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人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升18.3(特殊)的平行四边形中的最值与综合压轴问题专题讲练(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升18.3(特殊)的平行四边形中的最值与综合压轴问题专题讲练(原卷版+解析)，共78页。试卷主要包含了 以特殊四边形为背景的压轴问题等内容，欢迎下载使用。
解题技巧：几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：(1)几何图形中在特殊位置下的最值； (2)比较难的线段的最值问题，其依据：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形的三边关系”等。
常见最值模型：（1）将军饮马；（2）瓜豆原理（动态轨迹问题）；（3）胡不归；（4）费马点问题。
注意：正方形和菱形、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，常运用其轴对称性解决最小值问题。
1）矩形中的最值问题
例1．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．
变式1．（2022•泗阳县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是AB上动点，PQ平行于BC交CD于Q．M是AD上动点，MN平行于AB交BC于N．则PM+NQ的最小值为 ．
例2．（2022·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10B．10C．5D．5
变式2．（2022·四川内江·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____．
例3．（2022·湖北青山·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝7，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为 ___．
变式3．（2022·陕西·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为
A．2B．C．D．1
例4．如图，长方形，长，宽，点P是边上的一个动点，连结、，则的面积为________，的最小值是__________．的最小值是______________．
变式4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___．
例5．（2022.绵阳市初二月考）如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，已知AB＝2，BC=3，则PA+PB+PC的最小值是 ．
变式5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
2）菱形中的最值问题
例1．（2022·四川广安·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（ ）
A．2B．C．1.5D．
变式1．（2022•西城区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC＝12，面积为24，△ABE是等边三角形，若点P在对角线AC上移动，则PD+PE的最小值为（ ）
A．4B．42C．210D．6
例2．（2022•蓝田县一模）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为
变式2．（2022·四川成都·中考真题）如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为_________．
例3．（2022•武昌区期中）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是 ．
变式3．（2022·绵阳市·八年级期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__．
例4．（2021·山东临沂·二模）如图，四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
(1)求证：△EBN≌△ABM；(2)当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小？请说明理由．
变式4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（ ）
A．B．C．D．
例5．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．
变式5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____．
3）正方形中的最值问题
例1．（2022•永登县期中）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
变式1．（2022·江苏·扬州八年级期末）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则的最小值是_____．
例2．（2022·无锡市初三二模）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为__________.
变式2．（2022·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．
例3．（2022·湖北·鄂州市三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，、分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点，连接，若正方形的边长为2．则线段的最小值为______________．
例4．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB长度的最小值为_________．
变式4．（2022·安徽六安市·九年级期末）如图，已知正方形与正方形的边长分别为4和1，若将正方形绕点旋转，则在旋转过程中，点之间的最小距离为 （ ）
A．3B．C．D．
例5．（2022·全国·九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
变式5．（2022·广东·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
(1)求证：；(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
(3)当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长．
4）平行四边形中的最值问题
变式1．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ）
A．B．6C．4D．
变式1．（2022·安徽定远·八年级期中）如图，四边形是平行四边形，，，，点是直线上的点，点是直线上的点，连接，，，点，分别是，的中点．连接，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
例2.（2022·吉林·长春二模）如图，在中，，，为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为__．
变式2.已知：如图，平行四边形中，，点E是上一个动点，连结，把沿折叠到的位置．（1）当点落在上时，________；（2）若点落在的内部（包括边界），则的范围是___________．
例3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.
变式3．（2022·成都市·八年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．
2、 以特殊四边形为背景的压轴问题
1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是 ．
3．（2022·四川南充·中考真题）如图，正方形边长为1，点E在边上（不与A，B重合），将沿直线折叠，点A落在点处，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．给出下列四个结论：①；②；③点P是直线上动点，则的最小值为；④当时，的面积．其中正确的结论是_______________．（填写序号）
4．（2022·黑龙江大庆·中考真题）如图，正方形中，点E，F分别是边上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍，连接分别与对角线交于点M，N．给出如下几个结论：①若，则；②；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号为____________．
5．（2022·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
6．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知矩形的对角线相交于点O，点E是边上一点，连接，且．(1)如图1，求证：；(2)如图2，设与相交于点F，与相交于点H，过点D作的平行线交的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（除外），使写出的每个三角形的面积都与的面积相等．
7．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
(1)【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
8．（2022·重庆九年级期中）菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE⊥AB交AC于点E．已知点F是AB边上一点，且BF＝BE，过点F作PF⊥AB交BD延长线于点P，交AD于点Q． (1)如图（1），若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长；(2)如图（2），求证：AQ＝BE+PQ；
(3)如图（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M．点N是CD边上的动点，请直接写出+MN的最小值．
9．（2022·辽宁大东·八年级期末）如图，在菱形中，，是对角线上一点，是线段延长线上一点且，连接．（1）如图，若是线段的中点，连接，其他条件不变，直接写出线段与的数量关系；（2）如图，若是线段上任意一点，连接，其他条件不变，猜想线段与的数量关系是什么？并证明你的猜想；（3）如图，若是线段延长线上一点，其他条件不变，且，菱形的周长为，直接写出的长度．
10．（2022·黑龙江·校八年级期中）矩形中，连接，于．
（1）如图1，求证：（2）如图2，延长至点，使，连接交于点，求证：（3）如图3，在（2）的条件下，取的中点，连接、，，，求的长．
11．（2022·浙江·宁波市八年级期中）数学活动课上．老师给出如下定义：如果一个矩形的其中一边是另一边的2倍，那么称这个矩形为“和谐矩形”．如图1，在矩形ABCD中，AD＝2AB，则矩形ABCD是“和谐矩形”．E是AD边上任意一点，连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．（1）试判斯四边形BFEG的形状．并说明理由；
（2）如图2，在“和谐矩形”ABCD中，若AB＝2，且AB＜AD，E是边AD上一个动点，
把△ABE沿BE折叠．点A落在点从A′处，若A'恰在矩形的对称轴上，则AE的长为___；
（3）如图3，记四边形BFEG的面积为S1，“和谐矩形”BFEG的面职为S2，且＝ ，若AB＝a（a为常数），AB＜AD，求FG的长，（用含有a的代数式表示）．
12．（2022·重庆·八年级期末）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过点O的直线l与边AB、CD分别交于点E、F，绕点O旋转直线l，猜想直线l旋转到什么位置时，四边形AECF是菱形．证明你的猜想． （2）若将（1）中四边形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4cm，BC=3cm，
①如图2，绕点O旋转直线l与边AB、CD分别交于点E、F，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D的对应点为D′，连接DD′，求△DFD′的面积．②如图3，绕点O继续旋转直线l，直线l与边BC或BC的延长线交于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为B′，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长度．请直接写出结果，不必写解答过程．
13．（2022·湖北武昌·八年级期末）如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为．（1）如图，连接交于点，若，求的长；
（2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足，
①连接，，判断，的数量关系并说明理由；
②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ．
14．（2022·四川·成都实外八年级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝BO＝12，将矩形ABCD翻折，使得B与D重合，A的对应点为，折痕为EF，连接B，DF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若M，N为矩形边上的两个动点，且运动过程中，始终保持∠MON＝60°不变，请回答下列两个问题：①如图2，当点M在边BC上，点N在边CD上，ON与ED交于点G，请猜想EO、EM、EG三条线段的数量关系，并说明理由；②如图3，若M，N都在BC边上，将△ONM沿ON所在直线翻折至ONP，取线段CD的中点Q，连接PQ，则当PQ最短时，求PM的长．
15．（2022·广东连州·九年级阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形．（1）证明平行四边形是菱形；
（2）若，连结，①求证：；②求的度数；
（3）若，，，M是的中点，求的长．
专题18.3（特殊）的平行四边形中的最值与综合压轴问题 专题讲练
1、以特殊平行四边形为背景的最值问题
解题技巧：几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：(1)几何图形中在特殊位置下的最值； (2)比较难的线段的最值问题，其依据：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形的三边关系”等。
常见最值模型：（1）将军饮马；（2）瓜豆原理（动态轨迹问题）；（3）胡不归；（4）费马点问题。
注意：正方形和菱形、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，常运用其轴对称性解决最小值问题。
1）矩形中的最值问题
例1．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．
【答案】6
【分析】作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；然后求出和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；
∵AC是矩形的对角线，∴AB=CD=4，∠ABC=90°，
在直角△ABC中，，，∴AC=8，∴，
由对称的性质，得，，∴，∴
∵，，∴△BEF是等边三角形，
∴，∴是直角三角形，
∴，∴的最小值为6；故答案为：6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得有最小值．
变式1．（2022•泗阳县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是AB上动点，PQ平行于BC交CD于Q．M是AD上动点，MN平行于AB交BC于N．则PM+NQ的最小值为 ．
【点睛】如图，设PQ交MN于F，连接AF、CF．由四边形APFM、四边形CQFN是矩形，推出PM＝AF，NQ＝CF，推出PM+CQ＝AF+CF，由FA+FC≥AC，即可解决问题．
【详解】解：如图，设PQ交MN于F，连接AF、CF、AC．
∵四边形ABCD是矩形，PQ∥BC，MN∥AB，∴可得四边形APFM、四边形CQFN是矩形，
∴PM＝AF，NQ＝CF，∴PM+CQ＝AF+CF，∵FA+FC≥AC，AC=32+42=5，
∴AF+FC的最小值为5，∴PM+NQ的最小值为5．故答案为5
例2．（2022·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10B．10C．5D．5
【答案】A
【分析】由矩形的性质与线段的等量关系证明，，则，，如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，则四边形是矩形，，，则，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求最小的周长．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，
∵，，∴，，
在和中∵，∴，
∴，同理，∴，
如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，
∴四边形是矩形，∴，，
∵，，∴，，
在中，由勾股定理得，
∴四边形的周长，故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称等知识．解题的关键在于找出四边形周长最小时点、的位置关系．
变式2．（2022·四川内江·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____．
【答案】10
【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可．
【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，
∵，EF＝CG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，
∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值为10，故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G三
例3．（2022·湖北青山·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝7，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为 ___．
【答案】##
【分析】以AB为边作等边△ABE，过点D作DH⊥QE于H，利用SAS证明△ABP≌△AEQ，得∠AEQ=∠ABP=90°，则点Q在射线EQ上运动，即求DH的长度，再运用含30°角的直角三角形的性质进行解题．
【详解】解：如图，以AB为边作等边△ABE，过点D作DH⊥QE于H，
∴AB=AE，∠BAE=60°，∵将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，
∴AP=AQ，∠PAQ=60°，∴∠BAP=∠EAQ，在△ABP和△AEQ中，，
∴△ABP≌△AEQ（SAS），∴∠AEQ=∠ABP=90°，∴点Q在射线EQ上运动，
当Q与H重合时，DQ最小，在Rt△AEF中，∠EAF=30°，∴EF=AE=，
∴AF=2EF=，∴DF=AD-AF=-=，∴DH=DF=×=，
∴DQ的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，判断出点Q的运动路径是解题的关键．
变式3．（2022·陕西·无模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】D
【分析】由勾股定理和折叠的性质可求，，由三角形的三边关系，，则当点在上时，有最小值为，由三角形的中位线定理可求解．
【详解】解：如图，连接，，
，，，
将沿折叠，，在△中，，
当点在上时，有最小值为，
，分别为，的中点，，的最小值为1，故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，求出的最小值是解题的关键．
例4．如图，长方形，长，宽，点P是边上的一个动点，连结、，则的面积为________，的最小值是__________．的最小值是______________．
【答案】12；10；.
【解析】解：①过点P作PE⊥AD于E，∴PE⊥AD
∵ABCD是长方形∴PE=AB=4 ∴△PAD面积为12
②作点D关于BC对称点D’，连接AD’交BC于P，此时PA+PD长度最小，最小值为AD’的长，
由勾股定理得：AD’=10 即PA+PD的最小值是10；
③过点C做直线CE，使CE与BC的夹角成30°，过点P作CE的垂线，垂足为E，则PE=PC
∴PA+PC的最小值为PA+PE的最小值，
当P、A、E共线时，PA+PE最小，由勾股定理得：BP=，AP=
∴PE=∴AE=AP+PE= 即PA+PC的最小值为.
变式4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___．
【答案】3
【分析】在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2，
在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．
∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETAE，
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，∴CH＝AC•sin6°＝23，
∵AE+EC＝CE+ET≥CH，∴AE+EC≥3，∴AE+EC的最小值为3，故答案为3．
例5．（2022.绵阳市初二月考）如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，已知AB＝2，BC=3，则PA+PB+PC的最小值是 ．
【点睛】将△PBC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PE，BF，则EF＝PB，△PCE是等边三角形，由PE＝PC，得出PA+PB+PC＝PA+PE+EF，当PA、PE、EF共线时，值最小，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求得PA+PB+PC的最小值．
【详解】解：将△PBC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PE，BF，则EF＝PB，△PCE是等边三角形，△BFC是等边三角形，∴PE＝PC，
∴PA+PB+PC＝PA+PE+EF，当PA、PE、EF共线时，值最小，
连接BF，作FN⊥BC，延长BM＝FN，连接MF，则四边形BMFN是矩形，∴BM＝FN，MF＝BN，
∵△BCF是等边三角形，∴FN=32BF=32BC=32×3=32，BN=12BF=12BC=32，
∴AM＝AB+BM＝2+32=72，MF=32，∴AF=AM2+MF2=13，
∴PA+PB+PC的最小值为13，故答案为13．
变式5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
【答案】
【解析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．
分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，
易证△AMD≌△AGF，∴MD＝GF ∴ME＋MA＋MD＝ME＋EG＋GF
过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．
2）菱形中的最值问题
例1．（2022·四川广安·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（ ）
A．2B．C．1.5D．
【答案】A
【分析】取AB中点G点，根据菱形的性质可知E点、G点关于对角线AC对称，即有PE=PG，则当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，再证明四边形AGFD是平行四边形，即可求得FG=AD．
【详解】解：取AB中点G点，连接PG，如图，
∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，∴AD=DC=AB=BC=2，
∵E点、G点分别为AD、AB的中点，∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称，
∴PE=PG，∴PE+PF=PG+PF，即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，
如下图，G、P、F三点共线，连接FG，
∵F点是DC中点，G点为AB中点，∴，
∵在菱形ABCD中，，∴，∴四边形AGFD是平行四边形，
∴FG=AD=2，故PE+PF的最小值为2，故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识，找到E点关于AC的对称点是解答本题的关键．
变式1．（2022•西城区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC＝12，面积为24，△ABE是等边三角形，若点P在对角线AC上移动，则PD+PE的最小值为（ ）
A．4B．42C．210D．6
【点睛】如图，连接BD交AC于O，连接PB．因为AC与BD互相垂直平分，推出PD＝PB，推出PE+PD＝PE+PB，因为PE+PB≥BE，推出当E、P、B共线时，PE+PD的值最小，最小值为BE的长，求出BE即可解决问题；
【详解】解：如图，连接BD交AC于O，连接PB．
∵S菱形ABCD=12•AC•BD，∴24=12×12×BD，∴BD＝4，∵OA=12AC＝6，OB=12BD＝2，AC⊥BD，
∴AB=62+22=210，∵AC与BD互相垂直平分，∴PD＝PB，∴PE+PD＝PE+PB，∵PE+PB≥BE，
∴当E、P、B共线时，PE+PD的值最小，最小值为BE的长，∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝210，∴PD+PE的最小值为210，故选：C．
例2．（2022•蓝田县一模）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为
【点睛】作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，由四边形DEFM是平行四边形，推出DE＝FM，推出DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，由四边形ABCD是菱形，在Rt△BDM中，根据BM=BD2+DM2计算即可．
【详解】解：如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，
∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，
根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°
∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM中，BM=12+32=10
∴DE+BF的最小值为10．故答案为10．
变式2．（2022·四川成都·中考真题）如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为_________．
【答案】##
【分析】延长DE，交AB于点H，确定点B关于直线DE的对称点F，由点B，D关于直线AC对称可知QD=QB，求最大，即求最大，点Q，B，共线时，，根据“三角形两边之差小于第三边”可得最大，当点与点F重合时，得到最大值.连接BD，即可求出CO，EO，再说明，可得DO，根据勾股定理求出DE，然后证明，可求BH，即可得出答案．
【详解】延长DE，交AB于点H，
∵，ED⊥CD，∴DH⊥AB．取FH=BH，
∴点P的对称点在EF上．由点B，D关于直线AC对称，∴QD=QB．
要求最大，即求最大，点Q，B，共线时，，根据“三角形两边之差小于第三边”可得最大，当点与点F重合时，得到最大值BF．
连接BD，与AC交于点O．
∵AE=14,CE=18， ∴AC=32，∴CO=16，EO=2．
∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°，∴∠DEO=∠CDO．
∵∠EOD=∠DOC，∴ ，∴，
即， 解得，∴．
在Rt△DEO中，．
∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB，∴，
∴，即，解得，
∴．故答案为：．
【点睛】这是一道根据轴对称求线段差最大的问题，考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质和判定等，确定最大值是解题的关键．
例3．（2022•武昌区期中）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是 ．
【点睛】利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出A点位置，进而求出AO的长．
【详解】解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，
当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，
∵平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝10，∠BAD＝∠BCD＝60°，∴△ABD是等边三角形，
∴AE过点O，E为BD中点，则此时EO＝5，
故AO的最小值为：AO＝AE﹣EO＝ABsin60°−12×BD＝53−5．故答案为：53−5．
变式3．（2022·绵阳市·八年级期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__．
【答案】
【分析】在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．证明，推出点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，求出即可．
【详解】解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．
，，是等边三角形，
，，
，，是等边三角形，
，，，，
在和中，，，
，，点在射线上运动，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，
，，，，
，∴GT//AB
∵BG//AT四边形是平行四边形，
，，
∴ 在中，
∴ ，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
例4．（2021·山东临沂·二模）如图，四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
(1)求证：△EBN≌△ABM；
(2)当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，理由见解析
【分析】（1）由题意得MB=NB，∠ABM=∠EBN，容易证出△AMB≌△ENB；
（2）根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长；（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，可求得BC＝BE，BF＝1，EF，C（2，0），E（﹣1，），可求得直线CE、BD的解析式，联立成方程组，解方程组即可求得．
(1)证明：∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．即∠MBA＝∠NBE，
又∵MB＝NB，在△AMB和△ENB中，
，∴△AMB≌△ENB；
(2)解：如图1，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM＝MN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM＝EC最短，
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长；
变式4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．
【详解】解：如图，
∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴△BFG是等边三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”，
∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，
∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．
∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
例5．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH
【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小
∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH=
∴此时得到最小值，
∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=故答案为：
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.
变式5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____．
【答案】4
【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝BM，于是可得AM+BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，∴MH＝BM，∴AM+BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，∴AT＝AB•sin60°＝4，
∵AM+MH≥AT，∴AM+MH≥4，∴AM+BM≥4，
∴AM+BM的最小值为4，故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．
3）正方形中的最值问题
例1．（2022•永登县期中）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
【点睛】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE＝BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
【详解】解：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，
∴PD＝PB，∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝23．又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝23．故所求最小值为23．故答案为：23．
变式1．（2022·江苏·扬州八年级期末）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则的最小值是_____．
【答案】
【分析】如图所示，根据题意构造出△AED和△GFE全等，分析出点F的轨迹，然后根据D、F、C三点共线时求出最小值即可．
【详解】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE，
∵，，∴∠EDA＝∠FEG，
∴在△AED和△GFE中，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，，
又∵，∴，∴，∴，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴，
∴BF是∠CBC′的角平分线，即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
过点C作BF的对称点，则 ∴C点在AB的延长线上，是等腰直角三角形，
∴当D、F、C三点共线时，DF+CF＝最小，
∴在中，AD＝4，，
∴，∴DF+CF的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
例2．（2022·无锡市初三二模）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为__________.
【答案】
【分析】连接AE，AC，以AE，EF为邻边作平行四边形AEFG，依据平行四边形的性质以及勾股定理，即可得到CF+FG的最小值等于2，再根据EF=，即可得到△CEF周长的最小值．
【解析】解：如图所示，连接AE，AC，以AE，EF为邻边作平行四边形AEFG，
则AE=FG，EF=AG=，∠GAD=∠ADF=45°=∠DAC，∴∠GAC=90°，
∵AB=CB，∠ABE=∠CBE，BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴CE=AE=GF，∴CE+CF=GF+CF，
∴当G，F，C在同一直线上时，CF+FG的最小值等于CG的长，
此时，Rt△ACG中，，∴CF+FG的最小值等于2，
又∵EF=，∴△CEF周长的最小值为+2，故答案为：+2．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
变式2．（2022·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．
【答案】 平行四边形 2
【分析】（1）利用平移的性质证明即可．（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．求出BC″，证明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得结论．
【详解】解：（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，故答案为：平行四边形．
（2）如图2，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=AB=2，
∵BJ⊥AC，∴AJ=JC，∴BJ=AC=，∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，∴四边形BHCJ是矩形，
∵BJ=CJ，∴四边形BHCJ是正方形，∴BH=CH=，在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3，
∴，
∵四边形A′BCD′是平行四边形，∴A′B=CD′，∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2，∴A′B+D′B的最小值为2，故答案为：2．
【点睛】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
例3．（2022·湖北·鄂州市三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接AM，在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，所以当AM⊥PM时，PM取得最小值，根据等边三角形的性质得到AM⊥EF，∠EAM=30°，求得∠PAM=60°，进而即可得到PM最小值．
【详解】解：∵P是边AD的中点，AD=6，∴AP=3，如图，连接AM，
∵等边，是边的中点，∴AM平分∠EAF，
∴在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，∴当AM⊥PM时，PM取得最小值，
∵是等边的边的中点，∴PM⊥AM， ∠EAM=30°，
∴∠PAM=60°，∴PM=AP=，故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，推出在点E运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，是解题的关键．
变式3．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，、分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点，连接，若正方形的边长为2．则线段的最小值为______________．
【答案】
【分析】先证明△BCE≌△CDF，推出，确定当A、G、C三点共线时，AG最短，此时点G与点O重合，由此求出答案．
【详解】解：连接AC、BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，，
∵ ，
∴BE=CF，
∴△BCE≌△CDF，
∴，
∵，
∴，
∴，
当A、G、C三点共线时，AG最短，
连接MF、MO，
∵，
∴，
∴当A、G、C三点共线时，此时点G与点O重合，
∵AD=2，OA=OD，,
∴,
故答案为：．
【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质熟记各定义并应用解决问题是解题的关键．
例4．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB长度的最小值为_________．
【答案】
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠OCD=∠ODB=45°，正方形的对角线互相垂直平分且相等可得∠COD=90°，OC=OD，然后根据同角的余角相等求出∠COA=∠DOB，再利用“ASA”证明△COA和△DOB全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，再根据垂线段最短可得OA⊥CD时，OA最小，然后求出OA，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答．
【详解】解：如图，
∵四边形CDEF是正方形，，
，，
在与中，，，∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，由勾股定理得： ,
要使AB最小，只要OA取最小值即可，根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，∴FC⊥CD，OD=OF，∴CA=DA，∴OA=,∴AB=．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，熟记各性质并求出三角形全等，然后求出△AOB是等腰直角三角形是解题的关键．
变式4．（2022·安徽六安市·九年级期末）如图，已知正方形与正方形的边长分别为4和1，若将正方形绕点旋转，则在旋转过程中，点之间的最小距离为 （ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】连接CE、AC，根据正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4和1，可以求出AC的长，又因为CE≥AC-AE，所以当A、E、C三点共线时取等号，即可求值；
【详解】如图，连接CE、AC，已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4和1，
∴ AB=BC=4，AE=1，由勾股定理得： ，∴
∵ CE≥AC-AE，∴CE≥，∴CE的最小值为，故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及三角形的三边关系，正确掌握知识点是解题的关键．
例5．（2022·全国·九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
【答案】（1）①补图见解析；②；（2）
【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②首先证明∠ECF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题；（2）如图2中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．根据两点之间线段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长；
【详解】（1）①如图△DCF即为所求；
②∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，
∴AC＝＝AB＝4，∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，
∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，
设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．即y＝2（x−2）2＋8，
∵2＞0，∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，当x＝4时，y最大值＝16，∴8≤EF2≤16．
（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．
由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，∴AE＝EG，
∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．
在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，∴FH＝AF＝，AH＝＝，
在Rt△DFH中，DF＝＝，∴BE＋AE＋ED的最小值为．
【点睛】本题考查作图−旋转变换，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用旋转法添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
变式5．（2022·广东·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
(1)求证：；(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
(3)当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长．
【答案】(1)见解析 (2)①BD的中点，②BD与CE的交点处，见解析 (3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BMA=∠NBE，然后即可证明，
（2）①根据两点之间线段最短可知当M点落在BD的中点时，根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM=EC最短，②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F, 设正方形的边长为x，，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出BF=x，EF=，在Rt△EFC中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
（1）解：∵△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，∴．即∠BMA=∠NBE．
又∵MB=NB，∴（SAS）
（2）①∵，∴当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小
理由如下：连接MN．由（1）知，，∴AM=EN．
∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM=MN．
∴AM＋BM＋CM=EN＋MN＋CM根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴．设正方形的边长为x，则BF=x，EF=．
在Rt△EFC中，∵，∴，
解得， （舍去负值）．∴正方形的边长为，
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
4）平行四边形中的最值问题
变式1．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ）
A．B．6C．4D．
【答案】D
【分析】B’的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆．所以，当B’点落在DE上时，B’D取得最小值．根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B’E＝BE＝2，DE−B’E即为所求．
【详解】解：如图，B’的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆．所以，当B’点落在DE上时，B’D取得最小值．
过点D作DG⊥BA交BA延长线于G，∴∠DGA=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，∴AD∥BC，
∴∠GAD=60°，∴∠ADG=30°，∴ ∴，
∵E是AB的中点，AB=4，∴AE=BE=2，∴GE=AE+AG=5∴
由折叠的性质可知 ∴DB’＝．故选D．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B’在何位置时，B’D的值最小，是解决问题的关键．
变式1．（2022·安徽定远·八年级期中）如图，四边形是平行四边形，，，，点是直线上的点，点是直线上的点，连接，，，点，分别是，的中点．连接，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】根据中位线性质可得MN是AE的一半，则当AE最小时，MN最小，利用30°直角三角形求出AE最小值，解答即可．
【详解】解：∵点，分别是，的中点，∴MN是△AEF的中位线，∴MN，
∴当AE最小时，MN最小，当AE⊥BC时，AE最小，在四边形是平行四边形，，
∴AB//CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC =60，∵AE⊥BC，∴∠AEB =90°，
∴∠BAE =30°，∴BE，∴ ，∴MN，∴MN最小为：．
【点睛】本体考查了三角形中位线以及30°直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形中位线以及30°直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
例2.（2022·吉林·长春二模）如图，在中，，，为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为__．
【答案】
【分析】过作于，依据是等腰直角三角形，即可得出，依据，即可得到当时，的最小值等于的长，进而得到答案．
【详解】解：如图所示，过作于，
，，是等腰直角三角形，，
四边形是平行四边形，，
当时，的最小值等于的长，
对角线的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
变式2.已知：如图，平行四边形中，，点E是上一个动点，连结，把沿折叠到的位置．（1）当点落在上时，________；（2）若点落在的内部（包括边界），则的范围是___________．
【答案】4 -3≤≤7
【分析】（1）根据折叠的性质和平行线的性质，可得A′E=A′B，从而得AE= AB=6，进而即可求解；（2）先求出当点A′在DE上时，求得DE的值，再求出当点A′在CE上时，求得ED=-3，进而即可得到答案．
【详解】（1）解：∵把沿折叠到， ∴∠AEB=∠A′EB，
∵平行四边形中，点落在上，∴AE∥A′B，
∴∠AEB=∠A′BE，∴∠A′EB=∠A′BE，∴A′E=A′B，又∵AE= A′E，AB= A′B，∴AE= AB=6，
又∵，∴AD=10，∴DE=10-6=4，故答案是：4；
（2）当点A′在DE上时，如图，此时，∠AEB=90°，
∵，∴∠ABE=90°-60°=30°，∴AE=AB=3，∴DE=10-3=7；
当点A′在CE上时，如图，过点C作CN⊥AD，交AD的延长线于点N，
∵AB∥CD，∴∠A=∠NDC=60°，又∵CD=AB=6，∴DN=CD=3，CN=，
∵AD∥BC，∴∠DEC=∠BCA′，∵把沿折叠到，
∴∠BA′E=∠A=60°，CD=AB=A′B，∴∠BA′C=180°-60°=120°，
∵AB∥CD，∴∠ADC=180°-60°=120°，∴∠BA′C=∠ADC，
∴，∴CE=BC=10，∴EN=，∴ED=-3，
∴的范围是：-3≤≤7．故答案是：-3≤≤7．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
例3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.
【答案】
【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6.
【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD，
∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，
∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
变式3．（2022·成都市·八年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．
【答案】
【分析】根据题意，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，此时四边形的周长为，则当点、、三点共线时，四边形的周长最小，进而计算即可得解．
【详解】如下图，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，∴，，
此时四边形的周长为，
当点、、三点共线时，四边形的周长最小，
，，，经过点，，，
，，，，
四边形周长的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了四边形周长的最小值问题，涉及到含的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相关轴对称作图方法以及线段长的求解方法是解决本题的关键．
2、 以特殊四边形为背景的压轴问题
1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
【详解】解：点为的中点，，
又，，，是等边三角形，
，，
，即，故①正确；
在平行四边形中，，，，，
在和中，，，
，四边形是平行四边形，
又，点为的中点，，
平行四边形是菱形，故③正确；
，在中，，
，故②正确；
在平行四边形中，，
又点为的中点，，故④正确；
综上所述：正确的结论有4个，故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．
2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③⑤
【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；
③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；
④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可；
⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积．
【详解】①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°， ∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD， ∵在△APD和△AEB中，
， ∴△APD≌△AEB（SAS）； 故此选项成立；
③∵△APD≌△AEB， ∴∠APD=∠AEB，
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°， ∴EB⊥ED； 故此选项成立；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°， ∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF， ∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE= = = ， ∴BF=EF= ， 故此选项不正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1， ∴EP= ， 又∵PB= ， ∴BE= ，
∵△APD≌△AEB， ∴PD=BE= ，
∴S △ABP+S △ADP=S △ABD-S △BDP= S 正方形ABCD- ×DP×BE= ×（4+ ）- × × = + ．
故此选项不正确．
⑤∵EF=BF= ，AE=1， ∴在Rt△ABF中，AB 2=（AE+EF） 2+BF 2=4+ ，
∴S 正方形ABCD=AB 2=4+ ， 故此选项正确． 故答案为①③⑤．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．
3．（2022·四川南充·中考真题）如图，正方形边长为1，点E在边上（不与A，B重合），将沿直线折叠，点A落在点处，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．给出下列四个结论：①；②；③点P是直线上动点，则的最小值为；④当时，的面积．其中正确的结论是_______________．（填写序号）
【答案】①②③
【分析】根据全等三角形判定即可判断①；过D作DM⊥CA1于M，利用等腰三角形性质及折叠性质得∠ADE+∠CDM，再等量代换即可判断②；连接AP、PC、AC，由对称性知，PA1=PA，知P、A、C共线时取最小值，最小值为AC长度，勾股定理求解即可判断③；过点A1作A1H⊥AB于H，借助特殊角的三角函数值求出BE，A1H的长度，代入三角形面积公式求解即可判断④．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，
由旋转知，∠A1BA2=90°，A1B=A2B，
∴∠ABA1=∠CBA2，∴△ABA1≌△CBA2，故①正确；
过D作DM⊥CA1于M，如图所示，
由折叠知AD=A1D=CD，∠ADE=∠A1DE，
∴DM平分∠CDA1，∴∠ADE+∠CDM=45°，
又∠BCA1+∠DCM=∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠BCA1=∠CDM，∴∠ADE+∠BCA1=45°，故②正确；
连接AP、PC、AC，由对称性知，PA1=PA，
即PA1+PC=PA+PC，当P、A、C共线时取最小值，最小值为AC的长度，即为，故③正确；
过点A1作A1H⊥AB于H，如图所示，
∵∠ADE=30°，∴AE=tan30°·AD=，DE=，∴BE=AB-AE=1-，
由折叠知∠DEA=∠DEA1=60°，AE=A1E=，
∴∠A1EH=60°，∴A1H=A1E·sin60°=，
∴△A1BE的面积=，故④错误，故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了正方形性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定、折叠性质及解直角三角形等知识点，综合性较强．
4．（2022·黑龙江大庆·中考真题）如图，正方形中，点E，F分别是边上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍，连接分别与对角线交于点M，N．给出如下几个结论：①若，则；②；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号为____________．
【答案】②
【分析】根据已知条件可得，即可判断①，进而推出，导角可得②正确，作于点，连接，证明是直角三角形，勾股定理验证③，证明，即可判断④求解．
【详解】解：∵正方形的周长是周长的2倍，∴，，
①若，则，故①不正确；如图，在的延长线上取点，使得，
四边形是正方形，，，
，，，，
，，，
，，，
，，
，，
即，故②正确；
如图，作于点，连接，则，
，，，同理可得，
，
关于对称轴，关于对称，
，，
，是直角三角形，
③若，，
，故③不正确，
，若，即，，
，，
又，，，
即，，，
，
，，故④不正确．故答案为：②．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2022·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)；(2)①四边形ABEF的面积为；②最小值为12
【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= ，即可求解；
（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN=，设BE=，则EN=，从而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，从而得到四边形ABEF的面积s= S△ABD - S△DEF ，①当CE⊥AB时，可得点E是△ABC重心，从而得到BE=CE=BO=，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由，可得当，即BE=时， s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．
【解析】(1)解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等边三角形，
∴BO=AB▪sin60°==，∴BD=2BO=；
(2)解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，
∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=；
菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=BE
∵，∴MN=，设BE=，则EN=，
∴EM=MN-EN=， ∵S菱形ABCD= AD▪MN=，
∴S△ABD= S菱形ABCD=，∵BE=DF，∴DF=，
∴S△DEF=DF ▪EM= =，记四边形ABEF的面积为s，
∴s= S△ABD - S△DEF =-（），
∵点E在BD上，且不在端点，∴0①当CE⊥AB时，∵OB⊥AC，∴点E是△ABC重心，
∴BE=CE=BO=，此时 =，
∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为；
②作CH⊥AD于H，如图，
∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，
∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；
在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，∴AH=DH=3，∴CH=，
∵，∴当，即BE=时， s达到最小值，
∵BE=DF，∴DF=3，此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，
∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，
∴CE+CF的值达到最小，其最小值为CO+CH==12．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识是解题的关键．
6．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知矩形的对角线相交于点O，点E是边上一点，连接，且．(1)如图1，求证：；(2)如图2，设与相交于点F，与相交于点H，过点D作的平行线交的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（除外），使写出的每个三角形的面积都与的面积相等．
【答案】(1)见解析 (2)、、、
【分析】（1）利用SSS证明两个三角形全等即可;
（2）先证明Rt△ABE≌Rt△DCE得到AE=DE，则，根据三线合一定理证明∴OE⊥AD， 推出，得到，即可证明由，得到∠OBF=∠OCH，，证明△BOF≌△COH，即可证明，则，即可推出，最后证明，即可得到；
(1)证明：∵四边形是矩形，∴与相等且互相平分，∴，
∵，，∴（SSS）；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠BAE=∠CDE=90°，OA=OD=OB=OC，
又∵BE=CE，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）∴AE=DE，∴，
∵OA=OD，AE=DE，∴OE⊥AD， ∴，∴，
∴，∴；
∵，∴∠OBF=∠OCH，，
又∵∠BOF=∠COH，OB=OC，∴△BOF≌△COH（ASA），
∴，∴，∴，
∴，∴；
∵，∴∠AFE=∠DGE，∠EAF=∠EDG，
又∵AE=DE，∴，∴；
综上所述，、、、这4个三角形的面积与△AEF的面积相等．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，矩形的性质，平行线的性质与判定等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
7．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
(1)【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1)(2)16(3)或
【分析】（1）由正方形的性质可得，，根据ASA可证，由全等三角形的性质可得结论；
（2） 过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，证明△进而证明；
（3）分别求出，由勾股定理可得方程，求出x的值即可．
(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠
∵是对角线，∴∠，
∴∠，
∵四边形是正方形，∴∠，∴∠
又∠∴，∴∴故答案为:
(2)过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，如图，
∵点O是正方形ABCD的中心，∴
又∠A=90°∴四边形ATOM是正方形，∴
同（1）可证△∴
(3)∵四边形均为正方形，
∴∠
∵CG在CD上，∴
又CE在BC的延长线上，∴
设则在中，
在中，
延长AD，CE交于点Q，则四边形是矩形，
∴∴，
在中，
若△为直角三角形，则有，即
整理得，解得，∴或
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键
8．（2022·重庆九年级期中）菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE⊥AB交AC于点E．已知点F是AB边上一点，且BF＝BE，过点F作PF⊥AB交BD延长线于点P，交AD于点Q． (1)如图（1），若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长；(2)如图（2），求证：AQ＝BE+PQ；
(3)如图（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M．点N是CD边上的动点，请直接写出+MN的最小值．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明，利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论；（2）如图2中，连接，，过点作于点，作交于点，在上取一点，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，证明四边形是正方形，推出，再证明，可得结论；
（3）如图3中，取的中点，连接，延长到，使得，连接，过点作于点，过点作于，交于点，交于点．由，推出，由，推出的最小值，求出，即可解决问题．
(1)解：如图1中，四边形是菱形，，，
，，，，，，
，，，，
，，，，
．
(2)证明：如图2中，连接，，过点作于点，作交于点，在上取一点，使得．由（1）可知，，，
，，，，，
，四边形是矩形，
，四边形是正方形，，，
四边形是菱形，，关于对称，，，
，，，，，
，，，，，，
．
(3)如图3中，取的中点，连接，延长到，使得，连接
，，点在以为直径的圆上运动，
四边形是菱形，，是等边三角形，
，，，，，是等腰直角三角形，
过点作于点，过点作于，交于点，交于点．
，，，，
，的最小值，
是等边三角形，，，，，
是等腰直角三角形，，
，，的最小值为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短，解决最短问题，属于中考压轴题．
9．（2022·辽宁大东·八年级期末）如图，在菱形中，，是对角线上一点，是线段延长线上一点且，连接．（1）如图，若是线段的中点，连接，其他条件不变，直接写出线段与的数量关系；（2）如图，若是线段上任意一点，连接，其他条件不变，猜想线段与的数量关系是什么？并证明你的猜想；（3）如图，若是线段延长线上一点，其他条件不变，且，菱形的周长为，直接写出的长度．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）7
【分析】（1）由菱形的性质和已知条件得出是等边三角形，得出，由等边三角形的性质和已知条件得出，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出，即可得出结论．
（2）过点作交于点，先证明是等边三角形，得出，，再证明是等边三角形，得出，，然后由证得，即可得出结论．
（3）过点作交延长线于点，证明同（2），得出，证明，，则，，得出，，则，由勾股定理即可得出结果．
【详解】解：（1）；理由如下：四边形是菱形，，
，是等边三角形，，
是线段的中点，，，
，，，，．故答案为；
（2）猜想线段与的数量关系为：；
证明：过点作交于点，如图所示：
四边形为菱形，，
，，，与都是等边三角形，
，，，又，，
又，是等边三角形，，，，
又，，
在和中，，，；
（3）过点作交延长线于点，如图：
四边形为菱形，，菱形的周长为，
是等边三角形，，，，，
又，，又，是等边三角形，
，，，又，，
在和中，，，，
，，，
是等边三角形，，，
在中，，，，
，，，，
由勾股定理得：．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识；解题的关键是熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形．
10．（2022·黑龙江·校八年级期中）矩形中，连接，于．
（1）如图1，求证：（2）如图2，延长至点，使，连接交于点，求证：（3）如图3，在（2）的条件下，取的中点，连接、，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据矩形的性质，等角的余角相等，即可证明；
（2）连接，由矩形的性质以及角度的计算，可得，，，进而可得
（3）如图3，连接，交于点，过点，作于点，延长交于点，取的中点，连接，先根据中位线定理证明，设，，可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，连接，，延长交于,连接交于，证明四边形，是平行四边形，进而可得，进而求得，勾股定理求得，根据即可求得．
【详解】（1）四边形是矩形，,
即
（2）连接，如图，
四边形是矩形，，，
，
，
（3）如图3，连接，交于点，过点，作于点，延长交于点，取的中点，连接，是的中点，则，
四边形是矩形
是平行四边形，
是的中点
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形 设，
又
为的中点，为的中点，,
为等腰三角形
，为的中点
是等腰直角三角形 又是等腰直角三角形是的中点
连接，，延长交于,连接交于
垂直平分，是的中点
为的中点，为的中点
四边形是平行四边形同理可得是平行四边形
即
又
又
在中．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
11．（2022·浙江·宁波市八年级期中）数学活动课上．老师给出如下定义：如果一个矩形的其中一边是另一边的2倍，那么称这个矩形为“和谐矩形”．如图1，在矩形ABCD中，AD＝2AB，则矩形ABCD是“和谐矩形”．E是AD边上任意一点，连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．
（1）试判斯四边形BFEG的形状．并说明理由；
（2）如图2，在“和谐矩形”ABCD中，若AB＝2，且AB＜AD，E是边AD上一个动点，
把△ABE沿BE折叠．点A落在点从A′处，若A'恰在矩形的对称轴上，则AE的长为___；
（3）如图3，记四边形BFEG的面积为S1，“和谐矩形”BFEG的面职为S2，且＝ ，若AB＝a（a为常数），AB＜AD，求FG的长，（用含有a的代数式表示）．
【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）或2；（3）
【分析】（1）由矩形的性质及全等三角形的性质先证明四边形BFEG是平行四边形，再由FG⊥BE证明四边形BFEG是菱形；（2）当点A′在经过AB、CD中点的对称轴上时，可证明△ABA′是等边三角形；当点A′在经过AD、BC中点的对称轴上时，可证明点E为AD边的中点，分别求出相应的AE的长即可；
（3）由（1）可知四边形BFEG是菱形，设BF=EF=x，四边形ABCD是“和谐矩形”，且AB=a，则AD=2AB=2a，由勾股定理分别求出EF、AF、BE的长，再由面积等式列方程求出FG的长即可．
【详解】解：（1）四边形是菱形．理由：如图1，，，；
垂直平分，，，
，，四边形是平行四边形；
，四边形是菱形．
（2）如图2，设矩形的对称轴交于点，交于点，点在上，连结，，
由折叠得，垂直平分，，
垂直平分，，四边形是矩形，
由（1）得，四边形是菱形，；
，，，，
，是等边三角形，，，
，，，
，且，，；
如图3，矩形的对称轴交于点，交于点，点在上，
垂直平分，，
，四边形是正方形，，
，等于点到直线的距离，点与点重合，
，与重合，点与点重合，，
综上所述，的长为或2，故答案为：或2．
（3）如图4，由（1）得，四边形是菱形，
设，四边形是“和谐矩形”，且，
，，，
，，，，
，，由得，，．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、菱形的判定与性质、轴对称的特征、勾股定理、二次根式的化简、分类讨论数学思想的应用等知识与方法，此题综合性较强，计算较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题．
12．（2022·重庆·八年级期末）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过点O的直线l与边AB、CD分别交于点E、F，绕点O旋转直线l，猜想直线l旋转到什么位置时，四边形AECF是菱形．证明你的猜想． （2）若将（1）中四边形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4cm，BC=3cm，
①如图2，绕点O旋转直线l与边AB、CD分别交于点E、F，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D的对应点为D′，连接DD′，求△DFD′的面积．②如图3，绕点O继续旋转直线l，直线l与边BC或BC的延长线交于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为B′，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长度．请直接写出结果，不必写解答过程．
【答案】（1）四边形AECF是菱形，见解析；（2）① cm2；②BE的长为cm或cm或4cm或cm．
【分析】（1）根据题意作图，先根据平行四边形得出∠FCO=∠EAO，再证明△COF≌△AOE，结合题意即可得出结论；（2）①根据四边形ABCD是矩形，设DF=xcm，则CF=（4﹣x）cm，结合折叠和勾股定理得出CF，过D′作D′H⊥CF于H，由面积相等可得D′H=，进而得出所求面积；
②根据不同图示分情况设BE=xcm，CE=（3﹣x）cm，根据折叠并结合勾股定理得出x即为所求．
【详解】解：（1）猜想：当l⊥AC时，四边形AECF是菱形，如图1：
连接AF、CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠FCO=∠EAO，
又∵∠FOC=∠EOA，∴△COF≌△AOE，∴OE=OF，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，CD=AB=4，AD=BC=3，设DF=xcm，则CF=（4﹣x）cm，
由折叠性质可知：D′F=DF=x，CD′=AD=3，∠CD′F=∠ADC=90°，
由勾股定理得（4﹣x）2=32+x2， 解得x= ， ∴D′F=DF= ， ∴CF=4﹣= ，
如图2，过D′作D′H⊥CF于H，由面积相等可得，CF•D′H=D′F•CD′，
∴D′H=， ∴S△DFD′=××=（cm2）；
②如图①，设BE=xcm，CE=（3﹣x）cm，∵AC==5cm，∴B′C=5﹣4=1cm，
根据勾股定理可得B′C2+B′E2=CE2，即：12+x2=(3-x)2 解得：x=cm，
如图②，设BE=xcm，则CE=（3﹣x）cm，AB′=4cm，B′E=xcm，
在Rt△ADB′中，由勾股定理可得BD′===cm，B′C=（4﹣）cm，
在Rt△CB′E中，B′C2+CE2=B′E2， 即16﹣8+7+9﹣6x+x2=x2， 解得x=cm，
如图③，当四边形ABEB′是正方形时，点B和点B′关于直线AE对称，△B′EC是直角三角形，
此时CE=1cm，BE=4cm；
如图④，BE=xcm，AB′=4cm，AD=3cm，CE=（x﹣3）cm，
在Rt△ADB′中，B′D===cm，B′C=+4，
在Rt△B′CE中，7+8+16+x2﹣6x+9=x2， 解得x=cm，
综上，BE的长为cm或cm或4cm或cm．
【点睛】此题属于四边形综合性试题，涉及到平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质和勾股定理的应用，有一定难度，注意不同情况分别做图求解．
13．（2022·湖北武昌·八年级期末）如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为．（1）如图，连接交于点，若，求的长；
（2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足，
①连接，，判断，的数量关系并说明理由；
②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ．
【答案】（1）；（2）DG=BF，证明见解析；（3）
【分析】（1）如图1，过点作于点，先根据正方形性质和三角形内角和定理得出：，，设，则，运用勾股定理即可求出答案；
（2）①如图2，过点作于点，设，则，运用勾股定理即可证得结论；
②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于，先证得，再证得四边形是平行四边形，得出当、、三点共线时，最小，故当、、三点共线时，最小，即最小，再运用勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）如图1，过点作于点，
四边形是边长为2的正方形，，，，，
，，
，，即，，
又，，，，，，
设，则，由勾股定理得，
又，，，即，
，中，，
由勾股定理得：；
（2）①，理由如下：如图2，过点作于点，
，，，，，，
，设，则，，，
四边形是边长为2的正方形，点在的延长线上，，
在和中，，分别由勾股定理得：
，，，；
②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于，，为中点，，
、分别是、的中点，，，，
在和中，，，
，，，，
又，四边形是平行四边形，，，，
当、、三点共线时，最小，当、、三点共线时，最小，
即最小，此时，，，
，，，
，，的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，勾股定理，平移的运用，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是正确利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半和平移，将求的最小值转化为两点之间线段最短来解决，属于中考常考题型．
14．（2022·四川·成都实外八年级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝BO＝12，将矩形ABCD翻折，使得B与D重合，A的对应点为，折痕为EF，连接B，DF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若M，N为矩形边上的两个动点，且运动过程中，始终保持∠MON＝60°不变，请回答下列两个问题：①如图2，当点M在边BC上，点N在边CD上，ON与ED交于点G，请猜想EO、EM、EG三条线段的数量关系，并说明理由；②如图3，若M，N都在BC边上，将△ONM沿ON所在直线翻折至ONP，取线段CD的中点Q，连接PQ，则当PQ最短时，求PM的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）①OE=ME+EG，理由见详解；②
【分析】（1）由△DOF≌△BOE，推出EO＝OF，OB＝OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB＝ED即可．（2）①过O点作OH⊥BC，OK⊥DE，证明Rt△OHE=Rt△OKE，△OHM≌△OKG，可得ME+EG=HM+ME+EK+KG=2HE，在Rt△OHE中，即可得出结论
②如图3，连接CP．证明△OBM≌△OCP（SAS），推出∠PCD＝30°，如图3﹣1中，当QP⊥PC时，PQ的值最小，作MH⊥OB于H，OE⊥MP于E．在直角三角形求出EM即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠FDO＝∠EBO，
在△DOF和△BOE中，，∴△DOF≌△BOE，∴EO＝OF，
∵OB＝OD，∴四边形BFDE是平行四边形，
∵翻折，B与D重合∴EB＝ED∴四边形BFDE是菱形．
（2）①如图2，过O点作OH⊥BC，OK⊥DE．
由（1）得四边形BFDE是菱形∴△OBE≌ODE
∵OH⊥BC，OK⊥DE∴OH=OK∵OE=OE∴Rt△OHE≌Rt△OKE∴HE=KE
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BO∴△ABO为等边三角形∴∠ABO=60°∴∠OBE=30°
∴∠BED=120°∴∠HOK=60°∵∠MON＝60°∴∠HOM=∠KOG
∵OH⊥BC，OK⊥DE∴∠OHM=∠OKG=90°∴△OHM≌△OKG∴HM=KG
∴ME+EG=HM+ME+EK+KG=2HE在Rt△OHE中，∠OEH=60°∴∠OHK=30°∴OE=2HE∴OE=ME+EG
②解：如图3，连接CP．
由翻折可知：OM＝OP，∠MON＝∠NOP＝60°，∴∠MOP＝∠COB＝120°，∴∠BOM＝∠COP，
∵OB＝OC，∴△OBM≌△OCP（SAS），∴∠OCP＝∠OBM＝30°，BM＝CP，
∵∠OCD＝60°，∴∠PCD＝30°，
如图3﹣1中，点P的运动轨迹就是线段CP,当QP⊥PC时，PQ的值最小，作MH⊥OB于H，OE⊥MP于E．
在Rt△PQC中，∵∠QPC＝90°，∠PCQ＝30°，CQDCAB＝6，∴PQ=3
∴PC＝BM＝= ，
在Rt△BMH中，则有BH＝，MHBM=，
∴OH＝OB﹣BH＝ ∴OM，
∵OM＝OP，OE⊥PM，∠OME=30°∴EM＝EP＝，∴MP＝2EM．
【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
15．（2022·广东连州·九年级阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形．（1）证明平行四边形是菱形；
（2）若，连结，①求证：；②求的度数；
（3）若，，，M是的中点，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②60°；（3）
【分析】（1）平行四边形的性质可得ADBC，ABCD，再根据平行线的性质证明∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME＋∠EMD＝∠DMC＋∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC，ABCD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABDC，AB＝DC，ADBC，
∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，
∵ADBC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，
∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；
（3）如图，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME＋∠EMD＝∠DMC＋∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝，∴DM＝．
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质、正方形的性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
解题技巧：几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：(1)几何图形中在特殊位置下的最值； (2)比较难的线段的最值问题，其依据：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形的三边关系”等。
常见最值模型：（1）将军饮马；（2）瓜豆原理（动态轨迹问题）；（3）胡不归；（4）费马点问题。
注意：正方形和菱形、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，常运用其轴对称性解决最小值问题。
1）矩形中的最值问题
例1．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．
变式1．（2022•泗阳县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是AB上动点，PQ平行于BC交CD于Q．M是AD上动点，MN平行于AB交BC于N．则PM+NQ的最小值为 ．
例2．（2022·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10B．10C．5D．5
变式2．（2022·四川内江·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____．
例3．（2022·湖北青山·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝7，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为 ___．
变式3．（2022·陕西·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为
A．2B．C．D．1
例4．如图，长方形，长，宽，点P是边上的一个动点，连结、，则的面积为________，的最小值是__________．的最小值是______________．
变式4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___．
例5．（2022.绵阳市初二月考）如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，已知AB＝2，BC=3，则PA+PB+PC的最小值是 ．
变式5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
2）菱形中的最值问题
例1．（2022·四川广安·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（ ）
A．2B．C．1.5D．
变式1．（2022•西城区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC＝12，面积为24，△ABE是等边三角形，若点P在对角线AC上移动，则PD+PE的最小值为（ ）
A．4B．42C．210D．6
例2．（2022•蓝田县一模）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为
变式2．（2022·四川成都·中考真题）如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为_________．
例3．（2022•武昌区期中）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是 ．
变式3．（2022·绵阳市·八年级期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__．
例4．（2021·山东临沂·二模）如图，四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
(1)求证：△EBN≌△ABM；(2)当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小？请说明理由．
变式4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（ ）
A．B．C．D．
例5．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．
变式5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____．
3）正方形中的最值问题
例1．（2022•永登县期中）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
变式1．（2022·江苏·扬州八年级期末）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则的最小值是_____．
例2．（2022·无锡市初三二模）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为__________.
变式2．（2022·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．
例3．（2022·湖北·鄂州市三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，、分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点，连接，若正方形的边长为2．则线段的最小值为______________．
例4．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB长度的最小值为_________．
变式4．（2022·安徽六安市·九年级期末）如图，已知正方形与正方形的边长分别为4和1，若将正方形绕点旋转，则在旋转过程中，点之间的最小距离为 （ ）
A．3B．C．D．
例5．（2022·全国·九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
变式5．（2022·广东·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
(1)求证：；(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
(3)当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长．
4）平行四边形中的最值问题
变式1．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ）
A．B．6C．4D．
变式1．（2022·安徽定远·八年级期中）如图，四边形是平行四边形，，，，点是直线上的点，点是直线上的点，连接，，，点，分别是，的中点．连接，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
例2.（2022·吉林·长春二模）如图，在中，，，为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为__．
变式2.已知：如图，平行四边形中，，点E是上一个动点，连结，把沿折叠到的位置．（1）当点落在上时，________；（2）若点落在的内部（包括边界），则的范围是___________．
例3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.
变式3．（2022·成都市·八年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．
2、 以特殊四边形为背景的压轴问题
1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是 ．
3．（2022·四川南充·中考真题）如图，正方形边长为1，点E在边上（不与A，B重合），将沿直线折叠，点A落在点处，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．给出下列四个结论：①；②；③点P是直线上动点，则的最小值为；④当时，的面积．其中正确的结论是_______________．（填写序号）
4．（2022·黑龙江大庆·中考真题）如图，正方形中，点E，F分别是边上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍，连接分别与对角线交于点M，N．给出如下几个结论：①若，则；②；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号为____________．
5．（2022·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
6．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知矩形的对角线相交于点O，点E是边上一点，连接，且．(1)如图1，求证：；(2)如图2，设与相交于点F，与相交于点H，过点D作的平行线交的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（除外），使写出的每个三角形的面积都与的面积相等．
7．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
(1)【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
8．（2022·重庆九年级期中）菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE⊥AB交AC于点E．已知点F是AB边上一点，且BF＝BE，过点F作PF⊥AB交BD延长线于点P，交AD于点Q． (1)如图（1），若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长；(2)如图（2），求证：AQ＝BE+PQ；
(3)如图（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M．点N是CD边上的动点，请直接写出+MN的最小值．
9．（2022·辽宁大东·八年级期末）如图，在菱形中，，是对角线上一点，是线段延长线上一点且，连接．（1）如图，若是线段的中点，连接，其他条件不变，直接写出线段与的数量关系；（2）如图，若是线段上任意一点，连接，其他条件不变，猜想线段与的数量关系是什么？并证明你的猜想；（3）如图，若是线段延长线上一点，其他条件不变，且，菱形的周长为，直接写出的长度．
10．（2022·黑龙江·校八年级期中）矩形中，连接，于．
（1）如图1，求证：（2）如图2，延长至点，使，连接交于点，求证：（3）如图3，在（2）的条件下，取的中点，连接、，，，求的长．
11．（2022·浙江·宁波市八年级期中）数学活动课上．老师给出如下定义：如果一个矩形的其中一边是另一边的2倍，那么称这个矩形为“和谐矩形”．如图1，在矩形ABCD中，AD＝2AB，则矩形ABCD是“和谐矩形”．E是AD边上任意一点，连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．（1）试判斯四边形BFEG的形状．并说明理由；
（2）如图2，在“和谐矩形”ABCD中，若AB＝2，且AB＜AD，E是边AD上一个动点，
把△ABE沿BE折叠．点A落在点从A′处，若A'恰在矩形的对称轴上，则AE的长为___；
（3）如图3，记四边形BFEG的面积为S1，“和谐矩形”BFEG的面职为S2，且＝ ，若AB＝a（a为常数），AB＜AD，求FG的长，（用含有a的代数式表示）．
12．（2022·重庆·八年级期末）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过点O的直线l与边AB、CD分别交于点E、F，绕点O旋转直线l，猜想直线l旋转到什么位置时，四边形AECF是菱形．证明你的猜想． （2）若将（1）中四边形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4cm，BC=3cm，
①如图2，绕点O旋转直线l与边AB、CD分别交于点E、F，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D的对应点为D′，连接DD′，求△DFD′的面积．②如图3，绕点O继续旋转直线l，直线l与边BC或BC的延长线交于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为B′，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长度．请直接写出结果，不必写解答过程．
13．（2022·湖北武昌·八年级期末）如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为．（1）如图，连接交于点，若，求的长；
（2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足，
①连接，，判断，的数量关系并说明理由；
②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ．
14．（2022·四川·成都实外八年级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝BO＝12，将矩形ABCD翻折，使得B与D重合，A的对应点为，折痕为EF，连接B，DF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若M，N为矩形边上的两个动点，且运动过程中，始终保持∠MON＝60°不变，请回答下列两个问题：①如图2，当点M在边BC上，点N在边CD上，ON与ED交于点G，请猜想EO、EM、EG三条线段的数量关系，并说明理由；②如图3，若M，N都在BC边上，将△ONM沿ON所在直线翻折至ONP，取线段CD的中点Q，连接PQ，则当PQ最短时，求PM的长．
15．（2022·广东连州·九年级阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形．（1）证明平行四边形是菱形；
（2）若，连结，①求证：；②求的度数；
（3）若，，，M是的中点，求的长．
专题18.3（特殊）的平行四边形中的最值与综合压轴问题 专题讲练
1、以特殊平行四边形为背景的最值问题
解题技巧：几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：(1)几何图形中在特殊位置下的最值； (2)比较难的线段的最值问题，其依据：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形的三边关系”等。
常见最值模型：（1）将军饮马；（2）瓜豆原理（动态轨迹问题）；（3）胡不归；（4）费马点问题。
注意：正方形和菱形、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，常运用其轴对称性解决最小值问题。
1）矩形中的最值问题
例1．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．
【答案】6
【分析】作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；然后求出和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；
∵AC是矩形的对角线，∴AB=CD=4，∠ABC=90°，
在直角△ABC中，，，∴AC=8，∴，
由对称的性质，得，，∴，∴
∵，，∴△BEF是等边三角形，
∴，∴是直角三角形，
∴，∴的最小值为6；故答案为：6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得有最小值．
变式1．（2022•泗阳县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是AB上动点，PQ平行于BC交CD于Q．M是AD上动点，MN平行于AB交BC于N．则PM+NQ的最小值为 ．
【点睛】如图，设PQ交MN于F，连接AF、CF．由四边形APFM、四边形CQFN是矩形，推出PM＝AF，NQ＝CF，推出PM+CQ＝AF+CF，由FA+FC≥AC，即可解决问题．
【详解】解：如图，设PQ交MN于F，连接AF、CF、AC．
∵四边形ABCD是矩形，PQ∥BC，MN∥AB，∴可得四边形APFM、四边形CQFN是矩形，
∴PM＝AF，NQ＝CF，∴PM+CQ＝AF+CF，∵FA+FC≥AC，AC=32+42=5，
∴AF+FC的最小值为5，∴PM+NQ的最小值为5．故答案为5
例2．（2022·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10B．10C．5D．5
【答案】A
【分析】由矩形的性质与线段的等量关系证明，，则，，如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，则四边形是矩形，，，则，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求最小的周长．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，
∵，，∴，，
在和中∵，∴，
∴，同理，∴，
如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，
∴四边形是矩形，∴，，
∵，，∴，，
在中，由勾股定理得，
∴四边形的周长，故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称等知识．解题的关键在于找出四边形周长最小时点、的位置关系．
变式2．（2022·四川内江·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____．
【答案】10
【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可．
【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，
∵，EF＝CG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，
∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值为10，故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G三
例3．（2022·湖北青山·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝7，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为 ___．
【答案】##
【分析】以AB为边作等边△ABE，过点D作DH⊥QE于H，利用SAS证明△ABP≌△AEQ，得∠AEQ=∠ABP=90°，则点Q在射线EQ上运动，即求DH的长度，再运用含30°角的直角三角形的性质进行解题．
【详解】解：如图，以AB为边作等边△ABE，过点D作DH⊥QE于H，
∴AB=AE，∠BAE=60°，∵将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，
∴AP=AQ，∠PAQ=60°，∴∠BAP=∠EAQ，在△ABP和△AEQ中，，
∴△ABP≌△AEQ（SAS），∴∠AEQ=∠ABP=90°，∴点Q在射线EQ上运动，
当Q与H重合时，DQ最小，在Rt△AEF中，∠EAF=30°，∴EF=AE=，
∴AF=2EF=，∴DF=AD-AF=-=，∴DH=DF=×=，
∴DQ的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，判断出点Q的运动路径是解题的关键．
变式3．（2022·陕西·无模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】D
【分析】由勾股定理和折叠的性质可求，，由三角形的三边关系，，则当点在上时，有最小值为，由三角形的中位线定理可求解．
【详解】解：如图，连接，，
，，，
将沿折叠，，在△中，，
当点在上时，有最小值为，
，分别为，的中点，，的最小值为1，故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，求出的最小值是解题的关键．
例4．如图，长方形，长，宽，点P是边上的一个动点，连结、，则的面积为________，的最小值是__________．的最小值是______________．
【答案】12；10；.
【解析】解：①过点P作PE⊥AD于E，∴PE⊥AD
∵ABCD是长方形∴PE=AB=4 ∴△PAD面积为12
②作点D关于BC对称点D’，连接AD’交BC于P，此时PA+PD长度最小，最小值为AD’的长，
由勾股定理得：AD’=10 即PA+PD的最小值是10；
③过点C做直线CE，使CE与BC的夹角成30°，过点P作CE的垂线，垂足为E，则PE=PC
∴PA+PC的最小值为PA+PE的最小值，
当P、A、E共线时，PA+PE最小，由勾股定理得：BP=，AP=
∴PE=∴AE=AP+PE= 即PA+PC的最小值为.
变式4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___．
【答案】3
【分析】在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2，
在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．
∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETAE，
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，∴CH＝AC•sin6°＝23，
∵AE+EC＝CE+ET≥CH，∴AE+EC≥3，∴AE+EC的最小值为3，故答案为3．
例5．（2022.绵阳市初二月考）如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，已知AB＝2，BC=3，则PA+PB+PC的最小值是 ．
【点睛】将△PBC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PE，BF，则EF＝PB，△PCE是等边三角形，由PE＝PC，得出PA+PB+PC＝PA+PE+EF，当PA、PE、EF共线时，值最小，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求得PA+PB+PC的最小值．
【详解】解：将△PBC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PE，BF，则EF＝PB，△PCE是等边三角形，△BFC是等边三角形，∴PE＝PC，
∴PA+PB+PC＝PA+PE+EF，当PA、PE、EF共线时，值最小，
连接BF，作FN⊥BC，延长BM＝FN，连接MF，则四边形BMFN是矩形，∴BM＝FN，MF＝BN，
∵△BCF是等边三角形，∴FN=32BF=32BC=32×3=32，BN=12BF=12BC=32，
∴AM＝AB+BM＝2+32=72，MF=32，∴AF=AM2+MF2=13，
∴PA+PB+PC的最小值为13，故答案为13．
变式5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
【答案】
【解析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．
分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，
易证△AMD≌△AGF，∴MD＝GF ∴ME＋MA＋MD＝ME＋EG＋GF
过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．
2）菱形中的最值问题
例1．（2022·四川广安·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（ ）
A．2B．C．1.5D．
【答案】A
【分析】取AB中点G点，根据菱形的性质可知E点、G点关于对角线AC对称，即有PE=PG，则当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，再证明四边形AGFD是平行四边形，即可求得FG=AD．
【详解】解：取AB中点G点，连接PG，如图，
∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，∴AD=DC=AB=BC=2，
∵E点、G点分别为AD、AB的中点，∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称，
∴PE=PG，∴PE+PF=PG+PF，即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，
如下图，G、P、F三点共线，连接FG，
∵F点是DC中点，G点为AB中点，∴，
∵在菱形ABCD中，，∴，∴四边形AGFD是平行四边形，
∴FG=AD=2，故PE+PF的最小值为2，故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识，找到E点关于AC的对称点是解答本题的关键．
变式1．（2022•西城区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC＝12，面积为24，△ABE是等边三角形，若点P在对角线AC上移动，则PD+PE的最小值为（ ）
A．4B．42C．210D．6
【点睛】如图，连接BD交AC于O，连接PB．因为AC与BD互相垂直平分，推出PD＝PB，推出PE+PD＝PE+PB，因为PE+PB≥BE，推出当E、P、B共线时，PE+PD的值最小，最小值为BE的长，求出BE即可解决问题；
【详解】解：如图，连接BD交AC于O，连接PB．
∵S菱形ABCD=12•AC•BD，∴24=12×12×BD，∴BD＝4，∵OA=12AC＝6，OB=12BD＝2，AC⊥BD，
∴AB=62+22=210，∵AC与BD互相垂直平分，∴PD＝PB，∴PE+PD＝PE+PB，∵PE+PB≥BE，
∴当E、P、B共线时，PE+PD的值最小，最小值为BE的长，∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝210，∴PD+PE的最小值为210，故选：C．
例2．（2022•蓝田县一模）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为
【点睛】作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，由四边形DEFM是平行四边形，推出DE＝FM，推出DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，由四边形ABCD是菱形，在Rt△BDM中，根据BM=BD2+DM2计算即可．
【详解】解：如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，
∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，
根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°
∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM中，BM=12+32=10
∴DE+BF的最小值为10．故答案为10．
变式2．（2022·四川成都·中考真题）如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为_________．
【答案】##
【分析】延长DE，交AB于点H，确定点B关于直线DE的对称点F，由点B，D关于直线AC对称可知QD=QB，求最大，即求最大，点Q，B，共线时，，根据“三角形两边之差小于第三边”可得最大，当点与点F重合时，得到最大值.连接BD，即可求出CO，EO，再说明，可得DO，根据勾股定理求出DE，然后证明，可求BH，即可得出答案．
【详解】延长DE，交AB于点H，
∵，ED⊥CD，∴DH⊥AB．取FH=BH，
∴点P的对称点在EF上．由点B，D关于直线AC对称，∴QD=QB．
要求最大，即求最大，点Q，B，共线时，，根据“三角形两边之差小于第三边”可得最大，当点与点F重合时，得到最大值BF．
连接BD，与AC交于点O．
∵AE=14,CE=18， ∴AC=32，∴CO=16，EO=2．
∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°，∴∠DEO=∠CDO．
∵∠EOD=∠DOC，∴ ，∴，
即， 解得，∴．
在Rt△DEO中，．
∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB，∴，
∴，即，解得，
∴．故答案为：．
【点睛】这是一道根据轴对称求线段差最大的问题，考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质和判定等，确定最大值是解题的关键．
例3．（2022•武昌区期中）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是 ．
【点睛】利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出A点位置，进而求出AO的长．
【详解】解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，
当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，
∵平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝10，∠BAD＝∠BCD＝60°，∴△ABD是等边三角形，
∴AE过点O，E为BD中点，则此时EO＝5，
故AO的最小值为：AO＝AE﹣EO＝ABsin60°−12×BD＝53−5．故答案为：53−5．
变式3．（2022·绵阳市·八年级期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__．
【答案】
【分析】在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．证明，推出点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，求出即可．
【详解】解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．
，，是等边三角形，
，，
，，是等边三角形，
，，，，
在和中，，，
，，点在射线上运动，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，
，，，，
，∴GT//AB
∵BG//AT四边形是平行四边形，
，，
∴ 在中，
∴ ，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
例4．（2021·山东临沂·二模）如图，四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
(1)求证：△EBN≌△ABM；
(2)当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，理由见解析
【分析】（1）由题意得MB=NB，∠ABM=∠EBN，容易证出△AMB≌△ENB；
（2）根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长；（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，可求得BC＝BE，BF＝1，EF，C（2，0），E（﹣1，），可求得直线CE、BD的解析式，联立成方程组，解方程组即可求得．
(1)证明：∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．即∠MBA＝∠NBE，
又∵MB＝NB，在△AMB和△ENB中，
，∴△AMB≌△ENB；
(2)解：如图1，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM＝MN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM＝EC最短，
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长；
变式4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．
【详解】解：如图，
∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴△BFG是等边三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”，
∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，
∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．
∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
例5．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH
【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小
∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH=
∴此时得到最小值，
∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=故答案为：
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.
变式5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____．
【答案】4
【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝BM，于是可得AM+BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，∴MH＝BM，∴AM+BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，∴AT＝AB•sin60°＝4，
∵AM+MH≥AT，∴AM+MH≥4，∴AM+BM≥4，
∴AM+BM的最小值为4，故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．
3）正方形中的最值问题
例1．（2022•永登县期中）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
【点睛】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE＝BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
【详解】解：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，
∴PD＝PB，∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝23．又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝23．故所求最小值为23．故答案为：23．
变式1．（2022·江苏·扬州八年级期末）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则的最小值是_____．
【答案】
【分析】如图所示，根据题意构造出△AED和△GFE全等，分析出点F的轨迹，然后根据D、F、C三点共线时求出最小值即可．
【详解】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE，
∵，，∴∠EDA＝∠FEG，
∴在△AED和△GFE中，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，，
又∵，∴，∴，∴，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴，
∴BF是∠CBC′的角平分线，即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
过点C作BF的对称点，则 ∴C点在AB的延长线上，是等腰直角三角形，
∴当D、F、C三点共线时，DF+CF＝最小，
∴在中，AD＝4，，
∴，∴DF+CF的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
例2．（2022·无锡市初三二模）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为__________.
【答案】
【分析】连接AE，AC，以AE，EF为邻边作平行四边形AEFG，依据平行四边形的性质以及勾股定理，即可得到CF+FG的最小值等于2，再根据EF=，即可得到△CEF周长的最小值．
【解析】解：如图所示，连接AE，AC，以AE，EF为邻边作平行四边形AEFG，
则AE=FG，EF=AG=，∠GAD=∠ADF=45°=∠DAC，∴∠GAC=90°，
∵AB=CB，∠ABE=∠CBE，BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴CE=AE=GF，∴CE+CF=GF+CF，
∴当G，F，C在同一直线上时，CF+FG的最小值等于CG的长，
此时，Rt△ACG中，，∴CF+FG的最小值等于2，
又∵EF=，∴△CEF周长的最小值为+2，故答案为：+2．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
变式2．（2022·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．
【答案】 平行四边形 2
【分析】（1）利用平移的性质证明即可．（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．求出BC″，证明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得结论．
【详解】解：（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，故答案为：平行四边形．
（2）如图2，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=AB=2，
∵BJ⊥AC，∴AJ=JC，∴BJ=AC=，∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，∴四边形BHCJ是矩形，
∵BJ=CJ，∴四边形BHCJ是正方形，∴BH=CH=，在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3，
∴，
∵四边形A′BCD′是平行四边形，∴A′B=CD′，∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2，∴A′B+D′B的最小值为2，故答案为：2．
【点睛】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
例3．（2022·湖北·鄂州市三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接AM，在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，所以当AM⊥PM时，PM取得最小值，根据等边三角形的性质得到AM⊥EF，∠EAM=30°，求得∠PAM=60°，进而即可得到PM最小值．
【详解】解：∵P是边AD的中点，AD=6，∴AP=3，如图，连接AM，
∵等边，是边的中点，∴AM平分∠EAF，
∴在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，∴当AM⊥PM时，PM取得最小值，
∵是等边的边的中点，∴PM⊥AM， ∠EAM=30°，
∴∠PAM=60°，∴PM=AP=，故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，推出在点E运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，是解题的关键．
变式3．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，、分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点，连接，若正方形的边长为2．则线段的最小值为______________．
【答案】
【分析】先证明△BCE≌△CDF，推出，确定当A、G、C三点共线时，AG最短，此时点G与点O重合，由此求出答案．
【详解】解：连接AC、BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，，
∵ ，
∴BE=CF，
∴△BCE≌△CDF，
∴，
∵，
∴，
∴，
当A、G、C三点共线时，AG最短，
连接MF、MO，
∵，
∴，
∴当A、G、C三点共线时，此时点G与点O重合，
∵AD=2，OA=OD，,
∴,
故答案为：．
【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质熟记各定义并应用解决问题是解题的关键．
例4．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB长度的最小值为_________．
【答案】
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠OCD=∠ODB=45°，正方形的对角线互相垂直平分且相等可得∠COD=90°，OC=OD，然后根据同角的余角相等求出∠COA=∠DOB，再利用“ASA”证明△COA和△DOB全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，再根据垂线段最短可得OA⊥CD时，OA最小，然后求出OA，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答．
【详解】解：如图，
∵四边形CDEF是正方形，，
，，
在与中，，，∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，由勾股定理得： ,
要使AB最小，只要OA取最小值即可，根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，∴FC⊥CD，OD=OF，∴CA=DA，∴OA=,∴AB=．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，熟记各性质并求出三角形全等，然后求出△AOB是等腰直角三角形是解题的关键．
变式4．（2022·安徽六安市·九年级期末）如图，已知正方形与正方形的边长分别为4和1，若将正方形绕点旋转，则在旋转过程中，点之间的最小距离为 （ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】连接CE、AC，根据正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4和1，可以求出AC的长，又因为CE≥AC-AE，所以当A、E、C三点共线时取等号，即可求值；
【详解】如图，连接CE、AC，已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4和1，
∴ AB=BC=4，AE=1，由勾股定理得： ，∴
∵ CE≥AC-AE，∴CE≥，∴CE的最小值为，故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及三角形的三边关系，正确掌握知识点是解题的关键．
例5．（2022·全国·九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
【答案】（1）①补图见解析；②；（2）
【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②首先证明∠ECF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题；（2）如图2中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．根据两点之间线段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长；
【详解】（1）①如图△DCF即为所求；
②∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，
∴AC＝＝AB＝4，∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，
∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，
设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．即y＝2（x−2）2＋8，
∵2＞0，∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，当x＝4时，y最大值＝16，∴8≤EF2≤16．
（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．
由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，∴AE＝EG，
∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．
在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，∴FH＝AF＝，AH＝＝，
在Rt△DFH中，DF＝＝，∴BE＋AE＋ED的最小值为．
【点睛】本题考查作图−旋转变换，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用旋转法添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
变式5．（2022·广东·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
(1)求证：；(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
(3)当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长．
【答案】(1)见解析 (2)①BD的中点，②BD与CE的交点处，见解析 (3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BMA=∠NBE，然后即可证明，
（2）①根据两点之间线段最短可知当M点落在BD的中点时，根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM=EC最短，②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F, 设正方形的边长为x，，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出BF=x，EF=，在Rt△EFC中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
（1）解：∵△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，∴．即∠BMA=∠NBE．
又∵MB=NB，∴（SAS）
（2）①∵，∴当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小
理由如下：连接MN．由（1）知，，∴AM=EN．
∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM=MN．
∴AM＋BM＋CM=EN＋MN＋CM根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴．设正方形的边长为x，则BF=x，EF=．
在Rt△EFC中，∵，∴，
解得， （舍去负值）．∴正方形的边长为，
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
4）平行四边形中的最值问题
变式1．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ）
A．B．6C．4D．
【答案】D
【分析】B’的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆．所以，当B’点落在DE上时，B’D取得最小值．根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B’E＝BE＝2，DE−B’E即为所求．
【详解】解：如图，B’的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆．所以，当B’点落在DE上时，B’D取得最小值．
过点D作DG⊥BA交BA延长线于G，∴∠DGA=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，∴AD∥BC，
∴∠GAD=60°，∴∠ADG=30°，∴ ∴，
∵E是AB的中点，AB=4，∴AE=BE=2，∴GE=AE+AG=5∴
由折叠的性质可知 ∴DB’＝．故选D．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B’在何位置时，B’D的值最小，是解决问题的关键．
变式1．（2022·安徽定远·八年级期中）如图，四边形是平行四边形，，，，点是直线上的点，点是直线上的点，连接，，，点，分别是，的中点．连接，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】根据中位线性质可得MN是AE的一半，则当AE最小时，MN最小，利用30°直角三角形求出AE最小值，解答即可．
【详解】解：∵点，分别是，的中点，∴MN是△AEF的中位线，∴MN，
∴当AE最小时，MN最小，当AE⊥BC时，AE最小，在四边形是平行四边形，，
∴AB//CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC =60，∵AE⊥BC，∴∠AEB =90°，
∴∠BAE =30°，∴BE，∴ ，∴MN，∴MN最小为：．
【点睛】本体考查了三角形中位线以及30°直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形中位线以及30°直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
例2.（2022·吉林·长春二模）如图，在中，，，为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为__．
【答案】
【分析】过作于，依据是等腰直角三角形，即可得出，依据，即可得到当时，的最小值等于的长，进而得到答案．
【详解】解：如图所示，过作于，
，，是等腰直角三角形，，
四边形是平行四边形，，
当时，的最小值等于的长，
对角线的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
变式2.已知：如图，平行四边形中，，点E是上一个动点，连结，把沿折叠到的位置．（1）当点落在上时，________；（2）若点落在的内部（包括边界），则的范围是___________．
【答案】4 -3≤≤7
【分析】（1）根据折叠的性质和平行线的性质，可得A′E=A′B，从而得AE= AB=6，进而即可求解；（2）先求出当点A′在DE上时，求得DE的值，再求出当点A′在CE上时，求得ED=-3，进而即可得到答案．
【详解】（1）解：∵把沿折叠到， ∴∠AEB=∠A′EB，
∵平行四边形中，点落在上，∴AE∥A′B，
∴∠AEB=∠A′BE，∴∠A′EB=∠A′BE，∴A′E=A′B，又∵AE= A′E，AB= A′B，∴AE= AB=6，
又∵，∴AD=10，∴DE=10-6=4，故答案是：4；
（2）当点A′在DE上时，如图，此时，∠AEB=90°，
∵，∴∠ABE=90°-60°=30°，∴AE=AB=3，∴DE=10-3=7；
当点A′在CE上时，如图，过点C作CN⊥AD，交AD的延长线于点N，
∵AB∥CD，∴∠A=∠NDC=60°，又∵CD=AB=6，∴DN=CD=3，CN=，
∵AD∥BC，∴∠DEC=∠BCA′，∵把沿折叠到，
∴∠BA′E=∠A=60°，CD=AB=A′B，∴∠BA′C=180°-60°=120°，
∵AB∥CD，∴∠ADC=180°-60°=120°，∴∠BA′C=∠ADC，
∴，∴CE=BC=10，∴EN=，∴ED=-3，
∴的范围是：-3≤≤7．故答案是：-3≤≤7．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
例3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.
【答案】
【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6.
【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD，
∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，
∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
变式3．（2022·成都市·八年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．
【答案】
【分析】根据题意，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，此时四边形的周长为，则当点、、三点共线时，四边形的周长最小，进而计算即可得解．
【详解】如下图，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，∴，，
此时四边形的周长为，
当点、、三点共线时，四边形的周长最小，
，，，经过点，，，
，，，，
四边形周长的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了四边形周长的最小值问题，涉及到含的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相关轴对称作图方法以及线段长的求解方法是解决本题的关键．
2、 以特殊四边形为背景的压轴问题
1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
【详解】解：点为的中点，，
又，，，是等边三角形，
，，
，即，故①正确；
在平行四边形中，，，，，
在和中，，，
，四边形是平行四边形，
又，点为的中点，，
平行四边形是菱形，故③正确；
，在中，，
，故②正确；
在平行四边形中，，
又点为的中点，，故④正确；
综上所述：正确的结论有4个，故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．
2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③⑤
【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；
③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；
④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可；
⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积．
【详解】①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°， ∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD， ∵在△APD和△AEB中，
， ∴△APD≌△AEB（SAS）； 故此选项成立；
③∵△APD≌△AEB， ∴∠APD=∠AEB，
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°， ∴EB⊥ED； 故此选项成立；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°， ∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF， ∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE= = = ， ∴BF=EF= ， 故此选项不正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1， ∴EP= ， 又∵PB= ， ∴BE= ，
∵△APD≌△AEB， ∴PD=BE= ，
∴S △ABP+S △ADP=S △ABD-S △BDP= S 正方形ABCD- ×DP×BE= ×（4+ ）- × × = + ．
故此选项不正确．
⑤∵EF=BF= ，AE=1， ∴在Rt△ABF中，AB 2=（AE+EF） 2+BF 2=4+ ，
∴S 正方形ABCD=AB 2=4+ ， 故此选项正确． 故答案为①③⑤．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．
3．（2022·四川南充·中考真题）如图，正方形边长为1，点E在边上（不与A，B重合），将沿直线折叠，点A落在点处，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．给出下列四个结论：①；②；③点P是直线上动点，则的最小值为；④当时，的面积．其中正确的结论是_______________．（填写序号）
【答案】①②③
【分析】根据全等三角形判定即可判断①；过D作DM⊥CA1于M，利用等腰三角形性质及折叠性质得∠ADE+∠CDM，再等量代换即可判断②；连接AP、PC、AC，由对称性知，PA1=PA，知P、A、C共线时取最小值，最小值为AC长度，勾股定理求解即可判断③；过点A1作A1H⊥AB于H，借助特殊角的三角函数值求出BE，A1H的长度，代入三角形面积公式求解即可判断④．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，
由旋转知，∠A1BA2=90°，A1B=A2B，
∴∠ABA1=∠CBA2，∴△ABA1≌△CBA2，故①正确；
过D作DM⊥CA1于M，如图所示，
由折叠知AD=A1D=CD，∠ADE=∠A1DE，
∴DM平分∠CDA1，∴∠ADE+∠CDM=45°，
又∠BCA1+∠DCM=∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠BCA1=∠CDM，∴∠ADE+∠BCA1=45°，故②正确；
连接AP、PC、AC，由对称性知，PA1=PA，
即PA1+PC=PA+PC，当P、A、C共线时取最小值，最小值为AC的长度，即为，故③正确；
过点A1作A1H⊥AB于H，如图所示，
∵∠ADE=30°，∴AE=tan30°·AD=，DE=，∴BE=AB-AE=1-，
由折叠知∠DEA=∠DEA1=60°，AE=A1E=，
∴∠A1EH=60°，∴A1H=A1E·sin60°=，
∴△A1BE的面积=，故④错误，故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了正方形性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定、折叠性质及解直角三角形等知识点，综合性较强．
4．（2022·黑龙江大庆·中考真题）如图，正方形中，点E，F分别是边上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍，连接分别与对角线交于点M，N．给出如下几个结论：①若，则；②；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号为____________．
【答案】②
【分析】根据已知条件可得，即可判断①，进而推出，导角可得②正确，作于点，连接，证明是直角三角形，勾股定理验证③，证明，即可判断④求解．
【详解】解：∵正方形的周长是周长的2倍，∴，，
①若，则，故①不正确；如图，在的延长线上取点，使得，
四边形是正方形，，，
，，，，
，，，
，，，
，，
，，
即，故②正确；
如图，作于点，连接，则，
，，，同理可得，
，
关于对称轴，关于对称，
，，
，是直角三角形，
③若，，
，故③不正确，
，若，即，，
，，
又，，，
即，，，
，
，，故④不正确．故答案为：②．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2022·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)；(2)①四边形ABEF的面积为；②最小值为12
【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= ，即可求解；
（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN=，设BE=，则EN=，从而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，从而得到四边形ABEF的面积s= S△ABD - S△DEF ，①当CE⊥AB时，可得点E是△ABC重心，从而得到BE=CE=BO=，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由，可得当，即BE=时， s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．
【解析】(1)解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等边三角形，
∴BO=AB▪sin60°==，∴BD=2BO=；
(2)解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，
∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=；
菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=BE
∵，∴MN=，设BE=，则EN=，
∴EM=MN-EN=， ∵S菱形ABCD= AD▪MN=，
∴S△ABD= S菱形ABCD=，∵BE=DF，∴DF=，
∴S△DEF=DF ▪EM= =，记四边形ABEF的面积为s，
∴s= S△ABD - S△DEF =-（），
∵点E在BD上，且不在端点，∴0
∴BE=CE=BO=，此时 =，
∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为；
②作CH⊥AD于H，如图，
∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，
∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；
在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，∴AH=DH=3，∴CH=，
∵，∴当，即BE=时， s达到最小值，
∵BE=DF，∴DF=3，此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，
∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，
∴CE+CF的值达到最小，其最小值为CO+CH==12．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识是解题的关键．
6．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知矩形的对角线相交于点O，点E是边上一点，连接，且．(1)如图1，求证：；(2)如图2，设与相交于点F，与相交于点H，过点D作的平行线交的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（除外），使写出的每个三角形的面积都与的面积相等．
【答案】(1)见解析 (2)、、、
【分析】（1）利用SSS证明两个三角形全等即可;
（2）先证明Rt△ABE≌Rt△DCE得到AE=DE，则，根据三线合一定理证明∴OE⊥AD， 推出，得到，即可证明由，得到∠OBF=∠OCH，，证明△BOF≌△COH，即可证明，则，即可推出，最后证明，即可得到；
(1)证明：∵四边形是矩形，∴与相等且互相平分，∴，
∵，，∴（SSS）；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠BAE=∠CDE=90°，OA=OD=OB=OC，
又∵BE=CE，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）∴AE=DE，∴，
∵OA=OD，AE=DE，∴OE⊥AD， ∴，∴，
∴，∴；
∵，∴∠OBF=∠OCH，，
又∵∠BOF=∠COH，OB=OC，∴△BOF≌△COH（ASA），
∴，∴，∴，
∴，∴；
∵，∴∠AFE=∠DGE，∠EAF=∠EDG，
又∵AE=DE，∴，∴；
综上所述，、、、这4个三角形的面积与△AEF的面积相等．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，矩形的性质，平行线的性质与判定等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
7．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
(1)【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1)(2)16(3)或
【分析】（1）由正方形的性质可得，，根据ASA可证，由全等三角形的性质可得结论；
（2） 过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，证明△进而证明；
（3）分别求出，由勾股定理可得方程，求出x的值即可．
(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠
∵是对角线，∴∠，
∴∠，
∵四边形是正方形，∴∠，∴∠
又∠∴，∴∴故答案为:
(2)过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，如图，
∵点O是正方形ABCD的中心，∴
又∠A=90°∴四边形ATOM是正方形，∴
同（1）可证△∴
(3)∵四边形均为正方形，
∴∠
∵CG在CD上，∴
又CE在BC的延长线上，∴
设则在中，
在中，
延长AD，CE交于点Q，则四边形是矩形，
∴∴，
在中，
若△为直角三角形，则有，即
整理得，解得，∴或
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键
8．（2022·重庆九年级期中）菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE⊥AB交AC于点E．已知点F是AB边上一点，且BF＝BE，过点F作PF⊥AB交BD延长线于点P，交AD于点Q． (1)如图（1），若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长；(2)如图（2），求证：AQ＝BE+PQ；
(3)如图（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M．点N是CD边上的动点，请直接写出+MN的最小值．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明，利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论；（2）如图2中，连接，，过点作于点，作交于点，在上取一点，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，证明四边形是正方形，推出，再证明，可得结论；
（3）如图3中，取的中点，连接，延长到，使得，连接，过点作于点，过点作于，交于点，交于点．由，推出，由，推出的最小值，求出，即可解决问题．
(1)解：如图1中，四边形是菱形，，，
，，，，，，
，，，，
，，，，
．
(2)证明：如图2中，连接，，过点作于点，作交于点，在上取一点，使得．由（1）可知，，，
，，，，，
，四边形是矩形，
，四边形是正方形，，，
四边形是菱形，，关于对称，，，
，，，，，
，，，，，，
．
(3)如图3中，取的中点，连接，延长到，使得，连接
，，点在以为直径的圆上运动，
四边形是菱形，，是等边三角形，
，，，，，是等腰直角三角形，
过点作于点，过点作于，交于点，交于点．
，，，，
，的最小值，
是等边三角形，，，，，
是等腰直角三角形，，
，，的最小值为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短，解决最短问题，属于中考压轴题．
9．（2022·辽宁大东·八年级期末）如图，在菱形中，，是对角线上一点，是线段延长线上一点且，连接．（1）如图，若是线段的中点，连接，其他条件不变，直接写出线段与的数量关系；（2）如图，若是线段上任意一点，连接，其他条件不变，猜想线段与的数量关系是什么？并证明你的猜想；（3）如图，若是线段延长线上一点，其他条件不变，且，菱形的周长为，直接写出的长度．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）7
【分析】（1）由菱形的性质和已知条件得出是等边三角形，得出，由等边三角形的性质和已知条件得出，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出，即可得出结论．
（2）过点作交于点，先证明是等边三角形，得出，，再证明是等边三角形，得出，，然后由证得，即可得出结论．
（3）过点作交延长线于点，证明同（2），得出，证明，，则，，得出，，则，由勾股定理即可得出结果．
【详解】解：（1）；理由如下：四边形是菱形，，
，是等边三角形，，
是线段的中点，，，
，，，，．故答案为；
（2）猜想线段与的数量关系为：；
证明：过点作交于点，如图所示：
四边形为菱形，，
，，，与都是等边三角形，
，，，又，，
又，是等边三角形，，，，
又，，
在和中，，，；
（3）过点作交延长线于点，如图：
四边形为菱形，，菱形的周长为，
是等边三角形，，，，，
又，，又，是等边三角形，
，，，又，，
在和中，，，，
，，，
是等边三角形，，，
在中，，，，
，，，，
由勾股定理得：．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识；解题的关键是熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形．
10．（2022·黑龙江·校八年级期中）矩形中，连接，于．
（1）如图1，求证：（2）如图2，延长至点，使，连接交于点，求证：（3）如图3，在（2）的条件下，取的中点，连接、，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据矩形的性质，等角的余角相等，即可证明；
（2）连接，由矩形的性质以及角度的计算，可得，，，进而可得
（3）如图3，连接，交于点，过点，作于点，延长交于点，取的中点，连接，先根据中位线定理证明，设，，可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，连接，，延长交于,连接交于，证明四边形，是平行四边形，进而可得，进而求得，勾股定理求得，根据即可求得．
【详解】（1）四边形是矩形，,
即
（2）连接，如图，
四边形是矩形，，，
，
，
（3）如图3，连接，交于点，过点，作于点，延长交于点，取的中点，连接，是的中点，则，
四边形是矩形
是平行四边形，
是的中点
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形 设，
又
为的中点，为的中点，,
为等腰三角形
，为的中点
是等腰直角三角形 又是等腰直角三角形是的中点
连接，，延长交于,连接交于
垂直平分，是的中点
为的中点，为的中点
四边形是平行四边形同理可得是平行四边形
即
又
又
在中．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
11．（2022·浙江·宁波市八年级期中）数学活动课上．老师给出如下定义：如果一个矩形的其中一边是另一边的2倍，那么称这个矩形为“和谐矩形”．如图1，在矩形ABCD中，AD＝2AB，则矩形ABCD是“和谐矩形”．E是AD边上任意一点，连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．
（1）试判斯四边形BFEG的形状．并说明理由；
（2）如图2，在“和谐矩形”ABCD中，若AB＝2，且AB＜AD，E是边AD上一个动点，
把△ABE沿BE折叠．点A落在点从A′处，若A'恰在矩形的对称轴上，则AE的长为___；
（3）如图3，记四边形BFEG的面积为S1，“和谐矩形”BFEG的面职为S2，且＝ ，若AB＝a（a为常数），AB＜AD，求FG的长，（用含有a的代数式表示）．
【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）或2；（3）
【分析】（1）由矩形的性质及全等三角形的性质先证明四边形BFEG是平行四边形，再由FG⊥BE证明四边形BFEG是菱形；（2）当点A′在经过AB、CD中点的对称轴上时，可证明△ABA′是等边三角形；当点A′在经过AD、BC中点的对称轴上时，可证明点E为AD边的中点，分别求出相应的AE的长即可；
（3）由（1）可知四边形BFEG是菱形，设BF=EF=x，四边形ABCD是“和谐矩形”，且AB=a，则AD=2AB=2a，由勾股定理分别求出EF、AF、BE的长，再由面积等式列方程求出FG的长即可．
【详解】解：（1）四边形是菱形．理由：如图1，，，；
垂直平分，，，
，，四边形是平行四边形；
，四边形是菱形．
（2）如图2，设矩形的对称轴交于点，交于点，点在上，连结，，
由折叠得，垂直平分，，
垂直平分，，四边形是矩形，
由（1）得，四边形是菱形，；
，，，，
，是等边三角形，，，
，，，
，且，，；
如图3，矩形的对称轴交于点，交于点，点在上，
垂直平分，，
，四边形是正方形，，
，等于点到直线的距离，点与点重合，
，与重合，点与点重合，，
综上所述，的长为或2，故答案为：或2．
（3）如图4，由（1）得，四边形是菱形，
设，四边形是“和谐矩形”，且，
，，，
，，，，
，，由得，，．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、菱形的判定与性质、轴对称的特征、勾股定理、二次根式的化简、分类讨论数学思想的应用等知识与方法，此题综合性较强，计算较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题．
12．（2022·重庆·八年级期末）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过点O的直线l与边AB、CD分别交于点E、F，绕点O旋转直线l，猜想直线l旋转到什么位置时，四边形AECF是菱形．证明你的猜想． （2）若将（1）中四边形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4cm，BC=3cm，
①如图2，绕点O旋转直线l与边AB、CD分别交于点E、F，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D的对应点为D′，连接DD′，求△DFD′的面积．②如图3，绕点O继续旋转直线l，直线l与边BC或BC的延长线交于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为B′，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长度．请直接写出结果，不必写解答过程．
【答案】（1）四边形AECF是菱形，见解析；（2）① cm2；②BE的长为cm或cm或4cm或cm．
【分析】（1）根据题意作图，先根据平行四边形得出∠FCO=∠EAO，再证明△COF≌△AOE，结合题意即可得出结论；（2）①根据四边形ABCD是矩形，设DF=xcm，则CF=（4﹣x）cm，结合折叠和勾股定理得出CF，过D′作D′H⊥CF于H，由面积相等可得D′H=，进而得出所求面积；
②根据不同图示分情况设BE=xcm，CE=（3﹣x）cm，根据折叠并结合勾股定理得出x即为所求．
【详解】解：（1）猜想：当l⊥AC时，四边形AECF是菱形，如图1：
连接AF、CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠FCO=∠EAO，
又∵∠FOC=∠EOA，∴△COF≌△AOE，∴OE=OF，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，CD=AB=4，AD=BC=3，设DF=xcm，则CF=（4﹣x）cm，
由折叠性质可知：D′F=DF=x，CD′=AD=3，∠CD′F=∠ADC=90°，
由勾股定理得（4﹣x）2=32+x2， 解得x= ， ∴D′F=DF= ， ∴CF=4﹣= ，
如图2，过D′作D′H⊥CF于H，由面积相等可得，CF•D′H=D′F•CD′，
∴D′H=， ∴S△DFD′=××=（cm2）；
②如图①，设BE=xcm，CE=（3﹣x）cm，∵AC==5cm，∴B′C=5﹣4=1cm，
根据勾股定理可得B′C2+B′E2=CE2，即：12+x2=(3-x)2 解得：x=cm，
如图②，设BE=xcm，则CE=（3﹣x）cm，AB′=4cm，B′E=xcm，
在Rt△ADB′中，由勾股定理可得BD′===cm，B′C=（4﹣）cm，
在Rt△CB′E中，B′C2+CE2=B′E2， 即16﹣8+7+9﹣6x+x2=x2， 解得x=cm，
如图③，当四边形ABEB′是正方形时，点B和点B′关于直线AE对称，△B′EC是直角三角形，
此时CE=1cm，BE=4cm；
如图④，BE=xcm，AB′=4cm，AD=3cm，CE=（x﹣3）cm，
在Rt△ADB′中，B′D===cm，B′C=+4，
在Rt△B′CE中，7+8+16+x2﹣6x+9=x2， 解得x=cm，
综上，BE的长为cm或cm或4cm或cm．
【点睛】此题属于四边形综合性试题，涉及到平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质和勾股定理的应用，有一定难度，注意不同情况分别做图求解．
13．（2022·湖北武昌·八年级期末）如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为．（1）如图，连接交于点，若，求的长；
（2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足，
①连接，，判断，的数量关系并说明理由；
②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ．
【答案】（1）；（2）DG=BF，证明见解析；（3）
【分析】（1）如图1，过点作于点，先根据正方形性质和三角形内角和定理得出：，，设，则，运用勾股定理即可求出答案；
（2）①如图2，过点作于点，设，则，运用勾股定理即可证得结论；
②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于，先证得，再证得四边形是平行四边形，得出当、、三点共线时，最小，故当、、三点共线时，最小，即最小，再运用勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）如图1，过点作于点，
四边形是边长为2的正方形，，，，，
，，
，，即，，
又，，，，，，
设，则，由勾股定理得，
又，，，即，
，中，，
由勾股定理得：；
（2）①，理由如下：如图2，过点作于点，
，，，，，，
，设，则，，，
四边形是边长为2的正方形，点在的延长线上，，
在和中，，分别由勾股定理得：
，，，；
②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于，，为中点，，
、分别是、的中点，，，，
在和中，，，
，，，，
又，四边形是平行四边形，，，，
当、、三点共线时，最小，当、、三点共线时，最小，
即最小，此时，，，
，，，
，，的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，勾股定理，平移的运用，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是正确利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半和平移，将求的最小值转化为两点之间线段最短来解决，属于中考常考题型．
14．（2022·四川·成都实外八年级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝BO＝12，将矩形ABCD翻折，使得B与D重合，A的对应点为，折痕为EF，连接B，DF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若M，N为矩形边上的两个动点，且运动过程中，始终保持∠MON＝60°不变，请回答下列两个问题：①如图2，当点M在边BC上，点N在边CD上，ON与ED交于点G，请猜想EO、EM、EG三条线段的数量关系，并说明理由；②如图3，若M，N都在BC边上，将△ONM沿ON所在直线翻折至ONP，取线段CD的中点Q，连接PQ，则当PQ最短时，求PM的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）①OE=ME+EG，理由见详解；②
【分析】（1）由△DOF≌△BOE，推出EO＝OF，OB＝OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB＝ED即可．（2）①过O点作OH⊥BC，OK⊥DE，证明Rt△OHE=Rt△OKE，△OHM≌△OKG，可得ME+EG=HM+ME+EK+KG=2HE，在Rt△OHE中，即可得出结论
②如图3，连接CP．证明△OBM≌△OCP（SAS），推出∠PCD＝30°，如图3﹣1中，当QP⊥PC时，PQ的值最小，作MH⊥OB于H，OE⊥MP于E．在直角三角形求出EM即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠FDO＝∠EBO，
在△DOF和△BOE中，，∴△DOF≌△BOE，∴EO＝OF，
∵OB＝OD，∴四边形BFDE是平行四边形，
∵翻折，B与D重合∴EB＝ED∴四边形BFDE是菱形．
（2）①如图2，过O点作OH⊥BC，OK⊥DE．
由（1）得四边形BFDE是菱形∴△OBE≌ODE
∵OH⊥BC，OK⊥DE∴OH=OK∵OE=OE∴Rt△OHE≌Rt△OKE∴HE=KE
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BO∴△ABO为等边三角形∴∠ABO=60°∴∠OBE=30°
∴∠BED=120°∴∠HOK=60°∵∠MON＝60°∴∠HOM=∠KOG
∵OH⊥BC，OK⊥DE∴∠OHM=∠OKG=90°∴△OHM≌△OKG∴HM=KG
∴ME+EG=HM+ME+EK+KG=2HE在Rt△OHE中，∠OEH=60°∴∠OHK=30°∴OE=2HE∴OE=ME+EG
②解：如图3，连接CP．
由翻折可知：OM＝OP，∠MON＝∠NOP＝60°，∴∠MOP＝∠COB＝120°，∴∠BOM＝∠COP，
∵OB＝OC，∴△OBM≌△OCP（SAS），∴∠OCP＝∠OBM＝30°，BM＝CP，
∵∠OCD＝60°，∴∠PCD＝30°，
如图3﹣1中，点P的运动轨迹就是线段CP,当QP⊥PC时，PQ的值最小，作MH⊥OB于H，OE⊥MP于E．
在Rt△PQC中，∵∠QPC＝90°，∠PCQ＝30°，CQDCAB＝6，∴PQ=3
∴PC＝BM＝= ，
在Rt△BMH中，则有BH＝，MHBM=，
∴OH＝OB﹣BH＝ ∴OM，
∵OM＝OP，OE⊥PM，∠OME=30°∴EM＝EP＝，∴MP＝2EM．
【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
15．（2022·广东连州·九年级阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形．（1）证明平行四边形是菱形；
（2）若，连结，①求证：；②求的度数；
（3）若，，，M是的中点，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②60°；（3）
【分析】（1）平行四边形的性质可得ADBC，ABCD，再根据平行线的性质证明∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME＋∠EMD＝∠DMC＋∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC，ABCD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABDC，AB＝DC，ADBC，
∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，
∵ADBC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，
∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；
（3）如图，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME＋∠EMD＝∠DMC＋∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝，∴DM＝．
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质、正方形的性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
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