沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训12特殊平行四边形情景探究压轴题(原卷版+解析)

这是一份沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训12特殊平行四边形情景探究压轴题(原卷版+解析)，共81页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．问题情境：如图1，已知正方形ABCD与正方形CEFG，B、C、G在一条直线上，M是AF的中点，连接DM，EM．探究DM，EM的数量关系与位置关系．
小明的思路是：小明发现AD//EF，所以通过延长ME交AD于点H，构造△EFM和△HAM全等，进而可得△DEH是等腰直角三角形，从而使问题得到解决，请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）猜想图1中DM、EM的数量关系 ，位置关系 ．
（2）如图2，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转180°，此时点E在线段DC的延长线上，点G落在线段BC上，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由；
（3）我们可以猜想，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度，如图3，（1）中的结论 （“成立”或“不成立”）
拓展应用：
将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．
2．操作与证明：
如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．
（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；
猜想与发现：
（2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，得出结论；
结论：DM、MN的关系是： ；
拓展与探究：
（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
3．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为： ．
②BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．
4．【方法回顾】
（1）如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线l交边BC于点P，BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F，若DF＝2.5，BE＝1，则EF＝ ．
【问题解决】
（2）如图2，菱形ABCD的边长为1.5，过点A作一条直线l交边BC于点P，且∠DAP＝90°，点F是AP上一点，且∠BAD+∠AFD＝180°，过点B作BE⊥AB，与直线l交于点E，若EF＝1，求BE的长．
【思维拓展】
（3）如图3，在正方形ABCD中，点P在AD所在直线上的上方，AP＝2，连接PB，PD，若△PAD的面积与△PAB的面积之差为m（m＞0），则PB2﹣PD2的值为 ．（用含m的式子表示）
5．已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．
提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？
探究问题：
（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系： ；
（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：
情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；
情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．
在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；
拓展问题：
（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系： ．
6．问题背景
若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．
如图1，四边形中，是一条对角线，，，则点与点关于互为顶针点；若再满足，则点与点关于互为勾股顶针点．
初步思考
(1)如图2，在中，，，、为外两点，，，为等边三角形．
①点与点______关于互为顶针点；
②点与点______关于互为勾股顶针点，并说明理由．
实践操作
(2)在长方形中，，．
①如图3，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)
思维探究
②如图4，点是直线上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为勾股顶针点，直线与直线交于点．在点运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
7．如图1，，、、为铅直方向的边，、、为水平方向的边，点在、之间，且在、之间，我们称这样的图形为“图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“图形”的等积线．
(1)下列四副图中，直线是该“图形”等积线的是_________(填写序号)
(2)如图2，直线是该“图形”的等积线，与边、分别交于点、，过中点的直线分别交边、于点、，则直线 (填“是”或“不是”)该图形的等积线．
(3)在图3所示的“图形”中，，，．
①若，在下图中画出与平行的等积线l(在图中标明数据)
②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边、分别交于、，求的最大值；
③如果存在与水平方向的两条边、相交的等积线，则的取值范围为 ．
8．折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看着折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．
实践操作，解决问题
(1)如图1，将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点．在图1中，
①和的数量关系为___________．
②连接，和的位置关系为___________
(2)若图1中的矩形变为平行四边形时（），如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由
(3)小敏沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形（如图3所示），沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小敏折叠的矩形纸片的长宽之比为 （写出所有可能情况）
(4)新题探究：
平行四边形中，，如图4所示，将沿对角线翻折，使点落在所在平面内，连接，当恰好为直角三角形时，的长度为___________．
9．已知，正方形的边长为8，点P、G分别在射线、边上，连接，点B关于的对称点为Q，连接．
(1)如图1，取的中点E、F，连接，若点Q刚好落在线段上，且点P在线段FC上，则的度数不可能是下列选项中的______；（填序号）
①45°，②59°，③72°
(2)如图2，当点Q落在边上（不与点D重合）时，试判断点P是否一定在射线BC上点C的右侧，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，
①当时，求的长；
②若线段与相交于点N，连接，试探索点Q落在不同位置时，的度数是否发生变化，若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
10．【定义】只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，，四边形ABCD是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边同侧的两个角是相等的．如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有ADB和ACB，此时；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在BC同侧有BAC和BDC，此时．
(1)【理解】
如图1，______；
(2)下列图形中一定是损矩形的是______（填序号）；
(3)【应用】如图2，四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，以AC为一边向外作菱形ACEF，点D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD，当BD平分ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？并说明理由；
(4)如图3，四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，点O为AC的中点，OG⊥BD于点G，若，则等于多少？
11．问题初探
（1）如图，点，分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系．
聪明的小明是这样做的：把绕点逆时针旋转至，使得与重合，由，得，即点、、共线，易证≌______故EF、、之间的数量关系为______．
类比探究
（2）如图，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请根据小明的发现给你的启示写出、、之间的数量关系，并证明．
联想拓展
（3）如图，在中，，点、均在边上，且，若，求的长．
12．【概念理解】若一条直线把一个图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线叫做这个图形的等积直线．如图1，直线经过三角形的顶点和边的中点，易知直线将分成两个面积相等的图形，则称直线为的等积直线．
(1)如图2，矩形对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，．
①求证：．
②请你判断直线是否为该矩形的等积直线．______．（填“是”或“不是”）
(2)【问题探究】如图3是一个缺角矩形，其中，小华同学给出了该图形等积直线的一个作图方案：将这个图形分成矩形、矩形，这两个矩形的对称中心，所在直线是该缺角矩形的等积直线．
如图4，直线是该图形的一条等积直线，它与边，分别交于点，，过的中点的直线分别交边，于点，，直线______（填“是”或“不是”）缺角矩形的等积直线．
(3)【实际应用】若缺角矩形是老张家的一块田地如图5．为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了灌溉方便，便想使每个儿子分得的土地都有一边和水井相邻，试问该如何分割这块土地？画出图形，并说明理由．
13．【问题背景】如图1，小正方形BEFG绕大正方形ABCD的顶点B旋转一周，其中，，．
(1)【问题探究】猜想AE与CG的数量关系是______，位置关系是______，请对上述猜想加以说明．
(2)如图2，当点E在正方形ABCD内，连接EC，若，，求线段AE长．
(3)【问题拓展】在旋转过程中，当C、E、F三点共线时，线段CF的长为______．
(4)如图3，连接DF，取DF中点M，连接EM，则线段EM的取值范围是______．
14．【问题情境】
(1)同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图所示，则和的数量关系为______，位置关系为______．
【继续探究】
(2)若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，如图所示，
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点作，如图，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程．
【拓展提升】
(3)在（2）的条件下，点在边上运动时，利用图，则的最小值为______．
15．定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做等面积四边形，这条对角线叫做等面积对角线．
(1)[概念理解]下列图形中，属于等面积四边形的是______．
A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的四边形
(2)等面积四边形的性质：在等面积四边形中，等面积对角线平分另一条对角线．利用所学知识证明等面积四边形的性质，即：
如图1，已知：四边形ABCD是等面积四边形，等面积对角线AC与对角线BD交于点O，△ABC与△ADC的面积相等．
求证：BO＝DO．
(3)[探究应用]如图2，已知四边形ABCD是等面积四边形，等面积对角线AC与对角线BD交于点E，AC﹣BC＝2CE．
①求证：∠BCE＝2∠DAC；
②若∠DAC＝30°，AD＝CD，求证：AC＝BD．
16．【问题情境】（1）小明在学习过程中遇到这样的一道试题：
如图，正方形的边长为2，为边上一动点． ，垂足为，求证：．
请你帮助小明完成证明；
【问题探究】（2）小明在“问题情境”的基础上继续探究． 如图2，点在的延长线上，且满足． 连接，，．
①求证：；
②判断、的数量关系，并说明理由；
【问题探究】（3）在（2）的基础上，如图3，若为的中点，直接写出的最小值为_________．
17．问题提出：一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题．
如图①，两条长度相等的线段和相交于O点，，直线与直线的夹角为，求线段、、满足的数量关系．
分析：考虑将、和集中到同一个三角形中，以便运用三角形的知识寻求三条线段的数量关系：
如图②，作且，则四边形是平行四边形，从而；
由于，，所以是等边三角形，故；
通过平行又求得．
在中，研究三条线段的大小关系就可以了．
如图②，若，，，请直接写出线段的长__________；
问题解决：
如图③，矩形中，E、F分别是、上的点，满足，，求证：；
拓展应用：
如图④，中，，D、E分别在、上，、交于点O，，，若，，则____________．
18．某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题．
四边形是边长为4的正方形，点E是射线上的动点，，且交正方形外角的角平分线于点F．
【探究1】当点E是中点时，如图1，发现，这需要证明与所在的两个三角形全等，而与显然不全等，考虑到点E是的中点，取的中点H，连接，证明与全等即可．
【探究2】
(1)如图2，如果把“点E是边的中点”改为“点E是边上（不与点B、C重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，请说明理由；
(2)如图3，如果点E是边延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图形，并判断“”是否成立？ （填“是”或“否”）；
【探究3】
(3)连接交直线于点I，连接，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．
【探究4】
(4)当时，此时的面积为 ．
19．综合与实践
问题解决：
(1)已知四边形是正方形，以为顶点作等腰直角，，连接．如图1，当点在上时，请判断和的关系，并说明理由．
问题探究：
(2)如图2，点是延长线与直线的交点，连接，将绕点旋转，当点在直线右侧时，求证：；
问题拓展：
(3)将绕点旋转一周，当时，若，，请直接写出线段的长．
20．【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处．
【初步认识】
（1）如图①，折痕的端点P与点A重合．
①当时， ______．②若点E恰好在线段上，则的长为_______．
【深入思考】
（2）点E恰好落在边上．
①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹）
②如图③，过点E作交于点F，连接．请根据题意，补全图③并证明四边形是菱形；
③在②的条件下，当时，菱形的边长为___________，的长为_______．
【拓展提升】
（3）如图④，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
21．在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连结．
【感知】（1）如图①，过点作交于点．求证：．
【探究】如图②，取的中点，过点作交于点，交于点．
（2）求证：．
（3）连结，若，则的长为______．
【应用】（4）如图③，取的中点，连结．过点作交于点，连结、．若，四边形的面积为______．
22．定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．
如图①，在四边形中，若，则四边形是“准矩形”；
如图②，在四边形中，若，，则四边形是“准菱形”．
(1)如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”和“准菱形”．（要求：D、在格点上）；
(2)下列说法正确的有 ；（填写所有正确结论的序号）
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；
③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形．
(3)如图⑤，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且，，、交于点D；
①若，求证：“准菱形”是菱形；
②在①的条件下，连接，若，，，请直接写出菱形的边长．
23．综合与实践．如图①，四边形是矩形，且，，O为矩形对角线的交点，E为边上任意一点，连结并延长，与边交于点F．
观察：（1）线段和有什么数量关系？并进行证明．
操作：（2）小英连结、后发现，四边形的形状一定是___________；当的长为_______时，四边形是菱形
探究：（3）受小英的启发，小亮对图形进一步操作，将图②中的与分别沿与进行翻折，点A与点C分别落在矩形内的点、处，连结、，如图③，请你判断四边形的形状，并证明你的结论．
24．问题背景：如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________；
探索延仲：如图2，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度，前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
25．问题解决：如图1，是等边内一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为______，______度．
类比探究：如图2，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程．
迁移运用：如图3，若点是正方形外一点，，，，则=______．（直接写出答案）
26．【问题情境】
如图1，四边形和四边形都为正方形，，点E在的延长线上，点G在的延长线上，分别连接对角线，，．将正方形从图1的位置开始绕点C顺时针旋转，设旋转角为（）
【自主探究】
(1)小斌画出了旋转角时的情形（如图2），连接后，小斌发现四边形是平行四边形，请帮他证明这一结论；
(2)小亮画出了旋转角时的某一情形（如图3），连接、，写出线段、的关系： ______．
【拓展延伸】
(3)如图4，小颖在正方形绕点G旋转过程中（），连接、，请你直接写出当为等腰三角形时的值．
特训12 特殊平行四边形 情景探究压轴题
一、解答题
1．问题情境：如图1，已知正方形ABCD与正方形CEFG，B、C、G在一条直线上，M是AF的中点，连接DM，EM．探究DM，EM的数量关系与位置关系．
小明的思路是：小明发现AD//EF，所以通过延长ME交AD于点H，构造△EFM和△HAM全等，进而可得△DEH是等腰直角三角形，从而使问题得到解决，请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）猜想图1中DM、EM的数量关系 ，位置关系 ．
（2）如图2，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转180°，此时点E在线段DC的延长线上，点G落在线段BC上，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由；
（3）我们可以猜想，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度，如图3，（1）中的结论 （“成立”或“不成立”）
拓展应用：
将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．
【答案】（1）DM⊥EM，DM＝ME，理由见详解；（2）结论成立，理由见详解；（3）成立；拓展应用：MF=或
【分析】（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．只要证明△AMH≌△FME，推出MH＝ME，AH＝EF＝EC，推出DH＝DE，因为∠EDH＝90°，可得DM⊥EM，DM＝ME；
（2）延长EM交DA的延长线于H，证法同第（1）小题；
（3）如图3中，延长EM到点 H，使EM=HM，连接AH，DE，DH，先证明△AMH≌△FME，延长AH交CE于点K，交CD于点O，再证明∆DCE≅∆DAH，可得∆HDE是等腰直角三角形，M是HE的中点，即可得到结论；
拓展应用：分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【解析】解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如图1中，延长EM交AD于H．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵M是AF的中点，
∴AM＝MF，
又∵∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，
∴AD-AH=CD-CE，
∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME．
故答案是：DM⊥EM，DM＝ME；
（2）如图2中，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，
∴AD+AH=CD+CE，
∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME；
（3）如图3中，延长EM到点 H，使EM=HM，连接AH，DE，DH，
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴AH＝EF＝EC，∠MAH=∠MFE，
∴AH∥EF，
延长AH交CE于点K，交CD于点O，
∴∠AKE=∠CEF=90°，
∴∠DCE+∠COK=∠DAH+∠AOD，
∵∠COK=∠AOD，
∴∠DCE=∠DAH，
在∆ DCE和∆DAH中，
∵，
∴∆DCE≅∆DAH，
∴DH=DE，∠CDE=∠ADH，
∴∠ADH+∠CDH=∠CDE+∠CDH=90°，即：∠HDE=∠ADC=90°，
∴∆HDE是等腰直角三角形，M是HE的中点，
∴DM⊥EM，DM＝ME，
故答案是：成立；
拓展应用：如图4中，连接DE．延长EM到H，使得MH＝ME，连接AH，延长FE交AD的延长线于K．作MR⊥DE于R．
易证△AMH≌△FME（SAS），
∴AH＝EF＝EC，∠MAH＝∠MFE，
∴AH∥DF，
∴∠DAH＋∠ADE＝180°，
∴∠DAH＋∠CDE＝90°，
∵∠DCE＋∠EDC＝90°
∴∠DAH＝∠DCE，
∵DA＝DC，
∴△DAH≌△DCE（SAS），
∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，
∴∠HDE＝∠ADC＝90°，
∵ME＝MH，
∴DM⊥EH，DM＝MH＝EM，
在Rt△CDE中，DE＝，
∵DM＝ME，DM⊥ME，MR⊥DE，
∴MR＝DE＝6，DR＝RE＝6，
在Rt△FMR中，FM＝，
如图5中，作MR⊥DE于R．同法可得DE＝12，MR＝6，可得FR＝6−5＝1，
在Rt△MRF中，FM＝
综上所述：MF=或．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．
2．操作与证明：
如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．
（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；
猜想与发现：
（2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，得出结论；
结论：DM、MN的关系是： ；
拓展与探究：
（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）DM＝MN，DM⊥MN；（3）成立，理由见解析.
【分析】（1）先证明△ABE≌△ADF，再利用全等三角形的性质即可证明△AEF是等腰三角形；
（2）利用三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理可证明DM=MN，再证明∠DMN=∠DAB=90°，即可解决问题；
（3）连接AE，交DM于O，交CD于G，同（2）证明方法类似，可证明DM=MN，再证明∠DOG＝∠ECG＝90°，即可得出结论.
【解析】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，
∵△EFC是等腰直角三角形，
∴CE＝CF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）解：结论：DM＝MN，DM⊥MN，
证明：∵在Rt△ADF中， M是AF的中点，
∴DM=AF，
∵M是AF的中点，N是EF的中点，
∴MN=AE，MN∥AE，
∵AE＝AF，
∴MN＝DM，
∵∠ADF＝90°，AM＝MF，
∴MD＝MA＝MF，
∴∠MAD＝∠ADM，
∴∠DMF＝∠MAD+∠ADM＝2∠DAM，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴∠DAB=∠EAF+2∠DAM＝90°，
∵MN∥AE，
∴∠NMF＝∠EAF，
∴∠DMN=∠NMF+∠DMF＝∠EAF+2∠DAM＝∠DAB=90°，
∴DM⊥MN，
∴MN＝DM，MN⊥DM，
故答案为MN＝DM，MN⊥DM；
（3）解：结论仍然成立．
理由：如图，连接AE，设AE交DM于O，交CD于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，
又∵BC+CE=CD+CF,即BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AF＝AE，∠AFD＝∠AEB，
∵在Rt△ADF中，M是AF的中点，
∴DM=AF，
∵M是AF的中点，N是EF的中点，
∴MN=AE，MN∥AE，
∴MN＝DM，
∵∠ADF＝90°，AM＝MF，
∴MD＝MA＝MF，
∴∠MDF＝∠MFD＝∠AEB，
∵∠DGO＝∠CGE，∠ODG＝∠CEG，
∴∠DOG＝∠ECG＝90°，
∵NM∥AE，
∴∠DOG＝∠DMN＝90°，
∴MN⊥DM，MN＝DM．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质定理，找准角与角之间的关系是解题的关键.
3．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为： ．
②BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．
【答案】（1）CF⊥BD，BC=CF+CD；（2）成立，证明详见解析；（3）.
【解析】试题分析：（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论．
试题解析：解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
（2）成立，
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，CF=BD
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=AB=4，AH=BC=2，
∴CD=BC=1，CH=BC=2，
∴DH=3，
由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH与△DEM中，，
∴△ADH≌△DEM，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3，EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=1，
∴EG==．
考点：四边形综合题.
4．【方法回顾】
（1）如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线l交边BC于点P，BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F，若DF＝2.5，BE＝1，则EF＝ ．
【问题解决】
（2）如图2，菱形ABCD的边长为1.5，过点A作一条直线l交边BC于点P，且∠DAP＝90°，点F是AP上一点，且∠BAD+∠AFD＝180°，过点B作BE⊥AB，与直线l交于点E，若EF＝1，求BE的长．
【思维拓展】
（3）如图3，在正方形ABCD中，点P在AD所在直线上的上方，AP＝2，连接PB，PD，若△PAD的面积与△PAB的面积之差为m（m＞0），则PB2﹣PD2的值为 ．（用含m的式子表示）
【答案】（1）1.5；（2）；（3）．
【分析】（1）【方法回顾】如图1，利用“”证明，则，，然后利用得到．
（2）【问题解决】证明，推出，，再利用勾股定理构建方程解决问题即可．
（3）【思维拓展】如图3中，过点作交的延长线于，交的延长线于，设，．设，由，推出，可得，利用勾股定理即可解决问题．
【解析】解：（1）【方法回顾】如图1中，
四边形为正方形，
，，
，，
，
又∵，
，
，，
，，
．
故答案为1.5．
（2）【问题解决】如图2中，
四边形是菱形，
，
，
，
，即，，
，
，
，，
，
，
．
，
．
（3）【思维拓展】如图3中，过点作交的延长线于，交的延长线于，设，．
，
四边形是矩形，
，，
四边形是正方形，
，设，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
5．已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．
提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？
探究问题：
（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系： ；
（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：
情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；
情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．
在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；
拓展问题：
（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系： ．
【答案】（1）DE＝CF；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF＋CF＝DF或|AF－CF|＝DF
【分析】（1）易证△BCD是等腰直角三角形，得出DB=CB，即可得出结果；
（2）情况1：过点C作CG⊥CF，交DF于G，设BC交DF于P，由ASA证得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，FG=CF，连接BE，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，∠BEA=∠ABE=（180°-∠EAB）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF是等腰直角三角形，则EF=BF，推出EF=DG，DE=FG，得出DE=CF；
情况2：过点C作CG⊥CF交DF延长线于G，连接BE，设CD交BF于P，由ASA证得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，得FG=CF，设∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF是等腰直角三角形，得出EF=BF，推出DE=FG，得出DE=CF；
（3）①当F在BC的右侧时，作HD⊥DF交FA延长线于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得出∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得HF=DF，DH=DF，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS证得△HDA≌△FDC，得CF=HA，即可得出AF+CF=DF；
②当F在AB的下方时，作DH⊥DE，交FC延长线于H，在DF上取点N，使CN=CD，连接BN，证明△BFN是等腰直角三角形，得BF=NF，由SSS证得△CNF≌△CBF，得∠NFC=∠BFC=∠BFD=45°，则△DFH是等腰直角三角形，得FH=DF，DF=DH，由SAS证得△ADF≌△CDH，得出CH=AF，即可得出AF+CF=DF；
③当F在DC的上方时，连接BE，作HD⊥DF，交AF于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得出HF=DF，DH=DF，由SAS证得△ADC≌△HDF，得出AH=CF，即可得出AF-CF=DF；
④当F在AD左侧时，作HD⊥DF交AF的延长线于H，连接BE，设AD交BF于P，证明△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF是等腰直角三角形，得DH=DF，HF=DF，由SAS证得△HDA≌△FDC，得出AF=CF，即可得出CF-AF=DF．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BCD=90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴DB=CB，
当点E、F与点B重合时，则DE=CF，
故答案为：DE=CF；
（2）在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：
情况1：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB=AD=AB=AE，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，
过点C作CG⊥CF，交DF于G，如图②所示：
则∠BCD=∠GCF=90°，
∴∠DCG=∠BCF，
设BC交DF于P，
∵BF⊥DE，
∴∠BFD=∠BCD=90°，
∵∠DPC=∠FPB，
∴∠CDP=∠FBP，
在△CDG和△CBF中，
，
∴△CDG≌△CBF（ASA），
∴DG=FB，CG=CF，
∴△GCF是等腰直角三角形，
∴FG=CF，
连接BE，
设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠ADE=90°-α，
∵AD=AE，
∴∠DEA=∠ADE=90°-α，
∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，
∴∠EAB=90°-2α，
∵AB=AE，
∴∠BEA=∠ABE=（180°-∠EAB）=（180°-90°+2α）=45°+α，
∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，
∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，
∵BF⊥DE，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BF，
∴EF=DG，
∴EF+EG=DG+EG，即DE=FG，
∴DE=CF；
情况2：过点C作CG⊥CF交DF延长线于G，连接BE，设CD交BF于P，如图③所示：
∵∠GCF=∠BCD=90°，
∴∠DCG=∠BCF，
∵∠FPD=∠BPC，
∴∠FDP=∠PBC，
在△CDG和△CBF中，
，
∴△CDG≌△CBF（ASA），
∴DG=FB，CG=CF，
∴△GCF是等腰直角三角形，
∴FG=CF，
设∠CDG=α，则∠CBF=α，
同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α，
∴∠EAB=90°+2α，
∵AB=AE，
∴∠BEA=∠ABE=45°-α，
∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°，
∵BF⊥DE，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BF，
∴EF=DG，
∴DE=FG，
∴DE=CF；
（3）①当F在BC的右侧时，作HD⊥DF交FA延长线于H，如图④所示：
由（2）得：△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，
在△ABF和△AEF中，
，
∴△ABF≌△AEF（SSS），
∴∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，
∴△HDF是等腰直角三角形，
∴HF=DF，DH=DF，
∵∠HDF=∠ADC=90°，
∴∠HDA=∠FDC，
在△HDA和△FDC中，
，
∴△HDA≌△FDC（SAS），
∴CF=HA，
∴DF=HF=HA+AF=CF+AF，即AF+CF=DF；
②当F在AB的下方时，作DH⊥DE，交FC延长线于H，在DF上取点N，使CN=CD，连接BN，如图⑤所示：
设∠DAE=α，则∠CDN=∠CND=90°-α，
∴∠DCN=2α，
∴∠NCB=90°-2α，
∵CN=CD=CB，
∴∠CNB=∠CBN=（180°-∠NCB）=（180°-90°+2α）=45°+α，
∵∠CNE=180°-∠CND=180°-（90°-α）=90°+α，
∴∠FNB=90°+α-（45°+α）=45°，
∴△BFN是等腰直角三角形，
∴BF=NF，
在△CNF和△CBF中，
，
∴△CNF≌△CBF（SSS），
∴∠NFC=∠BFC=∠BFD=45°，
∴△DFH是等腰直角三角形，
∴FH=DF，DF=DH，
∵∠ADC=∠HDE=90°，
∴∠ADF=∠CDH，
在△ADF和△CDH中，
，
∴△ADF≌△CDH（SAS），
∴CH=AF，
∴FH=CH+CF=AF+CF，
∴AF+CF=DF；
③当F在DC的上方时，连接BE，作HD⊥DF，交AF于H，如图⑥所示：
由（2）得：△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，
在△ABF和△AEF中，
，
∴△ABF≌△AEF（SSS），
∴∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，
∴△HDF是等腰直角三角形，
∴HF=DF，DH=DF，
∵∠ADC=∠HDF=90°，
∴∠ADH=∠CDF，
在△ADC和△HDF中，
，
∴△ADC≌△HDF（SAS），
∴AH=CF，
∴HF=AF-AH=AF-CF，
∴AF-CF=DF；
④当F在AD左侧时，作HD⊥DF交AF的延长线于H，连接BE，设AD交BF于P，如图⑦所示：
∵AB=AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠PFD=∠PAB=90°，∠FPD=∠BPA，
∴∠ABP=∠FDP，
∴∠FEA=∠FBA，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴∠FEB=∠FBE，
∴△BFE是等腰直角三角形，
∴EF=BF，
在△ABF和△AEF中，
，
∴△ABF≌△AEF（SSS），
∴∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，
∴∠DFH=∠EFA=45°，
∴△HDF是等腰直角三角形，
∴DH=DF，HF=DF，
∵∠HDF=∠CDA=90°，
∴∠HDA=∠FDC，
在△HDA和△FDC中，
，
∴△HDA≌△FDC（SAS），
∴AF=CF，
∴AH-AF=CF-AF=HF，
∴CF-AF=DF，
综上所述，线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：AF+CF=DF或|AF-CF|=DF，
故答案为：AF+CF=DF或|AF-CF|=DF．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
6．问题背景
若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．
如图1，四边形中，是一条对角线，，，则点与点关于互为顶针点；若再满足，则点与点关于互为勾股顶针点．
初步思考
(1)如图2，在中，，，、为外两点，，，为等边三角形．
①点与点______关于互为顶针点；
②点与点______关于互为勾股顶针点，并说明理由．
实践操作
(2)在长方形中，，．
①如图3，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)
思维探究
②如图4，点是直线上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为勾股顶针点，直线与直线交于点．在点运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
【答案】（1）①、，②，理由见解析；（2）①作图见解析；②与可能相等，的长度分别为，，2或18．
【分析】（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义即可判断．
（2）①以C为圆心，CB为半径画弧交AD于F，连接CF，作∠BCF的角平分线交AB于E，点E，点F即为所求．
②分四种情形：如图①中，当时；如图②中，当时；如图③中，当时，此时点F与D重合；如图④中，当时，点F与点D重合，分别求解即可解决问题．
【解析】解：（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义可知：
①点A与点D和E关于BC互为顶针点；
②点D与点A关于BC互为勾股顶针点，
理由：如图2中，
∵△BDC是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∵AB＝AC，∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠A＋∠D＝180°，
∴点D与点A关于BC互为勾股顶针点，
故答案为：D和E，A．
（2）①如图，点、即为所求(本质就是点关于的对称点为，相当于折叠)．
②与可能相等，情况如下：
情况一：如图①，
由上一问易知，，
当时，设，连接，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
，
∴，
解得，即；
情况二：如图②
当时，设，同法可得，
则，，
则，，
在中，则有，
解得：；
情况三：如图③，
当时，此时点与重合，可得；
情况四：如图④，
当时,此时点与重合，可得．
综上所述，与可能相等，的长度分别为，，2或18．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
7．如图1，，、、为铅直方向的边，、、为水平方向的边，点在、之间，且在、之间，我们称这样的图形为“图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“图形”的等积线．
(1)下列四副图中，直线是该“图形”等积线的是_________(填写序号)
(2)如图2，直线是该“图形”的等积线，与边、分别交于点、，过中点的直线分别交边、于点、，则直线 (填“是”或“不是”)该图形的等积线．
(3)在图3所示的“图形”中，，，．
①若，在下图中画出与平行的等积线l(在图中标明数据)
②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边、分别交于、，求的最大值；
③如果存在与水平方向的两条边、相交的等积线，则的取值范围为 ．
【答案】(1)①②③
(2)是
(3)①1；②；③
【分析】（1）如图，根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心所在直线是该图形的面积平分线，由此可直接进行判断；
（2）如图2，证明，根据割补法可得直线是图形的面积平分线；
（3）①如图4，先计算图形的面积，可得出矩形的面积，由此可得出的长；
②如图5，根据面积平分线可知梯形的面积为，根据面积公式列式可得的长，根据勾股定理可得的最大值；
③如图6，直线将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，列不等式可得的取值．
【解析】（1）解：根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心所在直线是该图形的面积平分线，
∴直线是该“图形”等积线的是①②③；
故答案为：①②③；
（2）如图2，
，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即，
，
即，
直线是图形的等积线．
故答案为：是；
（3）①图形的面积，
延长交于点，
，
若是图形的面积平分线，且，点必然在线段上，如图所示，
矩形的面积，
，
②如图，当与重合时，最大，过点作于，
是图形的面积平分线，
梯形的面积，
即，
，
，
，
由勾股定理得：；
即的最大值是；
③在与水平方向的两条边、相交的等积线，
如图，直线将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，延长交于，延长交于，
则，
即，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，四边形面积的平分，三角形全等的性质和判定等知识，并明确面积平分线的画法，并熟练掌握矩形面积平分线是过对角线交点的性质是解题的关键．
8．折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看着折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．
实践操作，解决问题
(1)如图1，将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点．在图1中，
①和的数量关系为___________．
②连接，和的位置关系为___________
(2)若图1中的矩形变为平行四边形时（），如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由
(3)小敏沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形（如图3所示），沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小敏折叠的矩形纸片的长宽之比为 （写出所有可能情况）
(4)新题探究：
平行四边形中，，如图4所示，将沿对角线翻折，使点落在所在平面内，连接，当恰好为直角三角形时，的长度为___________．
【答案】(1)①；②
(2)结论①和结论②成立，见解析
(3)或
(4)或或或
【分析】（1）①根据折叠的性质以及矩形的性质得出，，根据平行线的性质得出，等量代换得出，根据等角对等边即可求解；
②根据折叠的性质以及①的结论得出，根据顶角相等的两个等腰三角形两底角相等得出，进而根据平行线的判定定理即可求解；
（2）根据（1）的方法进行证明即可求解；
（3）分两种情况讨论，当点与点不重合时，得出，继而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解，当点与点重合时，根据正方形的性质即可求解；
（4）分三种情况讨论，分别画出图形，结合（1）中的结论，根据含度角的直角三角形的性质，以及勾股定理即可求解．
【解析】（1）解：①∵将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②如图，
②∵折叠，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
∵，
∴，即
∴
又∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），，理由如下，
∵四边形是平行四边形，
∴,，
∴，
∵折叠，
，，，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵，
∴，即
∴
又∵，，
∴，
∴；
（3）解：当点与点不重合时，如图，
依题意，，，，
设，则，
∵
∴,
解得：，
∴，
在中，，
∴矩形纸片的长宽之比为，
当点与点重合时，如图，
此时是正方形，
∴矩形纸片的长宽之比为，
故答案为：或
（4）解：当时，如图，设与交于点，
由（1）可得，
∴,
在中，∵
∴，
∴；
如图，当时，由（1）可得，
∴,
∵折叠，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
在中，，，
∴，，
∴；
如图，当时，
∵，
∴，
∵
∵四边形是平行四边形，
∴,，
∴，
∵折叠，
，，，
∴，
∴，
又，
∴
∵，
∴
又，
∴，
在中，，
∴，
∴；
如图，当时，同理可得
∴．
综上所述：的长度为或或或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，正方形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质矩形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
9．已知，正方形的边长为8，点P、G分别在射线、边上，连接，点B关于的对称点为Q，连接．
(1)如图1，取的中点E、F，连接，若点Q刚好落在线段上，且点P在线段FC上，则的度数不可能是下列选项中的______；（填序号）
①45°，②59°，③72°
(2)如图2，当点Q落在边上（不与点D重合）时，试判断点P是否一定在射线BC上点C的右侧，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，
①当时，求的长；
②若线段与相交于点N，连接，试探索点Q落在不同位置时，的度数是否发生变化，若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
【答案】(1)③
(2)是，见解析
(3)①3；②的度数不变，且，见解析
【分析】（1）可推出，进而得出结果；
（2）作，可证得，进而得出结果；
（3）①作，交的延长线于E，连接，在中求得，进而求得的长，设，则，在中，由勾股定理列出方程求得结果；
②先证得，，进而证得，进而得出，进一步得出结果．
【解析】（1）解：如图1，
当点P在F点时，，
当点P在C点时，，
∴，
观察四个选项，不可能是③，
故答案为：③；
（2）解：如图2，
点P落在点C的右侧，理由如下：
连接，作于E，
∵点B和点Q关于对称，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴点P是否一定在射线上点C的右侧；
（3）解：①如图3，
作，交的延长线于E，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∴；
②如图4，
不发生变化，理由如下：
作，
由（2）可知：，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数不发生变化．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
10．【定义】只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，，四边形ABCD是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边同侧的两个角是相等的．如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有ADB和ACB，此时；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在BC同侧有BAC和BDC，此时．
(1)【理解】
如图1，______；
(2)下列图形中一定是损矩形的是______（填序号）；
(3)【应用】如图2，四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，以AC为一边向外作菱形ACEF，点D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD，当BD平分ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？并说明理由；
(4)如图3，四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，点O为AC的中点，OG⊥BD于点G，若，则等于多少？
【答案】(1)∠ACD
(2)③
(3)正方形，理由见解析
(4)16
【分析】（1）在AD的同侧的∠ABD=∠ACD；
（2）只有③是只有一组对角是直角的四边形；
（3）可得∠ADC=∠ABD=45°，进而求得∠ACE=90°，从而推得结果；
（4）可推出OB=OD，进而推出△BOG是直角三角形，进一步求得结果．
【解析】（1）在AD的同侧的∠ABD=∠ACD，
故答案为：∠ACD；
（2）只有③是只有一组对角是直角的四边形，
故答案为：③；
（3）四边形ACEF是正方形，理由如下：
∵四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，
∴∠ABC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC＝45°，
∴∠ADC=∠ABD=45°，
∵四边形ACEF是菱形，
∴∠ECF=∠ACD=45°，
∴∠ACE=90°，
∴四边形ACEF是正方形；
（4）∵四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵点O是AC的中点，
∴OB=AC，
∵中是的中点，
∴OD=AC，
∴OB=OD=BD，
∵点G是BD的中点，
∴OG⊥BD，
∴∠BOG=90°，
在中，
∴，
即，
∴，
故答案是为：16．
【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形，勾股定理，菱形的性质，正方形判定等知识，解决问题的关键是充分利用定义给出的结论．
11．问题初探
（1）如图，点，分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系．
聪明的小明是这样做的：把绕点逆时针旋转至，使得与重合，由，得，即点、、共线，易证≌______故EF、、之间的数量关系为______．
类比探究
（2）如图，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请根据小明的发现给你的启示写出、、之间的数量关系，并证明．
联想拓展
（3）如图，在中，，点、均在边上，且，若，求的长．
【答案】（1）；；（2），理由见解析；（3）
【分析】把绕点逆时针旋转至，使得与重合，证明≌，根据全等三角形的性质得到，得到答案；
在上截取，连接，证明≌，得到，，再证明≌，根据全等三角形的性质证明结论；
把绕点逆时针旋转得，连接，根据的结论得出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解析】（1）解：把绕点逆时针旋转至，使得与重合，
则，，，
，即点、、在同一条直线上，
，，
，
，
在和中，
，
≌，

，
故答案为：；；
，
理由如下：在上截取，连接，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
（3）如图，把绕点逆时针旋转得，连接，
，，，，
，，
，，
，，
由可知，≌，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
12．【概念理解】若一条直线把一个图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线叫做这个图形的等积直线．如图1，直线经过三角形的顶点和边的中点，易知直线将分成两个面积相等的图形，则称直线为的等积直线．
(1)如图2，矩形对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，．
①求证：．
②请你判断直线是否为该矩形的等积直线．______．（填“是”或“不是”）
(2)【问题探究】如图3是一个缺角矩形，其中，小华同学给出了该图形等积直线的一个作图方案：将这个图形分成矩形、矩形，这两个矩形的对称中心，所在直线是该缺角矩形的等积直线．
如图4，直线是该图形的一条等积直线，它与边，分别交于点，，过的中点的直线分别交边，于点，，直线______（填“是”或“不是”）缺角矩形的等积直线．
(3)【实际应用】若缺角矩形是老张家的一块田地如图5．为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了灌溉方便，便想使每个儿子分得的土地都有一边和水井相邻，试问该如何分割这块土地？画出图形，并说明理由．
【答案】(1)①证明见解析；②是
(2)是
(3)沿直线分割这块土地即可满足题意，作图见解析
【分析】（1）①根据矩形性质，得到，利用平行线性质和对顶角相等得到，，判定，得到；②根据，，，结合梯形面积公式即可得到将矩形分成两个面积相等的梯形，得到结论；
（2）根据题意，MO＝NO，结合平行线性质得到∠PMO＝∠QNO，判定△POM≌△QON（ASA），得到，再根据MN是等积直线，分缺角矩形的两部分面积相等，进而得到直线PQ是等积直线；
（3）由（1）（2）的方法可知，如图所示，找到缺角矩形的等积直线，取的中点，过点且与相交的直线均为缺角矩形的等积直线，过的直线即可将土地分成满足题意的情况．
【解析】（1）①证明：矩形对角线，相交于点，
，
，
在和中，
，
，
；
②由①知，
在矩形中，，
，，
，即直线为矩形的等积直线，
故答案为：是；
（2）解：是MN的中点，
∴MO＝NO，
在缺角矩形ABCDEF中，AFBC，
∴∠PMO＝∠QNO，
在△POM和△QON中，

∴△POM≌△QON（ASA），
∴，
又∵MN是等积直线，分缺角矩形的两部分面积相等，
∴PQ也分缺角矩形的两部分面积相等，即直线PQ是等积直线，
故答案为：是；
（3）解：由（1）（2）的方法可知，找到缺角矩形的等积直线，取的中点，过点且与相交的直线均为缺角矩形的等积直线，如图所示：
连接并延长，直线过点且与相交，为缺角矩形等积直线，
如上图所示，沿直线分割这块土地即可满足题意．
【点睛】本题考查应用与设计作图，读懂题意，明确等积直线的画法，熟练掌握三角形的中线，矩形的性质，梯形的面积的求解是解题的关键．
13．【问题背景】如图1，小正方形BEFG绕大正方形ABCD的顶点B旋转一周，其中，，．
(1)【问题探究】猜想AE与CG的数量关系是______，位置关系是______，请对上述猜想加以说明．
(2)如图2，当点E在正方形ABCD内，连接EC，若，，求线段AE长．
(3)【问题拓展】在旋转过程中，当C、E、F三点共线时，线段CF的长为______．
(4)如图3，连接DF，取DF中点M，连接EM，则线段EM的取值范围是______．
【答案】(1)相等，垂直，说明见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）延长AE交BC于点O，交CG于点H．由正方形的性质利用“SAS”易证(SAS)，即得出AE=CG，．再由对顶角相等得出 ，从而得出，即；
（2）连接EG，由正方形的性质得出，，即证明A、E、G三点共线．从而得出，再由AE=CG结合勾股定理即可求出答案；
（3）由C、E、F三点共线，可得出，再由勾股定理求出EC的长，从而利用计算即可；
（4）延长FE至点N，使EN=EF，连接BN，DN，BD，即可知EM为的中位线，得出．根据等腰直角三角形的判定和性质可得出．再求出，利用三角形三边关系即可确定，从而可求出的范围．
（1）
如图，延长AE交BC于点O，交CG于点H．
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AB=BC，BE=BG，，
∴，即，
∴(SAS)，
∴AE=CG，．
∵，
∴，即．
故答案为：相等，垂直；
（2）
如图，连接EG，
∵四边形BEFG是正方形，
∴，，
∴，即A、E、G三点共线．
由（1）可知AE=CG，，
∴，
∴；
（3）
如图，
∵C、E、F三点共线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（4）
如图，延长FE至点N，使EN=EF，连接BN，DN，BD
由所作辅助线和题意可知EM为的中位线，
∴．
∵四边形BEFG是正方形，
∴．
∵E为线段NF的中点，
∴．
∵四边形ABCD是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，等腰三角形的判定和性质以及三角形三边关系的应用等知识，综合性较强，较难．正确的作出辅助线是解题关键．
14．【问题情境】
(1)同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图所示，则和的数量关系为______，位置关系为______．
【继续探究】
(2)若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，如图所示，
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点作，如图，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程．
【拓展提升】
(3)在（2）的条件下，点在边上运动时，利用图，则的最小值为______．
【答案】(1)，
(2)①结论：，，理由见解析，②
(3)
【分析】（1）由“”可证，可得结论．
（2）①延长，交于点，由“”可证，可得，由四边形内角和定理可求，可得结论．
②过点作，交延长线于点，由“”可证，可得，，由勾股定理可求解．
（3）说明点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，．在中，可得．根据求解即可．
【解析】（1）解：如图1中，延长交于．
四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，
，
，，
，
，即，
，
故答案为：，．
（2）解：①结论：，．
理由：如图，延长，交于点，
四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
②如图3，过点作，交延长线于点，
，，
，
，
，
又，，
，
，，
，
．
（3）解：如图4中，
由（2）可知，，
点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，
作点关于直线的对称点，连接，．
在中，，，，
，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题．
15．定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做等面积四边形，这条对角线叫做等面积对角线．
(1)[概念理解]下列图形中，属于等面积四边形的是______．
A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的四边形
(2)等面积四边形的性质：在等面积四边形中，等面积对角线平分另一条对角线．利用所学知识证明等面积四边形的性质，即：
如图1，已知：四边形ABCD是等面积四边形，等面积对角线AC与对角线BD交于点O，△ABC与△ADC的面积相等．
求证：BO＝DO．
(3)[探究应用]如图2，已知四边形ABCD是等面积四边形，等面积对角线AC与对角线BD交于点E，AC﹣BC＝2CE．
①求证：∠BCE＝2∠DAC；
②若∠DAC＝30°，AD＝CD，求证：AC＝BD．
【答案】(1)A
(2)见解析
(3)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得结论．
（2）如图1中，过点D作DM⊥AC于M，过点B作BN⊥AC于N．证明△DOM≌△BON（AAS），可得结论．
（3）①如图2中，在EA上取一点T，使得ET=EC，连接DT，BT．证明四边形BCDT是平行四边形，可得结论．②证明四边形BCDT是矩形，△BCE，△DET都是等边三角形，可得结论．
（1）
平行四边形属于等面积四边形．
故答案为：A；
（2）
如图1中，过点D作DM⊥AC于M，过点B作BN⊥AC于N．
∵S△ADC＝S△ABC，
∴，
∴DM＝BN，
∵∠DMO＝∠BNO，∠DOM＝∠BON，
∴△DOM≌△BON（AAS），
∴OD＝OB．
（3）
①证明：如图2中，在EA上取一点T，使得ET＝EC，连接DT，BT．
∵四边形是等面积四边形，AC是等面积对角线，
∴DE＝EB，
∵EC＝ET，
∴四边形BCDT是平行四边形，
∴BC＝DT，DTBC，
∴∠BCE＝∠DTE，
∵AC﹣BC＝2CE，
∴AC﹣2CE＝BC，
∴AC﹣CT＝AT＝BC，
∴TA＝TD，
∴∠DAC＝∠ADT，
∵∠DTE＝∠DAC+∠ADT，
∴∠BCE＝2∠DAC．
②如图2﹣1中，辅助线同①．
由①可知，∠ECB＝2∠DAC＝60°，
∵DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠DCA+∠BCE＝90°，
∵四边形BCDT是平行四边形，
∴四边形BCDT是矩形，
∴EC＝ET＝ED＝DB，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠CEB＝∠DET＝60°，
∴△DET是等边三角形，
∵TA＝DT，
∴AT＝ET＝EC＝DE＝BE，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等面积四边形的定义，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
16．【问题情境】（1）小明在学习过程中遇到这样的一道试题：
如图，正方形的边长为2，为边上一动点． ，垂足为，求证：．
请你帮助小明完成证明；
【问题探究】（2）小明在“问题情境”的基础上继续探究． 如图2，点在的延长线上，且满足． 连接，，．
①求证：；
②判断、的数量关系，并说明理由；
【问题探究】（3）在（2）的基础上，如图3，若为的中点，直接写出的最小值为_________．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②，理由见解析；（3）
【分析】（1）根据正方形的性质可得，由，根据三角形内角和定理可得，根据等角对等边即可求解；
（2）①根据已知条件证明，可得；②连接，证明，可得，进而可得，证明是等腰直角三角形，可得，等量代换即可证明；
（3）连接，，则，当三点共线时，取得最小值，勾股定理求得，即可求解．
【解析】（1）证明：∵正方形中，是对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）①由（1）知，
∴，即，
又∵，
∴，
∴．
②．
理由如下： 如图，连接，
∵，
∴，
∴，，
又，
∴．
由（1）知，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，连接，，
，
∴当三点共线时，取得最小值，
正方形的边长为,为的中点，则中，，
，即的最小值为，
，
，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
17．问题提出：一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题．
如图①，两条长度相等的线段和相交于O点，，直线与直线的夹角为，求线段、、满足的数量关系．
分析：考虑将、和集中到同一个三角形中，以便运用三角形的知识寻求三条线段的数量关系：
如图②，作且，则四边形是平行四边形，从而；
由于，，所以是等边三角形，故；
通过平行又求得．
在中，研究三条线段的大小关系就可以了．
如图②，若，，，请直接写出线段的长__________；
问题解决：
如图③，矩形中，E、F分别是、上的点，满足，，求证：；
拓展应用：
如图④，中，，D、E分别在、上，、交于点O，，，若，，则____________．
【答案】问题提出：；问题解决：见解析；拓展运用：
【分析】问题提出：过E作于点F，过点C作且，则四边形是平行四边形，从而；由于，，所以是等边三角形，故；通过平行又求得，分别在和中，利用勾股定理求解即可；
问题解决：作交于G，证明，再证是等腰直角三角形即可；
拓展运用：作且，然后类似“问题提出”求解即可．
【解析】问题提出：过E作于点F，过点C作且，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴ ，
在中，，，，
∴，，
∴，
中，，，，
∴；
问题解决：作交于G，连接，
，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
拓展应用：
作且，连接，过F作于M，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
中，，，，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
18．某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题．
四边形是边长为4的正方形，点E是射线上的动点，，且交正方形外角的角平分线于点F．
【探究1】当点E是中点时，如图1，发现，这需要证明与所在的两个三角形全等，而与显然不全等，考虑到点E是的中点，取的中点H，连接，证明与全等即可．
【探究2】
(1)如图2，如果把“点E是边的中点”改为“点E是边上（不与点B、C重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，请说明理由；
(2)如图3，如果点E是边延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图形，并判断“”是否成立？ （填“是”或“否”）；
【探究3】
(3)连接交直线于点I，连接，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．
【探究4】
(4)当时，此时的面积为 ．
【答案】(1)成立，证明见解析
(2)是，图见解析
(3)或，理由见解析
(4)
【分析】（1）截取，连接，求出，得出，求出，求出，根据推出和全等即可；
（2）在的延长线上取一点N，使，连接，根据已知利用判定，因为全等三角形的对应边相等，所以．
（3）分两种情况构造全等三角形进行证明即可；
（4）利用图4，图5，求出的面积，可得结论．
【解析】（1）解：成立．理由如下：
如图2，在上截取，连接，
，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：成立，证明如下：
如图3，在的延长线上取一点N，使，连接．
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
（3）解：分两种情况：
①如图4中，点E在上时，延长到H，使，
∵四边形是正方形，
∴，．
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
又，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图5中，当点E在的延长线上时，在上截取，使，
，
同理可证：，
∴，
∵，
∴，
由①知，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴；
（4）解：当点E在线段上时，如图4中，
在中，，，，
∴，
∵，
∴．
设，则，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
当点E在线段的延长线上时，如图5中，
同法可得，
综上所述，的面积为或．
故答案为：或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
19．综合与实践
问题解决：
(1)已知四边形是正方形，以为顶点作等腰直角，，连接．如图1，当点在上时，请判断和的关系，并说明理由．
问题探究：
(2)如图2，点是延长线与直线的交点，连接，将绕点旋转，当点在直线右侧时，求证：；
问题拓展：
(3)将绕点旋转一周，当时，若，，请直接写出线段的长．
【答案】(1)，理由见详解
(2)见详解
(3)或
【分析】（1）延长交于，可证出，进而可证出，即可得证；
（2）在上截取，可证，从而可证，即可得证；
（3）分类讨论，共有两个位置符合条件：①当在上，并且与重合时，，连接，设，根据（1）（2）可得，从而可求得；②当在上，并且与重合时，，连接，与①同理可求．
【解析】（1）证明：如图，延长交于，
四边形是正方形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
在和中
，
，
，
，
，
，
，即;
（2）证明：如图，在上截取，
，
，
由（1）同理可证：，
，
在和中
，
，，
，
，
，
，
．
（3）解：①如图，当在上，并且与重合时，，连接，
由（2）得：同理可证，
，
，，
，，
设，则，
由（1）同理可证，
，
，
解得：，（舍去），
，
；
②如图，当在上，并且与重合时，，连接，
由①得，同理可求．
【点睛】本题考查了以正方向为背景的旋转问题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识，掌握相关的定理、性质，根据题意作出辅助线，进行正确求解是解题的关键．
20．【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处．
【初步认识】
（1）如图①，折痕的端点P与点A重合．
①当时， ______．②若点E恰好在线段上，则的长为_______．
【深入思考】
（2）点E恰好落在边上．
①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹）
②如图③，过点E作交于点F，连接．请根据题意，补全图③并证明四边形是菱形；
③在②的条件下，当时，菱形的边长为___________，的长为_______．
【拓展提升】
（3）如图④，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）①；②2；（2）①见解析；②见解析；③；；（3）的长为或．
【分析】（1）①根据折叠的性质直接计算即可；
②根据折叠可知，，，，根据勾股定理求出，根据勾股定理得出，求出结果即可；
（2）①连接，作的垂直平分线交于点P，交于点Q，则即为所求；
②先证明四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出答案；
③根据勾股定理列出方程求解即可；
（3）分两种情况：当时，当时，过点D作于点F，根据勾股定理和三角形全等的判定和性质，分别求出结果即可．
【解析】解：（1）①根据折叠可知，，
∵，
∴；
故答案为：；
②根据折叠可知，，，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴；
故答案为：2；
（3）①连接，作的垂直平分线交于点P，交于点Q，则即为所求；如图所示：
②∵，
∴，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
③由折叠可知，，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴菱形的边长为；
由折叠可知，，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得：；
故答案为：；；
（3）由折叠可知，，设，则，，
当时，在中，，
解得：，
∴此时；
当时，过点D作于点F，如图所示：
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴此时；
综上分析可知，的长为或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，垂直平分线的性质，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质，作出图形，数形结合，并注意分类讨论．
21．在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连结．
【感知】（1）如图①，过点作交于点．求证：．
【探究】如图②，取的中点，过点作交于点，交于点．
（2）求证：．
（3）连结，若，则的长为______．
【应用】（4）如图③，取的中点，连结．过点作交于点，连结、．若，四边形的面积为______．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2；（4）9
【分析】（1）利用同角的余角相等判断出，即可得出结论；
（2）过点作于，判断出，同（）的方法判断出，即可得出结论；
（3）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，得出，即可得出的长；
（4）由（3）可知，，得出的长，证明（），得到的长，因为，故，即可求出面积．
【解析】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
（）．
（2）解：证明：如图2，
过点作于，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，
，
同（）得，，
在和中，
，
（），
；
（3）由（2）知，，连接，
，点是的中点，，
，
．
故答案为：．
（4）解：由（）可知，，，
，
同理可得：（），
，
，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质与定理、了解对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半是解本题的关键．
22．定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．
如图①，在四边形中，若，则四边形是“准矩形”；
如图②，在四边形中，若，，则四边形是“准菱形”．
(1)如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”和“准菱形”．（要求：D、在格点上）；
(2)下列说法正确的有 ；（填写所有正确结论的序号）
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；
③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形．
(3)如图⑤，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且，，、交于点D；
①若，求证：“准菱形”是菱形；
②在①的条件下，连接，若，，，请直接写出菱形的边长．
【答案】(1)见解析
(2)①②③④
(3)①见解析；②菱形的边长为2
【分析】（1）根据准矩形和准菱形的特点画图即可；
（2）根据矩形的判定定理和菱形的判定定理结合准矩形和准菱形的性质对每一个选项进行推断即可；
（3）①先根据已知得出，再结合可推出，，则证明了“准菱形”是平行四边形，又因为即可得出“准菱形”是菱形；
②取的中点M，连接、，证明和为直角三角形，根据M为的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，求出，说明为直角三角形，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【解析】（1）解：如图，四边形和即为所求．
（2）解：①∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，故①正确；
②，，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，故②正确；
③∵，，，
∴，
∴四边形为菱形，故③正确；
④∵，，，连接，如图所示：
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，故④正确；
故答案为：①②③④；
（3）①证明：∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴“准菱形”是平行四边形，
∵，
∴“准菱形”是菱形；
②如图：取的中点M，连接、，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴和为直角三角形，
∵M为的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，
即菱形的边长为2．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，勾股定理，作出辅助线，熟练掌握各知识点并熟练应用是解题关键．
23．综合与实践．如图①，四边形是矩形，且，，O为矩形对角线的交点，E为边上任意一点，连结并延长，与边交于点F．
观察：（1）线段和有什么数量关系？并进行证明．
操作：（2）小英连结、后发现，四边形的形状一定是___________；当的长为_______时，四边形是菱形
探究：（3）受小英的启发，小亮对图形进一步操作，将图②中的与分别沿与进行翻折，点A与点C分别落在矩形内的点、处，连结、，如图③，请你判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1），见解析；（2）平行四边形，；（3）平行四边形，见解析
【分析】（1）连接，证明，根据全等三角形的性质证明；
（2）根据矩形的性质得到，，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形；根据菱形的性质得到，设，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）连接，根据全等三角形的性质、折叠的性质得到，，根据平行四边形的判定定理证明即可．
【解析】（1）证明：，理由如下：
连接，
点为矩形对角线的交点，
点在上，
四边形是矩形，
，，
，，
在和中，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
理由如下：四边形是矩形，
，，
，
，又，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形时，，
设，则，
在中，，即，
解得，，
故答案为：平行四边形；；
（3）解：四边形是平行四边形，
理由如下：连接，
又（1）得，，
，
，
由折叠的性质可知，，，，，
，，
，
，
，
，又，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，翻折变换的性质，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理、翻折变换的性质是解题的关键．
24．问题背景：如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________；
探索延仲：如图2，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度，前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】问题背景：；探索延伸：仍然成立，理由见解析；实际应用：此时两舰艇之间的距离为海里．
【分析】问题背景：延长到点G，使，连接，证明，再证明，得到，得到答案；
探索延伸：延长到点G，使，连接，证明，再证明，得到，得到答案；
实际应用：如图3，连接，延长，相交于点C，首先证明，，，，利用结论求解即可．
【解析】解：问题背景：延长到点G，使，连接，
在与中
，
在与中
故答案为：．
探索延伸：仍然成立．
理由：如图2，延长到点G，使，连接，
，
在与中
在与中
故仍然成立．
实际应用：如图3，连接，延长，相交于点C，
由题意可知，
在四边形中，
∵，，
又∵，，符合探索延伸中的条件，
∴结论成立．
即(海里)
答：此时两舰艇之间的距离为海里．
【点睛】本题考查的是四边形知识的综合运用，掌握三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键，注意规律的总结和运用．
25．问题解决：如图1，是等边内一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为______，______度．
类比探究：如图2，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程．
迁移运用：如图3，若点是正方形外一点，，，，则=______．（直接写出答案）
【答案】问题解决：4、；类比探究：；迁移运用：
【分析】问题解决：利用旋转性质证明是等边三角形，利用勾股定理证明是直角三角形即可求解；
类比探究：将绕点顺时针旋转，使与重合，连接，利用旋转性质证明是等腰直角三角形，利用勾股定理证明是直角三角形，即可求解；
迁移运用：将绕点顺时针旋转，使与重合，连接，利用旋转性质证明是等腰直角三角形，推出在线段上，证明是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长度．
【解析】解：问题解决：如图1，连接，
是等边三角形，
，
为绕点逆时针旋转所得，
∴，
又旋转后与重合，与重合，
，
是等边三角形，
，，
由旋转性质得：，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
．
故答案为：4；；
类比探究：如图2，
将绕点顺时针旋转，使与重合，连接，
则，，，
是等腰直角三角形．
由勾股定理得：
，
，，
，
是直角三角形，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
迁移运用：如图3，
将绕点顺时针旋转，使与重合，连接，
则，，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在线段上，
，
是直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形、等边三角形、正方形的性质，直角三角形的判定，勾股定理解直角三角形等知识点，用到了类比推理、知识迁移的数学思想，综合性较强，为考试常见题型，需要侧重练习．
26．【问题情境】
如图1，四边形和四边形都为正方形，，点E在的延长线上，点G在的延长线上，分别连接对角线，，．将正方形从图1的位置开始绕点C顺时针旋转，设旋转角为（）
【自主探究】
(1)小斌画出了旋转角时的情形（如图2），连接后，小斌发现四边形是平行四边形，请帮他证明这一结论；
(2)小亮画出了旋转角时的某一情形（如图3），连接、，写出线段、的关系： ______．
【拓展延伸】
(3)如图4，小颖在正方形绕点G旋转过程中（），连接、，请你直接写出当为等腰三角形时的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
(3)或5或4
【分析】（1）想办法证明，即可．
（2）结论：，，如图3中，设交于，交于．证明，即可解决问题．
（3）分三种情形：①．②．③，分别求解即可解决问题．
【解析】（1）证明：如图2中，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：结论：，，
理由：如图3中，设交于，交于．
四边形和四边形都为正方形，
，，，
，
，
，，
，，
，
，
（3）解：如图中，当时，作于，交于．
，，
垂直平分线段，
，
，
，
∵，，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
．
如图中，当时，延长交于．
，，，
，
，
，
，
，
当时，，
综上所述，满足条件的的值为或5或4．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．