM，求证：AM⊥MC；
（3）如图3，点E在边BC上，射线AE交射线DC于点F，∠AED＝2∠AEB，AF＝4，AB＝4，则CE＝ ．（直接写出结果）
20．如图，在菱形中，是边上的动点，作交于点，在上取点使，连结
（1）求的度数；
（2）求证：
（3）若是的中点，当为何值时，是等腰三角形．
21．梯形中，，，，，、在上，平分，平分，、分别为、的中点，和分别与交于和，和交于点．
（1）求证：；
（2）当点在四边形内部时，设，，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当时，求的长．
22．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝10，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，设AD＝x，△AOB的面积为y．
（1）求∠DBC的度数；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图1，设点P、Q分别是边BC、AB的中点，分别联结OP，OQ，PQ．如果△OPQ是等腰三角形，求AD的长．
23．如图①，是等腰直角三角形，，四边形是正方形，点B、C分别在边上，此时成立．将绕点A逆时针旋转，并探究下列问题：
(1)如图②，成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(2)当时，如图③，延长交于点H．当时，求线段的长．
(3)如图④，延长交于点H，连接，直接写出线段之间的数量关系．
24．在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连结．
感知：如图①，过点作交于点．求证．
探究：如图②，取的中点，过点作交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）连结，若，求的长．
应用如图③，取的中点，连结．过点作交于点，连结、．若，求四边形的面积．
25．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是上一点，F是延长线上一点，且，求证：．
（2）如图2，在正方形中，E是上一点，G是上一点，如果，求证：．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形中，（），，．E是上一点，且，，求直角梯形的面积．
26．如图，在长方形中，，，，，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，直接写出周长的最小值．
27．在正方形中，，点为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交，，于点，，．
(1)①如图1，判断线段与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若垂足为的中点，连接，交于点，连接，则______．
(3)若垂足在对角线上，正方形的边长为．
①如图3，若，，则______；
②如图4，连接，将沿着翻折，点落在点处，的中点为，则的最小值为______．
28．如图，在中，过点作交于点，且．
(1)如图1，过点作且，连接，若，求的长；
(2)如图2，点是上一点，且，交于点．求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，且．连接，线段与相交于点．将沿着翻折，点与点重合，连接．请直接写出的值．
特训10 特殊平行四边形、梯形 解答证明压轴题
一、解答题
1．如图，在矩形中，平分交于E，连接，．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，若点F是边上的一点，若，连结交于G，
①猜想的度数，并说明理由；
②若，求的值．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析；②
【分析】（1）由矩形的性质得，，，由角平分线的性质得出，则是等腰直角三角形，得出，推出，由勾股定理得出；
（2）①连接，由（1）得，，由证得，得出，，证明是等腰直角三角形，即可得出结论；
②根据矩形的性质得到，求得，过D作于M，根据余角的性质得到，得到，过A作于N，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）①，
理由：连接EF，如图所示：
由（1）得：，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
②∵四边形是矩形，
∴，
∴，
过D作于M，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由①知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
过A作于N，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①知，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
2．如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段与、分别相交于点、．
(1)求证：；
(2)判断与的关系，并说明理由；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)，，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质和定理证明即可得出结论；
（2）由（1）的结论得，，再根据通过等量代换即可证明；
（3）连接，证明出四边形是正方形，再利用正方形的性质得出条件，证出，在中利用勾股定理求得的长．
【解析】（1）四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
．
．
（2），，理由如下：
，
，，
，
在中，，
，
，
．
（3）连接，如图，
四边形和四边形是正方形，
，，，，
，，
在中，
，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
在中，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用，掌握相关的知识点，添加适当的辅助线是解本题的关键．
3．在梯形中，，点分别在边上，，点与在直线的两侧，，射线与边分别相交于点，设．
（1）求边的长；
（2）如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式；
（3）如果的长为，求梯形的面积．
【答案】（1）3；（2）；（3）或
【分析】（1）过作，与、分别相交于点、，从而判定四边形是矩形，在中求出的长，利用可得出的长；
（2）首先确定，过点作，与、分别相交于、，根据，，可表示出、，继而可得出关于的函数解析式；
（3）①当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，可求得梯形的面积，②当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，可求得梯形的面积．
【解析】解：（1）如图1，过作，与、分别相交于点、，
梯形中，，
，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
．
（2），，
，
，
，
，，
，
，
如图2，过点作，与、分别相交于、，
，，
，，
，
，
关于的函数解析式为；
（3）当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，
，
当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，
，
综上所述，梯形的面积为或．
【点睛】本题考查直角梯形及由实际问题列一次函数关系式的知识，属于综合性较强的题目，难度较大，对于此类题目要学会由小及大，将所求的问题缩小，一步一步求解．
4．已知，菱形中，，、分别是边和上的点，且．
(1)求证：．
(2)如图2，在延长线上，且，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，，点是的中点，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）连接，如图1，根据菱形的性质得，即可判定为等边三角形，得到，，然后利用可证明，即可解答；
（2）过点F作，交的延长线于点H，利用平行线的性质求得是等边三角形，得到，然后利用定理求得，从而问题得解；
（3）过点B作，交于点K，根据两组对边分别平行求得四边形是平行四边形，从而求得，，A作，然后利用含的直角三角形的性质以及勾股定理求得，，即有，在中，利用勾股定理可得，问题随之得解．
【解析】（1）连接，如图1，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）过点F作，交的延长线于点H，如图2，
在（1）中已证为等边三角形，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴；
（3）过点B作，交于点K，如图3，
∵，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
过点A作，
由（2）可知，，
∴在中，，
∴，，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，及平行四边形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，题目有一定的综合性，正确添加辅助线解题是关键的突破点．
5．如图①，已知正方形中，，分别是边，上的点（点，不与端点重合），且，，交于点，过点作交于点．
(1)求证：．
(2)若，试求线段的长．
(3)如图②，连接并延长交于点，若点是的中点，试求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)4
【分析】（1）证明（SAS），得出，得出，可得出结论；
（2）根据的面积可求出，证明（AAS），由全等三角形的性质得出，则，可求出答案；
（3）证得，，可得出，在四边形中，设，，则，，，由勾股定理可得出，的关系式，则可求出答案．
【解析】（1）在正方形中，，，
又∵，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）在正方形中，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴（AAS），
∴，
∴．
（3）在正方形中，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
在四边形中，设，，则，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想解决问题，学会用方程的思想方法解决问题．
6．如图，正方形中，点是上一点，点是上一点，．
(1)如图1，若，求的面积．
(2)如图2，求证：．
(3)如图3，点为延长线上一点，点为延长线上一点，．请直接写出线段、、的数量关系．
【答案】(1)1
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图，延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，由勾股定理和三角形面积公式可求解；
（2）将绕着点按顺时针方向旋转，得，可得，，，由“”可证，可得，可得结论；
（3）在上截取，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论．
【解析】（1）解：如图，延长至，使，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，，，
，
，，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
的面积；
（2）证明：将绕着点按顺时针方向旋转，得，
则，，，
四边形是正方形，
，
，
，
、、在一直线上，
，
，
又，
，
，
；
（3）解：
理由：如图3，在上截取，连接，
，，，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
7．已知点是正方形对角线上一点，与交于点，，垂足为，直线与交于点．
(1)如图1，当在线段上时，求证；
(2)如图2，当在线段上时，的延长线交于点，若，求证：①四边形为菱形；②；
(3)如图3，若，在点从到的运动过程中，的最小值为______．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
(3)
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）①证明，可得，进而证明，可得，可得四边形是平行四边形，由，可得四边形是菱形；②由，又得出，即可证明；
（3）取的中点，连接，，则，勾股定理求得，由即可求解．
【解析】（1）解：如图1，
∵四边形是正方形
∴，，
∴
∴，
∵，
∴
∴
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：①如图2
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
②∵是的一个外角，
∴
∵四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
又
∴，
∴；
（3）解：如图3，取的中点，连接，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∵（当且仅当点在线段上时，等号成立），
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，两点之间线段最短，掌握正方形的性质是解题的关键．
8．如图1，点O是正方形的对角线BD的中点，过点O作直线，点D关于直线的对称点为E，连接．
(1)求的值．
(2)如图2，作于点F，请用等式表示线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点G，当时，请你探究线段与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)，见解析
【分析】（1）如图1，根据等边对等角得：，由正方形的性质可知：一条对角线平分一组对角得：，所以；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明，则，根据有三个角是直角的四边形是矩形，证明四边形是矩形，得，所以；
（3）由（2）可知：是等腰直角三角形，则，设，则，表示和的长，根据（2）：，得，代入关于x的式子可是，则．
【解析】（1）∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
（2），
理由是：过B作于H，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（3）由（2）可知：是等腰直角三角形，
∴，
过点G作于K，如图3，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴，
由（2）：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了四边形综合题、正方形的性质、矩形的判定、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
9．在菱形ABCD中，P是直线BD上一点，点E在射线AD上，连接PC，
(1)如图（1），当∠BAD=90°时，连接PE，交CD于点F，若∠CPE=90°，求证：PC=PE；
(2)当∠BAD=60°时，连接PE，CE，PC交AE于点F，∠CPE=60°，AC=CE=4．
①如图（2），若点P在线段BD的延长线上，求BP的长；
②如图（3），若点P在线段DB的延长线上，直接写出BP的长．
【答案】(1)见解析；
(2)①，②．
【分析】（1）先证出，得PA＝PC，再证明PA＝PE，得PC＝PE；
（2）①如图2中，设AC交BD于O．首先证明PC＝PE＝PA，由∠CPE＝60°推出PC＝PE＝CE＝AC＝4，由四边形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，根据勾股定理和等边三角形的性质求出PO和BO，根据BP＝PO＋OB计算即可；②如图3中，利用①中方法计算即可；
（1）
证明：如图1中，连接PA．
∵∠BAD＝90°，
∴菱形ABCD是正方形，
在正方形ABCD中，AD＝DC，
∠ADP＝∠CDP＝45°，
在和中，
，
∴（SAS），
∴PA＝PC，∠DAP＝∠DCP，
∵∠CPF＝∠EDF＝90°，∠PFC＝∠EFD，
∴∠PCF＝∠E，
∴∠PAD＝∠E
∴PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）
①如图2中，设AC交BD于O，连接CE、AP．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADO＝∠CDO，DA＝DC，
∴∠ADP＝∠CDP，
在和中，
∴（SAS），
∴PA＝PC，∠PAD＝∠PCD，
∵∠CPE＝∠CDF＝60°，∠DFC＝∠PFE，
∴∠E＝∠PCD＝∠PAD，
∴PA＝PE＝PC，
∴是等边三角形，
∴AC＝CE＝PE＝PA＝PC＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在中，，
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴是等边三角形，，
∵，
∴，解得：，
∴，
②如图3中，设AC与BD相交于点O，
利用①中方法可知．
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
10．如图1，已知菱形的边长为6，， 点、分别是边、上的动点(不与端点重合)，且.
（1）求证: 是等边三角形；
（2）点、在运动过程中，四边形的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；
（3）当点在什么位置时，的面积最大，并求出此时面积的最大值；
（4）如图2，连接分别与边、交于、，当时，求证:.
【答案】（1）见解析；（2）四边形AECF的面积不变.四边形AECF的面积为；（3）E是BC的中点时△ECF的面积最大，最大面积为；（4）见解析
【分析】（1）利用证明△ACE和△ADF全等得AE=AF，结合∠EAF=60°，便得△EAF是等边三角形；
（2）根据△ACE≌△ADF，得四边形AECF的面积等于△ACD的面积等于菱形ABCD面积的一半；
（3）要使三角形ECF的面积最大，只要等边三角形AEF的面积最小即AE⊥BC时即可；
（4）将△ADN绕点A顺时针旋转120°得到△ABP，连接PM．证明MN=PM，∠BPM=90°即可解决问题.
【解析】（1）证明：在菱形ABCD中，
∵∠B=60°，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠CAD=60°，
∴AC=AD，
∵∠EAF=60°，
∴∠CAE=∠DAF，
∵∠ACE=∠D=60°，
∴△ACE≌△ADF，
∴AE=AF，
∴△EAF是等边三角形；
（2）四边形AECF的面积不变.
过点A作AG⊥BC于点G.
在Rt△ABG中，∠B=60°，
∴BG=AB=3，
∴AG==，
∴S△ABC=S△ACD==.
由（1）知△ACE≌△ADF，
∴S△ACE=S△ADF，
∴S四边形AECF=S△ACE+S△ACF= S△ADF+S△ACF=S△ACD=；
（3）∵S四边形AECF=S△AEF+S△ECF =，
∴S△AEF最小时S△ECF最大，
∵△AEF是等边三角形，
∴当AE⊥BC时S△AEF最小，
此时E是BC的中点，AE=，等边△AEF的EF边上的高为=，
∴S△AEF==，
∴S△ECF= S四边形AECF - S△AEF ==；
（4）将△ADN绕点A顺时针旋转120°得到△ABP，连接PM．
∵∠DAE=15°，∠EAF=60°，∠BAD=120°，
∴∠BAE=45°，∠BAP=∠DAF=15°，
∴∠MAN=∠MAP=60°，
∵AM=AM，AN=AP，
∴△MAN≌△MAP（SAS），
∴MN=PM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ADN=∠ADC=30°，
∴∠AND=180°-15°-30°=135°，∠ANM=45°，
∴∠APB=∠AND=135°，∠APM=∠ANM=45°，
∴∠BPM=90°，
∴BP2+PM2=BM2，
∵BP=DN，PM=MN，
∴DN2+MN2=BM2．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.
11．如图①，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PC=PE，PE交CD于点F．
(1)求证：∠PCD=∠PED；
(2)连接EC，求证：EC=AP；
(3)如图②，把正方形ABCD改成菱形ABCD，其他条件不变，当∠DAB=60°时，请直接写出线段EC和AP的数量关系______．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AP=CE．
【分析】（1）根据正方形性质知道PC=PA，又由PE=PC知道PA=PE即可得出结论．
（2）证明△PEC为等腰直角三角形，即可得出结论．
（3）根据（2）的思路和方法即可求出结论AP=CE．
【解析】（1）证明：在正方形ABCD中，AD=DC，
∠ADP=∠CDP=45°，
在△ADP和△CDP中，AD=DC；∠ADP=∠CDP；PD=PD，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴∠DAP=∠DCP，PA=PC；
∵PC=PE，
∴PA=PE,
∴∠DAP=∠DEP，
∴∠DCP=∠DAP=∠DEP．
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
∴△CPE是等腰直角三角形，
∴EC=CP，
又∵AP=CP，
∴EC=AP．
（3）AP=CE；理由如下：
在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，
在△ABP和△CBP中，AB=BC；∠ABP=∠CBP；PB=PB，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠AEP，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．
【点睛】这一类题属于特殊四边形的题，一般以实验探究题的形式出现，知识点综合性较强，属于中考必考题型．
12．在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原．
（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图1)．
①当点P与点A重合时，∠DEF= °，当点E与点A重合时，∠DEF= °．
②当点E在AB上时，点F在DC上时(如图2)，若AP=，求四边形EPFD的周长．
（2）若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M(如图3)，当AM=DE时，请求出线段AE的长度．
（3）若点P落在矩形的内部(如图4)，且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值．
【答案】（1）①90，45；②；（2） 0.6；（3）1．
【分析】（1）①当点与点重合时，是的中垂线，可得结论；当点与点重合时，如图2，则平分；
②如图3中，证明得，根据一组对边平行且相等得：四边形是平行四边形，加上对角线互相垂直可得为菱形，当时，设菱形的边长为，根据勾股定理列方程得：，求出的值即可；
（2）连接，由折叠性质可证，设．根据全等性质用x表示出线段关系，再由中可列方程求解；
（3）如图，当与重合，点在对角线上时，有最小值，根据折叠的性质求，由勾股定理求，所以．
【解析】解：（1）①当点与点重合时，
是的中垂线，
，
当点与点重合时，
此时，
故答案为：90，45．
②如图2中，设与交于点，由折叠知垂直平分．
，，
矩形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
当时，设菱形边长为，则，
在中，，
，
菱形的周长．
（2）如图3中，连接，设．
由折叠知，，，
，，
，
，
，，
在中，
解得．
．
（3）如图中，连接，，．
，，
，此时的最小值，
，
，
当与重合时，的值最小，由折叠得：，
由勾股定理得：，
，
当，，共线时，有最小值，
，
则的最小值是1．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．
13．如图，边长为2的正方形纸片ABCD中，点M为边CD上一点（不与C，D重合），将△ADM沿AM折叠得到△AME，延长ME交边BC于点N，连结AN．
（1）猜想∠MAN的大小是否变化，并说明理由；
（2）如图1，当N点恰为BC中点时，求DM的长度；
（3）如图2，连结BD，分别交AN，AM于点Q，H．若BQ＝，求线段QH的长度．
【答案】（1）∠MAN的大小没有变化，理由见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）由折叠知AD=AE、DM=EM、∠D=∠AEM=90°、∠DAM=∠EAM=∠DAE，再证Rt△BAN≌Rt△EAN得∠BAN=∠EAN=∠BAE，根据∠MAN=∠EAM+∠EAN=（∠DAE+∠BAE）可得答案；
（2）由题意知EN=BN=CN=1，设DM=EM=x，则MC=2-x、MN=1+x，在Rt△MNC中，由MC2+CN2=MN2列出关于x的方程求解可得；
（3）将△ABQ绕点A逆时针旋转90°得△ADG，连接GH，由旋转知DG=BQ=，AG=AQ，∠ADG=∠ABQ=∠ADB=45°，∠BAQ=∠DAG，证△GAH≌△QAH得GH=QH，设GH=QH=a，得BD=AB=2，BQ=，DQ=，DH=-a，在Rt△DGH中，由DG2+DH2=GH2可得关于a的方程，解之可得答案．
【解析】（1）∠MAN的大小没有变化，
∵将△ADM沿AM折叠得到△AME，
∴△ADM≌△AEM，
∴AD＝AE＝2、DM＝EM、∠D＝∠AEM＝90°、∠DAM＝∠EAM＝∠DAE，
又∵AD＝AB＝2、∠D＝∠B＝90°，
∴AE＝AB、∠B＝∠AEM＝∠AEN＝90°，
在Rt△BAN和Rt△EAN中，
∵，
∴Rt△BAN≌Rt△EAN（HL），
∴∠BAN＝∠EAN＝∠BAE，
则∠MAN＝∠EAM+∠EAN＝∠DAE+∠BAE＝（∠DAE+∠BAE）＝∠BAD＝45°，
∴∠MAN的大小没有变化；
（2）∵N点恰为BC中点，
∴EN＝BN＝CN＝1，
设DM＝EM＝x，则MC＝2﹣x，
∴MN＝ME+EN＝1+x，
在Rt△MNC中，由MC2+CN2＝MN2可得（2﹣x）2+12＝（1+x）2，
解得：x＝，即DM＝；
（3）如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转90°得△ADG，连接GH，
则△ABQ≌△ADG，
∴DG＝BQ＝、AG＝AQ、∠ADG＝∠ABQ＝∠ADB＝45°、∠BAQ＝∠DAG，
∵∠MAN＝∠BAD＝45°，
∴∠BAQ+∠DAM＝∠DAG+∠DAM＝∠GAH＝45°，
则∠GAH＝∠QAH，
在△GAH和△QAH中，
∵，
∴△GAH≌△QAH（SAS），
∴GH＝QH，
设GH＝QH＝a，
∵BD＝AB＝2，BQ＝，
∴DQ＝BD﹣BQ＝，
∴DH＝﹣a，
∵∠ADG＝∠ADH＝45°，
∴∠GDH＝90°，
在Rt△DGH中，由DG2+DH2＝GH2可得（）2+（﹣a）2＝a2，
解得：a＝，即QH＝．
【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质及旋转的性质等知识点．
14．在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化.
（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
（2）当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，
请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).
(3) 如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若 , ,求四边形的面积.
【答案】（1）BP=CE； CE⊥AD；（2）成立，理由见解析；（3） .
【解析】【分析】（1）①连接AC，证明△ABP≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得BP=CE；②根据菱形对角线平分对角可得，再根据△ABP≌△ACE，可得，继而可推导得出 ，即可证得CE⊥AD；
（2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，利用（1）的方法进行证明即可；
（3）连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，由已知先求得BD=6，再利用勾股定理求出CE的长，AP长，由△APE是等边三角形，求得， 的长，再根据，进行计算即可得.
【解析】（1）①BP=CE，理由如下：
连接AC，
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE ，∠PAE=60° ，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE；

②CE⊥AD ，
∵菱形对角线平分对角，
∴，
∵△ABP≌△ACE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴CF⊥AD ，即CE⊥AD；
（2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：

连接AC，
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=120° ，
∠BAP=120°＋∠DAP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE ， ∠PAE=60° ，
∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE，，
∴∠DCE=30° ，∵∠ADC=60°，
∴∠DCE＋∠ADC=90° ， ∴∠CHD=90° ，∴CE⊥AD，
∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立；
(3) 连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ABC ，
∵∠ABC=60°，，
∴∠ABO=30° ，∴ ， BO=DO=3，
∴BD=6，
由(2)知CE⊥AD，
∵AD∥BC，∴CE⊥BC，
∵ ， ，
∴，
由(2)知BP=CE=8，∴DP=2，∴OP=5，
∴，
∵△APE是等边三角形，∴ ， ，
∵，
∴，
=
=
=，
∴四边形ADPE的面积是 .
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质等，熟练掌握相关知识，正确添加辅助线是解题的关键.
15．如图1，，是线段上的一个动点，分别以为边，在的同侧构造菱形和菱形，三点在同一条直线上连结，设射线与射线交于.

（1）当在点的右侧时，求证：四边形是平形四边形.
（2）连结，当四边形恰为矩形时，求的长.
（3）如图2，设，，记点与之间的距离为，直接写出的所有值.
【答案】（1）见解析；（2）FG＝；（3）d＝14或.
【分析】（1）由菱形的性质可得AP∥EF，∠APF＝∠EPF＝∠APE，PB∥CD，∠CDB＝∠PDB＝∠CDP，由平行线的性质可得∠FPE＝∠BDP，可得PF∥BD，即可得结论；
（2）由矩形的性质和菱形的性质可得FG＝PB＝2EF＝2AP，即可求FG的长；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求d的值；点G在DP的右侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H；若点G在DP的左侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H．
【解析】（1）∵四边形APEF是菱形
∴AP∥EF，∠APF＝∠EPF＝∠APE，
∵四边形PBCD是菱形
∴PB∥CD，∠CDB＝∠PDB＝∠CDP
∴∠APE＝∠PDC
∴∠FPE＝∠BDP
∴PF∥BD，且AP∥EF
∴四边形四边形FGBP是平形四边形；
（2）若四边形DFPG恰为矩形
∴PD＝FG，PE＝DE，EF＝EG，
∴PD＝2EF
∵四边形APEF是菱形，四边形PBCD是菱形
∴AP＝EF，PB＝PD
∴PB＝2EF＝2AP，且AB＝10
∴FG=PB＝.
（3）如图，点G在DP的右侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H，
∵FE＝2EG，
∴PB＝FG＝3EG，EF＝AP＝2EG
∵AB＝10
∴AP+PB＝5EG＝10
∴EG＝2，
∴AP＝4，PB＝6＝BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBH＝60°，且CH⊥AB
∴BH＝BC＝3，CH＝BH＝3
∴AH＝13
∴AC＝＝14
若点G在DP的左侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H
∵FE＝2EG，
∴PB＝FG＝EG，EF＝AP＝2EG
∵AB＝10，
∴3EG＝10
∴EG＝
∴BP＝BC＝
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBH＝60°，且CH⊥AB
∴BH＝BC＝，CH＝BH＝
∴AH＝
∴AC＝
综上所述：d＝14或.
【点睛】本题考查菱形的性质、平行线的性质、平行四边形的判定及勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质、平行线的性质、平行四边形的判定及勾股定理的计算.
16．如图，已知平行四边形中，平分，
（1）求证：平行四边形是菱形；
（2）为边上一动点，连接，作的垂直平分线交于，交于，连接、，
①求证：为等腰三角形；
②若，求的值．
【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解；②
【分析】（1）根据平行四边形中，平分求出平行四边形邻边相等即可，
（2）①由GF垂直平分CE知GC=GE，再求证△ADG与△CDG全等即可得出为等腰三角形，
②连接AC交BD于点O，根据菱形ABCD中AC与BD垂直平分，GF垂直平分CE，分别用不同方法表示出∠AEC进而求出，即可求出．
【解析】（1）∵在平行四边形中，
∴，
∴∠CDB=∠ABD，
又平分，
∴∠DBC=∠ABD，
∴∠CDB=∠DBC，
∴DC=BC，
∴平行四边形是菱形；
（2）①由GF垂直平分CE知GC=GE，
∵菱形中，
AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴△ADG△CDG（SAS），
∴GA=GC，
即为等腰三角形；
②连接AC交BD于点O，如图：
由题意知GF垂直平分CE，
∴GC=GE，
∴∠GCE=∠GEC，
∵在菱形ABCD中AC与BD垂直平分，
∴，
∴∠GAC=∠GCA，
又∵，AB=BC，
∴，
又∵∠AEC=∠ABC+∠BCE，
，
∴，
由①知∠GAE=∠AEG，
则，
∵∠AEC=∠AEG+∠GEC，
∴
∴，
∴，
又∵GF垂直平分CE，
∴，
∴，
即．
【点睛】此题属于四边形动点问题，利用平行四边形考查菱形的判定定理，涉及到垂直平分线的性质和三角形外角及等边三角形性质，有一定难度．
17． 在正方形ABCD中．
（1）如图1，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，试判断AE与BF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于点O，∠GOH=90°，且EG=7，求FH的长；
（3）如图3，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，若AB=5，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为4：5，求△ABO的周长．
【答案】（1）AE=BF，理由见解析；（2）FH=7；（3）△AOB的周长为5+
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形可得AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，根据余角的性质可得∠BAO=∠CBF，然后根据ASA可证△ABE≌△BCF，进而可得结论；
（2）如图4，作辅助线，构建平行四边形AMEG和平行四边形BNFH，得AM=GE，BN=FH，由（1）题的结论知△ABM≌△BCN，进而可得FH的长；
（3）根据正方形的面积和阴影部分的面积可得：空白部分的面积为25－20=5，易得△AOB的面积与四边形OECF的面积相等，设AO=a，BO=b，则易得ab=5，根据勾股定理得：a2+b2=52，然后根据完全平方公式即可求出a+b，进一步即得结果．
【解析】解：（1）AE=BF，理由是：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∵∠AOB=90°，∴∠BAO+∠ABO=90°，
又∵∠CBF+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF（ASA）．
∴AE=BF；
（2）在图2中，过点A作AM∥GE交BC于M，过点B作BN∥FH交CD于N，AM与BN交于点O′，如图4，则四边形AMEG和四边形BNFH均为平行四边形，
∴AM=GE，BN=FH，
∵∠GOH=90°，AM∥GE，BN∥FH，∴∠AO′B=90°，
由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM=BN，
∴FH=GE=7；
（3）如图3，∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为4：5，
∴阴影部分的面积为×25=20，∴空白部分的面积为25－20=5，
由（1）得，△ABE≌△BCF，
∴△AOB的面积与四边形OECF的面积相等，均为×5=，
设AO=a，BO=b，则ab=，即ab=5，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∴a2+b2=52，
∴a2+2ab+b2=25+10=35，即，
∴a+b=，即AO+BO=，
∴△AOB的周长为5+．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形和多边形的面积以及完全平方公式的运用，属于常考题型，熟练掌握上述知识、灵活应用整体的思想是解题的关键．
18．已知正方形ABCD，点E在AB上，点G在AD，点F在射线BC上，点H在CD上．
（1）如图1，DE⊥FG，求证：BF＝AE+AG；
（2）如图2，DE⊥DF，P为EF中点，求证：BE＝PC；
（3）如图3，EH交FG于O，∠GOH＝45°，若CD＝4，BF＝DG＝1，则线段EH的长为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）作GM⊥BC于M．证△DAE≌△GMF，得AE＝FM，AG＝BM．所以BF＝AE+AG．
（2）作EQ∥CP交BC于Q．证EQ＝2CP，EQ＝BE可得BE＝CP．
（3）作BM∥GF交AD于M，作BN∥EH交CD于N，得BM＝GF，BF＝MG＝1，BN＝EH，延长DC到P，使CP＝AM＝2，证△BAM≌△BCP得∠ABM＝∠CBP，BM＝BP，再证△MBN≌△PBN得MN＝PN，设CN＝x，则MN＝PN＝CN+PC＝x+2，DN＝4﹣x，在Rt△DMN中，由DM2+DN2＝MN2求得x＝，再在△BCN中利用勾股定理求解可得．
【解析】解：（1）如图1，过点G作GM⊥BC于M，
则∠GMB＝∠GMF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABMG是矩形，
∴AG＝BM，
∵DE⊥GF，
∴∠ADE+∠DGF＝∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DGF，
又∠DGF＝∠MFG，
∴∠AED＝∠MFG，
∴△DAE≌△GMF（AAS），
∴AE＝MF，
则BF＝BM+MF＝AG+AE；
（2）如图2，过点E作EQ∥PC，交BC于点Q，
∵P是EF的中点，
∴PC是△EQF的中位线，
则EQ＝2PC，QC＝CF，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
又∵∠A＝∠DCF＝90°，AD＝CD，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF＝QC，
∵AB＝BC，
∴BE＝BQ，
则∠BEQ＝45°，
∴EQ＝BE，
则2PC＝BE，
∴BE＝PC；
（3）如图3所示，作BM∥GF交AD于M，作BN∥EH交CD于N，
则四边形BFGM和四边形BEHN是平行四边形，
∴BM＝GF，BF＝MG＝1，BN＝EH，
∵DG＝1，CD＝AD＝4，
∴AM＝2，
延长DC到P，使CP＝AM＝2，
∵BA＝BC，∠A＝∠BCP＝90°，
∴△BAM≌△BCP（SAS），
∴∠ABM＝∠CBP，BM＝BP，
∵∠GOH＝45°，BN∥EH，BM∥GF，
∴∠MBN＝45°，
∴∠ABM+∠CBN＝45°，
∴∠CBP+∠CBN＝45°，即∠PBN＝45°，
∴△MBN≌△PBN（SAS），
∴MN＝PN，
设CN＝x，则MN＝PN＝CN+PC＝x+2，DN＝4﹣x，
在Rt△DMN中，由DM2+DN2＝MN2可得22+（4﹣x）2＝（x+2）2，
解得x＝，
则EH＝BN＝＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形背景中的线段和差，线段倍分，求线段长问题，掌握垂线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，引垂线构造全等，转化线段的相等关系，利用平行线，构造中位线与等腰直角三角形，确定倍数关系，利用勾股定理解决线段的长度问题．
19．四边形ABCD是矩形，点E是射线BC上一点，连接AC，DE．
（1）如图1，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若∠ACB＝40°，求∠E的度数；
（2）如图2，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若M是DE的中点，连接AM，CM，求证：AM⊥MC；
（3）如图3，点E在边BC上，射线AE交射线DC于点F，∠AED＝2∠AEB，AF＝4，AB＝4，则CE＝ ．（直接写出结果）
【答案】（1）70°；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）根据矩形的性质：AC＝BD，OB＝OC，可得∠DBC＝∠ACB＝40°，由BD＝BE得出∠E＝∠BDE，可得结论；
（2）如图2，延长CM交AD延长线于G，先证明△DMG≌△EMC（AAS），得AG＝AC，根据等腰三角形三线合一得：AM⊥MC；
（3）如图3，取AF的中点P，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：PD＝AP＝AF＝2，证明∠DPE＝∠AED，则DE＝PD＝2，利用勾股定理可得CE的长．
【解析】解：（1）如图1，连接BD，与AC交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OB＝OC
∴∠DBC＝∠ACB＝40°
∵BE＝AC，
∴BD＝BE，
∴∠BDE＝∠E，
∴∠E＝＝70°；
（2）如图2，延长CM交AD延长线于G，
∵AG∥BE，
∴∠GDM＝∠E，∠G＝∠GCE，
∵M是DE的中点，
∴DM＝EM，
∴△DMG≌△EMC（AAS），
∴CE＝DG，CM＝MG，
∴BC+CE＝AD+DG，
即AG＝BE，
由（1）知：BE＝BD＝AC，
∴AG＝AC，
又∵CM＝MG，
∴AM⊥MC；
（3）如图3，取AF的中点P，连接PD，则PD＝AP＝AF＝2，
∴∠PDA＝∠PAD，
在矩形ABCD中，∠AEB＝∠PAD，∠AED＝2∠AEB，
∴∠DPE＝∠PAD+∠PDA＝2∠PAD＝2∠AEB＝∠AED，
∴DE＝PD＝2，
在△DEC中，∠DCE＝90°，AB＝DC＝4，
∴CE＝＝＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
20．如图，在菱形中，是边上的动点，作交于点，在上取点使，连结
（1）求的度数；
（2）求证：
（3）若是的中点，当为何值时，是等腰三角形．
【答案】（1）120°；（2）见解析；（3）或
【分析】（1）由题意可证是等边三角形，可得，可求解；
（2）根据菱形的性质，等边三角形的性质，利用证明可证明结论；
（3）可分三种情况：当时；当时；当时分别进行计算即可求解．
【解析】解：（1），，
是等边三角形，
，
；
（2）证明：由（1）知，，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）∵△DFE≌△GEB，
∴DF＝GE，
当EG＝EP时，过E作EM⊥AB 垂足为M，
设AE＝x，
∵△AGE是等边三角形，
∴AM＝，EM＝，
∴BM＝4−x，
∵P为EF的中点，
∴EF＝2EP，
由（2）知EF＝BE，
∴EB＝2EG＝2AE＝2x，
在Rt△EBM中，EM2＋BM2＝EB2，
即（x）2＋（4−x）2＝（2x）2，
解得x＝或（舍去），
即AE＝；
当EG＝GP时，过G作GQ⊥EF，垂足为Q，过E作EM⊥AB 垂足为M，连接GF，设AE＝x，
∴BG＝4−x，
∵△AGE是等边三角形，
∴EG＝x，
∵EF＝EB，∠BEF＝60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴∠EFB＝∠BEF＝60°，EF＝BE，
在Rt△EBM中，
BE2＝EM2＋BM2＝（x）2＋（4−x）2，
∵△BEG≌△EFD，
∴∠BEG＝∠EFD，DF＝EG，
∴∠GEQ＝∠BFH，CF＝4−x，
∴BG＝CF，
∴四边形GBCF是平行四边形，
∴GF＝BC＝4，
∵P为EF的中点，
∴EP＝EF＝BE，
∵EG＝GP＝x，
∴EQ＝EP＝EF＝BE，
∴FQ＝EF＝BE，
在Rt△EGQ和Rt△FGQ中，∠EQG＝∠FQG＝90°，
GQ2＝EG2−EQ2，GQ2＝FG2−FQ2，
∴x2−（BE）2＝42−（BE）2，
∴
解得x＝或x＝（舍去），
即AE＝；
当EP＝GP时，点P在EG的中垂线上，即P点AC上，
而运动期间P不可能位于线段AC上，
∴P在AC上不存在，
综上，AE＝或；
即当AE为或时，△EGP是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质等知识的综合运用，注意分类讨论．
21．梯形中，，，，，、在上，平分，平分，、分别为、的中点，和分别与交于和，和交于点．
（1）求证：；
（2）当点在四边形内部时，设，，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）3或．
【分析】（1）由中位线的性质，角平分线的定义和平行线的性质得出，易证，则结论可证；
（2）过作交于点K，过点D作交于点，则得到矩形，则有，，然后利用（1）中的结论有， ，在中，利用含30°的直角三角形的性质可得出QC，DQ的长度，然后在中利用勾股定理即可找到y关于x的函数关系式；
（3）分两种情况：点在梯形内部和点在梯形内部，当点在梯形内部时，有；当点在梯形内部时，有 ，分别结论（2）中的关系式即可求出EG的长度．
【解析】（1）证明：、分别是、的中点，
．
平分，
．
又，
，
，
．
点是的中点，
．
．
（2）过作交于点K，过点D作交于点，
∵，，，
∴四边形是矩形，
，．
，，
，
同理：．
在中，
，
，，
．
，
．
在中，．
，
即．
．
（3）①点在梯形内部．
∵是梯形的中位线，
，
即．
解得：，
即．
②点在梯形内部．
同理：．
解得：，
即．
综上所述，EG的长度为3或．
【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，掌握中位线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理是基础，能够作出辅助线并分情况讨论是解题的关键．
22．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝10，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，设AD＝x，△AOB的面积为y．
（1）求∠DBC的度数；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图1，设点P、Q分别是边BC、AB的中点，分别联结OP，OQ，PQ．如果△OPQ是等腰三角形，求AD的长．
【答案】（1）∠DBC＝45；（2）y＝x（x＞0）；（3）满足条件的AD的值为10﹣10．
【分析】（1）过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点，只要证明△BDE是等腰直角三角形即可解决问题；
（2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形，由题意OA=x，OB=5，根据y=•OA•OB计算即可；
（3）分三种情形讨论即可解决问题；
【解析】（1）过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点．
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE，
∴四边形ACED为平行四边形，AC＝DE，AD＝CE，
∵AB＝CD，
∴梯形ABCD为等腰梯形，
∴AC＝BD，
∴BD＝DE，
又AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°
∵AC∥DE
∴∠BDE＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠DBC＝45°．
（2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形，
∵AD＝x，BC＝10，
∴OA＝x，OB＝5，
∴y＝．
（3）如图2中，
①当PQ＝PO＝BC＝5时，
∵AQ＝QB，BP＝PC＝5，
∴PQ∥AC，PQ＝AC，
∴AC＝10，∵OC＝5，
∴OA＝10﹣5，
∴AD＝OA＝10﹣10．
②当OQ＝OP＝5时，AB＝2OQ＝10，此时AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠ABC＝90°，同理可证：∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，不符合题意，此种情形不存在．
③当OQ＝PQ时，AB＝2OQ，AC＝2PQ，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝90°＝∠BOC，显然不可能，
综上所述，满足条件的AD的值为10﹣10．
【点睛】本题考查四边形综合题、梯形、等腰直角三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.
23．如图①，是等腰直角三角形，，四边形是正方形，点B、C分别在边上，此时成立．将绕点A逆时针旋转，并探究下列问题：
(1)如图②，成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(2)当时，如图③，延长交于点H．当时，求线段的长．
(3)如图④，延长交于点H，连接，直接写出线段之间的数量关系．
【答案】(1)成立，见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质可得，得到，得到结论；
（2）连接，记与交点为O，在中利用勾股定理求出长，进而求出长，再利用面积法求出线段长即可；
（3）过点A作交的延长线于点，由（1）的结论推出，即可得到结论．
【解析】（1）解： 成立．
理由如下：由题意得，，
∵四边形是正方形
∴
在和中，
，
∴，
∴．
（2）连接，记与交点为O
在中，
∵
∴
由题意得，
∴
即
设，
又，
∴
∴
又
∴
∴
又
∴
∵
∴
∴
由（1）得，
∴，，
∵，
∴，
∴
即
∵
∴
∴
（3）
过点A作交的延长线于点，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
又∵，
∴,
∴，
又∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，能作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连结．
感知：如图①，过点作交于点．求证．
探究：如图②，取的中点，过点作交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）连结，若，求的长．
应用如图③，取的中点，连结．过点作交于点，连结、．若，求四边形的面积．
【答案】感知：见解析；（1）见解析（2）2 应用：9
【分析】感知：利用同角的余角相等判断出，即可得出结论；
探究：（1）判断出，同感知的方法判新出，即可得出结论；
（2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，可得结论．
【解析】（1）感知：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．；
探究：（1）如图②，
过点作于，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形G是矩形，
∴，
∴，
由，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（2）由（1）知，，
连接，
∵，点是的中点，
∴，
∴，
故答案为：2．
应用：同探究（2）得，，
∴，
同探究（1）得，，
∵，
∴．
故答案为：9
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质和判定是关键．
25．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是上一点，F是延长线上一点，且，求证：．
（2）如图2，在正方形中，E是上一点，G是上一点，如果，求证：．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形中，（），，．E是上一点，且，，求直角梯形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）108
【分析】（1）根据四边形是正方形，又，证得，即可得出结论．
（2）利用正方形的性质和，求出，再根据，得出
，然后证出，即可得出结论．
（3）作出辅助线DF，根据三角形面积公式列等式即可求出DF的长，再利用勾股定理解答即可．
【解析】解：（1）证明：如图1，
四边形是正方形，
，，
又，
，
．
（2），
，
，
，
，即，
，且，，
，
，
．
（3）如图：过点C作于F，
，，
，
，，
四边形是矩形，且，
四边形是正方形，
．
由（2）可得，
，
在中，，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明全等是解题的关键．
26．如图，在长方形中，，，，，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，直接写出周长的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析，；②周长的最小值为12
【分析】（1）根据长方形的性质得，可得，利用即可得出结论；
（2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出，等角对等边即可得，设，则，，在中，由勾股定理得，即；
②可得的周长，当点恰好位于对角线上时，最小，在中，由勾股定理得，则的最小值，即可得周长的最小值．
【解析】（1）证明：在长方形中，
，，
点P是的中点，
，
；
（2）解：①在长方形中，，
，
由折叠得，
，
，
在长方形中，，，
，
点P是的中点，
，
由折叠得，，，
设，则，
，
在中，，
，
解得，即；
②由折叠得，，
的周长，
连接，，
，
当点恰好位于对角线上时，最小，
在中，，，
，
′的最小值，
∴周长的最小值．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键．
27．在正方形中，，点为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交，，于点，，．
(1)①如图1，判断线段与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若垂足为的中点，连接，交于点，连接，则______．
(3)若垂足在对角线上，正方形的边长为．
①如图3，若，，则______；
②如图4，连接，将沿着翻折，点落在点处，的中点为，则的最小值为______．
【答案】(1)；理由见解析
(2)
(3)①；②
【分析】（1）过点作分别交、于点、，证出四边形为平行四边形，得出，证明得出，即可得出结论；
（2）连接，过点作，分别交、于点、，证出是等腰直角三角形，，，证明得出，得出是等腰直角三角形，得出，即可得出结论；
（3）①过点分别作垂足分别为，则，证明，设，根据，求得，即可得出；
②连接交于点，则的直角顶点在上运动，设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，由等腰直角三角形的性质得出，当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，证明得出，证明得出，，由正方形的性质得出，易得出，得出，，得出，故，点在线段上运动；过点作，垂足为，即可得出结果．
【解析】（1）∵四边形是正方形，
，，，
过点作分别交、于点、，如图所示：
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
；
（2）连接，过点作，分别交、于点、，如图所示：
四边形是正方形，
四边形为矩形，
，，，
是正方形的对角线，
，
是等腰直角三角形，，，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
（3）①解：如图所示，
过点分别作垂足分别为，则
在正方形对角线上，
，是等腰直角三角形，
，
，
又，
，
，
，
设，
，，
解得：，
则，
故答案为：．
连接交于点，如图所示：
则的直角顶点在上运动，
设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，
，，
，
当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，
点在上，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
由翻折性质得：，
在和中，
，
（），
，'，
是正方形的对角线，
，
则，
，
，
，故，
点在线段上运动；
过点作，垂足为，
点为的中点，
，则的最小值为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
28．如图，在中，过点作交于点，且．
(1)如图1，过点作且，连接，若，求的长；
(2)如图2，点是上一点，且，交于点．求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，且．连接，线段与相交于点．将沿着翻折，点与点重合，连接．请直接写出的值．
【答案】(1)10
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）根据，结合得到，继而得到，运用勾股定理求得．
（2）如图，连接，延长到点Q，使得，连接，过点C作于点M，证明，，，证明即可．
（3）根据已知和（2）的结论得出是等边三角形，连接，交于点，延长交于点，延长交于点，证明是等腰直角三角形，得出，在中，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【解析】（1）∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）如图，连接，延长到点，使得，连接，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
又，
∴，
∵
∴
即
∴
∵，
∴，即是等边三角形，
∴
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴,
∵是的一个外角，
∴，
在中，，
如图所示，连接，交于点，
由（2）可知，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∵折叠
∴，
∴
∴，
∴是等边三角形，
在中，
∴
∴
延长交于点，
∵，，
∴，
延长交于点，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，则，
又∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，则，
，
∴是等腰直角三角形，
则，又，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，平行四边形的性质，折叠的性质，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．