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人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练专题19.3一次函数与几何图形八大题型专项讲练(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练专题19.3一次函数与几何图形八大题型专项讲练(原卷版+解析)，共100页。试卷主要包含了一次函数与等腰三角形， 一次函数与直角三角形， 一次函数与等腰直角三角形，一次函数与全等三角形，一次函数与平行四边形，一次函数与特殊的平行四边形，一次函数与面积问题， 一次函数中的探究规律问题等内容，欢迎下载使用。
一次函数与几何的综合题，共分为八大类：一次函数与等腰三角形、一次函数与直角三角形、一次函数与等腰直角三角形、一次函数与全等三角形、一次函数与平行四边形、一次函数与特殊的平行四边形、一次函数与面积问题、一次函数的探究规律问题，本文将针对这八大类进行方法与经典题型的专题总结。
重要题型
题型1.一次函数与等腰三角形
方法：两圆一线
例：点在轴上，使为等腰三角形。
第一步：画图：
第二步：分情况求解：标等边，用公式：
①当时， ②当时，
①两点间距离公式求出 ①利用三线合一做辅助线：
② ∴ ②∴ ∴
③当时，
①求出； ②∵；∴ ∴ ∴设
③求出中点代入，求得；④求出直线与轴交点
例1．（2022成都市八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为（1，0），连接CD，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）连接OP，当点P在线段BC上运动，且满足△CPO≌△ODC时，求直线OP的表达式；（2）连接PC、PD，求△CPD的面积S关于t的函数表达式；（3）点P在运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
变式1．（2022·广西·钦州市第四中学八年级阶段练习）如图，一次函数的图象过点，且与x轴相交于点B．若点P是x轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是______．
变式2．（2022·四川南充·八年级期末）如图，直线与轴交于，与轴交于，点在经过点的直线上，当是等腰直角三角形时，点的坐标是______．
变式3．（2022•广东八年级期末）如图，直线l1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2＝x+b过点P，与x轴交于点C．（1）求点P的坐标和l2的表达式；（2）若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①当点Q在运动过程中，请直接写出△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出当t为多少时，△APQ的面积等于3；③在动点Q运动过程中，是否存在点Q使△APQ为等腰三角形？若存在，请直接写出此时Q的坐标．
题型2. 一次函数与直角三角形
方法：两线一圆
例：点在轴上，使为直角三角形。
第一步：画图：
第二步：分情况求解：
①当时， ②当时，
①设 ①设
②∵ ∴ ②∵ ∴
∴ ∴
例2．（2022·浙江·温州外国语学校八年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点，分别在轴和轴上．直线经过点，与轴交于点已知，，平分，交于点，动点从点出发沿着线段向终点运动，动点从点出发沿着线段向终点运动，，两动点同时出发，且速度相同，当点到达终点时点也停止运动，设．
(1)求和的长；(2)如图，连接，，求证：四边形为平行四边形；
(3)如图，连接，，当为直角三角形时，求所有满足条件的值．
变式1．（2022•浠水县月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0）、点B（0，b），且a、b满足a2+4a+4+|2a+b|＝0．（1）a＝ ；b＝ ．（2）点P在直线AB的右侧，且∠APB＝45°；
①若点P在x轴上，则点P的坐标为 ；②若△ABP为直角三角形，求点P的坐标．
变式2．（2022•陈仓区期中）（1）阅读理解：我们知道：平面内两条直线的位置关系是平行和相交，其中垂直是相交的特殊情况．在坐标平面内有两条直线：l1：y1＝k1x+b1（k1≠0）；l2：y2＝k2x+b2（k2≠0），有下列结论：当k1＝k2时，直线l1∥直线l2；当k1•k2＝﹣1时，直线l1⊥直线l2．（2）实践应用：①直线y＝kx+5与直线y＝﹣3x+2垂直，则k＝ ．②直线m与直线y＝﹣2x+3平行，且经过点（4，﹣2），则直线m的解析式为 ．③直线y＝﹣2x+3向右平移 个单位，其图象经过点（6，﹣4）．
（3）深入探索：如图，直线y＝x+1与x轴交于点B，且经过点A，已知A的横坐标为2，点P是x轴上的一动点，当△ABP为直角三角形时，求△ABP的面积．
题型3. 一次函数与等腰直角三角形
例：点在平面内，使为等腰直角三角形。
第一步：画出6个答案：
第二步：分情况求解：见斜等腰三角形构“K”型全等求坐标：
①当时， ②当时，
①设 法一：为的中点 法二：①设
②构造“K”型全等： ∴ ②构造“K”型全等：
③表示线段：；； ∴
； ③表示线段：
④由全等，得 ；
；
∴ ④由全等，得：
∴
例3．（2022•和平区校级期中）【模型建立】（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，则直线l2的函数表达式为 ．
（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 ．
（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标 ．
变式1．（2022•河北八年级期中）如图，直线y＝﹣x+1交y轴于A点，交x轴于C点，以A，O，C为顶点作矩形AOCB，将矩形AOCB绕O点逆时针旋转90°，得到矩形DOFE，直线AC交直线DF于G点．（1）求直线DF的解析式；（2）求证：OG平分∠CGD；（3）在第一象限内，是否存在点H，使以G，O，H为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在请求出点H的坐标；若不存在，请什么理由．
变式2．（2023·江苏·西安八年级阶段练习）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作于D，过B作于E．
(1)求证：；(2)模型应用：①已知直线：y＝﹣x﹣4与y轴交于A点，将直线绕着A点逆时针旋转45°至，如图2，求的函数解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，﹣6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
题型4.一次函数与全等三角形
1.解题步骤：①找固定相等的角或边；②以对应边/角相等要求分类讨论全等情况。
2.相等的角或边情况：
①公共边情况：平面内找一点，使以、、为顶点的三角形与全等.
、关于成轴对称，、关于成轴对称，即是、的中垂线，可用中垂线代数法求点。
②固定角相等：①两个三角形为直角三角形；②相等角为对顶角：
常见运用公式：①若两直线、垂直，则；
②点，：、中点坐标：；；
③中垂线代数法：例：如下图，若点，是的中垂线，求点的坐标。
①求出；②∵∴∴ ∴设
③求出中点代入，求得；④求出直线与轴交点
例4．（2022·重庆·八年级期中）如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．
变式1．（2022·山东威海·七年级期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若与全等，试确定点Q的横坐标．
变式2．（2022•婺城区校级期末）如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．（1）求点A、C的坐标；（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型5.一次函数与平行四边形
例5．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点；直线：与轴交，两直线交于轴上一点．
(1)求这两条直线的解析式；(2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
(3)若点在直线上，且满足与的面积相等，求点的坐标．
变式1．（2022·广东·深圳市八年级期末）已知：直线y＝x+12与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
(1)OC的长度为______；(2)点 E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，则点F的坐标为______；(3)取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，存在以 C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则点Q的坐标为______．
变式2．（2022·江苏扬州·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线PA是一次函数y＝x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y＝﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；
(2)若四边形PQOB的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
题型6.一次函数与特殊的平行四边形
例6．（2023春·江苏常州·八年级常州实验初中校考期中）如图，矩形的顶点A、C分别在y、x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图像与边、分别交于点D、E，并且满足，点P是线段上的一个动点．
(1)求一次函数的表达式；(2)连结，若把四边形面积分成两部分，求点P的坐标；
(3)设点Q是x轴上方平面内的一点，以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标．
变式1．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市侨谊实验中学校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点B、C都在x轴上，，，所在直线的函数表达式为，E是的中点，点P是边上一个动点．(1)当______时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形．
(2)点P在边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
变式2．（2022秋·四川成都·九年级石室中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，，直线交直线于点．(1)求直线的解析式及点的坐标；(2)如图，为直线上一动点且在第一象限内，、为轴上动点，在右侧且，当时，求最小值；(3)如图，将沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，当过点时，在平面内是否存在点，在第一象限内是否存在点，使得以、、、四个点为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
变式3．（2022春·重庆南岸·八年级校考阶段练习）如图，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．(1)求直线的解析式；(2)如图，若点在直线上，过点作轴交于点，交轴于点，使，求此时点的坐标；(3)如图，点是直线上一动点，点是直线上一动点，点是坐标平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形为正方形，且是正方形的边，若存在，请直接写出点的坐标．
变式4．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）
(1)求直线的解析式；(2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标；(3)如图2，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标
变式5．（2022春·重庆·八年级重庆市巴川中学校校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作等腰直角三角形ABC，．
(1)求直线BC的函数解析式；(2)点P为线段AB上一动点，过点P作轴交BC于点Q．当时，求四边形APQC的面积及此时点P的坐标；(3)如图2，将一次函数的图象向左平移2个单位长度得到直线l，点M和点N均在直线BC上运动，点G为直线l上一动点，若以点A、N、G、M为顶点的四边形为矩形，直接写出MN的长度．
题型7.一次函数与面积问题
1.求点的坐标：一般会求两种坐标：①直线与轴、轴的交点坐标；②两直线的交点坐标。
2.表示面积：①规则图形：用公式法（三角形面积不能漏×）；
②不规则图形：分割法，如下图：四边形用分割，；
，如下图：.
注：求三角形面积时往往选择平行于坐标轴的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高。
例7．（2022·湖南武陵·八年级期末）如图，已知直线AB过点A（5，0）、B（0，﹣5），交直线OC于点C，且直线OC的解析式为y．（1）求直线AB的解析式；（2）求△AOC的面积；（3）若点P在直线OC上，且△BCP的面积是△AOC面积的2倍，求点P的坐标．
变式1．（2022·成都市树德实验中学八年级期末）如图1，在平面直角坐标中，直线：与抽交于点，直线：与轴交于点，与相交于点．
（1）请直接写出点，点，点的坐标：_________，________，_______．
（2）如图2，动直线分别与直线、交于、两点．
①若，求的值；②若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
变式2．（2022·四川泸县·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与直线CD相交于点E，且．
（1）求一次函数的解析式；（2）求四边形OBEC的面积四边形OBEC；（3）在坐标轴上是否存在点P，使得？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型8. 一次函数中的探究规律问题
例8．（2022·河北保定师范附属学校八年级期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作 轴的垂线，交直线于点按此规律作下去， 则点的坐标为_______；点的坐标为_______ ．
变式1．（2022·成都七中八年级期中）如图，在平面直角坐标系，直线与轴交于点，以为一边在上方作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为一边在上方作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为一边在上方作等边，……，则的横坐标为__________．
变式2．（2022·成都市·树德中学八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1，A2，A3，…An在直线l上，点C1，C2，C3，…∁n在y轴正半轴上，则正方形AnBn∁nCn﹣1的面积是_____．
课后专项训练：
1．（2022•辽宁八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠BAC＝90°，点A为（，0）、点B为（0，1），坐标系内有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为 ．
2．（2022重庆八年级期末）在直角坐标系中，已知A（6，0）、F（3，0），C（0，2），在△AOC的边上取两点P、Q（点Q是不同于点F的点），若以O、P、Q为顶点的三角形与△OFP全等，则符合条件的点P的坐标为 ．
3．（2022•柳南区校级期末）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P
在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）求k、b的值；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2022•成都市八年级期中）如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B与原点重合，点D的坐标为（4，4），当三角板直角顶点P坐标为（3，3）时，设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F．在三角板绕点P旋转的过程中，使得△POE成为等腰三角形，请写出满足条件的点F的坐标 ．
5．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点，函数的图象与直线交于点M，与y轴交于点C．
(1)求直线的函数解析式；(2)当点M在线段上时，求m的取值范围；
(3)当为直角三角形时，求m的值．
6．（2022·上海·八年级阶段练习）如图，△ABC的两顶点分别为B（0，0），C（4，0），顶点A在直线l：y＝﹣x+3上．(1)当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，求点A的坐标；(2)当△ABC的面积为4时，求点A的坐标；(3)在直线l上是否存在点A，使∠BAC＝90°？若存在，求出点A的坐标；若不存在请说明理由．
7．（2022•山东八年级月考）如图，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点B．（1）求点A、B的坐标（用含b的代数式表示）；（2）若点P是直线AB上的任意一点，且点P与点O距离的最小值为4，求该直线的表达式；（3）在（2）的基础上，若点C在第一象限，且△ABC为等腰直角三角形，求点C的坐标．
8．（2022·贵州黔西·八年级期末）如图，直线：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线：交于点C，且OA＝8．(1)求直线的解析式：(2)若与y轴交于点D，求△BCD的面积，(3)在线段上BC是否存在一点E，过点E作轴与直线CD交于点F，使得四边形OBEF是平行四边形？若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
9．（2022·重庆八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与直线：交于点B，直线交x轴于点A，交y轴于点C，直线交x轴于点E，交y轴于点D，．
(1)求直线的解析式；(2)如图1，点D与点P关于x轴的对称，M、N为直线上两动点，且，求的最小值；(3)如图2，点D与点P关于x轴的对称，点H为直线上一动点，在直线上是否存在一点F，使以E、F、H、P四点构成的四边形是以PE为边的平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是梯形，，是的中点，，点坐标是，所在直线的函数关系式为，点是边上一个动点．(1)当_________________时，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形．(2)在（1）的条件下，点P在边上运动过程中，以点、、、为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
11．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，直线y=kx+15(k≠0)经过点C(3，6)，交x轴于点A，交y轴于点B．线段CD平行于x轴，交直线于点D，连接OC、AD．
(1)求k的值及点A的坐标．(2)求证：四边形OADC是平行四边形．
(3)动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时动点Q从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动．设P、Q两点的运动时间为t秒．
①用含t的代数式表示线段PQ的长．②当四边形CPAQ为矩形时，直接写出t的值．
12．（2022春·广西河池·八年级统考期末）如图矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，，，且，满足，一次函数的图象与边，分别交于，两点．
(1)求点的坐标；(2)直线与一次函数交于点，求点的坐标；
(3)点在线段上运动，过点作，垂足分别为点，．是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2022·四川成都市·八年级期末）如图，直线 与 轴正方向夹角为，点在轴上，点在直线 上，均为等边三角形，则的横坐标为__________．
14．（2022·广西九年级模拟）在平面直角坐标系中，点在射线上，点在射线上，以为直角边作，以为直角边作第二个，然后以为直角边作第三个，…，依次规律，得到，则点的纵坐标为____．
15．（2022·辽宁抚顺市·九年级三模）如图，点A1（2，1）在直线y=kx上，过点A1作A1B1∥y轴交x轴于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=kx和x轴于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则带点Cn的坐标为_______________．（结果用含正整数n的代数式表示）
16．（2022·陕西临潼·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（5，0），B（0，5），动点P的坐标为（a，a﹣1）．（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标．
17．（2022·深圳市高级中学八年级期末）如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点．（1）直线AB的解析式为 ；（2）若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标；（3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长．
专题19.3 一次函数与几何图形八大题型 专项讲练
专题前言
一次函数与几何的综合题，共分为八大类：一次函数与等腰三角形、一次函数与直角三角形、一次函数与等腰直角三角形、一次函数与全等三角形、一次函数与平行四边形、一次函数与特殊的平行四边形、一次函数与面积问题、一次函数的探究规律问题，本文将针对这八大类进行方法与经典题型的专题总结。
重要题型
题型1.一次函数与等腰三角形
方法：两圆一线
例：点在轴上，使为等腰三角形。
第一步：画图：
第二步：分情况求解：标等边，用公式：
①当时， ②当时，
①两点间距离公式求出 ①利用三线合一做辅助线：
② ∴ ②∴ ∴
③当时，
①求出； ②∵；∴ ∴ ∴设
③求出中点代入，求得；④求出直线与轴交点
例1．（2022成都市八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为（1，0），连接CD，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）连接OP，当点P在线段BC上运动，且满足△CPO≌△ODC时，求直线OP的表达式；（2）连接PC、PD，求△CPD的面积S关于t的函数表达式；（3）点P在运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
解：（1）∵四边形ABCO是正方形，∴∠COD＝∠OCP，∵OC＝CO，
∴当CP＝OD＝1时，△CPO≌△ODC，∴P（1，3），
设直线OP的解析式为y＝kx，则有3＝k，∴直线OP的解析式为y＝3x．
（2）当点P在线段BC上时，如图1中，S＝•CP•CO＝t（0＜t≤3），
当点P在线段AB上时，如图2中，BP＝t﹣3，AP＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，
S＝3×3﹣×1×3﹣×3×（t﹣3）﹣×2×（6﹣t）＝﹣t+6（3＜t≤6），
综上所述，S＝．
（3）如图3中，
①当DC＝DP1时，P1（2，3），②当DC＝DP2时，AP2＝＝，∴P2（3，）．
③当CD＝CP3＝时，BP3＝＝1，∴P3（3，2）．
④当P4C＝P4D时，设AP4＝a，则有22+a2＝32+（3﹣a）2，解得a＝，∴P4（3，），
综上所述，满足条件的点P坐标为（2，3）或（3，）或（3，2）或（3，）．
变式1．（2022·广西·钦州市第四中学八年级阶段练习）如图，一次函数的图象过点，且与x轴相交于点B．若点P是x轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是______．
【答案】，，，
【分析】先把点A（1，2）代入一次函数y=x+b求出b的值，故可得出B点坐标，再分AB=AP，AB=BP及AP=BP三种情况进行分类讨论．
【详解】解：如图，
∵一次函数y=x+b的图象过点A（1，2），
∴2=1+b,解得b=1，∴一次函数的解析式为：y=x+1，∴B（-1，0）．
当AB=AP时，∵B（-1，0），∴；
当AB=BP时，∵，
∴；当AP=BP时，则，
设P（t，0），则，解得：t=1，∴．
综上所述，P点坐标为：，，，．
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
变式2．（2022·四川南充·八年级期末）如图，直线与轴交于，与轴交于，点在经过点的直线上，当是等腰直角三角形时，点的坐标是______．
【答案】（6，4）或（3，3）##（3，3）或（6，4）
【分析】先求出点A和点B的坐标，用待定系数法求出b，根据△PAB是等腰直角三角形且∠PBA≠90°，所以分∠BAP'=90°、∠BPA=90°两种情况分别求点P的坐标，即可求解．
【详解】对于，令x=0，则y=2，
令y=0，则，解得：x=4，
∴点A（4，0），B（0，2），
∴OB=2，OA=4，
把点B（0，2）代入，得：b=2，
∴直线PB的解析式为，
根据题意得：∠PBA≠90°，
①当∠BA P′=90°且AB=AP′，过A作AP′⊥AB，垂足为A，过P′作P′H′⊥轴，
∴∠AOB=∠P′H′A=90°，∠OAB+∠P′A H′=90°，
∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠OBA=∠P′A H′，
又AB=AP′，∴△AOB≌△P′AH′（AAS），
∴AH′=0B=2，P′H′=0A=4，
∴OH′=OA+AH′=6，∴P′（6，4），
把x=6代入，得y=4，
∴点P′在直线，符合题意．
②当∠BPA=90°且BP=AP，过A作AP⊥BP于点P，过P作PH⊥y轴，过P作PQ⊥x轴，
∴∠PHO=∠PQO=∠HOQ=90°，
∴四边形OHPQ为矩形，
∴PH=0Q，PQ=OH，∠HPB+∠BPQ=90°，
∵∠APQ+∠BPQ=90°，
∴∠HPB=∠APQ，
又∵BP=AP，
∴△HBP≌△QAP（AAS），
∴HP=PQ，HB=QA，
∴四边形OHPQ为正方形，
∵OH+OQ=（OB+HB）+OQ=OB+AQ+OQ=OB+（AQ+OQ）=OB+OA=4+2=6，
∴PH=PQ=3，
∴P（3，3），
把x=3代入得：y=3，
∴点P在直线，符合题意．
综上所述，点P的坐标为（6，4）或（3，3）．
故答案为：（6，4）或（3，3）
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数及图像上的点的坐标，其中根据等腰直角三角形的直角分为两种可能，再通过添加辅助线构造全等三角形，是求得点P坐标的关键．
变式3．（2022•广东八年级期末）如图，直线l1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2＝x+b过点P，与x轴交于点C．（1）求点P的坐标和l2的表达式；（2）若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①当点Q在运动过程中，请直接写出△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出当t为多少时，△APQ的面积等于3；③在动点Q运动过程中，是否存在点Q使△APQ为等腰三角形？若存在，请直接写出此时Q的坐标．
解：（1）∵点P（m，3）为直线l1上一点，∴3＝﹣m+2，解得m＝﹣1，∴点P的坐标为（﹣1，3），
把点P的坐标代入y2＝x+b得，3＝×（﹣1）+b，解得b＝，∴l2的表达式为y＝x+；
（2）①由题意可知CQ＝t，P到x轴的距离为3，
令y2＝0可得0＝x+，解得x＝﹣7，∴点C坐标为（﹣7，0），
在y1＝﹣x+2中，令y1＝0可得﹣x+2＝0，解得x＝2，
∴A点坐标为（2，0）；∴AC＝2﹣（﹣7）＝9，
当Q在A、C之间时，则AQ＝AC﹣CQ＝9﹣t，∴S＝×3×（9﹣t）＝﹣t+；
当Q在A的右边时，则AQ＝CQ﹣AC＝t﹣9，∴S＝×3×（t﹣9）＝t﹣；
②令S＝3可得﹣t+＝3或3＝t﹣，解得t＝7或t＝11，
即当t的值为7秒或11秒时△APQ的面积等于3；
③设Q（x，0）（x≥﹣7），∵A（2，0），P（﹣1，3），
∴PQ2＝（x+1）2+32＝x2+2x+10，AQ2＝（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，AP2＝（2+1）2+32＝18，
∵△APQ为等腰三角形，∴有PQ＝AQ、PQ＝AP和AQ＝AP三种情况，
当PQ＝AQ时，则PQ2＝AQ2，即x2+2x+10＝x2﹣4x+4，解得x＝﹣1，则Q点坐标为（﹣1，0），
∴CQ＝﹣1﹣（﹣7）＝6，即t＝6；
当PQ＝AP时，则PQ2＝AP2，即x2+2x+10＝18，解得x＝﹣4或x＝2，
则Q点坐标为（﹣4，0）或（2，0）（与A点重合，舍去），∴CQ＝﹣4﹣（﹣7）＝3，即t＝3；
当AQ＝AP时，则AQ2＝AP2，即x2﹣4x+4＝18，
解得x＝2±3，则Q点坐标为（2+3，0）或（2﹣3，0），
综上所述：点Q坐标为（﹣1，0）或（﹣4，0）或（2+3，0）或（2﹣3，0）．
题型2. 一次函数与直角三角形
方法：两线一圆
例：点在轴上，使为直角三角形。
第一步：画图：
第二步：分情况求解：
①当时， ②当时，
①设 ①设
②∵ ∴ ②∵ ∴
∴ ∴
例2．（2022·浙江·温州外国语学校八年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点，分别在轴和轴上．直线经过点，与轴交于点已知，，平分，交于点，动点从点出发沿着线段向终点运动，动点从点出发沿着线段向终点运动，，两动点同时出发，且速度相同，当点到达终点时点也停止运动，设．
(1)求和的长；
(2)如图，连接，，求证：四边形为平行四边形；
(3)如图，连接，，当为直角三角形时，求所有满足条件的值．
【答案】(1)16，20(2)见解析(3)或或或
【分析】（1）求得A，F两点坐标，进而求得AF长，取AF的中点M，连接OM，作CGAD交AF的延长线于G，作GH⊥OC于H，求得A，F坐标，从而求得AF，推出△AOQ是等边三角形，从而得出∠OAF=60°，从而得出∠CFG=30°，进而得出AGCE，进一步得出四边形AECG是平行四边形，从而CE=AG，进一步求得结果；（2）在（1）的基础上，证明出结论；
（3）分为三种情形，当∠QFP=90°，解直角三角形CPQ求得CP，进而求得AQ；当∠PQF=90°时，在∠QFP=90°的图形上，根据P′P1=FQ′求得结果；当∠QPF=90°时，分别表示出PQ2和PF2，根据PQ2+PF2=FQ2列出方程，进而求得结果．
（1）如图，
取的中点，连接，作CGAD交的延长线于，作于，
当时，，，
当时，，，，
，，
，是的中点，，
，，，
在四边形中，，，
平分，，
，，
，
，，AG//CE
，四边形是平行四边形，，
设，则，，
，舍去，，
；
（2）证明：由（1）知：AF//CE，
，四边形为平行四边形；
（3）解：如图，
当时，图中，
，，，，
当时，图中，
由得，，，，
如图，当时，作于作于，设，
，，，
在中，，
在中，，
由得，，
，，或，
综上所述：或或或．
【点睛】本题考查了直角三角形性质，平行四边形判定，直角三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，根据条件列出方程．
变式1．（2022•浠水县月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0）、点B（0，b），且a、b满足a2+4a+4+|2a+b|＝0．（1）a＝ ；b＝ ．（2）点P在直线AB的右侧，且∠APB＝45°；
①若点P在x轴上，则点P的坐标为 ；②若△ABP为直角三角形，求点P的坐标．
解：（1）a2+4a+4+|2a+b|＝（a+2）2+|2a+b|＝0，即：a＝﹣2，b＝4，故答案为：﹣2，4；
（2）①由（1）知，b＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4．
∵点P在直线AB的右侧，P在x轴上，∠APB＝45°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0）．故答案为：（4，0）；
②由（1）知 a＝﹣2，b＝4，∴A（2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，
当∠BAP＝90°时，过点P作PH⊥x轴于H，
∴∠HAP+∠BAH＝90°，∠ABO+∠BAH＝90°，∴∠OBA＝∠HAP，∠AOB＝∠AHP＝90°，
又∠APB＝45°，∴AP＝AB，∴△OBA≌△AHP（AAS），
∴PH＝AO＝2，AH＝OB＝4，OH＝AH﹣AO＝2，故点P的坐标为（2，﹣2）；
当∠ABP＝90°时，同理可得：点P的坐标为（4，2），故点P的坐标为（2，﹣2）或（4，2）．
变式2．（2022•陈仓区期中）（1）阅读理解：我们知道：平面内两条直线的位置关系是平行和相交，其中垂直是相交的特殊情况．在坐标平面内有两条直线：l1：y1＝k1x+b1（k1≠0）；l2：y2＝k2x+b2（k2≠0），有下列结论：当k1＝k2时，直线l1∥直线l2；当k1•k2＝﹣1时，直线l1⊥直线l2．（2）实践应用：①直线y＝kx+5与直线y＝﹣3x+2垂直，则k＝ ．②直线m与直线y＝﹣2x+3平行，且经过点（4，﹣2），则直线m的解析式为 ．③直线y＝﹣2x+3向右平移 个单位，其图象经过点（6，﹣4）．
（3）深入探索：如图，直线y＝x+1与x轴交于点B，且经过点A，已知A的横坐标为2，点P是x轴上的一动点，当△ABP为直角三角形时，求△ABP的面积．
解：（2）①∵直线y＝kx+5与直线y＝﹣3x+2垂直，∴k1•k2＝﹣1，∴k＝，故答案为：；
②∵直线m与直线y＝﹣2x+3平行，
∴设直线m的函数解析式为y＝﹣2x+b，将（4，﹣2）代入得b＝6，
∴直线m的解析式为：y＝﹣2x+6，故答案为：y＝﹣2x+6；
③设直线y＝﹣2x+3平移后经过（6，﹣4）的函数解析式为y＝﹣2x+a，
∴﹣2×6+a＝﹣4，∴a＝8，∴y＝﹣2x+8，
∴y＝﹣2x+3与x轴交点为（0，），y＝﹣2x+8与x轴交点为（0，4），
∴向右平移了4﹣＝个单位，故答案为：；
（3）由题意知：A（2，3），B（﹣1，0），当△ABP为直角三角形时，存在两种情形，
当AP⊥x轴时，P（2，0），∴S△ABP＝＝，当AP⊥AB时，设AP的解析式为y＝﹣x+c，
将A（2，3）代入得﹣2+c＝3，∴c＝5，∴直线AP的解析式为y＝﹣x+5，
∴点P（5，0），∴BP＝6，∴S△ABP＝＝9，综上：△ABP的面积为9或．
题型3. 一次函数与等腰直角三角形
例：点在平面内，使为等腰直角三角形。
第一步：画出6个答案：
第二步：分情况求解：见斜等腰三角形构“K”型全等求坐标：
①当时， ②当时，
①设 法一：为的中点 法二：①设
②构造“K”型全等： ∴ ②构造“K”型全等：
③表示线段：；； ∴
； ③表示线段：
④由全等，得 ；
；
∴ ④由全等，得：
∴
例3．（2022•和平区校级期中）【模型建立】（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，则直线l2的函数表达式为 ．
（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 ．
（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标 ．
证明：（1）∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，
在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）过点B作BF⊥l1，交l2于F，过F作FH⊥y轴于H，则△ABF是等腰直角三角形，
由（1）同理可证△OAB≌△HBF（AAS），∴OA＝BH，OB＝FH，
∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，3），∴OA＝2，OB＝3，∴OH＝5，FH＝3，∴F（﹣3，5），
设l2的函数解析式为y＝kx+b，将点A，F的坐标代入得k＝﹣5，b＝﹣10，\
∴直线l2的函数解析式为y＝﹣5x﹣10，故答案为：y＝﹣5x﹣10；
（3）由（1）得△BOC≌△CDA，∴OC＝AD＝1，CD＝OB＝2，∴A（3，1），
∵S△AOB＝＝3，∴S△OAM＝1，∴OM＝2，∴M（2，0），
如图，当M在x轴负半轴时，∵，∴S，
∴OM＝1，∴M（﹣1，0），故答案为：（2，0）或（﹣1，0）；
（4）①若点P为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，
∵∠CPD＝90°，CP＝PD，∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°，∴∠CPM+∠PDH＝90°，
又∵∠CPM+∠DPM＝90°，∴∠PCM＝∠PDH，
在△MCP与△HPD中，，∴△△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM＝PH，PM＝PD，∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m，
解得：m＝﹣，即点D的坐标为（）；
②若点C为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，CA＝CD，同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM＝CH，MC＝HD，∴点D的坐标为（4+n，﹣7），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2（4+n）+1＝﹣7，解得：n＝0，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（4，﹣7）；
③若点D为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，k），则PB的长为（4+k），CD＝PD，
同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），∴MD＝PQ，MC＝DQ，∴D（），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2×＝﹣，解得：k＝﹣，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（），
综上所述，点D的坐标为（）或（4，﹣7）或（），
故答案为：（）或（4，﹣7）或（）．
变式1．（2022•河北八年级期中）如图，直线y＝﹣x+1交y轴于A点，交x轴于C点，以A，O，C为顶点作矩形AOCB，将矩
形AOCB绕O点逆时针旋转90°，得到矩形DOFE，直线AC交直线DF于G点．（1）求直线DF的解析式；（2）求证：OG平分∠CGD；（3）在第一象限内，是否存在点H，使以G，O，H为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在请求出点H的坐标；若不存在，请什么理由．
解：（1）∵直线y＝﹣x+1交y轴于A点，交x轴于C点，
∴A点的坐标是（0，1），C点的坐标是（2，0），
∵将矩形AOCB绕O点逆时针旋转90°，得到矩形DOFE，
∴F点的坐标是（0，2），D点的坐标是（﹣1，0），
设直线DF的解析式是y＝kx+2，∴﹣k+2＝0，解得k＝2，∴直线DF的解析式是：y＝2x+2．
（2）如图1，作OM⊥DF，交DF于点M，作ON⊥CG，交CG于点N，
，
在Rt△OAC和Rt△ODF中，（HL）∴Rt△OAC≌Rt△ODF，
又∵OM⊥DF，ON⊥CG，∴OM＝ON，
在Rt△OMG和Rt△ONG中，（HL）∴Rt△OMG≌Rt△ONG，
∴∠MGO＝∠NGO，∴OG平分∠CGD．
（3）存在点H，使以G，O，H为顶点的三角形为等腰直角三角形．
联立解得∴点G的坐标是（﹣，），
∴OG＝，∴OG所在的直线的斜率是：，
①如图2，
，，，
当∠OGH＝90°时，设点H的坐标是（a，b），
则解得∴点H的坐标是（0.8，1.6）．
②如图3，当∠GOH＝90°时，设点H的坐标是（c，d），
则解得∴点H的坐标是（1.2，0.4）．
③如图4，当∠GHO＝90°时，设点H的坐标是（e，f），
则解得∴点H的坐标是（0.4，0.8）．
综上，可得 存在点H，使以G，O，H为顶点的三角形为等腰直角三角形，
点H的坐标是（0.8，1.6）、（1.2，0.4）或（0.4，0.8）．
变式2．（2023·江苏·西安八年级阶段练习）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作于D，过B作于E．
(1)求证：；(2)模型应用：①已知直线：y＝﹣x﹣4与y轴交于A点，将直线绕着A点逆时针旋转45°至，如图2，求的函数解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，﹣6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
【答案】(1)见解析(2)①y＝﹣x﹣4；②（4，﹣2）或（，﹣）或（，﹣）
【分析】（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB＝CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；
（2）①过点B作BC⊥AB于点B，交于点C，过C作CD⊥x轴于D，根据∠BAC＝45°可知△ABC为等腰直角三角形，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系数法求出直线的函数解析式即可；②分三种情况考虑：如图3所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，设D点坐标为（x，2x+6），利用三角形全等得到，得D点坐标；如图4所示，当∠APD＝90°时，AP＝PD，设点P的坐标为（8，m），表示出D点坐标为（14m，m8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图5所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理求出D的坐标．
（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∴CB＝CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠EBC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC， 在△ACD与△CBE中，
，∴△ACD≌△EBC（AAS）；
（2）解：①过点B作BC⊥AB于点B，交于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图2，
∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，
∵直线：y＝x4，∴A（0，4），B（3，0），
∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，∴OD＝4+3＝7，∴C（7，3）
设的解析式为y＝kx+b（k≠0），∴∴，∴的解析式：；
②如图3，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，
∵，∴，∴
∵点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，∴设D点坐标为（x，2x6），
∵B的坐标为（8，﹣6），∴
∴，即解得，∴D点坐标（4，2）；
如图4，当∠APD＝90°时，AP＝PD，同理可得，
过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设点P的坐标为（8，m），则D点坐标为（14m，m8），
由m8＝2（14m）+6，得m＝，∴D点坐标（，）；
如图5，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理可求得D点坐标（，），
综上可知满足条件的点D的坐标分别为（4，2）或（，）或（，），
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．
题型4.一次函数与全等三角形
1.解题步骤：①找固定相等的角或边；②以对应边/角相等要求分类讨论全等情况。
2.相等的角或边情况：
①公共边情况：平面内找一点，使以、、为顶点的三角形与全等.
、关于成轴对称，、关于成轴对称，即是、的中垂线，可用中垂线代数法求点。
②固定角相等：①两个三角形为直角三角形；②相等角为对顶角：
常见运用公式：①若两直线、垂直，则；
②点，：、中点坐标：；；
③中垂线代数法：例：如下图，若点，是的中垂线，求点的坐标。
①求出；②∵∴∴ ∴设
③求出中点代入，求得；④求出直线与轴交点
例4．（2022·重庆·八年级期中）如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．
解：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．
∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，
∴四边形ABCO为矩形，∴AO＝BC＝4．
∵△APB为等腰直角三角形，∴AP＝BP，∠PAB＝∠PBA＝45°，
∴∠OAP＝90°﹣∠PAB＝45°，∴△AOP为等腰直角三角形，
∴OA＝OP＝4．∴t＝4÷1＝4（秒），故t的值为4．
（2）如图2，∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45°，
∵点A关于x轴的对称点为A′，∴PA＝PA'，
又AP＝PB，∴PA＝PA'＝PB，∴∠PAA'＝∠PBA'＝∠PA'B，
又∵∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠PAA'+∠PA'A+∠PA'B+∠PBA'＝90°，
∴∠AA'B＝45°，即∠OA'B＝45°；
（3）当t＝3时，M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，
①如图3，若△ABP≌△MBP，则AP＝PM，过点M作MD⊥OP于点D，
∵∠AOP＝∠PDM，∠APO＝∠DPM，∴△AOP≌△MDP（AAS），
∴OA＝DM＝4，OP＝PD＝3，∴M（6，﹣4）．
②如图4，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（4，7），
③如图5，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（10，﹣1）．
综合以上可得点M的坐标为（4，7），（6，﹣4），（10，﹣1）
变式1．（2022·山东威海·七年级期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若与全等，试确定点Q的横坐标．
【答案】7或8
【分析】根据与全等分两种情况分类讨论即可解答．
【详解】解：在直线中，
当x=0时，y=0+4=4，即，
当y=0时，0=，∴ ，即；
∵与全等，∴分两种情况：
当时，，如图所示，则，
∴点Q的横坐标为：，
当时，，如图所示，则，
∵ ，∴点Q的横坐标为：；
综上所述：点Q的横坐标为7或8．
【点睛】本题主要考查三角形全等的应用，一次函数的应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
变式2．（2022•婺城区校级期末）如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．（1）求点A、C的坐标；（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）A（2，0）；C（0，4）（2分）
（2）由折叠知：CD＝AD．设AD＝x，则CD＝x，BD＝4﹣x，
根据题意得：（4﹣x）2+22＝x2解得：此时，AD＝，（2分）
设直线CD为y＝kx+4，把代入得（1分）解得：
∴直线CD解析式为（1分）
（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图，由△APC≌△CBA得∠ACP＝∠CAB，
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，AD＝，PD＝BD＝＝，AP＝BC＝2
由AD×PQ＝DP×AP得：∴
∴，把代入得 此时
（也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）
③当点P在第二象限时，如图 同理可求得：∴此时
综合得，满足条件的点P有三个，
分别为：P1（0，0）；；．
题型5.一次函数与平行四边形
例5．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点；直线：与轴交，两直线交于轴上一点．
(1)求这两条直线的解析式；(2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
(3)若点在直线上，且满足与的面积相等，求点的坐标．
【答案】(1)：，：(2)或或(3)或
【分析】把代入可得直线：，把，代入可得直线：；设，又，，，分三种情况：若，为对角线，则，的中点重合，，解得；若，为对角线，，解得；若，为对角线，，解得；
设直线交于，设，可得，，根据与的面积相等，有，即可解得点的坐标为或
（1）解：把代入得：，解得，直线：，
在中，令得，，
把，代入得：，解得，直线：．
（2）设，∵，，，
若，为对角线，则，的中点重合，
，解得，；
若，为对角线，同理可得：
，解得，；
若，为对角线，可得：
，解得，，
综上所述，的坐标是或或．
（3）解：设直线交于，如图：
设，，
在中，令得，，，
，
与的面积相等，，
当时，，解得舍去，
当时，，解得，，
当时，，解得，，
综上所述，点的坐标为或 ．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．
变式1．（2022·广东·深圳市八年级期末）已知：直线y＝x+12与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
(1)OC的长度为______；(2)点 E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，则点F的坐标为______；(3)取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，存在以 C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则点Q的坐标为______．
【答案】(1)6(2)（-4，4）或（-12，-12）(3)（-2，）或′（2，）或（-14，）
【分析】（1）首先由直线y=x+12，得出点A，B的坐标，设OC=CD=m，则AC=16-m，在Rt△ACD中，利用勾股定理列方程可得答案；（2）首先求出直线BC的解析式为y=2x+12，设E（a，2a+12），F（b，2b+12），过A点作y轴的平行线交过点F与x轴的平行线交于点M，交过点E与x轴的平行线于点N，利用AAS证明△NAE≌△MFA，得NE=MA，AN=MF，则-2a-12=b+16，2b+12=16+a，从而解决问题；（3）按以CM为边或以CM为对角线进行分类讨论，求出平行四边形的某条边所在直线的解析式，再利用两条直线的解析式组成方程组，求出直线的交点坐标，即可求得点Q的坐标．
（1）解：对于直线y＝，令x＝0，则y＝12，
令y＝0，则x＝﹣16，∴B（0，12），A（﹣16，0），∴OB＝12，OA＝16，由勾股定理得，AB＝20，
∵将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
∴OC＝CD，OB＝BD＝12，∠ADC＝∠BOC＝90°，∴AD＝8，
设OC＝CD＝m，则AC＝16﹣m，在Rt△ACD中，由勾股定理得，m2+82＝（16﹣m）2，
解得m＝6，∴OC＝6，故答案为：6；
（2）解：由B（0，12），C（﹣6，0）得，直线BC的解析式为y＝2x+12，
设E（a，2a+12），F（b，2b+12），
过A点作y轴的平行线交过点F与x轴的平行线交于点M，交过点E与x轴的平行线于点N，
∵△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝90°，∴∠NAE+∠MAF＝90°，
∵∠NAE+∠AEN＝90°，∴∠MAF＝∠AEN，
∵∠M＝∠N＝90°，∴△NAE≌△MFA（AAS），∴NE＝MA，AN＝MF，
∴-2a-12=b+16，2b+12=16+a，∴a=-12，b=-4，∴F（-4，4），E（-12，-12），
当点E、F交换时，F（-12，-12），
综上：F（-4，4）或（-12，-12），故答案为：F（-4，4）或（-12，-12）；
（3）解：如图3，四边形PQMC是平行四边形，则CP∥QM，PQ∥CM，
设直线PC的解析式为y=x+a，则×（-6）+a=0，解得，a=，
∴y=x+，∴P（0，）；∵M是AB的中点，∴M（-8，6），
∴点L的坐标为（，），即（-7，3）
设直线CM的解析式为y=kx+b，则
，解得，，∴y=-3x-18，
∴直线PQ的解析式为y=-3x+，
由得，，∴Q（-2，）；
如图3，四边形P′Q′CM是平行四边形，则P′Q′∥CM∥PQ，P′Q′=CM=PQ，
∴∠BP′Q′=∠BPQ，∠BQ′P′=∠BQP，∴△BP′Q′≌△BPQ（ASA），∴BQ′=BQ，
∴点Q′与点Q关于点B（0，12）对称，∴Q′（2，）；
如图3，L为CM的中点，PL的延长线交AB于点Q1，连接CQ1，
∵∠LQ1M=∠LPC，∠LMQ1=∠MCP，ML=CL，∴△LMQ1≌△LCP（AAS），∴Q1M=CP，
∵Q1M∥CP，∴四边形PMQ1C是平行四边形，∴点Q1与点P关于点L对称，
∵L（-7，3），P（0，），∴Q1（-14，），故答案为：（-2，）或（2，）或（-14，）．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，折叠性质、坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键熟练掌握相关知识的联系与运用，同时注意分类讨论思想的运用．
变式2．（2022·江苏扬州·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线PA是一次函数y＝x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y＝﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；
(2)若四边形PQOB的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A（﹣m，0），点，点，45°
(2)PA的函数表达式为y＝x+4， PB的函数表达式为y＝－3x+6
(3)存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或
【分析】（1）已知直线解析式，令y=0，求出x的值，可求出点A，B的坐标．联立方程组求出点P的坐标．推出AO=QO，可得出∠PAB=45°．
（2）先根据得到m、n的关系，然后求出S△AOQ，S△PAB并都用字母m表示，根据S四边形PQOB=S△PAB-S△AOQ积列式求解即可求出m的值，从而也可求出n的值，继而可推出点P的坐标以及直线PA与PB的函数表达式．
（3）由于A，B，P三点已经确定，要确定D点的位置，需分三种情形讨论解答，依题意画出图形，利用平行四边形的性质即可求出D1，D2，D3的坐标．
【解析】 (1)解：在直线y＝x+m中，令y＝0，得x＝﹣m．∴点A（﹣m，0）．
在直线y＝﹣3x+n中，令y＝0，得．∴点．
由，得，∴点．
在直线y＝x+m中，令x＝0，得y＝m，∴|﹣m|＝|m|，即有AO＝QO．
又∵∠AOQ＝90°，∴△AOQ是等腰直角三角形，∴∠PAB＝45°；
(2)解：∵，∴，整理得3m＝2n，∴，∴，
而，解得m＝±4，
∵m＞0，∴m＝4，∴，∴．
∴PA的函数表达式为y＝x+4，PB的函数表达式为y＝－3x+6；
(3)解：存在．过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点，过点A作BP的平行线交PM于点，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点．
①∵且，∴是平行四边形．此时，
∵．∵m＝4，A（﹣m，0），．∴A（﹣4，0），B（2，0）．∴AB＝6，∴；
②∵且，∴是平行四边形．此时，∴；
③∵且，此时是平行四边形．
∵且B（2，0），∴．同理可得
由，得，∴．
综上：存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，
点D的坐标为或或．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查的知识点为一次函数的应用，平行四边形的判定和性质以及面积的灵活计算．熟练掌握一次函数的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
题型6.一次函数与特殊的平行四边形
例6．（2023春·江苏常州·八年级常州实验初中校考期中）如图，矩形的顶点A、C分别在y、x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图像与边、分别交于点D、E，并且满足，点P是线段上的一个动点．
(1)求一次函数的表达式；(2)连结，若把四边形面积分成两部分，求点P的坐标；
(3)设点Q是x轴上方平面内的一点，以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)(2)或(3)或
【分析】（1）先令，即可求得，然后求出E的坐标，代入一次函数解析式求得m的值即可求解；
（2）先求得四边形的面积，然后分两种情况求解即可；
（3）分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况求解即可．
【详解】（1）解：对于，令，解得 则D的坐标是，
∵点B的坐标为∴∴
∵∴，则E的坐标是
把E的坐标代入得 解得， ∴；
（2）设
当时 则
∴ ∴ ∴ ∴
当时 则
∴∴∴∴
综上可知，点P的坐标为： 或
（3）当四边形是菱形时，如图1
∵四边形是菱形∴，， ∵∴
∵P的纵坐标是3，把代入，得解得：
则P的坐标是∴Q的坐标是
当四边形是菱形时，如图2 ∵四边形是菱形∴，
设P的横坐标是n，则纵坐标是则
解得：或0（舍去）则P的坐标是
∴Q的横坐标是，Q的纵坐标是∴Q的坐标是
综上，点Q的坐标为或
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，坐标与图形的性质，菱形的性质，以及勾股定理等知识，正确根据菱形的性质求得Q的坐标是解决本题的关键．
变式1．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市侨谊实验中学校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点B、C都在x轴上，，，所在直线的函数表达式为，E是的中点，点P是边上一个动点．(1)当______时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形．
(2)点P在边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
【答案】(1)1或11 (2)，理由见解析
【分析】（1）先根据已知条件求出点A，点D，点C的坐标，根据平行四边形的性质可得，分点P在点E 的左边和右边两种情况，分别计算即可；
（2）分和两种情况，判断平行四边形的邻边是否相等即可．
【详解】（1）解：，，所在直线的函数表达式为，
点D的纵坐标为4，时，，解得，，，
∵点C是直线与x轴的交点，∴点C的坐标为，
∵，E是的中点，∴，
若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则，
当点P在点E 的左边时，，
当点P在点E 的右边时，，故答案为：1或11；
（2）解：当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形．
理由如下：由（1）知点C的坐标为，∵，∴点B的坐标为，
当时，点P的坐标为，则，
则此时以点P、A、D、E为顶点的四边形不是菱形；
当时，点P的坐标为，则，
则此时以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形；
综上所述，当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理、一次函数的图象和性质等，解题的关键是掌握平行四边形和菱形的判定及性质，注意分情况讨论，避免漏解．
变式2．（2022秋·四川成都·九年级石室中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，，直线交直线于点．(1)求直线的解析式及点的坐标；(2)如图，为直线上一动点且在第一象限内，、为轴上动点，在右侧且，当时，求最小值；(3)如图，将沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，当过点时，在平面内是否存在点，在第一象限内是否存在点，使得以、、、四个点为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的解析式为，点的坐标是(2)最小值为
(3)存在，理由见解析，点的坐标是或或
【分析】（1）先求出点和点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，联立直线和的解析式，即可求得点的坐标；（2）先求出的面积，证明点在点的上方，设点的坐标为，其中，由，求得，得到点的坐标，作四边形是平行四边形，则，证得的最小值为，由勾股定理求出答案即可；
（3）分两种情况：是正方形的边和为对角线，分别进行求解即可．
【详解】（1）解：，点的坐标是，
，，点的坐标为，
设直线的解析式为，把点和点的坐标代入可得，
，解得，直线的解析式为，
联立直线和直线的解析式得，，
解得， 点的坐标是；
（2），，，
，，，
直线：交直线于点．，，
，点在点的上方，
为直线上一动点且在第一象限内，
设点的坐标为，其中，点到轴的距离为，
，，
解得，，点的坐标是，
如图，过点向左作轴，且，则的坐标为，再作点关于轴的对称点，则的坐标为，则连接交轴于点，在轴上截取，连接，
由作图过程知四边形是平行四边形，则，
的最小值为，
作于点，则的坐标为，则，，
的最小值为
．即最小值为；
（3）存在，理由如下：第一种情况，是正方形的边，由勾股定理得，
由点的坐标是，点沿移动到点，由于平移规律相同，可得点平移到点，点平移到点，
如图，以为边作正方形，过点作轴于点，
，，
，，，
，，，
点的坐标为，同理可得点的坐标为，
点的坐标是，点沿移动到点，
由于平移规律相同，可知点，点，平移后的坐标即点的坐标分别为，；
为对角线时，如图，设两对角线的交点为K，
由题意可得，在中，，
，，
由点，，可知点的坐标为，
设的表达式为，
，，，，
把点的坐标代入得，，解得，
的表达式为，设点的坐标为，
由两点间距离公式得，，
，解得舍去，，
，，点的坐标为，
综上所述，点的坐标是或或
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图形和性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、轴对称的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、两点间距离公式等知识，正确作出图形和分类讨论是解题的关键．
变式3．（2022春·重庆南岸·八年级校考阶段练习）如图，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．
(1)求直线的解析式；(2)如图，若点在直线上，过点作轴交于点，交轴于点，使，求此时点的坐标；(3)如图，点是直线上一动点，点是直线上一动点，点是坐标平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形为正方形，且是正方形的边，若存在，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)(2)点的坐标为或(3)点的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式；
设，则 ， ，根据建立方程求解即可得出答案；
设 ，，分两种情况：当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于点，可证
，可得，，建立方程组求解即可得出答案；当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，再建立方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵直线：经过点，，，
设直线的解析式为，把，代入，
得： ，解得：，直线的解析式为．
（2）解：设，则 ， ， ，，
，，解得：或，
点的坐标为或．
（3）解：设 ，，
当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于点，则，，，，，
四边形是正方形，，，
，，，
在和中， ，
，， ，解得： 点的坐标为；
当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，，， ，，
四边形是正方形，，，，
，
在和中， ，，，
，解得：，点的坐标为．综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数解析式、三角形面积、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题关键．
变式4．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）
(1)求直线的解析式；(2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标；(3)如图2，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标
【答案】(1)(2)，(3)以，，，为顶点的四边形为矩形时，点的坐标为或，或
【分析】（1）依题意求出点，坐标，求出，，求出点，的坐标，用待定系数法求解析式；（2）设，则，由轴可得点的纵坐标为，代入一次函数可得点的横坐标为，表示出、，求出，根据，可得的值，即可得点的坐标；（3）分两种情况：①为矩形的边时，②为矩形的对角线时，根据矩形的判定和性质即可求解．
【详解】（1）一次函数，令，则，令，则，
，，即，，
将绕点顺时针旋转得，
，，，，
设直线的解析式为，
则，解得，直线的解析式为；
（2）设，则，轴，点的纵坐标为，
将代入一次函数得：，
，即点的横坐标为，
，，
，，，，，
，点的坐标为，；
（3）①为矩形的边时，如图，分别过点、作交直线于，作交直线于，在分别过点、作交直线于，作交直线于，则四边形、四边形均为矩形，
，，点为线段的中点，，，
将绕点顺时针旋转得，，
，，，
，，，，
，，，，点为线段的中点，
，，；设直线的解析式为，则，
，直线的解析式为，，，，
可设直线的解析式为，将代入得，，，
直线的解析式为，
联立直线得，解得，，；
综上，为矩形的边时，点的坐标为或，；
②为矩形的对角线时，如图，
，，轴，
四边形为矩形，轴，点与点重合，．
综上，以，，，为顶点的四边形为矩形时，点的坐标为或，或．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，中点坐标公式的运用，一次函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，矩形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
变式5．（2022春·重庆·八年级重庆市巴川中学校校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作等腰直角三角形ABC，．
(1)求直线BC的函数解析式；(2)点P为线段AB上一动点，过点P作轴交BC于点Q．当时，求四边形APQC的面积及此时点P的坐标；(3)如图2，将一次函数的图象向左平移2个单位长度得到直线l，点M和点N均在直线BC上运动，点G为直线l上一动点，若以点A、N、G、M为顶点的四边形为矩形，直接写出MN的长度．
【答案】(1)(2)，P（，）；(3)MN的长度为或．
【分析】（1）过C作CH⊥x轴于H，求出OA＝2，OB＝1，证明△AOB≌△CHA（AAS），可得AH＝OB＝1，CH＝OA＝2，则C（−3，2），然后利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；（2）设P（t，），则Q（t，），表示出PQ，根据PQ＝OB＝，列式求出t的值，进而可得P点坐标，然后根据计算即可；（3）先求出直线l的解析式，然后设G（m，m＋2），M（r，），N（s，），求出MN＝，分情况讨论：（Ⅰ）若AG，MN为对角线，则AG，MN的中点重合，且AG＝MN，（Ⅱ）若GM，AN为对角线，则GM，AN的中点重合，且GM＝AN，（Ⅲ）若GN，AM为对角线，则GN，AM的中点重合，且GN＝AM，分别根据两点间距离公式和中点坐标列方程求解即可．
（1）解：过C作CH⊥x轴于H，如图：
在y＝x＋1中，令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝−2，∴A（−2，0），B（0，1），即：OA＝2，OB＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAO＝90°−∠CAH＝∠ACH，AB＝AC，
∵∠AOB＝∠AHC＝90°，∴△AOB≌△CHA（AAS），∴AH＝OB＝1，CH＝OA＝2，
∴OH＝OA＋AH＝3，∴C（−3，2），设直线BC解析式为y＝kx＋b，
把B（0，1），C（−3，2）代入得：，解得，∴直线BC解析式为；
（2）设P（t，），则Q（t，），∴PQ＝，
∵PQ＝OB＝，∴，解得t＝，∴P（，），∴，
∵OA＝2，OB＝1，∴AB＝，∴，
∴；
（3）将直线y＝x＋1向左平移2个单位所得直线l解析式为y＝（x＋2）＋1＝x＋2，A（－2，0），
设G（m，m＋2），M（r，），N（s，），
∴MN＝，
（Ⅰ）若AG，MN为对角线，则AG，MN的中点重合，且AG＝MN，
∴，且③，
由②得：④，由①④得：，把代入③得：，∴；
（Ⅱ）若GM，AN为对角线，则GM，AN的中点重合，且GM＝AN，
∴，且，
同理解得：，∴，∴；
（Ⅲ）若GN，AM为对角线，则GN，AM的中点重合，且GN＝AM，
∴，且，
同理解得：，∴，∴；
综上所述，以点A、N、G、M为顶点的四边形为矩形，MN的长度为或．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，坐标与图形，勾股定理的应用，一次函数图象上点坐标的特征，一次函数图象的平移，矩形的性质，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是分类讨论思想与方程思想的应用．
题型7.一次函数与面积问题
1.求点的坐标：一般会求两种坐标：①直线与轴、轴的交点坐标；②两直线的交点坐标。
2.表示面积：①规则图形：用公式法（三角形面积不能漏×）；
②不规则图形：分割法，如下图：四边形用分割，；
，如下图：.
注：求三角形面积时往往选择平行于坐标轴的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高。
例7．（2022·湖南武陵·八年级期末）如图，已知直线AB过点A（5，0）、B（0，﹣5），交直线OC于点C，且直线OC的解析式为y．（1）求直线AB的解析式；（2）求△AOC的面积；（3）若点P在直线OC上，且△BCP的面积是△AOC面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）（8，－12）或（－4，6）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先将直线AB与直线OC的函数解析式联立方程组求得点C的坐标，由此即可求得△AOC的面积；（3）先根据△BCP的面积是△AOC面积的2倍求得△BCP的面积，再根据点P在直线AB的右下方或者点P在直线AB的左上方进行分类讨论，由此即可求得答案．
【详解】（1）解：设直线AB的解析式为，
将A（5，0）、B（0，﹣5）代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为；
（2）将与y联立方程组，得：
，解得：，∴点C的坐标为（2，－3），∴；
（3）∵△BCP的面积是△AOC面积的2倍，，∴，
如图，当点P在直线AB的右下方时，
∵，∴，
∴，解得：，将代入，得：，
∴点P的坐标为（8，－12）；如图，当点P在直线AB的左上方时，
∵，，∴，∴，解得：，
又∵此时点P在y轴的左侧，∴，将代入，得：，∴点P的坐标为（－4，6），
综上所述，若△BCP的面积是△AOC面积的2倍，则点P的坐标为（8，－12）或（－4，6）．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，两函数的交点问题以及三角形的面积，正确利用三角形面积公式列方程是关键．
变式1．（2022·成都市树德实验中学八年级期末）如图1，在平面直角坐标中，直线：与抽交于点，直线：与轴交于点，与相交于点．
（1）请直接写出点，点，点的坐标：_________，________，_______．
（2）如图2，动直线分别与直线、交于、两点．
①若，求的值；②若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（-1，0）、（1，0）、（2，3）；（2）①t=1或3；②（0，-3）或（4，9）
【分析】（1）根据一次函数与x轴的交点纵坐标为0即可求出AB坐标，联立两个一次函数即可求出C点坐标；（2）①设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t-3），则PQ=|t+1-3t+3|=2，即可求解；
②在y轴负半轴取点M使NM=NK，过点M作直线m∥AC交l2于点Q，则点Q为所求点，进而求解；当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），进而求解．
【详解】（1）对于直线l2：y=3x-3①，令y=3x-3=0，解得x=1，故点B（1，0），
对于l1：y=x+1，同理可得：点A（-1，0），
则，解得，故点C的坐标为（2，3），故答案为：（-1，0）、（1，0）、（2，3）；
（2）①点P在直线l1上，则设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t-3），则PQ=|t+1-3t+3|=2，解得t=1或3；
②当点Q在x轴下方时，如下图，
设直线l1交y轴于点K，过点B作直线n∥AC交y轴于点N，
在y轴负半轴取点M使NM=2NK，过点M作直线m∥AC交l2于点Q，则点Q为所求点，
理由：∵M、Q在直线m上，且m∥AC，∴S△MAC=S△QAC，同理S△NAC=S△BAC，
∵MN=2KN，则m、l1之间的距离等于2倍n、l1之间的距离，∴S△AQC=2S△ABC，
由直线l1的表达式知点K（0，1），设直线n的表达式为y=x+b，
将点B的坐标代入上式并解得b=-1，∴ N（0，-1），
∵NK=1-（-1）=2，∴MN=NK=2，∴M（0，-3），在直线m的表达式为y=x-3②，
联立①②解得，∴Q（0，-3）；
②当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），
同理可得，过点M且平行于AC的直线表达式为y=x+5③，
联立①③解得，∴ Q的坐标为（4，9）；
综上，点Q的坐标为（0，-3）或（4，9）．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、绝对值的应用、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
变式2．（2022·四川泸县·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与直线CD相交于点E，且．
（1）求一次函数的解析式；（2）求四边形OBEC的面积四边形OBEC；（3）在坐标轴上是否存在点P，使得？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）4；（3）存在点P，其坐标为，，，
【分析】（1）根据经过点和点，待定系数法求解析式即可；（2）根据题意求得，再联立即可求得点的坐标，进而根据四边形OBEC 即可求得；（3）分两种情况讨论：①当点P在x轴上时，设点P的坐标为，②当点P在y轴上时，设点P的坐标为，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：（1）因为经过点和点，
所以，解得，一次函数的解析式为；
（2）因为，又，所以，即，
所以，所以，所以直线AB的解析式为，
因为直线交y轴于点B，所以点．
因为直线与直线相交于点E，所以，解得：，即点，
所以四边形OBEC ；
（3）分两种情况讨论：①当点P在x轴上时，设点P的坐标为，
由题意得：，解得：或，所以此时点P的坐标为，；
②当点P在y轴上时，设点P的坐标为，由题意得：，解得：或，
所以此时点P的坐标为，，
综上所述，在坐标轴上存在点P，使得，其坐标为，，，
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用二元一次方程组求两直线交点，分类讨论是解题的关键．
题型8. 一次函数中的探究规律问题
例8．（2022·河北保定师范附属学校八年级期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作 轴的垂线，交直线于点按此规律作下去， 则点的坐标为_______；点的坐标为_______ ．
【答案】（8，0）； （22020，22021）．
【分析】先根据题意求出A2点的坐标，再根据A2点的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A4、B2021的坐标．
【详解】解：∵点A1坐标为（1，0），∴OA1=1，
过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，点B1在上，y=2×1=2，B1点的坐标为（1，2），
∵点A2与点O关于直线A1B1对称，∴OA1=A1A2=1，∴OA2=1+1=2，
∴点A2的坐标为（2，0），点B2在上，y=2×2=4，B2的坐标为（2，4），
∵点A3与点O关于直线A2B2对称．故点A3的坐标为（4，0），点B3在上，y=2×4=8，B3的坐标为（4，8），此类推便可求出点An的坐标为（2n-1，0），点Bn在上，y=2×2n-1=2n，
点Bn的坐标为（2n-1，2n）．所以点A4的坐标为（8，0），点的坐标为（8，16）
所以点A2021的坐标为（22020，0），点的坐标为（22020，22021）故答案为（8，0），（22020，22021）．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．
变式1．（2022·成都七中八年级期中）如图，在平面直角坐标系，直线与轴交于点，以为一边在上方作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为一边在上方作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为一边在上方作等边，……，则的横坐标为__________．
【答案】
【分析】先根据直线 与x轴交于点，可得 (3,0)，O=3，再过作A⊥O于A，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，求得的横坐标为，过作于，求得的横坐标为，过作于，求得的横坐标为，同理可得 的横坐标为，由此可得，的横坐标为，进而求得点的横坐标是．
【详解】解：由直线与轴交于点，可得，
∴，如图所示，过作于，
则，即的横坐标为，
由题意可得，，
∴，∴，过作于，
则，即的横坐标为，
过作于，同理可得 横坐标为，
同理可得，的横坐标为，由此可得，的横坐标为，
点的横坐标是，故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形性质应用，解题的关键是根据性质找出规律，求得坐标．
变式2．（2022·成都市·树德中学八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1，A2，A3，…An在直线l上，点C1，C2，C3，…∁n在y轴正半轴上，则正方形AnBn∁nCn﹣1的面积是_____．
【答案】
【分析】由直线点的特点得到，分别可求OA1＝OC1＝1，C1A2＝，C2A3＝，……，从而得到正方形边长的规律为Cn﹣1An＝，即可求正方形面积．
【详解】解：直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A₁（1，0），与y轴交于点D（0，﹣2），∴，
∵OA1＝OC1＝1，∴A1B1C1O的面积是1；∴DC1＝3，∴C1A2＝，
∴A2B2C2C1的面积是；∴DC2＝，∴C2A3＝，∴A3B3C3C2的面积是；……
∴Cn﹣1An＝，∴正方形AnBn∁nCn﹣1的面积是，故答案为．
【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中有规律的点的坐标与图形的探索问题，列出前面几步的数据找到点或图形的变化规律是解答关键.
课后专项训练：
1．（2022•辽宁八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠BAC＝90°，点A为（，0）、点B为（0，1），坐标系内有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为 ．
解：∵点A坐标为（，0）、点B坐标为（0，1），∴OA＝，OB＝1，∴AB＝＝2
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，∴AB＝AC＝2，BC＝2，
△ABC与△ACP全等分为三种情况：
①如图1，延长BA到P，使AB＝AP，连接CP，过P作PM⊥x轴于M，
则∠AOB＝∠AMP＝90°
在△AOB和△AMP中，∵，∴△AOB≌△AMP（AAS），
∴AM＝AO＝，MP＝OB＝1，故点P的坐标为（2，﹣1）；
②如图2，过点C作CP⊥AC，使CP＝AB，则△ABC≌△CPA，故∠PAC＝∠ACB＝45°，AP＝BC＝2，
过P作PM⊥x轴于M，此时∠PAM＝15°，在x轴上取一点N，使∠PNM＝30°
∴∠PAM＝∠APN＝15°，即NA＝NP，设PM＝x，则PN＝AN＝2x，NM＝x，
在Rt△APM中，∵AP2＝AM2+PM2，∴（2）2＝（2x+x）2+x2，解得：x＝﹣1，
则OM＝OA+2x+x＝2+1，故点P的坐标为（2+1，﹣1）；
③如图3，
作CP⊥AC，使CP＝AB，连接BP，则△ABC≌△CPA，
∵∠BAC＝∠PCA＝90°，且CP＝AB，∴四边形ABPC是矩形，
∴AB＝BP，∠ABP＝90°，即∠ABO+∠PBM＝90°，
过点P作PM⊥y轴，则∠BPM+∠PBM＝90°，∴∠ABO＝∠BPM，
在△AOB和△BMP中，∵，∴△AOB≌△BMP（AAS），
∴BM＝OA＝，PM＝OB＝1，故点P的坐标为（1，）；
当点P与点B重合时，点P的坐标为（0，1），
综上，点P的坐标为（0，1），（1，+1），（2，﹣1），（2+1，﹣1）．
2．（2022重庆八年级期末）在直角坐标系中，已知A（6，0）、F（3，0），C（0，2），在△AOC的边上取两点P、Q（点Q是不同于点F的点），若以O、P、Q为顶点的三角形与△OFP全等，则符合条件的点P的坐标为 ．
解：①如图1，过点F作FP⊥OA，交AC于点P，
过点P作PQ⊥OC，垂足为Q，连接OP，此时△OFP≌PQO，
∵A（6，0）、F（3，0），∴PF、PQ是△OAC的中位线，
∴PQ＝OA＝3，PF＝OC＝，∴P（3，），
②如图2，由①可知，点P、Q位置互换，亦满足题意，此时，P（0，），
③如图3，作∠AOC的平分线交AC于点P，在OC上截取OQ＝OF＝3，连接PF、PQ，此时△OFP≌OQP，
过点P作PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，垂足为N，则PM＝PN，
由三角形面积公式得，OA•PM+OC•PN＝AO•OC，即，6PM+2PM＝6×2，
∴PM＝PN＝3﹣3，∴点P（3﹣3，3﹣3），
④如图4，在AC上截取AP＝6＝OA，取AP的中点Q，则PQ＝OF＝3，
过点P作PB⊥OA，垂足为B，在Rt△ABP中，PB＝AP＝3，AB＝×AP＝3，
∴OB＝OA﹣AB＝6﹣3，∴点P（6﹣3，3），
故答案为：（3，）或（0，）或（3﹣3，3﹣3）或（6﹣3，3）．
3．（2022•柳南区校级期末）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P
在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）求k、b的值；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点A（4，0）、B（0，4）在直线y＝kx+b上，∴，解得：k＝﹣1，b＝4；
（2）存在两种情况：①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，∵OB＝OA＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝4，∠OAB＝45°，
由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，∴△OBP≌△O'BP（AAS），
∴O'B＝OB＝4，∴AO'＝4﹣4，Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，
∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8；
②如图所示：当P在x轴的负半轴时，
由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，
∵∠BAO＝45°，∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，∴S△BOP＝OB•OP＝＝8+8；
（3）分4种情况：①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为（0，0）；
②当BP＝PQ时，如图3，∵∠BPC＝45°，∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，
∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，∴∠APB＝22.5°，
∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝4，∴OP＝4+4，∴P（4+4，0）；
③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，
∵∠BPC＝45°，∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，△PCA中，∠APC＝22.5°，
∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP＝4，∴OP＝4﹣4，∴P（4﹣4，0）；
④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，∴此时P（﹣4，0）；
综上，点P的坐标是（0，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）或（﹣4，0）．
3．（2022•成都市八年级期中）如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B与原点重合，点D的坐标为（4，4），当三角板直角顶点P坐标为（3，3）时，设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F．在三角板绕点P旋转的过程中，使得△POE成为等腰三角形，请写出满足条件的点F的坐标 ．
解：△POE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中两段相等，P（3，3），那么有：
①当PE＝OE时，PE⊥OC，则PF⊥y轴，则F的坐标是（0，3）；
②当OP＝PE时，∠OPE＝90°，则F点就是（0，0）；
③当OP＝OE时，则OF＝6±3，F的坐标是：（0，6﹣3）或（0，6+3）．
5．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点，函数的图象与直线交于点M，与y轴交于点C．
(1)求直线的函数解析式；(2)当点M在线段上时，求m的取值范围；
(3)当为直角三角形时，求m的值．
【答案】(1)(2)(3)0或-1
【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）画出图形，即可知当直线在直线AD（包括直线AD）和直线BE（包括直线BE）之间时，点M在线段上．由A、B两点坐标分别求出m，即可得出其取值范围；
（3）分类讨论①当时和②当时，结合图象即可求解．
（1）设直线的函数解析式为，
则，解得：．∴直线的函数解析式为；
（2）如图，当直线在直线AD（包括直线AD）和直线BE（包括直线BE）之间时，点M在线段上．
当经过点A时，即直线与直线AD重合，∴；
当经过点B时，即直线与直线BE重合，
∴，解得：．
∴当时，点M在线段上；
（3）∵点A在y轴上，∴不可能为直角．
分类讨论：①当时，如图，此时C点与原点重合，
即直线经过原点，∴，即；
②当时，如图点，设
∴，，
∵，
又∵，∴，
解得：，∴
当直线y=2x+m经过（0，-1）时，即m=-1，符合题意.
综上可知当为直角三角形时，m的值为0或-1．
【点睛】本题考查利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何的综合．利用数形结合的思想是解题关键．
6．（2022·上海·八年级阶段练习）如图，△ABC的两顶点分别为B（0，0），C（4，0），顶点A在直线l：y＝﹣x+3上．(1)当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，求点A的坐标；(2)当△ABC的面积为4时，求点A的坐标；(3)在直线l上是否存在点A，使∠BAC＝90°？若存在，求出点A的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】(1)A（2，2）；(2)（2，2）或（10，﹣2）；
(3)在直线l上存在点A，使∠BAC＝90°，此时点A的坐标是（2，2）或（3.6，1.2）
【分析】（1）以BC为底的等腰三角形，点A是BC的中垂线与直线l的交点，据此求解即可；
（2）根据△ABC的面积求得点A的纵坐标，把点A的纵坐标代入直线方程即可求得其横坐标；
（3）设点A的坐标为，根据两点间距离公式表示出，，，再利用勾股定理建立方程，求解即可．
(1)如图，当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，点A在BC的中垂线上．
∵B（0，0），C（4，0），∴BC的中垂线为x＝2．
又点A在直线l：y＝﹣x+3上，∴y＝﹣×2+3＝2，即A（2，2）；
(2)设A（a，b）．则依题意得BC•|b|＝4，即×4|b|＝4，解得|b|＝2∴b＝±2．
①当b＝2时，2＝﹣a+3，解得 a＝2则A（2，2）；
②当b＝﹣2时，﹣2＝﹣a+3，解得 a＝10则A（10，﹣2）．
综上所述，点A的坐标是（2，2）或（10，﹣2）；
(3)设点A的坐标为， B（0，0），C（4，0），
，，，
∠BAC＝90°，，即，解得或，
所以，在直线l上存在点A，使∠BAC＝90°，此时点A的坐标是（2，2）或（3.6，1.2）．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式以及勾股定理等知识点．解（2）题的过程中，一定要对点A的纵坐标进行分类讨论，以防漏解．
7．（2022•山东八年级月考）如图，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点B．（1）求点A、B的坐标（用含b的代数式表示）；（2）若点P是直线AB上的任意一点，且点P与点O距离的最小值为4，求该直线的表达式；（3）在（2）的基础上，若点C在第一象限，且△ABC为等腰直角三角形，求点C的坐标．
解：（1）对于直线y＝﹣x+b（b＞0），令x＝0，∴y＝b，∴B（0，b），
令y＝0，∴﹣x+b＝0，∴x＝2b，∴A（2b，0）；
（2）由（1）知，A（2b，0），B（0，b），∴OA＝2b，OB＝b，AB＝b，
∵点P与点O距离的最小值为4，∴×2b•b＝×b×4，∴b＝2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；
（3）如图，由（1）知，A（4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2
过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，
∵∠DOE＝90°，∴四边形ODCE是矩形，
∴OD＝CE，CD＝OE，∠DCE＝90°，∴∠BCE+∠BCD＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
当∠ACB＝90°时，∴BC＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠ACE，∴△BCE≌△ACD（AAS），
∴BE＝AD，CE＝CD，∴设点C坐标为（m，m），
∴AD＝OA﹣OD＝4﹣m，BE＝OE﹣OB＝m﹣2，
∴4﹣m＝m﹣2，∴m＝3，∴C（3，3），
如图2，②当∠BAC＝90°时，过点C'作C'F⊥x轴于F，∴∠C'AF+∠AC'F＝90°，
∵∠C'AF+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠FC'A，
∵AB＝AC'，∴△AOB≌△C'FA（AAS），
∴C'F＝OA＝4，AF＝OB＝2，∴OF＝OA+AF＝6，∴C'（6，4），
③当∠ABC＝90°时，同②的方法得，C（2，6），
即：点C的坐标为（3，3）或（6，4）或（2，6）．
8．（2022·贵州黔西·八年级期末）如图，直线：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线：交于点C，且OA＝8．(1)求直线的解析式：(2)若与y轴交于点D，求△BCD的面积，(3)在线段上BC是否存在一点E，过点E作轴与直线CD交于点F，使得四边形OBEF是平行四边形？若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)20 (3)存在点E（，）使得四边形OBEF是平行四边形
【分析】（1）先求出A点坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）先求出B、D的坐标，从而求出BD，然后求出点C的坐标，根据求解即可；
（3）设点E的坐标为（，），则点F的坐标为（m，2m-6），则，再由四边形OBEF是平行四边形，得到EF=OB=4，则，由此求解即可．
【解析】 (1)解：∵OA=8，∴点A的坐标为（8，0），∴，∴b=4，
∴直线的解析式为；
(2)解：∵直线：与y轴交于点D，直线：与y轴交于点B，
∴点D的坐标为（0，-6），点B的坐标为（0，4），∴BD=10，
联立 ，解得，∴点C的坐标为（4，2），∴；
(3)解：假设存在，设点E的坐标为（，），则点F的坐标为（m，2m-6），
∴，
∵四边形OBEF是平行四边形，∴EF=OB=4，∴，∴，
∴点E的坐标为（，），∴存在点E（，）使得四边形OBEF是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，熟知相关知识是解题的额关键．
9．（2022·重庆八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与直线：交于点B，直线交x轴于点A，交y轴于点C，直线交x轴于点E，交y轴于点D，．
(1)求直线的解析式；(2)如图1，点D与点P关于x轴的对称，M、N为直线上两动点，且，求的最小值；(3)如图2，点D与点P关于x轴的对称，点H为直线上一动点，在直线上是否存在一点F，使以E、F、H、P四点构成的四边形是以PE为边的平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)(3)点F的坐标为（，）或（，）
【分析】（1）先求出点A的坐标为，点D的坐标为 ，则，求出，即可得到答案；（2）如图所示，连接PN，过点M作，过点N作与MF交于点F，则四边形PMFN是平行四边形，可以推出当D、N、F三点共线时，NF+ND有最小值，求出直线AP的解析式为，得到直线与直线BD平行，从而可证当D、N、F三点共线时，M与点A重合，N与点B重合，由此求解即可；（3）分当四边形EPHF为平行四边形时和当四边形EPFH是平行四边形时，两种情况讨论求解即可．
【解析】 (1)解：∵直线与直线：交于点B，直线交x轴于点A，交y轴于点C，直线交x轴于点E，交y轴于点D，∴点A的坐标为，点D的坐标为 ，
∴，∴，∴直线的解析式为
(2)解：如图所示，连接PN，过点M作，过点N作与MF交于点F，则四边形PMFN是平行四边形，∴PM=NF，∴PM+MN+ND=NF+MN+ND=3+NF+ND，
∴要使PM+MN+ND的值最小，即NF+ND的值最小，
∴当D、N、F三点共线时，NF+ND有最小值，联立
，解得，∴点B的坐标为，
由（1）可得点A的坐标为（-3，0），∴，
∵P是D关于x轴的对称点，∴点P的坐标为，
设直线AP的解析式为，∴，∴，
∴直线AP的解析式为，∴直线与直线BD平行，
∴当D、N、F三点共线时，M与点A重合，N与点B重合，∴，
∵，，∴
(3)解：设点F的坐标为（a，a）当四边形EPHF为平行四边形时，
则，∴，∴点H的坐标为，
∴，解得，∴点F的坐标为（，）；
同理当四边形EPFH是平行四边形时，
则，∴，∴点H的坐标为，
∴，解得，∴点F的坐标为（，）；
综上所述，点F的坐标为（，）或（，）
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，两点距离公式，平行四边形的性质等等，解题的关键在于能够利用数形结合的思想求解．
10．（2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是梯形，，是的中点，，点坐标是，所在直线的函数关系式为，点是边上一个动点．(1)当_________________时，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形．(2)在（1）的条件下，点P在边上运动过程中，以点、、、为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
【答案】(1)1或11 (2)当时，以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由见解析
【分析】（1）先求出点D的坐标，进而求出，再根据线段中点的定义求出，再分当四边形是平行四边形，当四边形是平行四边形时两种情况根据平行四边形的性质求解即可；
（2）根据（1）所求，求出两种情况下邻边是否相等即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，点坐标是，∴点D的纵坐标为4，
又∵点D在直线上，且当时，，∴点D的坐标为，∴，
∵，点E是的中点，∴，
当四边形是平行四边形，∴，∴；
当四边形是平行四边形时，∴，∴；
∴当或时，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，
故答案为：1或11；
（2）解：当时，以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：
∵点C是直线与x轴的交点，∴点C的坐标为，
∵，∴点B的坐标为，
当时，点P的坐标为，则，则此时以点、、、为顶点的四边形不是菱形；
当时，点P的坐标为，则，则此时以点、、、为顶点的四边形是菱形；
综上所述，当时，以点、、、为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
11．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，直线y=kx+15(k≠0)经过点C(3，6)，交x轴于点A，交y轴于点B．线段CD平行于x轴，交直线于点D，连接OC、AD．
(1)求k的值及点A的坐标．(2)求证：四边形OADC是平行四边形．
(3)动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时动点Q从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动．设P、Q两点的运动时间为t秒．
①用含t的代数式表示线段PQ的长．②当四边形CPAQ为矩形时，直接写出t的值．
【答案】(1)k=－3，（5，0）(2)证明见解析(3)①10－2t；②或
【分析】（1）将点C(3，6)代入y=kx+15中，3k+15=6，解得k=－3，则y=－3x+15，当y=0时，x=5，则点A的坐标为（5，0）； （2）由线段CD平行于x轴，可知，则将y=6代入中，得x=8，可得点D的坐标为（8，6），进而可知CD=8－3=5，由点A的坐标为（5，0），可得OA=5，则CD=OA，由CD∥OA，则四边形OADC是平行四边形；（3）①过点C作CH⊥OD与点H，因为点H在直线上，则H（m，），C（3，6），由（2）知，D坐标为（8，6），则，则，在Rt△CDH中，，则，解得可知m的值，则CH=3，由此可得，则PQ=OD－t－t=10－2t；
②由（2）值，四边形OADC是平行四边形，则OD与AC互相平分，由于点P与点Q的运动速度相同，则PQ与AC互相平分，则四边形CPAQ为平行四边形，因为OQ=10，则当0≤t≤5时，PQ=10－2t，当5＜t≤10时，PQ=2t－10，故当P，Q运动到平行四边形CPAQ为矩形时，PQ=AC，，当0≤t≤5时，，解得：，当5＜t≤10时，，解得：，由此可知当四边形CPAQ为矩形时，t的值．
（1）解：将点C(3，6)代入y=kx+15中，3k+15=6，解得k=－3．
∴y=－3x+15，当y=0时，x=5，∴点A的坐标为（5，0）；
（2）解：∵线段CD平行于x轴，∴，将y=6代入中，得x=8，
∴点D的坐标为（8，6），∴CD=8－3=5，
∵点A的坐标为（5，0），∴OA=5，∴CD=OA，
∵CD∥OA，∴四边形OADC是平行四边形．
（3）解：①过点C作CH⊥OD与点H，
由点H在直线上，设H（m，），C（3，6），由（2）值，D（8，6），
∴，，
在Rt△CDH中，，即，
解得：或8（舍去），∴CH=3，∵，∴PQ=OD－t－t=10－2t；
②由（2）值，四边形OADC是平行四边形，∴OD与AC互相平分，
∵点P与点Q的运动速度相同，∴PQ与AC互相平分，∴四边形CPAQ为平行四边形，
∵OQ=10，当0≤t≤5时，PQ=10－2t，
当5＜t≤10时，PQ=2t－10，当P，Q运动到平行四边形CPAQ为矩形时，PQ=AC，，
当0≤t≤5时，，解得：，
当5＜t≤10时，，解得：，
综上所述，当四边形CPAQ为矩形时，t的值为或．
【点睛】本题考查一次函数与几何问题，平行四边形的性质与判定，矩形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
12．（2022春·广西河池·八年级统考期末）如图矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，，，且，满足，一次函数的图象与边，分别交于，两点．
(1)求点的坐标；(2)直线与一次函数交于点，求点的坐标；
(3)点在线段上运动，过点作，垂足分别为点，．是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)存在，的坐标为
【分析】（1）利用非负数的性质求出a、b的值，即可得到B点坐标；
（2）用待定系数法求出直线OB的解析式，再联立两一次函数解析式即可求出交点的坐标；
（3）先证明四边形是矩形，可得当时，四边形是正方形，设点的坐标为，求出，，然后根据列方程求出a的值即可得到G点坐标．
（1）解：∵，∴，，∴，，
∵四边形是矩形，∴，AB⊥x轴，∴点的坐标为；
（2）设直线解析式为，
把点代入得：，解得：，
∴直线解析式为：，
联立，解得，∴点的坐标为；
（3）存在，∵四边形是矩形，∴，
又∵，，∴四边形是矩形，
∴当时，四边形是正方形，
∵是线段上的点，设点的坐标为，
∴，，
∵，∴，解得：，
∴，∴点的坐标为．
【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形的性质，矩形的判定和性质，待定系数法，一次函数图象的交点求法，正方形的判定等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
13．（2022·四川成都市·八年级期末）如图，直线 与 轴正方向夹角为，点在轴上，点在直线 上，均为等边三角形，则的横坐标为__________．
【答案】
【分析】分别求出的坐标，得到点的规律，即可求出答案.
【详解】设直线交x轴于A，交y轴于B，当x=0时，y=1；当y=0时，x=，
∴A(,0)，∴B（0,1），∴OA=,OB=1，
∵是等边三角形，∴
∵∠BOA=，∴OA1=OB1=OA=，A1A2=A1B2=AA1=2，A2A3=A2B3=AA2=4，
∴OA1=,OA2=2，OA3=4,∴A1(，0)，A2(2，0)，A3（4,0），∴的横坐标是.
【点睛】此题考查点坐标的规律探究，一次函数的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，根据几种图形的性质求出A1，A2，A3的坐标得到点坐标的规律是解题的关键.
14．（2022·广西九年级模拟）在平面直角坐标系中，点在射线上，点在射线上，以为直角边作，以为直角边作第二个，然后以为直角边作第三个，…，依次规律，得到，则点的纵坐标为____．
【答案】22022
【分析】根据题意，分别找到AB、A1B1、A2B2……及 BA1、B1A2、B2A3……线段长度递增规律即可．
【详解】解：由已知可知：点A、A1、A2、A3……A2020各点在正比例函数y＝x的图象上，
点B、B1、B2、B3……B2020各点在正比例函数y＝x的图象上，
两个函数相减得到横坐标不变的情况下两个函数图象上点的纵坐标的差为x ①
当A（B）点横坐标为时，由①得AB＝1，则BA1＝，则点A1横坐标为＋＝2，B1点纵坐标为•2＝4＝22；
当A1（B1）点横坐标为2，由①得A1B1＝2，则B1A2＝2；则点A2横坐标为2＋2＝4，B2点纵坐标为×4＝8＝23；
当A2（B2）点横坐标为4，由①得A2B2＝4，则B2A3＝4，则点A3横坐标为4＋4＝8，B3点纵坐标为×8＝16＝24；以此类推，点B2021的纵坐标为22022，故答案为22022．
【点睛】本题是平面直角坐标系规律探究题，考查了直角三角形各边数量关系，解答时注意数形结合．
15．（2022·辽宁抚顺市·九年级三模）如图，点A1（2，1）在直线y=kx上，过点A1作A1B1∥y轴交x轴于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=kx和x轴于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则带点Cn的坐标为_______________．（结果用含正整数n的代数式表示）
【答案】
【分析】先根据A1的坐标，求出直线的解析式，然后依据题意，分别求出A2、A3、A4的坐标，最后找规律得出结论．
【详解】∵点A1(2，1)在直线y=kx上∴1=2k，解得：k= ∴y=x
∴B1(2，0)，A1B1=1∴C1(3，1)∴A2(3，)，B2(3，)∴A2B2=，C2(，)
同理可得：C3(，)、C4(，)可发现规律为：Cn()故答案为：()．
【点睛】本题考查找规律，注意在找出一般规律后，建议再代入2组数据进行验证，防止规律错误．
16．（2022·陕西临潼·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（5，0），B（0，5），动点P的坐标为（a，a﹣1）．（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标．
【答案】（1）直线AB的函数表达式为y=-x+5；（2）点P的坐标为（，）．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A（5，0），B（0，5）代入可求出k、b的值即可得出答案；（2）由题意可知直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，则直线AP经过OB的中点（0，），设直线AP的解析式为y=mx+n，把A（5，0），（0，）代入，即可求出直线AP的解析式，再把P（a，a-1）代入即可的求出a的值，即可的出答案．
【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A（5，0），B（0，5）代入上式，得，解得：，
∴直线AB的函数表达式为y=-x+5；
（2）∵直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，∴直线AP经过OB的中点（0，），
设直线AP的解析式为y=mx+n，把A（5，0），（0，）代入上式，
得，解得，∴直线AP的解析式为y=-x+，
把p（a，a-1）代入y=-x+中，得−a+＝a−1，解得：a=，
∴点P的坐标为（，）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练应用待定系数法求出函数系数的值是解决本题的关键．
17．（2022·深圳市高级中学八年级期末）如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点．（1）直线AB的解析式为 ；（2）若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标；（3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长．
【答案】（1）y＝x+2；（2）点P坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；（3）CP的解析式为：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的长为或4
【分析】（1）先求出点A，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）设点P（m，m+2），分两种情况讨论，利用面积关系列出方程可求m的值，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由“ASA”可证△AOB≌△COH，可得OH＝OB＝2，可求点H坐标，利用待定系数法可求CH解析式，联立方程组可求点P坐标，由两点距离公式可求解．
【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，∴点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意可得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+2，故答案为：y＝x+2；
（2）∵点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），点B（0，2），∴OA＝OC＝4，OB＝2，∴BC＝6，
设点P（m，m+2），当点P在线段AB上时，∵S△APC＝S△AOC，∴S△ABC﹣S△PBC＝×4×4，
∴×6×4﹣×6×（﹣m）＝8，∴m＝﹣，∴点P（﹣，）；
当点P在BA的延长线上时，∵S△APC＝S△AOC，∴S△PBC﹣S△ABC＝×4×4，
∴×6×（﹣m）﹣×6×4＝8，∴m＝﹣，∴点P（﹣，﹣），
综上所述：点P坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；
（3）如图，当点P在线段AB上时，设CP与AO交于点H，
在△AOB和△COH中，，∴△AOB≌△COH（ASA），
∴OH＝OB＝2，∴点H坐标为（﹣2，0），
设直线PC解析式y＝ax+c，由题意可得，解得：，∴直线PC解析式为y＝﹣2x﹣4，
联立方程组得：，解得：，∴点P（﹣，），∴，
当点P'在AB延长线上时，设 CP'与x轴交于点H'，同理可求直线P'C解析式为y＝2x﹣4，
联立方程组，∴点P（4，4），∴，
综上所述：CP的解析式为：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的长为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
一次函数与几何的综合题，共分为八大类：一次函数与等腰三角形、一次函数与直角三角形、一次函数与等腰直角三角形、一次函数与全等三角形、一次函数与平行四边形、一次函数与特殊的平行四边形、一次函数与面积问题、一次函数的探究规律问题，本文将针对这八大类进行方法与经典题型的专题总结。
重要题型
题型1.一次函数与等腰三角形
方法：两圆一线
例：点在轴上，使为等腰三角形。
第一步：画图：
第二步：分情况求解：标等边，用公式：
①当时， ②当时，
①两点间距离公式求出 ①利用三线合一做辅助线：
② ∴ ②∴ ∴
③当时，
①求出； ②∵；∴ ∴ ∴设
③求出中点代入，求得；④求出直线与轴交点
例1．（2022成都市八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为（1，0），连接CD，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）连接OP，当点P在线段BC上运动，且满足△CPO≌△ODC时，求直线OP的表达式；（2）连接PC、PD，求△CPD的面积S关于t的函数表达式；（3）点P在运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
变式1．（2022·广西·钦州市第四中学八年级阶段练习）如图，一次函数的图象过点，且与x轴相交于点B．若点P是x轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是______．
变式2．（2022·四川南充·八年级期末）如图，直线与轴交于，与轴交于，点在经过点的直线上，当是等腰直角三角形时，点的坐标是______．
变式3．（2022•广东八年级期末）如图，直线l1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2＝x+b过点P，与x轴交于点C．（1）求点P的坐标和l2的表达式；（2）若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①当点Q在运动过程中，请直接写出△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出当t为多少时，△APQ的面积等于3；③在动点Q运动过程中，是否存在点Q使△APQ为等腰三角形？若存在，请直接写出此时Q的坐标．
题型2. 一次函数与直角三角形
方法：两线一圆
例：点在轴上，使为直角三角形。
第一步：画图：
第二步：分情况求解：
①当时， ②当时，
①设 ①设
②∵ ∴ ②∵ ∴
∴ ∴
例2．（2022·浙江·温州外国语学校八年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点，分别在轴和轴上．直线经过点，与轴交于点已知，，平分，交于点，动点从点出发沿着线段向终点运动，动点从点出发沿着线段向终点运动，，两动点同时出发，且速度相同，当点到达终点时点也停止运动，设．
(1)求和的长；(2)如图，连接，，求证：四边形为平行四边形；
(3)如图，连接，，当为直角三角形时，求所有满足条件的值．
变式1．（2022•浠水县月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0）、点B（0，b），且a、b满足a2+4a+4+|2a+b|＝0．（1）a＝ ；b＝ ．（2）点P在直线AB的右侧，且∠APB＝45°；
①若点P在x轴上，则点P的坐标为 ；②若△ABP为直角三角形，求点P的坐标．
变式2．（2022•陈仓区期中）（1）阅读理解：我们知道：平面内两条直线的位置关系是平行和相交，其中垂直是相交的特殊情况．在坐标平面内有两条直线：l1：y1＝k1x+b1（k1≠0）；l2：y2＝k2x+b2（k2≠0），有下列结论：当k1＝k2时，直线l1∥直线l2；当k1•k2＝﹣1时，直线l1⊥直线l2．（2）实践应用：①直线y＝kx+5与直线y＝﹣3x+2垂直，则k＝ ．②直线m与直线y＝﹣2x+3平行，且经过点（4，﹣2），则直线m的解析式为 ．③直线y＝﹣2x+3向右平移 个单位，其图象经过点（6，﹣4）．
（3）深入探索：如图，直线y＝x+1与x轴交于点B，且经过点A，已知A的横坐标为2，点P是x轴上的一动点，当△ABP为直角三角形时，求△ABP的面积．
题型3. 一次函数与等腰直角三角形
例：点在平面内，使为等腰直角三角形。
第一步：画出6个答案：
第二步：分情况求解：见斜等腰三角形构“K”型全等求坐标：
①当时， ②当时，
①设 法一：为的中点 法二：①设
②构造“K”型全等： ∴ ②构造“K”型全等：
③表示线段：；； ∴
； ③表示线段：
④由全等，得 ；
；
∴ ④由全等，得：
∴
例3．（2022•和平区校级期中）【模型建立】（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，则直线l2的函数表达式为 ．
（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 ．
（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标 ．
变式1．（2022•河北八年级期中）如图，直线y＝﹣x+1交y轴于A点，交x轴于C点，以A，O，C为顶点作矩形AOCB，将矩形AOCB绕O点逆时针旋转90°，得到矩形DOFE，直线AC交直线DF于G点．（1）求直线DF的解析式；（2）求证：OG平分∠CGD；（3）在第一象限内，是否存在点H，使以G，O，H为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在请求出点H的坐标；若不存在，请什么理由．
变式2．（2023·江苏·西安八年级阶段练习）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作于D，过B作于E．
(1)求证：；(2)模型应用：①已知直线：y＝﹣x﹣4与y轴交于A点，将直线绕着A点逆时针旋转45°至，如图2，求的函数解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，﹣6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
题型4.一次函数与全等三角形
1.解题步骤：①找固定相等的角或边；②以对应边/角相等要求分类讨论全等情况。
2.相等的角或边情况：
①公共边情况：平面内找一点，使以、、为顶点的三角形与全等.
、关于成轴对称，、关于成轴对称，即是、的中垂线，可用中垂线代数法求点。
②固定角相等：①两个三角形为直角三角形；②相等角为对顶角：
常见运用公式：①若两直线、垂直，则；
②点，：、中点坐标：；；
③中垂线代数法：例：如下图，若点，是的中垂线，求点的坐标。
①求出；②∵∴∴ ∴设
③求出中点代入，求得；④求出直线与轴交点
例4．（2022·重庆·八年级期中）如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．
变式1．（2022·山东威海·七年级期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若与全等，试确定点Q的横坐标．
变式2．（2022•婺城区校级期末）如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．（1）求点A、C的坐标；（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型5.一次函数与平行四边形
例5．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点；直线：与轴交，两直线交于轴上一点．
(1)求这两条直线的解析式；(2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
(3)若点在直线上，且满足与的面积相等，求点的坐标．
变式1．（2022·广东·深圳市八年级期末）已知：直线y＝x+12与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
(1)OC的长度为______；(2)点 E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，则点F的坐标为______；(3)取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，存在以 C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则点Q的坐标为______．
变式2．（2022·江苏扬州·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线PA是一次函数y＝x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y＝﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；
(2)若四边形PQOB的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
题型6.一次函数与特殊的平行四边形
例6．（2023春·江苏常州·八年级常州实验初中校考期中）如图，矩形的顶点A、C分别在y、x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图像与边、分别交于点D、E，并且满足，点P是线段上的一个动点．
(1)求一次函数的表达式；(2)连结，若把四边形面积分成两部分，求点P的坐标；
(3)设点Q是x轴上方平面内的一点，以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标．
变式1．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市侨谊实验中学校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点B、C都在x轴上，，，所在直线的函数表达式为，E是的中点，点P是边上一个动点．(1)当______时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形．
(2)点P在边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
变式2．（2022秋·四川成都·九年级石室中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，，直线交直线于点．(1)求直线的解析式及点的坐标；(2)如图，为直线上一动点且在第一象限内，、为轴上动点，在右侧且，当时，求最小值；(3)如图，将沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，当过点时，在平面内是否存在点，在第一象限内是否存在点，使得以、、、四个点为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
变式3．（2022春·重庆南岸·八年级校考阶段练习）如图，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．(1)求直线的解析式；(2)如图，若点在直线上，过点作轴交于点，交轴于点，使，求此时点的坐标；(3)如图，点是直线上一动点，点是直线上一动点，点是坐标平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形为正方形，且是正方形的边，若存在，请直接写出点的坐标．
变式4．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）
(1)求直线的解析式；(2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标；(3)如图2，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标
变式5．（2022春·重庆·八年级重庆市巴川中学校校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作等腰直角三角形ABC，．
(1)求直线BC的函数解析式；(2)点P为线段AB上一动点，过点P作轴交BC于点Q．当时，求四边形APQC的面积及此时点P的坐标；(3)如图2，将一次函数的图象向左平移2个单位长度得到直线l，点M和点N均在直线BC上运动，点G为直线l上一动点，若以点A、N、G、M为顶点的四边形为矩形，直接写出MN的长度．
题型7.一次函数与面积问题
1.求点的坐标：一般会求两种坐标：①直线与轴、轴的交点坐标；②两直线的交点坐标。
2.表示面积：①规则图形：用公式法（三角形面积不能漏×）；
②不规则图形：分割法，如下图：四边形用分割，；
，如下图：.
注：求三角形面积时往往选择平行于坐标轴的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高。
例7．（2022·湖南武陵·八年级期末）如图，已知直线AB过点A（5，0）、B（0，﹣5），交直线OC于点C，且直线OC的解析式为y．（1）求直线AB的解析式；（2）求△AOC的面积；（3）若点P在直线OC上，且△BCP的面积是△AOC面积的2倍，求点P的坐标．
变式1．（2022·成都市树德实验中学八年级期末）如图1，在平面直角坐标中，直线：与抽交于点，直线：与轴交于点，与相交于点．
（1）请直接写出点，点，点的坐标：_________，________，_______．
（2）如图2，动直线分别与直线、交于、两点．
①若，求的值；②若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
变式2．（2022·四川泸县·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与直线CD相交于点E，且．
（1）求一次函数的解析式；（2）求四边形OBEC的面积四边形OBEC；（3）在坐标轴上是否存在点P，使得？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型8. 一次函数中的探究规律问题
例8．（2022·河北保定师范附属学校八年级期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作 轴的垂线，交直线于点按此规律作下去， 则点的坐标为_______；点的坐标为_______ ．
变式1．（2022·成都七中八年级期中）如图，在平面直角坐标系，直线与轴交于点，以为一边在上方作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为一边在上方作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为一边在上方作等边，……，则的横坐标为__________．
变式2．（2022·成都市·树德中学八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1，A2，A3，…An在直线l上，点C1，C2，C3，…∁n在y轴正半轴上，则正方形AnBn∁nCn﹣1的面积是_____．
课后专项训练：
1．（2022•辽宁八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠BAC＝90°，点A为（，0）、点B为（0，1），坐标系内有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为 ．
2．（2022重庆八年级期末）在直角坐标系中，已知A（6，0）、F（3，0），C（0，2），在△AOC的边上取两点P、Q（点Q是不同于点F的点），若以O、P、Q为顶点的三角形与△OFP全等，则符合条件的点P的坐标为 ．
3．（2022•柳南区校级期末）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P
在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）求k、b的值；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2022•成都市八年级期中）如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B与原点重合，点D的坐标为（4，4），当三角板直角顶点P坐标为（3，3）时，设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F．在三角板绕点P旋转的过程中，使得△POE成为等腰三角形，请写出满足条件的点F的坐标 ．
5．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点，函数的图象与直线交于点M，与y轴交于点C．
(1)求直线的函数解析式；(2)当点M在线段上时，求m的取值范围；
(3)当为直角三角形时，求m的值．
6．（2022·上海·八年级阶段练习）如图，△ABC的两顶点分别为B（0，0），C（4，0），顶点A在直线l：y＝﹣x+3上．(1)当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，求点A的坐标；(2)当△ABC的面积为4时，求点A的坐标；(3)在直线l上是否存在点A，使∠BAC＝90°？若存在，求出点A的坐标；若不存在请说明理由．
7．（2022•山东八年级月考）如图，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点B．（1）求点A、B的坐标（用含b的代数式表示）；（2）若点P是直线AB上的任意一点，且点P与点O距离的最小值为4，求该直线的表达式；（3）在（2）的基础上，若点C在第一象限，且△ABC为等腰直角三角形，求点C的坐标．
8．（2022·贵州黔西·八年级期末）如图，直线：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线：交于点C，且OA＝8．(1)求直线的解析式：(2)若与y轴交于点D，求△BCD的面积，(3)在线段上BC是否存在一点E，过点E作轴与直线CD交于点F，使得四边形OBEF是平行四边形？若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
9．（2022·重庆八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与直线：交于点B，直线交x轴于点A，交y轴于点C，直线交x轴于点E，交y轴于点D，．
(1)求直线的解析式；(2)如图1，点D与点P关于x轴的对称，M、N为直线上两动点，且，求的最小值；(3)如图2，点D与点P关于x轴的对称，点H为直线上一动点，在直线上是否存在一点F，使以E、F、H、P四点构成的四边形是以PE为边的平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是梯形，，是的中点，，点坐标是，所在直线的函数关系式为，点是边上一个动点．(1)当_________________时，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形．(2)在（1）的条件下，点P在边上运动过程中，以点、、、为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
11．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，直线y=kx+15(k≠0)经过点C(3，6)，交x轴于点A，交y轴于点B．线段CD平行于x轴，交直线于点D，连接OC、AD．
(1)求k的值及点A的坐标．(2)求证：四边形OADC是平行四边形．
(3)动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时动点Q从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动．设P、Q两点的运动时间为t秒．
①用含t的代数式表示线段PQ的长．②当四边形CPAQ为矩形时，直接写出t的值．
12．（2022春·广西河池·八年级统考期末）如图矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，，，且，满足，一次函数的图象与边，分别交于，两点．
(1)求点的坐标；(2)直线与一次函数交于点，求点的坐标；
(3)点在线段上运动，过点作，垂足分别为点，．是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2022·四川成都市·八年级期末）如图，直线 与 轴正方向夹角为，点在轴上，点在直线 上，均为等边三角形，则的横坐标为__________．
14．（2022·广西九年级模拟）在平面直角坐标系中，点在射线上，点在射线上，以为直角边作，以为直角边作第二个，然后以为直角边作第三个，…，依次规律，得到，则点的纵坐标为____．
15．（2022·辽宁抚顺市·九年级三模）如图，点A1（2，1）在直线y=kx上，过点A1作A1B1∥y轴交x轴于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=kx和x轴于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则带点Cn的坐标为_______________．（结果用含正整数n的代数式表示）
16．（2022·陕西临潼·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（5，0），B（0，5），动点P的坐标为（a，a﹣1）．（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标．
17．（2022·深圳市高级中学八年级期末）如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点．（1）直线AB的解析式为 ；（2）若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标；（3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长．
专题19.3 一次函数与几何图形八大题型 专项讲练
专题前言
一次函数与几何的综合题，共分为八大类：一次函数与等腰三角形、一次函数与直角三角形、一次函数与等腰直角三角形、一次函数与全等三角形、一次函数与平行四边形、一次函数与特殊的平行四边形、一次函数与面积问题、一次函数的探究规律问题，本文将针对这八大类进行方法与经典题型的专题总结。
重要题型
题型1.一次函数与等腰三角形
方法：两圆一线
例：点在轴上，使为等腰三角形。
第一步：画图：
第二步：分情况求解：标等边，用公式：
①当时， ②当时，
①两点间距离公式求出 ①利用三线合一做辅助线：
② ∴ ②∴ ∴
③当时，
①求出； ②∵；∴ ∴ ∴设
③求出中点代入，求得；④求出直线与轴交点
例1．（2022成都市八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为（1，0），连接CD，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）连接OP，当点P在线段BC上运动，且满足△CPO≌△ODC时，求直线OP的表达式；（2）连接PC、PD，求△CPD的面积S关于t的函数表达式；（3）点P在运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
解：（1）∵四边形ABCO是正方形，∴∠COD＝∠OCP，∵OC＝CO，
∴当CP＝OD＝1时，△CPO≌△ODC，∴P（1，3），
设直线OP的解析式为y＝kx，则有3＝k，∴直线OP的解析式为y＝3x．
（2）当点P在线段BC上时，如图1中，S＝•CP•CO＝t（0＜t≤3），
当点P在线段AB上时，如图2中，BP＝t﹣3，AP＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，
S＝3×3﹣×1×3﹣×3×（t﹣3）﹣×2×（6﹣t）＝﹣t+6（3＜t≤6），
综上所述，S＝．
（3）如图3中，
①当DC＝DP1时，P1（2，3），②当DC＝DP2时，AP2＝＝，∴P2（3，）．
③当CD＝CP3＝时，BP3＝＝1，∴P3（3，2）．
④当P4C＝P4D时，设AP4＝a，则有22+a2＝32+（3﹣a）2，解得a＝，∴P4（3，），
综上所述，满足条件的点P坐标为（2，3）或（3，）或（3，2）或（3，）．
变式1．（2022·广西·钦州市第四中学八年级阶段练习）如图，一次函数的图象过点，且与x轴相交于点B．若点P是x轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是______．
【答案】，，，
【分析】先把点A（1，2）代入一次函数y=x+b求出b的值，故可得出B点坐标，再分AB=AP，AB=BP及AP=BP三种情况进行分类讨论．
【详解】解：如图，
∵一次函数y=x+b的图象过点A（1，2），
∴2=1+b,解得b=1，∴一次函数的解析式为：y=x+1，∴B（-1，0）．
当AB=AP时，∵B（-1，0），∴；
当AB=BP时，∵，
∴；当AP=BP时，则，
设P（t，0），则，解得：t=1，∴．
综上所述，P点坐标为：，，，．
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
变式2．（2022·四川南充·八年级期末）如图，直线与轴交于，与轴交于，点在经过点的直线上，当是等腰直角三角形时，点的坐标是______．
【答案】（6，4）或（3，3）##（3，3）或（6，4）
【分析】先求出点A和点B的坐标，用待定系数法求出b，根据△PAB是等腰直角三角形且∠PBA≠90°，所以分∠BAP'=90°、∠BPA=90°两种情况分别求点P的坐标，即可求解．
【详解】对于，令x=0，则y=2，
令y=0，则，解得：x=4，
∴点A（4，0），B（0，2），
∴OB=2，OA=4，
把点B（0，2）代入，得：b=2，
∴直线PB的解析式为，
根据题意得：∠PBA≠90°，
①当∠BA P′=90°且AB=AP′，过A作AP′⊥AB，垂足为A，过P′作P′H′⊥轴，
∴∠AOB=∠P′H′A=90°，∠OAB+∠P′A H′=90°，
∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠OBA=∠P′A H′，
又AB=AP′，∴△AOB≌△P′AH′（AAS），
∴AH′=0B=2，P′H′=0A=4，
∴OH′=OA+AH′=6，∴P′（6，4），
把x=6代入，得y=4，
∴点P′在直线，符合题意．
②当∠BPA=90°且BP=AP，过A作AP⊥BP于点P，过P作PH⊥y轴，过P作PQ⊥x轴，
∴∠PHO=∠PQO=∠HOQ=90°，
∴四边形OHPQ为矩形，
∴PH=0Q，PQ=OH，∠HPB+∠BPQ=90°，
∵∠APQ+∠BPQ=90°，
∴∠HPB=∠APQ，
又∵BP=AP，
∴△HBP≌△QAP（AAS），
∴HP=PQ，HB=QA，
∴四边形OHPQ为正方形，
∵OH+OQ=（OB+HB）+OQ=OB+AQ+OQ=OB+（AQ+OQ）=OB+OA=4+2=6，
∴PH=PQ=3，
∴P（3，3），
把x=3代入得：y=3，
∴点P在直线，符合题意．
综上所述，点P的坐标为（6，4）或（3，3）．
故答案为：（6，4）或（3，3）
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数及图像上的点的坐标，其中根据等腰直角三角形的直角分为两种可能，再通过添加辅助线构造全等三角形，是求得点P坐标的关键．
变式3．（2022•广东八年级期末）如图，直线l1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2＝x+b过点P，与x轴交于点C．（1）求点P的坐标和l2的表达式；（2）若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①当点Q在运动过程中，请直接写出△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出当t为多少时，△APQ的面积等于3；③在动点Q运动过程中，是否存在点Q使△APQ为等腰三角形？若存在，请直接写出此时Q的坐标．
解：（1）∵点P（m，3）为直线l1上一点，∴3＝﹣m+2，解得m＝﹣1，∴点P的坐标为（﹣1，3），
把点P的坐标代入y2＝x+b得，3＝×（﹣1）+b，解得b＝，∴l2的表达式为y＝x+；
（2）①由题意可知CQ＝t，P到x轴的距离为3，
令y2＝0可得0＝x+，解得x＝﹣7，∴点C坐标为（﹣7，0），
在y1＝﹣x+2中，令y1＝0可得﹣x+2＝0，解得x＝2，
∴A点坐标为（2，0）；∴AC＝2﹣（﹣7）＝9，
当Q在A、C之间时，则AQ＝AC﹣CQ＝9﹣t，∴S＝×3×（9﹣t）＝﹣t+；
当Q在A的右边时，则AQ＝CQ﹣AC＝t﹣9，∴S＝×3×（t﹣9）＝t﹣；
②令S＝3可得﹣t+＝3或3＝t﹣，解得t＝7或t＝11，
即当t的值为7秒或11秒时△APQ的面积等于3；
③设Q（x，0）（x≥﹣7），∵A（2，0），P（﹣1，3），
∴PQ2＝（x+1）2+32＝x2+2x+10，AQ2＝（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，AP2＝（2+1）2+32＝18，
∵△APQ为等腰三角形，∴有PQ＝AQ、PQ＝AP和AQ＝AP三种情况，
当PQ＝AQ时，则PQ2＝AQ2，即x2+2x+10＝x2﹣4x+4，解得x＝﹣1，则Q点坐标为（﹣1，0），
∴CQ＝﹣1﹣（﹣7）＝6，即t＝6；
当PQ＝AP时，则PQ2＝AP2，即x2+2x+10＝18，解得x＝﹣4或x＝2，
则Q点坐标为（﹣4，0）或（2，0）（与A点重合，舍去），∴CQ＝﹣4﹣（﹣7）＝3，即t＝3；
当AQ＝AP时，则AQ2＝AP2，即x2﹣4x+4＝18，
解得x＝2±3，则Q点坐标为（2+3，0）或（2﹣3，0），
综上所述：点Q坐标为（﹣1，0）或（﹣4，0）或（2+3，0）或（2﹣3，0）．
题型2. 一次函数与直角三角形
方法：两线一圆
例：点在轴上，使为直角三角形。
第一步：画图：
第二步：分情况求解：
①当时， ②当时，
①设 ①设
②∵ ∴ ②∵ ∴
∴ ∴
例2．（2022·浙江·温州外国语学校八年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点，分别在轴和轴上．直线经过点，与轴交于点已知，，平分，交于点，动点从点出发沿着线段向终点运动，动点从点出发沿着线段向终点运动，，两动点同时出发，且速度相同，当点到达终点时点也停止运动，设．
(1)求和的长；
(2)如图，连接，，求证：四边形为平行四边形；
(3)如图，连接，，当为直角三角形时，求所有满足条件的值．
【答案】(1)16，20(2)见解析(3)或或或
【分析】（1）求得A，F两点坐标，进而求得AF长，取AF的中点M，连接OM，作CGAD交AF的延长线于G，作GH⊥OC于H，求得A，F坐标，从而求得AF，推出△AOQ是等边三角形，从而得出∠OAF=60°，从而得出∠CFG=30°，进而得出AGCE，进一步得出四边形AECG是平行四边形，从而CE=AG，进一步求得结果；（2）在（1）的基础上，证明出结论；
（3）分为三种情形，当∠QFP=90°，解直角三角形CPQ求得CP，进而求得AQ；当∠PQF=90°时，在∠QFP=90°的图形上，根据P′P1=FQ′求得结果；当∠QPF=90°时，分别表示出PQ2和PF2，根据PQ2+PF2=FQ2列出方程，进而求得结果．
（1）如图，
取的中点，连接，作CGAD交的延长线于，作于，
当时，，，
当时，，，，
，，
，是的中点，，
，，，
在四边形中，，，
平分，，
，，
，
，，AG//CE
，四边形是平行四边形，，
设，则，，
，舍去，，
；
（2）证明：由（1）知：AF//CE，
，四边形为平行四边形；
（3）解：如图，
当时，图中，
，，，，
当时，图中，
由得，，，，
如图，当时，作于作于，设，
，，，
在中，，
在中，，
由得，，
，，或，
综上所述：或或或．
【点睛】本题考查了直角三角形性质，平行四边形判定，直角三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，根据条件列出方程．
变式1．（2022•浠水县月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0）、点B（0，b），且a、b满足a2+4a+4+|2a+b|＝0．（1）a＝ ；b＝ ．（2）点P在直线AB的右侧，且∠APB＝45°；
①若点P在x轴上，则点P的坐标为 ；②若△ABP为直角三角形，求点P的坐标．
解：（1）a2+4a+4+|2a+b|＝（a+2）2+|2a+b|＝0，即：a＝﹣2，b＝4，故答案为：﹣2，4；
（2）①由（1）知，b＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4．
∵点P在直线AB的右侧，P在x轴上，∠APB＝45°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0）．故答案为：（4，0）；
②由（1）知 a＝﹣2，b＝4，∴A（2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，
当∠BAP＝90°时，过点P作PH⊥x轴于H，
∴∠HAP+∠BAH＝90°，∠ABO+∠BAH＝90°，∴∠OBA＝∠HAP，∠AOB＝∠AHP＝90°，
又∠APB＝45°，∴AP＝AB，∴△OBA≌△AHP（AAS），
∴PH＝AO＝2，AH＝OB＝4，OH＝AH﹣AO＝2，故点P的坐标为（2，﹣2）；
当∠ABP＝90°时，同理可得：点P的坐标为（4，2），故点P的坐标为（2，﹣2）或（4，2）．
变式2．（2022•陈仓区期中）（1）阅读理解：我们知道：平面内两条直线的位置关系是平行和相交，其中垂直是相交的特殊情况．在坐标平面内有两条直线：l1：y1＝k1x+b1（k1≠0）；l2：y2＝k2x+b2（k2≠0），有下列结论：当k1＝k2时，直线l1∥直线l2；当k1•k2＝﹣1时，直线l1⊥直线l2．（2）实践应用：①直线y＝kx+5与直线y＝﹣3x+2垂直，则k＝ ．②直线m与直线y＝﹣2x+3平行，且经过点（4，﹣2），则直线m的解析式为 ．③直线y＝﹣2x+3向右平移 个单位，其图象经过点（6，﹣4）．
（3）深入探索：如图，直线y＝x+1与x轴交于点B，且经过点A，已知A的横坐标为2，点P是x轴上的一动点，当△ABP为直角三角形时，求△ABP的面积．
解：（2）①∵直线y＝kx+5与直线y＝﹣3x+2垂直，∴k1•k2＝﹣1，∴k＝，故答案为：；
②∵直线m与直线y＝﹣2x+3平行，
∴设直线m的函数解析式为y＝﹣2x+b，将（4，﹣2）代入得b＝6，
∴直线m的解析式为：y＝﹣2x+6，故答案为：y＝﹣2x+6；
③设直线y＝﹣2x+3平移后经过（6，﹣4）的函数解析式为y＝﹣2x+a，
∴﹣2×6+a＝﹣4，∴a＝8，∴y＝﹣2x+8，
∴y＝﹣2x+3与x轴交点为（0，），y＝﹣2x+8与x轴交点为（0，4），
∴向右平移了4﹣＝个单位，故答案为：；
（3）由题意知：A（2，3），B（﹣1，0），当△ABP为直角三角形时，存在两种情形，
当AP⊥x轴时，P（2，0），∴S△ABP＝＝，当AP⊥AB时，设AP的解析式为y＝﹣x+c，
将A（2，3）代入得﹣2+c＝3，∴c＝5，∴直线AP的解析式为y＝﹣x+5，
∴点P（5，0），∴BP＝6，∴S△ABP＝＝9，综上：△ABP的面积为9或．
题型3. 一次函数与等腰直角三角形
例：点在平面内，使为等腰直角三角形。
第一步：画出6个答案：
第二步：分情况求解：见斜等腰三角形构“K”型全等求坐标：
①当时， ②当时，
①设 法一：为的中点 法二：①设
②构造“K”型全等： ∴ ②构造“K”型全等：
③表示线段：；； ∴
； ③表示线段：
④由全等，得 ；
；
∴ ④由全等，得：
∴
例3．（2022•和平区校级期中）【模型建立】（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，则直线l2的函数表达式为 ．
（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 ．
（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标 ．
证明：（1）∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，
在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）过点B作BF⊥l1，交l2于F，过F作FH⊥y轴于H，则△ABF是等腰直角三角形，
由（1）同理可证△OAB≌△HBF（AAS），∴OA＝BH，OB＝FH，
∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，3），∴OA＝2，OB＝3，∴OH＝5，FH＝3，∴F（﹣3，5），
设l2的函数解析式为y＝kx+b，将点A，F的坐标代入得k＝﹣5，b＝﹣10，\
∴直线l2的函数解析式为y＝﹣5x﹣10，故答案为：y＝﹣5x﹣10；
（3）由（1）得△BOC≌△CDA，∴OC＝AD＝1，CD＝OB＝2，∴A（3，1），
∵S△AOB＝＝3，∴S△OAM＝1，∴OM＝2，∴M（2，0），
如图，当M在x轴负半轴时，∵，∴S，
∴OM＝1，∴M（﹣1，0），故答案为：（2，0）或（﹣1，0）；
（4）①若点P为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，
∵∠CPD＝90°，CP＝PD，∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°，∴∠CPM+∠PDH＝90°，
又∵∠CPM+∠DPM＝90°，∴∠PCM＝∠PDH，
在△MCP与△HPD中，，∴△△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM＝PH，PM＝PD，∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m，
解得：m＝﹣，即点D的坐标为（）；
②若点C为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，CA＝CD，同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM＝CH，MC＝HD，∴点D的坐标为（4+n，﹣7），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2（4+n）+1＝﹣7，解得：n＝0，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（4，﹣7）；
③若点D为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，k），则PB的长为（4+k），CD＝PD，
同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），∴MD＝PQ，MC＝DQ，∴D（），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2×＝﹣，解得：k＝﹣，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（），
综上所述，点D的坐标为（）或（4，﹣7）或（），
故答案为：（）或（4，﹣7）或（）．
变式1．（2022•河北八年级期中）如图，直线y＝﹣x+1交y轴于A点，交x轴于C点，以A，O，C为顶点作矩形AOCB，将矩
形AOCB绕O点逆时针旋转90°，得到矩形DOFE，直线AC交直线DF于G点．（1）求直线DF的解析式；（2）求证：OG平分∠CGD；（3）在第一象限内，是否存在点H，使以G，O，H为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在请求出点H的坐标；若不存在，请什么理由．
解：（1）∵直线y＝﹣x+1交y轴于A点，交x轴于C点，
∴A点的坐标是（0，1），C点的坐标是（2，0），
∵将矩形AOCB绕O点逆时针旋转90°，得到矩形DOFE，
∴F点的坐标是（0，2），D点的坐标是（﹣1，0），
设直线DF的解析式是y＝kx+2，∴﹣k+2＝0，解得k＝2，∴直线DF的解析式是：y＝2x+2．
（2）如图1，作OM⊥DF，交DF于点M，作ON⊥CG，交CG于点N，
，
在Rt△OAC和Rt△ODF中，（HL）∴Rt△OAC≌Rt△ODF，
又∵OM⊥DF，ON⊥CG，∴OM＝ON，
在Rt△OMG和Rt△ONG中，（HL）∴Rt△OMG≌Rt△ONG，
∴∠MGO＝∠NGO，∴OG平分∠CGD．
（3）存在点H，使以G，O，H为顶点的三角形为等腰直角三角形．
联立解得∴点G的坐标是（﹣，），
∴OG＝，∴OG所在的直线的斜率是：，
①如图2，
，，，
当∠OGH＝90°时，设点H的坐标是（a，b），
则解得∴点H的坐标是（0.8，1.6）．
②如图3，当∠GOH＝90°时，设点H的坐标是（c，d），
则解得∴点H的坐标是（1.2，0.4）．
③如图4，当∠GHO＝90°时，设点H的坐标是（e，f），
则解得∴点H的坐标是（0.4，0.8）．
综上，可得 存在点H，使以G，O，H为顶点的三角形为等腰直角三角形，
点H的坐标是（0.8，1.6）、（1.2，0.4）或（0.4，0.8）．
变式2．（2023·江苏·西安八年级阶段练习）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作于D，过B作于E．
(1)求证：；(2)模型应用：①已知直线：y＝﹣x﹣4与y轴交于A点，将直线绕着A点逆时针旋转45°至，如图2，求的函数解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，﹣6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
【答案】(1)见解析(2)①y＝﹣x﹣4；②（4，﹣2）或（，﹣）或（，﹣）
【分析】（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB＝CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；
（2）①过点B作BC⊥AB于点B，交于点C，过C作CD⊥x轴于D，根据∠BAC＝45°可知△ABC为等腰直角三角形，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系数法求出直线的函数解析式即可；②分三种情况考虑：如图3所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，设D点坐标为（x，2x+6），利用三角形全等得到，得D点坐标；如图4所示，当∠APD＝90°时，AP＝PD，设点P的坐标为（8，m），表示出D点坐标为（14m，m8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图5所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理求出D的坐标．
（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∴CB＝CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠EBC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC， 在△ACD与△CBE中，
，∴△ACD≌△EBC（AAS）；
（2）解：①过点B作BC⊥AB于点B，交于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图2，
∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，
∵直线：y＝x4，∴A（0，4），B（3，0），
∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，∴OD＝4+3＝7，∴C（7，3）
设的解析式为y＝kx+b（k≠0），∴∴，∴的解析式：；
②如图3，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，
∵，∴，∴
∵点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，∴设D点坐标为（x，2x6），
∵B的坐标为（8，﹣6），∴
∴，即解得，∴D点坐标（4，2）；
如图4，当∠APD＝90°时，AP＝PD，同理可得，
过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设点P的坐标为（8，m），则D点坐标为（14m，m8），
由m8＝2（14m）+6，得m＝，∴D点坐标（，）；
如图5，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理可求得D点坐标（，），
综上可知满足条件的点D的坐标分别为（4，2）或（，）或（，），
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．
题型4.一次函数与全等三角形
1.解题步骤：①找固定相等的角或边；②以对应边/角相等要求分类讨论全等情况。
2.相等的角或边情况：
①公共边情况：平面内找一点，使以、、为顶点的三角形与全等.
、关于成轴对称，、关于成轴对称，即是、的中垂线，可用中垂线代数法求点。
②固定角相等：①两个三角形为直角三角形；②相等角为对顶角：
常见运用公式：①若两直线、垂直，则；
②点，：、中点坐标：；；
③中垂线代数法：例：如下图，若点，是的中垂线，求点的坐标。
①求出；②∵∴∴ ∴设
③求出中点代入，求得；④求出直线与轴交点
例4．（2022·重庆·八年级期中）如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．
解：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．
∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，
∴四边形ABCO为矩形，∴AO＝BC＝4．
∵△APB为等腰直角三角形，∴AP＝BP，∠PAB＝∠PBA＝45°，
∴∠OAP＝90°﹣∠PAB＝45°，∴△AOP为等腰直角三角形，
∴OA＝OP＝4．∴t＝4÷1＝4（秒），故t的值为4．
（2）如图2，∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45°，
∵点A关于x轴的对称点为A′，∴PA＝PA'，
又AP＝PB，∴PA＝PA'＝PB，∴∠PAA'＝∠PBA'＝∠PA'B，
又∵∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠PAA'+∠PA'A+∠PA'B+∠PBA'＝90°，
∴∠AA'B＝45°，即∠OA'B＝45°；
（3）当t＝3时，M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，
①如图3，若△ABP≌△MBP，则AP＝PM，过点M作MD⊥OP于点D，
∵∠AOP＝∠PDM，∠APO＝∠DPM，∴△AOP≌△MDP（AAS），
∴OA＝DM＝4，OP＝PD＝3，∴M（6，﹣4）．
②如图4，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（4，7），
③如图5，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（10，﹣1）．
综合以上可得点M的坐标为（4，7），（6，﹣4），（10，﹣1）
变式1．（2022·山东威海·七年级期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若与全等，试确定点Q的横坐标．
【答案】7或8
【分析】根据与全等分两种情况分类讨论即可解答．
【详解】解：在直线中，
当x=0时，y=0+4=4，即，
当y=0时，0=，∴ ，即；
∵与全等，∴分两种情况：
当时，，如图所示，则，
∴点Q的横坐标为：，
当时，，如图所示，则，
∵ ，∴点Q的横坐标为：；
综上所述：点Q的横坐标为7或8．
【点睛】本题主要考查三角形全等的应用，一次函数的应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
变式2．（2022•婺城区校级期末）如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．（1）求点A、C的坐标；（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）A（2，0）；C（0，4）（2分）
（2）由折叠知：CD＝AD．设AD＝x，则CD＝x，BD＝4﹣x，
根据题意得：（4﹣x）2+22＝x2解得：此时，AD＝，（2分）
设直线CD为y＝kx+4，把代入得（1分）解得：
∴直线CD解析式为（1分）
（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图，由△APC≌△CBA得∠ACP＝∠CAB，
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，AD＝，PD＝BD＝＝，AP＝BC＝2
由AD×PQ＝DP×AP得：∴
∴，把代入得 此时
（也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）
③当点P在第二象限时，如图 同理可求得：∴此时
综合得，满足条件的点P有三个，
分别为：P1（0，0）；；．
题型5.一次函数与平行四边形
例5．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点；直线：与轴交，两直线交于轴上一点．
(1)求这两条直线的解析式；(2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
(3)若点在直线上，且满足与的面积相等，求点的坐标．
【答案】(1)：，：(2)或或(3)或
【分析】把代入可得直线：，把，代入可得直线：；设，又，，，分三种情况：若，为对角线，则，的中点重合，，解得；若，为对角线，，解得；若，为对角线，，解得；
设直线交于，设，可得，，根据与的面积相等，有，即可解得点的坐标为或
（1）解：把代入得：，解得，直线：，
在中，令得，，
把，代入得：，解得，直线：．
（2）设，∵，，，
若，为对角线，则，的中点重合，
，解得，；
若，为对角线，同理可得：
，解得，；
若，为对角线，可得：
，解得，，
综上所述，的坐标是或或．
（3）解：设直线交于，如图：
设，，
在中，令得，，，
，
与的面积相等，，
当时，，解得舍去，
当时，，解得，，
当时，，解得，，
综上所述，点的坐标为或 ．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．
变式1．（2022·广东·深圳市八年级期末）已知：直线y＝x+12与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
(1)OC的长度为______；(2)点 E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，则点F的坐标为______；(3)取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，存在以 C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则点Q的坐标为______．
【答案】(1)6(2)（-4，4）或（-12，-12）(3)（-2，）或′（2，）或（-14，）
【分析】（1）首先由直线y=x+12，得出点A，B的坐标，设OC=CD=m，则AC=16-m，在Rt△ACD中，利用勾股定理列方程可得答案；（2）首先求出直线BC的解析式为y=2x+12，设E（a，2a+12），F（b，2b+12），过A点作y轴的平行线交过点F与x轴的平行线交于点M，交过点E与x轴的平行线于点N，利用AAS证明△NAE≌△MFA，得NE=MA，AN=MF，则-2a-12=b+16，2b+12=16+a，从而解决问题；（3）按以CM为边或以CM为对角线进行分类讨论，求出平行四边形的某条边所在直线的解析式，再利用两条直线的解析式组成方程组，求出直线的交点坐标，即可求得点Q的坐标．
（1）解：对于直线y＝，令x＝0，则y＝12，
令y＝0，则x＝﹣16，∴B（0，12），A（﹣16，0），∴OB＝12，OA＝16，由勾股定理得，AB＝20，
∵将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
∴OC＝CD，OB＝BD＝12，∠ADC＝∠BOC＝90°，∴AD＝8，
设OC＝CD＝m，则AC＝16﹣m，在Rt△ACD中，由勾股定理得，m2+82＝（16﹣m）2，
解得m＝6，∴OC＝6，故答案为：6；
（2）解：由B（0，12），C（﹣6，0）得，直线BC的解析式为y＝2x+12，
设E（a，2a+12），F（b，2b+12），
过A点作y轴的平行线交过点F与x轴的平行线交于点M，交过点E与x轴的平行线于点N，
∵△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝90°，∴∠NAE+∠MAF＝90°，
∵∠NAE+∠AEN＝90°，∴∠MAF＝∠AEN，
∵∠M＝∠N＝90°，∴△NAE≌△MFA（AAS），∴NE＝MA，AN＝MF，
∴-2a-12=b+16，2b+12=16+a，∴a=-12，b=-4，∴F（-4，4），E（-12，-12），
当点E、F交换时，F（-12，-12），
综上：F（-4，4）或（-12，-12），故答案为：F（-4，4）或（-12，-12）；
（3）解：如图3，四边形PQMC是平行四边形，则CP∥QM，PQ∥CM，
设直线PC的解析式为y=x+a，则×（-6）+a=0，解得，a=，
∴y=x+，∴P（0，）；∵M是AB的中点，∴M（-8，6），
∴点L的坐标为（，），即（-7，3）
设直线CM的解析式为y=kx+b，则
，解得，，∴y=-3x-18，
∴直线PQ的解析式为y=-3x+，
由得，，∴Q（-2，）；
如图3，四边形P′Q′CM是平行四边形，则P′Q′∥CM∥PQ，P′Q′=CM=PQ，
∴∠BP′Q′=∠BPQ，∠BQ′P′=∠BQP，∴△BP′Q′≌△BPQ（ASA），∴BQ′=BQ，
∴点Q′与点Q关于点B（0，12）对称，∴Q′（2，）；
如图3，L为CM的中点，PL的延长线交AB于点Q1，连接CQ1，
∵∠LQ1M=∠LPC，∠LMQ1=∠MCP，ML=CL，∴△LMQ1≌△LCP（AAS），∴Q1M=CP，
∵Q1M∥CP，∴四边形PMQ1C是平行四边形，∴点Q1与点P关于点L对称，
∵L（-7，3），P（0，），∴Q1（-14，），故答案为：（-2，）或（2，）或（-14，）．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，折叠性质、坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键熟练掌握相关知识的联系与运用，同时注意分类讨论思想的运用．
变式2．（2022·江苏扬州·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线PA是一次函数y＝x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y＝﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；
(2)若四边形PQOB的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A（﹣m，0），点，点，45°
(2)PA的函数表达式为y＝x+4， PB的函数表达式为y＝－3x+6
(3)存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或
【分析】（1）已知直线解析式，令y=0，求出x的值，可求出点A，B的坐标．联立方程组求出点P的坐标．推出AO=QO，可得出∠PAB=45°．
（2）先根据得到m、n的关系，然后求出S△AOQ，S△PAB并都用字母m表示，根据S四边形PQOB=S△PAB-S△AOQ积列式求解即可求出m的值，从而也可求出n的值，继而可推出点P的坐标以及直线PA与PB的函数表达式．
（3）由于A，B，P三点已经确定，要确定D点的位置，需分三种情形讨论解答，依题意画出图形，利用平行四边形的性质即可求出D1，D2，D3的坐标．
【解析】 (1)解：在直线y＝x+m中，令y＝0，得x＝﹣m．∴点A（﹣m，0）．
在直线y＝﹣3x+n中，令y＝0，得．∴点．
由，得，∴点．
在直线y＝x+m中，令x＝0，得y＝m，∴|﹣m|＝|m|，即有AO＝QO．
又∵∠AOQ＝90°，∴△AOQ是等腰直角三角形，∴∠PAB＝45°；
(2)解：∵，∴，整理得3m＝2n，∴，∴，
而，解得m＝±4，
∵m＞0，∴m＝4，∴，∴．
∴PA的函数表达式为y＝x+4，PB的函数表达式为y＝－3x+6；
(3)解：存在．过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点，过点A作BP的平行线交PM于点，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点．
①∵且，∴是平行四边形．此时，
∵．∵m＝4，A（﹣m，0），．∴A（﹣4，0），B（2，0）．∴AB＝6，∴；
②∵且，∴是平行四边形．此时，∴；
③∵且，此时是平行四边形．
∵且B（2，0），∴．同理可得
由，得，∴．
综上：存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，
点D的坐标为或或．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查的知识点为一次函数的应用，平行四边形的判定和性质以及面积的灵活计算．熟练掌握一次函数的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
题型6.一次函数与特殊的平行四边形
例6．（2023春·江苏常州·八年级常州实验初中校考期中）如图，矩形的顶点A、C分别在y、x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图像与边、分别交于点D、E，并且满足，点P是线段上的一个动点．
(1)求一次函数的表达式；(2)连结，若把四边形面积分成两部分，求点P的坐标；
(3)设点Q是x轴上方平面内的一点，以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)(2)或(3)或
【分析】（1）先令，即可求得，然后求出E的坐标，代入一次函数解析式求得m的值即可求解；
（2）先求得四边形的面积，然后分两种情况求解即可；
（3）分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况求解即可．
【详解】（1）解：对于，令，解得 则D的坐标是，
∵点B的坐标为∴∴
∵∴，则E的坐标是
把E的坐标代入得 解得， ∴；
（2）设
当时 则
∴ ∴ ∴ ∴
当时 则
∴∴∴∴
综上可知，点P的坐标为： 或
（3）当四边形是菱形时，如图1
∵四边形是菱形∴，， ∵∴
∵P的纵坐标是3，把代入，得解得：
则P的坐标是∴Q的坐标是
当四边形是菱形时，如图2 ∵四边形是菱形∴，
设P的横坐标是n，则纵坐标是则
解得：或0（舍去）则P的坐标是
∴Q的横坐标是，Q的纵坐标是∴Q的坐标是
综上，点Q的坐标为或
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，坐标与图形的性质，菱形的性质，以及勾股定理等知识，正确根据菱形的性质求得Q的坐标是解决本题的关键．
变式1．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市侨谊实验中学校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点B、C都在x轴上，，，所在直线的函数表达式为，E是的中点，点P是边上一个动点．(1)当______时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形．
(2)点P在边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
【答案】(1)1或11 (2)，理由见解析
【分析】（1）先根据已知条件求出点A，点D，点C的坐标，根据平行四边形的性质可得，分点P在点E 的左边和右边两种情况，分别计算即可；
（2）分和两种情况，判断平行四边形的邻边是否相等即可．
【详解】（1）解：，，所在直线的函数表达式为，
点D的纵坐标为4，时，，解得，，，
∵点C是直线与x轴的交点，∴点C的坐标为，
∵，E是的中点，∴，
若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则，
当点P在点E 的左边时，，
当点P在点E 的右边时，，故答案为：1或11；
（2）解：当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形．
理由如下：由（1）知点C的坐标为，∵，∴点B的坐标为，
当时，点P的坐标为，则，
则此时以点P、A、D、E为顶点的四边形不是菱形；
当时，点P的坐标为，则，
则此时以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形；
综上所述，当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理、一次函数的图象和性质等，解题的关键是掌握平行四边形和菱形的判定及性质，注意分情况讨论，避免漏解．
变式2．（2022秋·四川成都·九年级石室中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，，直线交直线于点．(1)求直线的解析式及点的坐标；(2)如图，为直线上一动点且在第一象限内，、为轴上动点，在右侧且，当时，求最小值；(3)如图，将沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，当过点时，在平面内是否存在点，在第一象限内是否存在点，使得以、、、四个点为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的解析式为，点的坐标是(2)最小值为
(3)存在，理由见解析，点的坐标是或或
【分析】（1）先求出点和点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，联立直线和的解析式，即可求得点的坐标；（2）先求出的面积，证明点在点的上方，设点的坐标为，其中，由，求得，得到点的坐标，作四边形是平行四边形，则，证得的最小值为，由勾股定理求出答案即可；
（3）分两种情况：是正方形的边和为对角线，分别进行求解即可．
【详解】（1）解：，点的坐标是，
，，点的坐标为，
设直线的解析式为，把点和点的坐标代入可得，
，解得，直线的解析式为，
联立直线和直线的解析式得，，
解得， 点的坐标是；
（2），，，
，，，
直线：交直线于点．，，
，点在点的上方，
为直线上一动点且在第一象限内，
设点的坐标为，其中，点到轴的距离为，
，，
解得，，点的坐标是，
如图，过点向左作轴，且，则的坐标为，再作点关于轴的对称点，则的坐标为，则连接交轴于点，在轴上截取，连接，
由作图过程知四边形是平行四边形，则，
的最小值为，
作于点，则的坐标为，则，，
的最小值为
．即最小值为；
（3）存在，理由如下：第一种情况，是正方形的边，由勾股定理得，
由点的坐标是，点沿移动到点，由于平移规律相同，可得点平移到点，点平移到点，
如图，以为边作正方形，过点作轴于点，
，，
，，，
，，，
点的坐标为，同理可得点的坐标为，
点的坐标是，点沿移动到点，
由于平移规律相同，可知点，点，平移后的坐标即点的坐标分别为，；
为对角线时，如图，设两对角线的交点为K，
由题意可得，在中，，
，，
由点，，可知点的坐标为，
设的表达式为，
，，，，
把点的坐标代入得，，解得，
的表达式为，设点的坐标为，
由两点间距离公式得，，
，解得舍去，，
，，点的坐标为，
综上所述，点的坐标是或或
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图形和性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、轴对称的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、两点间距离公式等知识，正确作出图形和分类讨论是解题的关键．
变式3．（2022春·重庆南岸·八年级校考阶段练习）如图，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．
(1)求直线的解析式；(2)如图，若点在直线上，过点作轴交于点，交轴于点，使，求此时点的坐标；(3)如图，点是直线上一动点，点是直线上一动点，点是坐标平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形为正方形，且是正方形的边，若存在，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)(2)点的坐标为或(3)点的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式；
设，则 ， ，根据建立方程求解即可得出答案；
设 ，，分两种情况：当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于点，可证
，可得，，建立方程组求解即可得出答案；当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，再建立方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵直线：经过点，，，
设直线的解析式为，把，代入，
得： ，解得：，直线的解析式为．
（2）解：设，则 ， ， ，，
，，解得：或，
点的坐标为或．
（3）解：设 ，，
当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于点，则，，，，，
四边形是正方形，，，
，，，
在和中， ，
，， ，解得： 点的坐标为；
当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，，， ，，
四边形是正方形，，，，
，
在和中， ，，，
，解得：，点的坐标为．综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数解析式、三角形面积、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题关键．
变式4．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）
(1)求直线的解析式；(2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标；(3)如图2，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标
【答案】(1)(2)，(3)以，，，为顶点的四边形为矩形时，点的坐标为或，或
【分析】（1）依题意求出点，坐标，求出，，求出点，的坐标，用待定系数法求解析式；（2）设，则，由轴可得点的纵坐标为，代入一次函数可得点的横坐标为，表示出、，求出，根据，可得的值，即可得点的坐标；（3）分两种情况：①为矩形的边时，②为矩形的对角线时，根据矩形的判定和性质即可求解．
【详解】（1）一次函数，令，则，令，则，
，，即，，
将绕点顺时针旋转得，
，，，，
设直线的解析式为，
则，解得，直线的解析式为；
（2）设，则，轴，点的纵坐标为，
将代入一次函数得：，
，即点的横坐标为，
，，
，，，，，
，点的坐标为，；
（3）①为矩形的边时，如图，分别过点、作交直线于，作交直线于，在分别过点、作交直线于，作交直线于，则四边形、四边形均为矩形，
，，点为线段的中点，，，
将绕点顺时针旋转得，，
，，，
，，，，
，，，，点为线段的中点，
，，；设直线的解析式为，则，
，直线的解析式为，，，，
可设直线的解析式为，将代入得，，，
直线的解析式为，
联立直线得，解得，，；
综上，为矩形的边时，点的坐标为或，；
②为矩形的对角线时，如图，
，，轴，
四边形为矩形，轴，点与点重合，．
综上，以，，，为顶点的四边形为矩形时，点的坐标为或，或．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，中点坐标公式的运用，一次函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，矩形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
变式5．（2022春·重庆·八年级重庆市巴川中学校校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作等腰直角三角形ABC，．
(1)求直线BC的函数解析式；(2)点P为线段AB上一动点，过点P作轴交BC于点Q．当时，求四边形APQC的面积及此时点P的坐标；(3)如图2，将一次函数的图象向左平移2个单位长度得到直线l，点M和点N均在直线BC上运动，点G为直线l上一动点，若以点A、N、G、M为顶点的四边形为矩形，直接写出MN的长度．
【答案】(1)(2)，P（，）；(3)MN的长度为或．
【分析】（1）过C作CH⊥x轴于H，求出OA＝2，OB＝1，证明△AOB≌△CHA（AAS），可得AH＝OB＝1，CH＝OA＝2，则C（−3，2），然后利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；（2）设P（t，），则Q（t，），表示出PQ，根据PQ＝OB＝，列式求出t的值，进而可得P点坐标，然后根据计算即可；（3）先求出直线l的解析式，然后设G（m，m＋2），M（r，），N（s，），求出MN＝，分情况讨论：（Ⅰ）若AG，MN为对角线，则AG，MN的中点重合，且AG＝MN，（Ⅱ）若GM，AN为对角线，则GM，AN的中点重合，且GM＝AN，（Ⅲ）若GN，AM为对角线，则GN，AM的中点重合，且GN＝AM，分别根据两点间距离公式和中点坐标列方程求解即可．
（1）解：过C作CH⊥x轴于H，如图：
在y＝x＋1中，令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝−2，∴A（−2，0），B（0，1），即：OA＝2，OB＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAO＝90°−∠CAH＝∠ACH，AB＝AC，
∵∠AOB＝∠AHC＝90°，∴△AOB≌△CHA（AAS），∴AH＝OB＝1，CH＝OA＝2，
∴OH＝OA＋AH＝3，∴C（−3，2），设直线BC解析式为y＝kx＋b，
把B（0，1），C（−3，2）代入得：，解得，∴直线BC解析式为；
（2）设P（t，），则Q（t，），∴PQ＝，
∵PQ＝OB＝，∴，解得t＝，∴P（，），∴，
∵OA＝2，OB＝1，∴AB＝，∴，
∴；
（3）将直线y＝x＋1向左平移2个单位所得直线l解析式为y＝（x＋2）＋1＝x＋2，A（－2，0），
设G（m，m＋2），M（r，），N（s，），
∴MN＝，
（Ⅰ）若AG，MN为对角线，则AG，MN的中点重合，且AG＝MN，
∴，且③，
由②得：④，由①④得：，把代入③得：，∴；
（Ⅱ）若GM，AN为对角线，则GM，AN的中点重合，且GM＝AN，
∴，且，
同理解得：，∴，∴；
（Ⅲ）若GN，AM为对角线，则GN，AM的中点重合，且GN＝AM，
∴，且，
同理解得：，∴，∴；
综上所述，以点A、N、G、M为顶点的四边形为矩形，MN的长度为或．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，坐标与图形，勾股定理的应用，一次函数图象上点坐标的特征，一次函数图象的平移，矩形的性质，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是分类讨论思想与方程思想的应用．
题型7.一次函数与面积问题
1.求点的坐标：一般会求两种坐标：①直线与轴、轴的交点坐标；②两直线的交点坐标。
2.表示面积：①规则图形：用公式法（三角形面积不能漏×）；
②不规则图形：分割法，如下图：四边形用分割，；
，如下图：.
注：求三角形面积时往往选择平行于坐标轴的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高。
例7．（2022·湖南武陵·八年级期末）如图，已知直线AB过点A（5，0）、B（0，﹣5），交直线OC于点C，且直线OC的解析式为y．（1）求直线AB的解析式；（2）求△AOC的面积；（3）若点P在直线OC上，且△BCP的面积是△AOC面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）（8，－12）或（－4，6）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先将直线AB与直线OC的函数解析式联立方程组求得点C的坐标，由此即可求得△AOC的面积；（3）先根据△BCP的面积是△AOC面积的2倍求得△BCP的面积，再根据点P在直线AB的右下方或者点P在直线AB的左上方进行分类讨论，由此即可求得答案．
【详解】（1）解：设直线AB的解析式为，
将A（5，0）、B（0，﹣5）代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为；
（2）将与y联立方程组，得：
，解得：，∴点C的坐标为（2，－3），∴；
（3）∵△BCP的面积是△AOC面积的2倍，，∴，
如图，当点P在直线AB的右下方时，
∵，∴，
∴，解得：，将代入，得：，
∴点P的坐标为（8，－12）；如图，当点P在直线AB的左上方时，
∵，，∴，∴，解得：，
又∵此时点P在y轴的左侧，∴，将代入，得：，∴点P的坐标为（－4，6），
综上所述，若△BCP的面积是△AOC面积的2倍，则点P的坐标为（8，－12）或（－4，6）．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，两函数的交点问题以及三角形的面积，正确利用三角形面积公式列方程是关键．
变式1．（2022·成都市树德实验中学八年级期末）如图1，在平面直角坐标中，直线：与抽交于点，直线：与轴交于点，与相交于点．
（1）请直接写出点，点，点的坐标：_________，________，_______．
（2）如图2，动直线分别与直线、交于、两点．
①若，求的值；②若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（-1，0）、（1，0）、（2，3）；（2）①t=1或3；②（0，-3）或（4，9）
【分析】（1）根据一次函数与x轴的交点纵坐标为0即可求出AB坐标，联立两个一次函数即可求出C点坐标；（2）①设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t-3），则PQ=|t+1-3t+3|=2，即可求解；
②在y轴负半轴取点M使NM=NK，过点M作直线m∥AC交l2于点Q，则点Q为所求点，进而求解；当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），进而求解．
【详解】（1）对于直线l2：y=3x-3①，令y=3x-3=0，解得x=1，故点B（1，0），
对于l1：y=x+1，同理可得：点A（-1，0），
则，解得，故点C的坐标为（2，3），故答案为：（-1，0）、（1，0）、（2，3）；
（2）①点P在直线l1上，则设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t-3），则PQ=|t+1-3t+3|=2，解得t=1或3；
②当点Q在x轴下方时，如下图，
设直线l1交y轴于点K，过点B作直线n∥AC交y轴于点N，
在y轴负半轴取点M使NM=2NK，过点M作直线m∥AC交l2于点Q，则点Q为所求点，
理由：∵M、Q在直线m上，且m∥AC，∴S△MAC=S△QAC，同理S△NAC=S△BAC，
∵MN=2KN，则m、l1之间的距离等于2倍n、l1之间的距离，∴S△AQC=2S△ABC，
由直线l1的表达式知点K（0，1），设直线n的表达式为y=x+b，
将点B的坐标代入上式并解得b=-1，∴ N（0，-1），
∵NK=1-（-1）=2，∴MN=NK=2，∴M（0，-3），在直线m的表达式为y=x-3②，
联立①②解得，∴Q（0，-3）；
②当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），
同理可得，过点M且平行于AC的直线表达式为y=x+5③，
联立①③解得，∴ Q的坐标为（4，9）；
综上，点Q的坐标为（0，-3）或（4，9）．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、绝对值的应用、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
变式2．（2022·四川泸县·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与直线CD相交于点E，且．
（1）求一次函数的解析式；（2）求四边形OBEC的面积四边形OBEC；（3）在坐标轴上是否存在点P，使得？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）4；（3）存在点P，其坐标为，，，
【分析】（1）根据经过点和点，待定系数法求解析式即可；（2）根据题意求得，再联立即可求得点的坐标，进而根据四边形OBEC 即可求得；（3）分两种情况讨论：①当点P在x轴上时，设点P的坐标为，②当点P在y轴上时，设点P的坐标为，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：（1）因为经过点和点，
所以，解得，一次函数的解析式为；
（2）因为，又，所以，即，
所以，所以，所以直线AB的解析式为，
因为直线交y轴于点B，所以点．
因为直线与直线相交于点E，所以，解得：，即点，
所以四边形OBEC ；
（3）分两种情况讨论：①当点P在x轴上时，设点P的坐标为，
由题意得：，解得：或，所以此时点P的坐标为，；
②当点P在y轴上时，设点P的坐标为，由题意得：，解得：或，
所以此时点P的坐标为，，
综上所述，在坐标轴上存在点P，使得，其坐标为，，，
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用二元一次方程组求两直线交点，分类讨论是解题的关键．
题型8. 一次函数中的探究规律问题
例8．（2022·河北保定师范附属学校八年级期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作 轴的垂线，交直线于点按此规律作下去， 则点的坐标为_______；点的坐标为_______ ．
【答案】（8，0）； （22020，22021）．
【分析】先根据题意求出A2点的坐标，再根据A2点的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A4、B2021的坐标．
【详解】解：∵点A1坐标为（1，0），∴OA1=1，
过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，点B1在上，y=2×1=2，B1点的坐标为（1，2），
∵点A2与点O关于直线A1B1对称，∴OA1=A1A2=1，∴OA2=1+1=2，
∴点A2的坐标为（2，0），点B2在上，y=2×2=4，B2的坐标为（2，4），
∵点A3与点O关于直线A2B2对称．故点A3的坐标为（4，0），点B3在上，y=2×4=8，B3的坐标为（4，8），此类推便可求出点An的坐标为（2n-1，0），点Bn在上，y=2×2n-1=2n，
点Bn的坐标为（2n-1，2n）．所以点A4的坐标为（8，0），点的坐标为（8，16）
所以点A2021的坐标为（22020，0），点的坐标为（22020，22021）故答案为（8，0），（22020，22021）．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．
变式1．（2022·成都七中八年级期中）如图，在平面直角坐标系，直线与轴交于点，以为一边在上方作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为一边在上方作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为一边在上方作等边，……，则的横坐标为__________．
【答案】
【分析】先根据直线 与x轴交于点，可得 (3,0)，O=3，再过作A⊥O于A，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，求得的横坐标为，过作于，求得的横坐标为，过作于，求得的横坐标为，同理可得 的横坐标为，由此可得，的横坐标为，进而求得点的横坐标是．
【详解】解：由直线与轴交于点，可得，
∴，如图所示，过作于，
则，即的横坐标为，
由题意可得，，
∴，∴，过作于，
则，即的横坐标为，
过作于，同理可得 横坐标为，
同理可得，的横坐标为，由此可得，的横坐标为，
点的横坐标是，故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形性质应用，解题的关键是根据性质找出规律，求得坐标．
变式2．（2022·成都市·树德中学八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1，A2，A3，…An在直线l上，点C1，C2，C3，…∁n在y轴正半轴上，则正方形AnBn∁nCn﹣1的面积是_____．
【答案】
【分析】由直线点的特点得到，分别可求OA1＝OC1＝1，C1A2＝，C2A3＝，……，从而得到正方形边长的规律为Cn﹣1An＝，即可求正方形面积．
【详解】解：直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A₁（1，0），与y轴交于点D（0，﹣2），∴，
∵OA1＝OC1＝1，∴A1B1C1O的面积是1；∴DC1＝3，∴C1A2＝，
∴A2B2C2C1的面积是；∴DC2＝，∴C2A3＝，∴A3B3C3C2的面积是；……
∴Cn﹣1An＝，∴正方形AnBn∁nCn﹣1的面积是，故答案为．
【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中有规律的点的坐标与图形的探索问题，列出前面几步的数据找到点或图形的变化规律是解答关键.
课后专项训练：
1．（2022•辽宁八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠BAC＝90°，点A为（，0）、点B为（0，1），坐标系内有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为 ．
解：∵点A坐标为（，0）、点B坐标为（0，1），∴OA＝，OB＝1，∴AB＝＝2
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，∴AB＝AC＝2，BC＝2，
△ABC与△ACP全等分为三种情况：
①如图1，延长BA到P，使AB＝AP，连接CP，过P作PM⊥x轴于M，
则∠AOB＝∠AMP＝90°
在△AOB和△AMP中，∵，∴△AOB≌△AMP（AAS），
∴AM＝AO＝，MP＝OB＝1，故点P的坐标为（2，﹣1）；
②如图2，过点C作CP⊥AC，使CP＝AB，则△ABC≌△CPA，故∠PAC＝∠ACB＝45°，AP＝BC＝2，
过P作PM⊥x轴于M，此时∠PAM＝15°，在x轴上取一点N，使∠PNM＝30°
∴∠PAM＝∠APN＝15°，即NA＝NP，设PM＝x，则PN＝AN＝2x，NM＝x，
在Rt△APM中，∵AP2＝AM2+PM2，∴（2）2＝（2x+x）2+x2，解得：x＝﹣1，
则OM＝OA+2x+x＝2+1，故点P的坐标为（2+1，﹣1）；
③如图3，
作CP⊥AC，使CP＝AB，连接BP，则△ABC≌△CPA，
∵∠BAC＝∠PCA＝90°，且CP＝AB，∴四边形ABPC是矩形，
∴AB＝BP，∠ABP＝90°，即∠ABO+∠PBM＝90°，
过点P作PM⊥y轴，则∠BPM+∠PBM＝90°，∴∠ABO＝∠BPM，
在△AOB和△BMP中，∵，∴△AOB≌△BMP（AAS），
∴BM＝OA＝，PM＝OB＝1，故点P的坐标为（1，）；
当点P与点B重合时，点P的坐标为（0，1），
综上，点P的坐标为（0，1），（1，+1），（2，﹣1），（2+1，﹣1）．
2．（2022重庆八年级期末）在直角坐标系中，已知A（6，0）、F（3，0），C（0，2），在△AOC的边上取两点P、Q（点Q是不同于点F的点），若以O、P、Q为顶点的三角形与△OFP全等，则符合条件的点P的坐标为 ．
解：①如图1，过点F作FP⊥OA，交AC于点P，
过点P作PQ⊥OC，垂足为Q，连接OP，此时△OFP≌PQO，
∵A（6，0）、F（3，0），∴PF、PQ是△OAC的中位线，
∴PQ＝OA＝3，PF＝OC＝，∴P（3，），
②如图2，由①可知，点P、Q位置互换，亦满足题意，此时，P（0，），
③如图3，作∠AOC的平分线交AC于点P，在OC上截取OQ＝OF＝3，连接PF、PQ，此时△OFP≌OQP，
过点P作PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，垂足为N，则PM＝PN，
由三角形面积公式得，OA•PM+OC•PN＝AO•OC，即，6PM+2PM＝6×2，
∴PM＝PN＝3﹣3，∴点P（3﹣3，3﹣3），
④如图4，在AC上截取AP＝6＝OA，取AP的中点Q，则PQ＝OF＝3，
过点P作PB⊥OA，垂足为B，在Rt△ABP中，PB＝AP＝3，AB＝×AP＝3，
∴OB＝OA﹣AB＝6﹣3，∴点P（6﹣3，3），
故答案为：（3，）或（0，）或（3﹣3，3﹣3）或（6﹣3，3）．
3．（2022•柳南区校级期末）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P
在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）求k、b的值；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点A（4，0）、B（0，4）在直线y＝kx+b上，∴，解得：k＝﹣1，b＝4；
（2）存在两种情况：①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，∵OB＝OA＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝4，∠OAB＝45°，
由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，∴△OBP≌△O'BP（AAS），
∴O'B＝OB＝4，∴AO'＝4﹣4，Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，
∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8；
②如图所示：当P在x轴的负半轴时，
由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，
∵∠BAO＝45°，∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，∴S△BOP＝OB•OP＝＝8+8；
（3）分4种情况：①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为（0，0）；
②当BP＝PQ时，如图3，∵∠BPC＝45°，∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，
∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，∴∠APB＝22.5°，
∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝4，∴OP＝4+4，∴P（4+4，0）；
③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，
∵∠BPC＝45°，∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，△PCA中，∠APC＝22.5°，
∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP＝4，∴OP＝4﹣4，∴P（4﹣4，0）；
④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，∴此时P（﹣4，0）；
综上，点P的坐标是（0，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）或（﹣4，0）．
3．（2022•成都市八年级期中）如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B与原点重合，点D的坐标为（4，4），当三角板直角顶点P坐标为（3，3）时，设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F．在三角板绕点P旋转的过程中，使得△POE成为等腰三角形，请写出满足条件的点F的坐标 ．
解：△POE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中两段相等，P（3，3），那么有：
①当PE＝OE时，PE⊥OC，则PF⊥y轴，则F的坐标是（0，3）；
②当OP＝PE时，∠OPE＝90°，则F点就是（0，0）；
③当OP＝OE时，则OF＝6±3，F的坐标是：（0，6﹣3）或（0，6+3）．
5．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点，函数的图象与直线交于点M，与y轴交于点C．
(1)求直线的函数解析式；(2)当点M在线段上时，求m的取值范围；
(3)当为直角三角形时，求m的值．
【答案】(1)(2)(3)0或-1
【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）画出图形，即可知当直线在直线AD（包括直线AD）和直线BE（包括直线BE）之间时，点M在线段上．由A、B两点坐标分别求出m，即可得出其取值范围；
（3）分类讨论①当时和②当时，结合图象即可求解．
（1）设直线的函数解析式为，
则，解得：．∴直线的函数解析式为；
（2）如图，当直线在直线AD（包括直线AD）和直线BE（包括直线BE）之间时，点M在线段上．
当经过点A时，即直线与直线AD重合，∴；
当经过点B时，即直线与直线BE重合，
∴，解得：．
∴当时，点M在线段上；
（3）∵点A在y轴上，∴不可能为直角．
分类讨论：①当时，如图，此时C点与原点重合，
即直线经过原点，∴，即；
②当时，如图点，设
∴，，
∵，
又∵，∴，
解得：，∴
当直线y=2x+m经过（0，-1）时，即m=-1，符合题意.
综上可知当为直角三角形时，m的值为0或-1．
【点睛】本题考查利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何的综合．利用数形结合的思想是解题关键．
6．（2022·上海·八年级阶段练习）如图，△ABC的两顶点分别为B（0，0），C（4，0），顶点A在直线l：y＝﹣x+3上．(1)当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，求点A的坐标；(2)当△ABC的面积为4时，求点A的坐标；(3)在直线l上是否存在点A，使∠BAC＝90°？若存在，求出点A的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】(1)A（2，2）；(2)（2，2）或（10，﹣2）；
(3)在直线l上存在点A，使∠BAC＝90°，此时点A的坐标是（2，2）或（3.6，1.2）
【分析】（1）以BC为底的等腰三角形，点A是BC的中垂线与直线l的交点，据此求解即可；
（2）根据△ABC的面积求得点A的纵坐标，把点A的纵坐标代入直线方程即可求得其横坐标；
（3）设点A的坐标为，根据两点间距离公式表示出，，，再利用勾股定理建立方程，求解即可．
(1)如图，当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，点A在BC的中垂线上．
∵B（0，0），C（4，0），∴BC的中垂线为x＝2．
又点A在直线l：y＝﹣x+3上，∴y＝﹣×2+3＝2，即A（2，2）；
(2)设A（a，b）．则依题意得BC•|b|＝4，即×4|b|＝4，解得|b|＝2∴b＝±2．
①当b＝2时，2＝﹣a+3，解得 a＝2则A（2，2）；
②当b＝﹣2时，﹣2＝﹣a+3，解得 a＝10则A（10，﹣2）．
综上所述，点A的坐标是（2，2）或（10，﹣2）；
(3)设点A的坐标为， B（0，0），C（4，0），
，，，
∠BAC＝90°，，即，解得或，
所以，在直线l上存在点A，使∠BAC＝90°，此时点A的坐标是（2，2）或（3.6，1.2）．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式以及勾股定理等知识点．解（2）题的过程中，一定要对点A的纵坐标进行分类讨论，以防漏解．
7．（2022•山东八年级月考）如图，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点B．（1）求点A、B的坐标（用含b的代数式表示）；（2）若点P是直线AB上的任意一点，且点P与点O距离的最小值为4，求该直线的表达式；（3）在（2）的基础上，若点C在第一象限，且△ABC为等腰直角三角形，求点C的坐标．
解：（1）对于直线y＝﹣x+b（b＞0），令x＝0，∴y＝b，∴B（0，b），
令y＝0，∴﹣x+b＝0，∴x＝2b，∴A（2b，0）；
（2）由（1）知，A（2b，0），B（0，b），∴OA＝2b，OB＝b，AB＝b，
∵点P与点O距离的最小值为4，∴×2b•b＝×b×4，∴b＝2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；
（3）如图，由（1）知，A（4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2
过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，
∵∠DOE＝90°，∴四边形ODCE是矩形，
∴OD＝CE，CD＝OE，∠DCE＝90°，∴∠BCE+∠BCD＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
当∠ACB＝90°时，∴BC＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠ACE，∴△BCE≌△ACD（AAS），
∴BE＝AD，CE＝CD，∴设点C坐标为（m，m），
∴AD＝OA﹣OD＝4﹣m，BE＝OE﹣OB＝m﹣2，
∴4﹣m＝m﹣2，∴m＝3，∴C（3，3），
如图2，②当∠BAC＝90°时，过点C'作C'F⊥x轴于F，∴∠C'AF+∠AC'F＝90°，
∵∠C'AF+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠FC'A，
∵AB＝AC'，∴△AOB≌△C'FA（AAS），
∴C'F＝OA＝4，AF＝OB＝2，∴OF＝OA+AF＝6，∴C'（6，4），
③当∠ABC＝90°时，同②的方法得，C（2，6），
即：点C的坐标为（3，3）或（6，4）或（2，6）．
8．（2022·贵州黔西·八年级期末）如图，直线：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线：交于点C，且OA＝8．(1)求直线的解析式：(2)若与y轴交于点D，求△BCD的面积，(3)在线段上BC是否存在一点E，过点E作轴与直线CD交于点F，使得四边形OBEF是平行四边形？若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)20 (3)存在点E（，）使得四边形OBEF是平行四边形
【分析】（1）先求出A点坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）先求出B、D的坐标，从而求出BD，然后求出点C的坐标，根据求解即可；
（3）设点E的坐标为（，），则点F的坐标为（m，2m-6），则，再由四边形OBEF是平行四边形，得到EF=OB=4，则，由此求解即可．
【解析】 (1)解：∵OA=8，∴点A的坐标为（8，0），∴，∴b=4，
∴直线的解析式为；
(2)解：∵直线：与y轴交于点D，直线：与y轴交于点B，
∴点D的坐标为（0，-6），点B的坐标为（0，4），∴BD=10，
联立 ，解得，∴点C的坐标为（4，2），∴；
(3)解：假设存在，设点E的坐标为（，），则点F的坐标为（m，2m-6），
∴，
∵四边形OBEF是平行四边形，∴EF=OB=4，∴，∴，
∴点E的坐标为（，），∴存在点E（，）使得四边形OBEF是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，熟知相关知识是解题的额关键．
9．（2022·重庆八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与直线：交于点B，直线交x轴于点A，交y轴于点C，直线交x轴于点E，交y轴于点D，．
(1)求直线的解析式；(2)如图1，点D与点P关于x轴的对称，M、N为直线上两动点，且，求的最小值；(3)如图2，点D与点P关于x轴的对称，点H为直线上一动点，在直线上是否存在一点F，使以E、F、H、P四点构成的四边形是以PE为边的平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)(3)点F的坐标为（，）或（，）
【分析】（1）先求出点A的坐标为，点D的坐标为 ，则，求出，即可得到答案；（2）如图所示，连接PN，过点M作，过点N作与MF交于点F，则四边形PMFN是平行四边形，可以推出当D、N、F三点共线时，NF+ND有最小值，求出直线AP的解析式为，得到直线与直线BD平行，从而可证当D、N、F三点共线时，M与点A重合，N与点B重合，由此求解即可；（3）分当四边形EPHF为平行四边形时和当四边形EPFH是平行四边形时，两种情况讨论求解即可．
【解析】 (1)解：∵直线与直线：交于点B，直线交x轴于点A，交y轴于点C，直线交x轴于点E，交y轴于点D，∴点A的坐标为，点D的坐标为 ，
∴，∴，∴直线的解析式为
(2)解：如图所示，连接PN，过点M作，过点N作与MF交于点F，则四边形PMFN是平行四边形，∴PM=NF，∴PM+MN+ND=NF+MN+ND=3+NF+ND，
∴要使PM+MN+ND的值最小，即NF+ND的值最小，
∴当D、N、F三点共线时，NF+ND有最小值，联立
，解得，∴点B的坐标为，
由（1）可得点A的坐标为（-3，0），∴，
∵P是D关于x轴的对称点，∴点P的坐标为，
设直线AP的解析式为，∴，∴，
∴直线AP的解析式为，∴直线与直线BD平行，
∴当D、N、F三点共线时，M与点A重合，N与点B重合，∴，
∵，，∴
(3)解：设点F的坐标为（a，a）当四边形EPHF为平行四边形时，
则，∴，∴点H的坐标为，
∴，解得，∴点F的坐标为（，）；
同理当四边形EPFH是平行四边形时，
则，∴，∴点H的坐标为，
∴，解得，∴点F的坐标为（，）；
综上所述，点F的坐标为（，）或（，）
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，两点距离公式，平行四边形的性质等等，解题的关键在于能够利用数形结合的思想求解．
10．（2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是梯形，，是的中点，，点坐标是，所在直线的函数关系式为，点是边上一个动点．(1)当_________________时，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形．(2)在（1）的条件下，点P在边上运动过程中，以点、、、为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
【答案】(1)1或11 (2)当时，以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由见解析
【分析】（1）先求出点D的坐标，进而求出，再根据线段中点的定义求出，再分当四边形是平行四边形，当四边形是平行四边形时两种情况根据平行四边形的性质求解即可；
（2）根据（1）所求，求出两种情况下邻边是否相等即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，点坐标是，∴点D的纵坐标为4，
又∵点D在直线上，且当时，，∴点D的坐标为，∴，
∵，点E是的中点，∴，
当四边形是平行四边形，∴，∴；
当四边形是平行四边形时，∴，∴；
∴当或时，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，
故答案为：1或11；
（2）解：当时，以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：
∵点C是直线与x轴的交点，∴点C的坐标为，
∵，∴点B的坐标为，
当时，点P的坐标为，则，则此时以点、、、为顶点的四边形不是菱形；
当时，点P的坐标为，则，则此时以点、、、为顶点的四边形是菱形；
综上所述，当时，以点、、、为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
11．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，直线y=kx+15(k≠0)经过点C(3，6)，交x轴于点A，交y轴于点B．线段CD平行于x轴，交直线于点D，连接OC、AD．
(1)求k的值及点A的坐标．(2)求证：四边形OADC是平行四边形．
(3)动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时动点Q从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动．设P、Q两点的运动时间为t秒．
①用含t的代数式表示线段PQ的长．②当四边形CPAQ为矩形时，直接写出t的值．
【答案】(1)k=－3，（5，0）(2)证明见解析(3)①10－2t；②或
【分析】（1）将点C(3，6)代入y=kx+15中，3k+15=6，解得k=－3，则y=－3x+15，当y=0时，x=5，则点A的坐标为（5，0）； （2）由线段CD平行于x轴，可知，则将y=6代入中，得x=8，可得点D的坐标为（8，6），进而可知CD=8－3=5，由点A的坐标为（5，0），可得OA=5，则CD=OA，由CD∥OA，则四边形OADC是平行四边形；（3）①过点C作CH⊥OD与点H，因为点H在直线上，则H（m，），C（3，6），由（2）知，D坐标为（8，6），则，则，在Rt△CDH中，，则，解得可知m的值，则CH=3，由此可得，则PQ=OD－t－t=10－2t；
②由（2）值，四边形OADC是平行四边形，则OD与AC互相平分，由于点P与点Q的运动速度相同，则PQ与AC互相平分，则四边形CPAQ为平行四边形，因为OQ=10，则当0≤t≤5时，PQ=10－2t，当5＜t≤10时，PQ=2t－10，故当P，Q运动到平行四边形CPAQ为矩形时，PQ=AC，，当0≤t≤5时，，解得：，当5＜t≤10时，，解得：，由此可知当四边形CPAQ为矩形时，t的值．
（1）解：将点C(3，6)代入y=kx+15中，3k+15=6，解得k=－3．
∴y=－3x+15，当y=0时，x=5，∴点A的坐标为（5，0）；
（2）解：∵线段CD平行于x轴，∴，将y=6代入中，得x=8，
∴点D的坐标为（8，6），∴CD=8－3=5，
∵点A的坐标为（5，0），∴OA=5，∴CD=OA，
∵CD∥OA，∴四边形OADC是平行四边形．
（3）解：①过点C作CH⊥OD与点H，
由点H在直线上，设H（m，），C（3，6），由（2）值，D（8，6），
∴，，
在Rt△CDH中，，即，
解得：或8（舍去），∴CH=3，∵，∴PQ=OD－t－t=10－2t；
②由（2）值，四边形OADC是平行四边形，∴OD与AC互相平分，
∵点P与点Q的运动速度相同，∴PQ与AC互相平分，∴四边形CPAQ为平行四边形，
∵OQ=10，当0≤t≤5时，PQ=10－2t，
当5＜t≤10时，PQ=2t－10，当P，Q运动到平行四边形CPAQ为矩形时，PQ=AC，，
当0≤t≤5时，，解得：，
当5＜t≤10时，，解得：，
综上所述，当四边形CPAQ为矩形时，t的值为或．
【点睛】本题考查一次函数与几何问题，平行四边形的性质与判定，矩形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
12．（2022春·广西河池·八年级统考期末）如图矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，，，且，满足，一次函数的图象与边，分别交于，两点．
(1)求点的坐标；(2)直线与一次函数交于点，求点的坐标；
(3)点在线段上运动，过点作，垂足分别为点，．是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)存在，的坐标为
【分析】（1）利用非负数的性质求出a、b的值，即可得到B点坐标；
（2）用待定系数法求出直线OB的解析式，再联立两一次函数解析式即可求出交点的坐标；
（3）先证明四边形是矩形，可得当时，四边形是正方形，设点的坐标为，求出，，然后根据列方程求出a的值即可得到G点坐标．
（1）解：∵，∴，，∴，，
∵四边形是矩形，∴，AB⊥x轴，∴点的坐标为；
（2）设直线解析式为，
把点代入得：，解得：，
∴直线解析式为：，
联立，解得，∴点的坐标为；
（3）存在，∵四边形是矩形，∴，
又∵，，∴四边形是矩形，
∴当时，四边形是正方形，
∵是线段上的点，设点的坐标为，
∴，，
∵，∴，解得：，
∴，∴点的坐标为．
【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形的性质，矩形的判定和性质，待定系数法，一次函数图象的交点求法，正方形的判定等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
13．（2022·四川成都市·八年级期末）如图，直线 与 轴正方向夹角为，点在轴上，点在直线 上，均为等边三角形，则的横坐标为__________．
【答案】
【分析】分别求出的坐标，得到点的规律，即可求出答案.
【详解】设直线交x轴于A，交y轴于B，当x=0时，y=1；当y=0时，x=，
∴A(,0)，∴B（0,1），∴OA=,OB=1，
∵是等边三角形，∴
∵∠BOA=，∴OA1=OB1=OA=，A1A2=A1B2=AA1=2，A2A3=A2B3=AA2=4，
∴OA1=,OA2=2，OA3=4,∴A1(，0)，A2(2，0)，A3（4,0），∴的横坐标是.
【点睛】此题考查点坐标的规律探究，一次函数的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，根据几种图形的性质求出A1，A2，A3的坐标得到点坐标的规律是解题的关键.
14．（2022·广西九年级模拟）在平面直角坐标系中，点在射线上，点在射线上，以为直角边作，以为直角边作第二个，然后以为直角边作第三个，…，依次规律，得到，则点的纵坐标为____．
【答案】22022
【分析】根据题意，分别找到AB、A1B1、A2B2……及 BA1、B1A2、B2A3……线段长度递增规律即可．
【详解】解：由已知可知：点A、A1、A2、A3……A2020各点在正比例函数y＝x的图象上，
点B、B1、B2、B3……B2020各点在正比例函数y＝x的图象上，
两个函数相减得到横坐标不变的情况下两个函数图象上点的纵坐标的差为x ①
当A（B）点横坐标为时，由①得AB＝1，则BA1＝，则点A1横坐标为＋＝2，B1点纵坐标为•2＝4＝22；
当A1（B1）点横坐标为2，由①得A1B1＝2，则B1A2＝2；则点A2横坐标为2＋2＝4，B2点纵坐标为×4＝8＝23；
当A2（B2）点横坐标为4，由①得A2B2＝4，则B2A3＝4，则点A3横坐标为4＋4＝8，B3点纵坐标为×8＝16＝24；以此类推，点B2021的纵坐标为22022，故答案为22022．
【点睛】本题是平面直角坐标系规律探究题，考查了直角三角形各边数量关系，解答时注意数形结合．
15．（2022·辽宁抚顺市·九年级三模）如图，点A1（2，1）在直线y=kx上，过点A1作A1B1∥y轴交x轴于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=kx和x轴于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则带点Cn的坐标为_______________．（结果用含正整数n的代数式表示）
【答案】
【分析】先根据A1的坐标，求出直线的解析式，然后依据题意，分别求出A2、A3、A4的坐标，最后找规律得出结论．
【详解】∵点A1(2，1)在直线y=kx上∴1=2k，解得：k= ∴y=x
∴B1(2，0)，A1B1=1∴C1(3，1)∴A2(3，)，B2(3，)∴A2B2=，C2(，)
同理可得：C3(，)、C4(，)可发现规律为：Cn()故答案为：()．
【点睛】本题考查找规律，注意在找出一般规律后，建议再代入2组数据进行验证，防止规律错误．
16．（2022·陕西临潼·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（5，0），B（0，5），动点P的坐标为（a，a﹣1）．（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标．
【答案】（1）直线AB的函数表达式为y=-x+5；（2）点P的坐标为（，）．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A（5，0），B（0，5）代入可求出k、b的值即可得出答案；（2）由题意可知直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，则直线AP经过OB的中点（0，），设直线AP的解析式为y=mx+n，把A（5，0），（0，）代入，即可求出直线AP的解析式，再把P（a，a-1）代入即可的求出a的值，即可的出答案．
【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A（5，0），B（0，5）代入上式，得，解得：，
∴直线AB的函数表达式为y=-x+5；
（2）∵直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，∴直线AP经过OB的中点（0，），
设直线AP的解析式为y=mx+n，把A（5，0），（0，）代入上式，
得，解得，∴直线AP的解析式为y=-x+，
把p（a，a-1）代入y=-x+中，得−a+＝a−1，解得：a=，
∴点P的坐标为（，）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练应用待定系数法求出函数系数的值是解决本题的关键．
17．（2022·深圳市高级中学八年级期末）如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点．（1）直线AB的解析式为 ；（2）若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标；（3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长．
【答案】（1）y＝x+2；（2）点P坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；（3）CP的解析式为：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的长为或4
【分析】（1）先求出点A，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）设点P（m，m+2），分两种情况讨论，利用面积关系列出方程可求m的值，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由“ASA”可证△AOB≌△COH，可得OH＝OB＝2，可求点H坐标，利用待定系数法可求CH解析式，联立方程组可求点P坐标，由两点距离公式可求解．
【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，∴点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意可得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+2，故答案为：y＝x+2；
（2）∵点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），点B（0，2），∴OA＝OC＝4，OB＝2，∴BC＝6，
设点P（m，m+2），当点P在线段AB上时，∵S△APC＝S△AOC，∴S△ABC﹣S△PBC＝×4×4，
∴×6×4﹣×6×（﹣m）＝8，∴m＝﹣，∴点P（﹣，）；
当点P在BA的延长线上时，∵S△APC＝S△AOC，∴S△PBC﹣S△ABC＝×4×4，
∴×6×（﹣m）﹣×6×4＝8，∴m＝﹣，∴点P（﹣，﹣），
综上所述：点P坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；
（3）如图，当点P在线段AB上时，设CP与AO交于点H，
在△AOB和△COH中，，∴△AOB≌△COH（ASA），
∴OH＝OB＝2，∴点H坐标为（﹣2，0），
设直线PC解析式y＝ax+c，由题意可得，解得：，∴直线PC解析式为y＝﹣2x﹣4，
联立方程组得：，解得：，∴点P（﹣，），∴，
当点P'在AB延长线上时，设 CP'与x轴交于点H'，同理可求直线P'C解析式为y＝2x﹣4，
联立方程组，∴点P（4，4），∴，
综上所述：CP的解析式为：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的长为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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