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人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练期末押题预测卷(1)(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练期末押题预测卷(1)(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了5万，第七天4等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·湖南娄底·八年级娄底一中校考阶段练习）在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．4、7、9B．5、12、13C．6、8、10D．7、24、25
2．（2022·安徽·九年级专题练习）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是（ ）
A．平均数是8B．众数是11C．中位数是2D．极差是10
3．（2022·广市八年级期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·辽宁抚顺·八年级统考期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）2021年的夏天，某地旱情严重．该地人日均用水量的变化情况如图所示．若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量不高于9千克时，政府将向当地居民送水．那么政府应开始送水的号数为（ ）
A．23B．24C．25D．26
6．（2022·福建·厦门实验中学二模）设数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，方差S2=0，则下列式子一定正确的是（ ）
A．x=0 B．x1+x2+x3+…+xn=0C．x1=x2=x3=…=xn=0 D．x1=x2=x3=…=xn=x
7．（2022·湖南·长沙市南雅中学八年级期末）一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．的值随值的增大而增大 B．它的图象经过一、二、三象限
C．当时， D．它的图象必经过点（-1，2）
8．（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法，其中正确的有（ ）个
①四边形是平行四边形：②如果，则四边形是矩形：
③如果平分，则四边形是菱形：④如果且，则四边形是菱形，
A．1B．2C．3D．4
9．（2022·四川绵阳·八年级期末）如图，点P为正方形ABCD对角线BD的延长线上一点，点M为AD上一点，连接CP，BM，MP，已知AB＝4，AM＝1，BM＝PM，则CP＝（ ）
A．4B．C．4D．5
10．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在矩形中，，．点为矩形的对称中心，点为边上的动点，连接并延长交于点．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点，连接、，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·内蒙古呼伦贝尔·八年级期末）若函数是一次函数，则m的值为______.
12．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则______．
13．（2022·四川成都·模拟预测）对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a☆b＝，那么函数y＝2☆x，当y＝5时，则x的值为_______．
14．（2022·河北·泊头市九年级期中）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么所求出的平均数与实际平均数的差是___．
15．（2022·浙江宁波·八年级开学考试）若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为_________．
16．（2022·北京·九年级专题练习）某公司销售一批新上市的产品，公司收集了这个产品15天的日销售额的数据，制作了如下的统计图．
关于这个产品销售情况有以下说法：
①第1天到第5天的日销售额的平均值低于第6天到第10天的日销售额的平均值；
②第6天到第10天日销售额的方差小于第11天到第15天日销售额的方差；
③这15天日销售额的平均值一定超过2万元．所有正确结论的序号是________．
17．（2022春·北京·八年级校考期中）如图，菱形的对角线，相交于点，为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为__________．
18．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，），点B为x轴的正半轴上一动点，作直线AB，△ABO与△ABC关于直线AB对称，点D，E分别为AO，AB的中点，连接DE并延长交BC所在直线于点F，连接CE，当∠CEF为直角时，则直线AB的函数表达式为__．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市龙岗区平湖外国语学校校考期中）计算：
(1)； (2)；(3)；(4)．
20．（2022·重庆实验外国语学校八年级阶段练习）2022年5月10日中共中央宣传部、中国公安部联合启动“全民反诈在行动”集中宣传月活动，同时联合教育部启动了“反诈宣传进校园”活动．进一步加强宣传教育，营造全民反诈、全社会反诈浓厚氛围．某学校为了调查学生关于反诈骗知识的了解情况，在七、八年级各随机选取20名学生进行测试（成分共分为四个等级A：100分；B：90-99分，C：80-89分；D：80分以下，满分100分，90分及以上为优秀），并对成绩进行整理描述和分析，以下是部分信息：
七年级20名学生测试成绩的扇形统计图如图所示：
其中C等级的学生分数为：80，80，83，84，85，85，86，86，88，89．
八年级20名学生的测试成绩整理如表：
两组数据的平均数，众数，中位数，优秀率如表所示：
根据以上信息，解答下列问题(1)______，______，______；
(2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级反诈骗知识掌握更好？请说明理由；
(3)为鼓励学生继续关注反诈骗宣传知识，该校对测试成绩大于等于90分的同学颁发“反诈骗小达人”荣誉称号，已知该校七、八年级各有1500名学生，请你估计这两个年级得到该荣誉称号的学生一共有多少名．
21．（2022·河南·八年级阶段练习）我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国外开始蔓延，为了防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡航艇的航向为北偏西．（1）求甲巡逻艇的航行方向（用含n的式子表示）;（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
22．（2022·广东佛山市·八年级期中）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元，为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房．（1）如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？（2）设三人间共住了人，这个团一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案：要求租住的房间正好被住满的，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．
23．（2022·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．
(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶
(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．
24．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点、、分别在正方形的边、、上，．(1)如图1，当时，求证：菱形是正方形．(2)如图2，连接，当的面积等于1时，求线段的长度．
25．（2022春·重庆大足·八年级统考期末）已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；(2)如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于10时，请求出点P的坐标；
(3)如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
26．（2023·河北石家庄·八年级校考期中）问题情境：如图1，已知正方形ABCD与正方形CEFG，B、C、G在一条直线上，M是AF的中点，连接DM，EM．探究DM，EM的数量关系与位置关系．
小明的思路是：小明发现AD//EF，所以通过延长ME交AD于点H，构造△EFM和△HAM全等，进而可得△DEH是等腰直角三角形，从而使问题得到解决，请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）猜想图1中DM、EM的数量关系 ，位置关系 ．
（2）如图2，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转180°，此时点E在线段DC的延长线上，点G落在线段BC上，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由；（3）我们可以猜想，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度，如图3，（1）中的结论 （“成立”或“不成立”）
拓展应用：将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．
分数
73
81
82
85
88
91
92
94
96
100
人数
1
3
2
3
1
3
1
4
1
1
年级
平均分
中位数
众数
优秀率
七年级
88
a
91
40%
八年级
88
89.5
b
c%
期末押题预测卷（1）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·湖南娄底·八年级娄底一中校考阶段练习）在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．4、7、9B．5、12、13C．6、8、10D．7、24、25
【答案】A
【分析】根据勾股定理逆定理逐项分析即可.
【详解】解：A. ∵42+72≠92，∴4、7、9不能组成直角三角形；
B. ∵52+122=132，∴ 5、12、13能组成直角三角形；
C. ∵62+82=102，∴6、8、10能组成直角三角形；
D. ∵72+242=252，∴7、24、25能组成直角三角形；故选A.
【点睛】本题考查勾股定理逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
2．（2022·安徽·九年级专题练习）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是（ ）
A．平均数是8B．众数是11C．中位数是2D．极差是10
【答案】A
【分析】从条形统计图中可以知道共调查40人，选择公交7人，火车2人，地铁13人，轻轨11人，其它7人，极差为13﹣2＝11，故D不正确；出现次数最多的是13，即众数是13，故B不正确，从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故C是不正确的；，即平均数是8，故A是正确的．
【详解】解：，即平均数是8，故A是正确的．
出现次数最多的是13，即众数是13，故B不正确，
从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故C是不正确的；
极差为，故D不正确；故选A．
【点睛】考查平均数、众数、中位数、极差的意义和求法，正确掌握这几个统计量意义是解决问题的前提．
3．（2022·广市八年级期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度==12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17（米）．故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
4．（2022春·辽宁抚顺·八年级统考期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故符合题意；D、，故D不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
5．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）2021年的夏天，某地旱情严重．该地人日均用水量的变化情况如图所示．若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量不高于9千克时，政府将向当地居民送水．那么政府应开始送水的号数为（ ）
A．23B．24C．25D．26
【答案】C
【分析】先根据题意确定直线的解析式y=kx+b，后解不等式kx+b≤9，求得整数解即可．
【详解】设直线的解析式y=kx+b，
∴，解得，∴y=，
∵人日均用水量不高于9千克，∴≤9，解得x≥25，故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数的应用，不等式的解法，熟练掌握待定系数法，不等式的解法是解题的关键．
6．（2022·福建·厦门实验中学二模）设数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，方差S2=0，则下列式子一定正确的是（ ）
A．x=0 B．x1+x2+x3+…+xn=0C．x1=x2=x3=…=xn=0 D．x1=x2=x3=…=xn=x
【答案】D
【分析】根据方差的定义，即可得出结论．
【详解】解：∵数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，方差S2=0，∴x1=x2=x3=…=xn=x．故选：D
【点睛】本题考查了方差，熟练掌握方差的定义是解本题的关键．方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数，因此方差一定是大于等于0．
7．（2022·湖南·长沙市南雅中学八年级期末）一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．的值随值的增大而增大 B．它的图象经过一、二、三象限
C．当时， D．它的图象必经过点（-1，2）
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵-2＜0，1＞0，
∴A的值随值的增大而减小，故本选项错误，不符合题意；
B、它的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意；
C、当时，，所以当时，，故本选项正确，符合题意；
D、当时，，它的图象必经过点（-1，3），故本选项错误，不符合题意；故选：C
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
8．（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法，其中正确的有（ ）个
①四边形是平行四边形：②如果，则四边形是矩形：
③如果平分，则四边形是菱形：④如果且，则四边形是菱形，
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据，得出为平行四边形，得出①正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由，根据等腰三角形的三线合一可得平分，同理可得四边形是菱形，④正确，进而得到正确说法的个数．
【详解】解：∵，∴四边形是平行四边形，选项①正确；
若，∴平行四边形为矩形，选项②正确；
若平分，∴ ，
又∵，∴，∴，∴，
∴平行四边形为菱形，选项③正确；
若且，∴平分，同理可得平行四边形为菱形，选项④正确，
则其中正确的个数有4个．故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形、矩形及菱形的判定与性质是解本题的关键．
9．（2022·四川绵阳·八年级期末）如图，点P为正方形ABCD对角线BD的延长线上一点，点M为AD上一点，连接CP，BM，MP，已知AB＝4，AM＝1，BM＝PM，则CP＝（ ）
A．4B．C．4D．5
【答案】B
【分析】过点M作ME⊥BP于E，过点P作PF⊥BC交BC延长线于F，先根据正方形的性质得到MD=AD-AM=3，∠DME=∠DBC=45°，再由勾股定理求出，，即可得到，由三线合一定理得到，再利用勾股定理求出BF=PF=5，即可得到CF=1，再由求解即可．
【详解】解：如图所示，过点M作ME⊥BP于E，过点P作PF⊥BC交BC延长线于F，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=4，∠MDE=45°，∠A=90°
∴MD=AD-AM=3，∠DME=∠DBC=45°，∴ME=DE，
∵，∴，∴，
∵，∴,∴,
∵BM=PM，∴，
∵∠PBC=45°，∠PFB=90°，∴∠BPF=45°，
∴BF=PF，，∴，∴PF=BF=5，
∴CF=BF-BC=1，∴，故选B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定 ，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
10．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在矩形中，，．点为矩形的对称中心，点为边上的动点，连接并延长交于点．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点，连接、，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在上截取，连接，证明，所以，即可得最短时，也就最短，而当时，最短，且，再过点作，得，又因为，就可以根据勾股定理计算、的长，从而计算出最小面积．
【详解】解：在上截取，连接，
由折叠的性质得：，
又，，，最短时，也就最短，
而当时，最短，此时，因为点为矩形的对称中心，
，即的最小值是4，
在中，因为点为矩形的对称中心，
长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，度数也不变，是定值，
当最小值时，面积最小．过点作，
点为矩形的对称中心，，
中，，
中，，，
面积的最小值是．故选：D．
【点睛】本题考查中心对称、轴对称、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短、勾股定理，解题的关键是找到的最小值．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·内蒙古呼伦贝尔·八年级期末）若函数是一次函数，则m的值为______.
【答案】-1
【分析】由一次函数的定义得出且，由此求解即可．
【详解】解：∵函数是一次函数，
∴且，∴且，∴故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，形如（k≠0，k、b为常数）的式子，叫做一次函数．正确理解一次函数定义是解答此题的关键．
12．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则______．
【答案】2
【分析】根据同类二次根式和最简二次根式的定义，列出方程解答即可．
【详解】解：根据题意得：x+3=1+2x，解得：x=2．故答案为：2．
【点睛】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
13．（2022·四川成都·模拟预测）对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a☆b＝，那么函数y＝2☆x，当y＝5时，则x的值为_______．
【答案】3或－
【分析】把代入函数y＝2☆x中得到5＝2☆x，再根据新定义来列出一元一次方程，解方程求解．
【详解】解：根据题意得
当时，则5＝2☆x，∴或，解得或．
经检查是的根．故答案为：3或-．
【点睛】本题考查了新定义，根据当时得到函数5=2★x，由新定义得到一元一次方程是解题的关键．
14．（2022·河北·泊头市九年级期中）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么所求出的平均数与实际平均数的差是___．
【答案】-3
【分析】在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15少输入90，在计算过程中共有30个数，所以少输入的90对于每一个数来说少3，实际平均数与求出的平均数的差即可求出．
【详解】∵在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15
则少输入90，即，∴平均数少3，求出的平均数与实际平均数的差为-3，故答案为：-3．
【点睛】本题考查平均数的性质，求数据的平均值是研究数据常做的，平均值反映数据的平均水平，可以准确的把握数据的情况．
15．（2022·浙江宁波·八年级开学考试）若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为__________．
【答案】或##或
【分析】先利用完全平方公式将展开，再根据等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解．
【详解】解：∵，∴，，
∵a、m、n均为正整数，∴m=1，n=3，或m=3，n=1，
当m=1，n=3时，a=12+3×32=28，则；
当m=3，n=1时，a=32+3×12=12，则．故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用，是解答的关键．
16．（2022·北京·九年级专题练习）某公司销售一批新上市的产品，公司收集了这个产品15天的日销售额的数据，制作了如下的统计图．
关于这个产品销售情况有以下说法：
①第1天到第5天的日销售额的平均值低于第6天到第10天的日销售额的平均值；
②第6天到第10天日销售额的方差小于第11天到第15天日销售额的方差；
③这15天日销售额的平均值一定超过2万元．所有正确结论的序号是________．
【答案】①②③
【分析】根据图像信息，可求得第1天到第5天销售额的平均值3.4万，第6天到第10天的日销售额的平均值4.5万可判断①正确；由第6天到第10天日销售额波动较小，销售额的方差较小，第11天到第15天日销售额逐天下降，波动较大，销售额的方差较大，可判断②正确；
销售额超4万有7天，销售额超3万以上4万以下有4天，销售额超2万以上3万以下有3天，只有第十五天销售额1万，这15天日销售额的平均值约等于，可判断③正确．
【详解】第一天2万，第二天3万，第三天3.5万，第四天4万，第五天约4.5万. 销售额的平均值3.4万，
第六天4.5万，第七天4.5万，第八天4.5万，第九天4.5万，第十天约4.5万，销售额的平均值4.5万
∴①第1天到第5天的日销售额的平均值低于第6天到第10天的日销售额的平均值正确；
∵第6天到第10天日销售额波动较小，第6天到第10天日销售额的方差较小，
第11天到第15天日销售额逐天下降，波动较大，第11天到第15天日销售额的方差较大，
∴②第6天到第10天日销售额的方差小于第11天到第15天日销售额的方差正确；
销售额超4万有7天，销售额超3万以上4万以下有4天，销售额超2万以上3万以下有3天，只有第十五天销售额1万，这15天日销售额最低值的平均值约等于．
∴③这15天日销售额的平均值一定超过2万元正确．所有正确结论的序号是①②③．故答案为：①②③．
【点睛】本题考查图像信息，平均数，方差，加权平均数，掌握从图像获取信息的方法，平均数，方差，加权平均数是解题关键．
17．（2022春·北京·八年级校考期中）如图，菱形的对角线，相交于点，为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】连接，根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，当时，最小，根据三角形的面积公式结论得到结论．
【详解】解：连接 ，四边形是菱形，，，
，，，四边形是矩形，，
当取最小值时，的值最小，当时，最小，
，，，
，，
的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
18．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，），点B为x轴的正半轴上一动点，作直线AB，△ABO与△ABC关于直线AB对称，点D，E分别为AO，AB的中点，连接DE并延长交BC所在直线于点F，连接CE，当∠CEF为直角时，则直线AB的函数表达式为__．
【答案】y＝﹣x+
【分析】证明△ABO≌△ABC，于是可知∠CBA=∠ABO=30°，得出OB=3即可求出直线AB的函数表达式．
【详解】解：∵△ABO与△ABC关于直线AB对称，∴∠ACB＝∠AOB＝90°，
∵点E是AB的中点，∴CE＝BE=EA∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠ECA+∠ECF＝90°，∠ECF+∠CFE＝90°∴∠CFE＝∠BAC，
而点D，E分别为AO，AB的中点，∴DFOB，
∴∠CFE＝∠CBO＝2∠CBA＝2∠ABO，
∵△ABO与△ABC关于直线AB对称，∴△ABO≌△ABC，
∴∠OAB＝∠CAB＝2∠ABO，∴∠ABO＝30°，
而点A的坐标为（0，），即OA＝，
∴OB＝3即点B的坐标为（3，0），
于是可设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，代入A、B两点坐标得
解得k＝﹣，b＝，故答案为y＝﹣x+．
【点睛】本题考查的是三角形的全等，并考查了用待定系数法求函数解析式，找到两个已知点的坐标是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市龙岗区平湖外国语学校校考期中）计算：
(1)； (2)；(3)；(4)．
【答案】(1)7(2)(3)(4)
【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，然后利用二次根式的除法运算即可求解；
（2）利用平方差公式即可求解；（3）利用二次根式的乘法运算和二次根式的性质化简，即可求解；
（4）利用立方根的定义，二次根式的乘法运算，即可求解．
【详解】（1）解：=7；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及实数运算，正确化简二次根式是解题关键．
20．（2022·重庆实验外国语学校八年级阶段练习）2022年5月10日中共中央宣传部、中国公安部联合启动“全民反诈在行动”集中宣传月活动，同时联合教育部启动了“反诈宣传进校园”活动．进一步加强宣传教育，营造全民反诈、全社会反诈浓厚氛围．某学校为了调查学生关于反诈骗知识的了解情况，在七、八年级各随机选取20名学生进行测试（成分共分为四个等级A：100分；B：90-99分，C：80-89分；D：80分以下，满分100分，90分及以上为优秀），并对成绩进行整理描述和分析，以下是部分信息：
七年级20名学生测试成绩的扇形统计图如图所示：
其中C等级的学生分数为：80，80，83，84，85，85，86，86，88，89．
八年级20名学生的测试成绩整理如表：
两组数据的平均数，众数，中位数，优秀率如表所示：
根据以上信息，解答下列问题(1)______，______，______；
(2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级反诈骗知识掌握更好？请说明理由；
(3)为鼓励学生继续关注反诈骗宣传知识，该校对测试成绩大于等于90分的同学颁发“反诈骗小达人”荣誉称号，已知该校七、八年级各有1500名学生，请你估计这两个年级得到该荣誉称号的学生一共有多少名．
【答案】(1)87；94；50 (2)八年级，理由见详解 (3)1350
【分析】（1）将七年级的数据进行排序后，第10个和第11个数据的平均数就是中位数，八年级出现次数最多的数据就是众数，用优秀的人数除以总人数即可求出优秀率；
（2）根据平均数，中位数和优秀率作答即可；
（2）用总人数乘以优秀率进行计算即可．
（1）解：将七年级的数据进行排序，第10个和第11个数据分别为：86和88
∴． 八年级出现次数最多的数据为：94 ∴．
八年级90分以上的人数为：3+4+1+1+1=10
∴∴．
（2）解：八年级掌握更好；理由如下：
七年级和八年级的平均数相同，但是八年级的中位数和优秀率都比七年级的高，所以八年级掌握的更好．
（3）解：七年级的反诈骗小达人人数为： （人）
八年级的反诈骗小达人人数为： （人）
∴总人数为： （人）
∴这两个年级得到该荣誉称号的学生一共有1350人．
【点睛】本题考查数据的收集，以及利用样本估计总体数量：注意在求中位数的时候要先将数据进行排序，众数是出现次数最多的数据，可能不唯一；准确的求出样本所占百分比是估计总体数量的关键．
21．（2022·河南·八年级阶段练习）我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国外开始蔓延，为了防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡航艇的航向为北偏西．
（1）求甲巡逻艇的航行方向（用含n的式子表示）;（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
【答案】（1）；（2）海里
【分析】（1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；
（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．
【详解】解：（1）（海里），（海里），
又AB=13海里所以，
所以是直角三角形， 所以
由已知得，所以，所以甲的航向为北偏东，
（2）甲巡逻船航行3分钟的路程为（海里）
乙甲巡逻船航行3分钟的路程为（海里）
所以3分钟后甲、乙两艘巡逻船相距为：（海里）．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形是解题的关键．
22．（2022·广东佛山市·八年级期中）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元，为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房．（1）如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？（2）设三人间共住了人，这个团一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案：要求租住的房间正好被住满的，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．
【答案】（1）租住了三人间8间，双人间13间；（2）；（3）一天6300元的住宿费不是最低；若48人入住三人间，则费用最低，为5100元．所以住宿费用最低的设计方案为：48人住3人间，2人住2人间
【分析】（1）设三人间有间，双人间有间．注意凡团体入住一律五折优惠，根据①客房人数；②住宿费6300列方程组求解；（2）根据题意，三人间住了人，则双人间住了人．住宿费三人间的人数双人间的人数；（3）根据的取值范围及实际情况，运用函数的增减性质解答．
【详解】解：（1）设三人间有间，双人间有间，
根据题意得：，解得：，答：租住了三人间8间，双人间13间；
（2）根据题意得：，
（3）因为，所以随的增大而减小，故当满足、为整数，且最大时，
即时，住宿费用最低，此时，
答：一天6300元的住宿费不是最低；若48人入住三人间，则费用最低，为5100元．
所以住宿费用最低的设计方案为：48人住3人间，2人住2人间．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答．
23．（2022·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．
(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶
(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；
(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．
【答案】(1)
(2)① 5；
②
(3)<
(4)
【分析】（1）利用构图法求出的面积，即可求解；
（2）①利用勾股定理，即可求解；②类比①的方法，即可求解；
（3）构造出三边长分别为的三角形，即可求解；
（4）先画出三边长分别为、、的，再利用构图法求解，即可求解．
(1)
解：的面积为；
故答案为：
(2)
解：① ；
故答案为：5；
②线段的长可表示为；
故答案为：
(3)
解：如图，
根据题意得：，，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：<
(4)
解：解：如图，，，，
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考常见题，
24．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点、、分别在正方形的边、、上，．
(1)如图1，当时，求证：菱形是正方形．
(2)如图2，连接，当的面积等于1时，求线段的长度．
【答案】(1)见解析 (2)5
【分析】（1）根据菱形和正方形的性质，去证明≌，即可得到，从而推出，得到，即可证明得出结论；
（2）过F作，交DC的延长线于点M，连接GE，根据菱形和正方形的性质得到，从而证明得到≌，得到，根据的面积等于1，即可求出CG的长度，而，即可求出答案．
（1）证明：∵四边形是正方形，∴，
∵四边形是菱形，∴，
∵∴在和中，
，∴≌（HL）
∴，∴，
∴，∴菱形为正方形；
（2）过F作，交DC的延长线于点M，连接GE，
∵四边形是正方形，
∴，，∴，
∵四边形是菱形，∴，，
∴，∴，
∵∴，∴，
在和中，，
∴≌（AAS）， ∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，综合掌握以上性质和判定是本题的关键．
25．（2022春·重庆大足·八年级统考期末）已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；(2)如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于10时，请求出点P的坐标；
(3)如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
【答案】(1)(2)，或，(3)存在，，，
【分析】（1）设直线的解析式，求出点的坐标，把、的坐标代入解析式计算即可；
（2）设点的横坐标为，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可．
（3）按为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式，
直线与轴，轴分别交于、两点，，，
直线经过点，与轴交于点，
，，直线的解析式：；
（2）由题意可知，，设点的横坐标为，
，或．
，或，；
（3）设将沿着轴平移个单位长度得到△，
，，，设点坐标为，
①当为以、、、为顶点的菱形边长时，有两种情况：
当时，即，此时，即点在轴上，
且，点与点重合，即．
当时，，，，解得，
此时，即点在轴上，且，．
②当为以、、、为顶点的菱形对角线时，，即点在的垂直平分线上，且，关于对称，当向左一移动，，，，
，解得或（舍），
当向右移动时，，，，
，解得（舍）或（舍），，．
综上所述，存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为，，．
【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，菱形的性质与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键．
26．（2023·河北石家庄·八年级校考期中）问题情境：如图1，已知正方形ABCD与正方形CEFG，B、C、G在一条直线上，M是AF的中点，连接DM，EM．探究DM，EM的数量关系与位置关系．
小明的思路是：小明发现AD//EF，所以通过延长ME交AD于点H，构造△EFM和△HAM全等，进而可得△DEH是等腰直角三角形，从而使问题得到解决，请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）猜想图1中DM、EM的数量关系 ，位置关系 ．
（2）如图2，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转180°，此时点E在线段DC的延长线上，点G落在线段BC上，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由；（3）我们可以猜想，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度，如图3，（1）中的结论 （“成立”或“不成立”）
拓展应用：将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．
【答案】（1）DM⊥EM，DM＝ME，理由见详解；（2）结论成立，理由见详解；（3）成立；拓展应用：MF=或
【分析】（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．只要证明△AMH≌△FME，推出MH＝ME，AH＝EF＝EC，推出DH＝DE，因为∠EDH＝90°，可得DM⊥EM，DM＝ME；（2）延长EM交DA的延长线于H，证法同第（1）小题；（3）如图3中，延长EM到点 H，使EM=HM，连接AH，DE，DH，先证明△AMH≌△FME，延长AH交CE于点K，交CD于点O，再证明∆DCE≅∆DAH，可得∆HDE是等腰直角三角形，M是HE的中点，即可得到结论；
拓展应用：分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如图1中，延长EM交AD于H．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，
∵M是AF的中点，∴AM＝MF，
又∵∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴AD-AH=CD-CE，∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME．故答案是：DM⊥EM，DM＝ME；
（2）如图2中，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴AD+AH=CD+CE，∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME；
（3）如图3中，延长EM到点 H，使EM=HM，连接AH，DE，DH，
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，
∴AH＝EF＝EC，∠MAH=∠MFE，∴AH∥EF，
延长AH交CE于点K，交CD于点O，
∴∠AKE=∠CEF=90°，∴∠DCE+∠COK=∠DAH+∠AOD，
∵∠COK=∠AOD，∴∠DCE=∠DAH，
在∆ DCE和∆DAH中，∵，∴∆DCE≅∆DAH，
∴DH=DE，∠CDE=∠ADH，
∴∠ADH+∠CDH=∠CDE+∠CDH=90°，即：∠HDE=∠ADC=90°，
∴∆HDE是等腰直角三角形，M是HE的中点，
∴DM⊥EM，DM＝ME，故答案是：成立；
拓展应用：如图4中，连接DE．延长EM到H，使得MH＝ME，连接AH，延长FE交AD的延长线于K．作MR⊥DE于R．
易证△AMH≌△FME（SAS），∴AH＝EF＝EC，∠MAH＝∠MFE，∴AH∥DF，
∴∠DAH＋∠ADE＝180°，∴∠DAH＋∠CDE＝90°，∵∠DCE＋∠EDC＝90°∴∠DAH＝∠DCE，
∵DA＝DC，∴△DAH≌△DCE（SAS），∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，∴∠HDE＝∠ADC＝90°，
∵ME＝MH，∴DM⊥EH，DM＝MH＝EM，在Rt△CDE中，DE＝，
∵DM＝ME，DM⊥ME，MR⊥DE，∴MR＝DE＝6，DR＝RE＝6，
在Rt△FMR中，FM＝，
如图5中，作MR⊥DE于R．同法可得DE＝12，MR＝6，可得FR＝6−5＝1，
在Rt△MRF中，FM＝综上所述：MF=或．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．
分数
73
81
82
85
88
91
92
94
96
100
人数
1
3
2
3
1
3
1
4
1
1
年级
平均分
中位数
众数
优秀率
七年级
88
a
91
40%
八年级
88
89.5
b
c%
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·湖南娄底·八年级娄底一中校考阶段练习）在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．4、7、9B．5、12、13C．6、8、10D．7、24、25
2．（2022·安徽·九年级专题练习）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是（ ）
A．平均数是8B．众数是11C．中位数是2D．极差是10
3．（2022·广市八年级期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·辽宁抚顺·八年级统考期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）2021年的夏天，某地旱情严重．该地人日均用水量的变化情况如图所示．若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量不高于9千克时，政府将向当地居民送水．那么政府应开始送水的号数为（ ）
A．23B．24C．25D．26
6．（2022·福建·厦门实验中学二模）设数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，方差S2=0，则下列式子一定正确的是（ ）
A．x=0 B．x1+x2+x3+…+xn=0C．x1=x2=x3=…=xn=0 D．x1=x2=x3=…=xn=x
7．（2022·湖南·长沙市南雅中学八年级期末）一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．的值随值的增大而增大 B．它的图象经过一、二、三象限
C．当时， D．它的图象必经过点（-1，2）
8．（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法，其中正确的有（ ）个
①四边形是平行四边形：②如果，则四边形是矩形：
③如果平分，则四边形是菱形：④如果且，则四边形是菱形，
A．1B．2C．3D．4
9．（2022·四川绵阳·八年级期末）如图，点P为正方形ABCD对角线BD的延长线上一点，点M为AD上一点，连接CP，BM，MP，已知AB＝4，AM＝1，BM＝PM，则CP＝（ ）
A．4B．C．4D．5
10．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在矩形中，，．点为矩形的对称中心，点为边上的动点，连接并延长交于点．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点，连接、，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·内蒙古呼伦贝尔·八年级期末）若函数是一次函数，则m的值为______.
12．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则______．
13．（2022·四川成都·模拟预测）对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a☆b＝，那么函数y＝2☆x，当y＝5时，则x的值为_______．
14．（2022·河北·泊头市九年级期中）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么所求出的平均数与实际平均数的差是___．
15．（2022·浙江宁波·八年级开学考试）若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为_________．
16．（2022·北京·九年级专题练习）某公司销售一批新上市的产品，公司收集了这个产品15天的日销售额的数据，制作了如下的统计图．
关于这个产品销售情况有以下说法：
①第1天到第5天的日销售额的平均值低于第6天到第10天的日销售额的平均值；
②第6天到第10天日销售额的方差小于第11天到第15天日销售额的方差；
③这15天日销售额的平均值一定超过2万元．所有正确结论的序号是________．
17．（2022春·北京·八年级校考期中）如图，菱形的对角线，相交于点，为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为__________．
18．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，），点B为x轴的正半轴上一动点，作直线AB，△ABO与△ABC关于直线AB对称，点D，E分别为AO，AB的中点，连接DE并延长交BC所在直线于点F，连接CE，当∠CEF为直角时，则直线AB的函数表达式为__．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市龙岗区平湖外国语学校校考期中）计算：
(1)； (2)；(3)；(4)．
20．（2022·重庆实验外国语学校八年级阶段练习）2022年5月10日中共中央宣传部、中国公安部联合启动“全民反诈在行动”集中宣传月活动，同时联合教育部启动了“反诈宣传进校园”活动．进一步加强宣传教育，营造全民反诈、全社会反诈浓厚氛围．某学校为了调查学生关于反诈骗知识的了解情况，在七、八年级各随机选取20名学生进行测试（成分共分为四个等级A：100分；B：90-99分，C：80-89分；D：80分以下，满分100分，90分及以上为优秀），并对成绩进行整理描述和分析，以下是部分信息：
七年级20名学生测试成绩的扇形统计图如图所示：
其中C等级的学生分数为：80，80，83，84，85，85，86，86，88，89．
八年级20名学生的测试成绩整理如表：
两组数据的平均数，众数，中位数，优秀率如表所示：
根据以上信息，解答下列问题(1)______，______，______；
(2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级反诈骗知识掌握更好？请说明理由；
(3)为鼓励学生继续关注反诈骗宣传知识，该校对测试成绩大于等于90分的同学颁发“反诈骗小达人”荣誉称号，已知该校七、八年级各有1500名学生，请你估计这两个年级得到该荣誉称号的学生一共有多少名．
21．（2022·河南·八年级阶段练习）我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国外开始蔓延，为了防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡航艇的航向为北偏西．（1）求甲巡逻艇的航行方向（用含n的式子表示）;（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
22．（2022·广东佛山市·八年级期中）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元，为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房．（1）如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？（2）设三人间共住了人，这个团一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案：要求租住的房间正好被住满的，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．
23．（2022·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．
(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶
(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．
24．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点、、分别在正方形的边、、上，．(1)如图1，当时，求证：菱形是正方形．(2)如图2，连接，当的面积等于1时，求线段的长度．
25．（2022春·重庆大足·八年级统考期末）已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；(2)如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于10时，请求出点P的坐标；
(3)如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
26．（2023·河北石家庄·八年级校考期中）问题情境：如图1，已知正方形ABCD与正方形CEFG，B、C、G在一条直线上，M是AF的中点，连接DM，EM．探究DM，EM的数量关系与位置关系．
小明的思路是：小明发现AD//EF，所以通过延长ME交AD于点H，构造△EFM和△HAM全等，进而可得△DEH是等腰直角三角形，从而使问题得到解决，请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）猜想图1中DM、EM的数量关系 ，位置关系 ．
（2）如图2，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转180°，此时点E在线段DC的延长线上，点G落在线段BC上，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由；（3）我们可以猜想，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度，如图3，（1）中的结论 （“成立”或“不成立”）
拓展应用：将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．
分数
73
81
82
85
88
91
92
94
96
100
人数
1
3
2
3
1
3
1
4
1
1
年级
平均分
中位数
众数
优秀率
七年级
88
a
91
40%
八年级
88
89.5
b
c%
期末押题预测卷（1）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·湖南娄底·八年级娄底一中校考阶段练习）在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．4、7、9B．5、12、13C．6、8、10D．7、24、25
【答案】A
【分析】根据勾股定理逆定理逐项分析即可.
【详解】解：A. ∵42+72≠92，∴4、7、9不能组成直角三角形；
B. ∵52+122=132，∴ 5、12、13能组成直角三角形；
C. ∵62+82=102，∴6、8、10能组成直角三角形；
D. ∵72+242=252，∴7、24、25能组成直角三角形；故选A.
【点睛】本题考查勾股定理逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
2．（2022·安徽·九年级专题练习）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是（ ）
A．平均数是8B．众数是11C．中位数是2D．极差是10
【答案】A
【分析】从条形统计图中可以知道共调查40人，选择公交7人，火车2人，地铁13人，轻轨11人，其它7人，极差为13﹣2＝11，故D不正确；出现次数最多的是13，即众数是13，故B不正确，从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故C是不正确的；，即平均数是8，故A是正确的．
【详解】解：，即平均数是8，故A是正确的．
出现次数最多的是13，即众数是13，故B不正确，
从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故C是不正确的；
极差为，故D不正确；故选A．
【点睛】考查平均数、众数、中位数、极差的意义和求法，正确掌握这几个统计量意义是解决问题的前提．
3．（2022·广市八年级期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度==12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17（米）．故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
4．（2022春·辽宁抚顺·八年级统考期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故符合题意；D、，故D不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
5．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）2021年的夏天，某地旱情严重．该地人日均用水量的变化情况如图所示．若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量不高于9千克时，政府将向当地居民送水．那么政府应开始送水的号数为（ ）
A．23B．24C．25D．26
【答案】C
【分析】先根据题意确定直线的解析式y=kx+b，后解不等式kx+b≤9，求得整数解即可．
【详解】设直线的解析式y=kx+b，
∴，解得，∴y=，
∵人日均用水量不高于9千克，∴≤9，解得x≥25，故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数的应用，不等式的解法，熟练掌握待定系数法，不等式的解法是解题的关键．
6．（2022·福建·厦门实验中学二模）设数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，方差S2=0，则下列式子一定正确的是（ ）
A．x=0 B．x1+x2+x3+…+xn=0C．x1=x2=x3=…=xn=0 D．x1=x2=x3=…=xn=x
【答案】D
【分析】根据方差的定义，即可得出结论．
【详解】解：∵数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，方差S2=0，∴x1=x2=x3=…=xn=x．故选：D
【点睛】本题考查了方差，熟练掌握方差的定义是解本题的关键．方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数，因此方差一定是大于等于0．
7．（2022·湖南·长沙市南雅中学八年级期末）一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．的值随值的增大而增大 B．它的图象经过一、二、三象限
C．当时， D．它的图象必经过点（-1，2）
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵-2＜0，1＞0，
∴A的值随值的增大而减小，故本选项错误，不符合题意；
B、它的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意；
C、当时，，所以当时，，故本选项正确，符合题意；
D、当时，，它的图象必经过点（-1，3），故本选项错误，不符合题意；故选：C
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
8．（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法，其中正确的有（ ）个
①四边形是平行四边形：②如果，则四边形是矩形：
③如果平分，则四边形是菱形：④如果且，则四边形是菱形，
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据，得出为平行四边形，得出①正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由，根据等腰三角形的三线合一可得平分，同理可得四边形是菱形，④正确，进而得到正确说法的个数．
【详解】解：∵，∴四边形是平行四边形，选项①正确；
若，∴平行四边形为矩形，选项②正确；
若平分，∴ ，
又∵，∴，∴，∴，
∴平行四边形为菱形，选项③正确；
若且，∴平分，同理可得平行四边形为菱形，选项④正确，
则其中正确的个数有4个．故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形、矩形及菱形的判定与性质是解本题的关键．
9．（2022·四川绵阳·八年级期末）如图，点P为正方形ABCD对角线BD的延长线上一点，点M为AD上一点，连接CP，BM，MP，已知AB＝4，AM＝1，BM＝PM，则CP＝（ ）
A．4B．C．4D．5
【答案】B
【分析】过点M作ME⊥BP于E，过点P作PF⊥BC交BC延长线于F，先根据正方形的性质得到MD=AD-AM=3，∠DME=∠DBC=45°，再由勾股定理求出，，即可得到，由三线合一定理得到，再利用勾股定理求出BF=PF=5，即可得到CF=1，再由求解即可．
【详解】解：如图所示，过点M作ME⊥BP于E，过点P作PF⊥BC交BC延长线于F，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=4，∠MDE=45°，∠A=90°
∴MD=AD-AM=3，∠DME=∠DBC=45°，∴ME=DE，
∵，∴，∴，
∵，∴,∴,
∵BM=PM，∴，
∵∠PBC=45°，∠PFB=90°，∴∠BPF=45°，
∴BF=PF，，∴，∴PF=BF=5，
∴CF=BF-BC=1，∴，故选B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定 ，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
10．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在矩形中，，．点为矩形的对称中心，点为边上的动点，连接并延长交于点．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点，连接、，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在上截取，连接，证明，所以，即可得最短时，也就最短，而当时，最短，且，再过点作，得，又因为，就可以根据勾股定理计算、的长，从而计算出最小面积．
【详解】解：在上截取，连接，
由折叠的性质得：，
又，，，最短时，也就最短，
而当时，最短，此时，因为点为矩形的对称中心，
，即的最小值是4，
在中，因为点为矩形的对称中心，
长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，度数也不变，是定值，
当最小值时，面积最小．过点作，
点为矩形的对称中心，，
中，，
中，，，
面积的最小值是．故选：D．
【点睛】本题考查中心对称、轴对称、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短、勾股定理，解题的关键是找到的最小值．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·内蒙古呼伦贝尔·八年级期末）若函数是一次函数，则m的值为______.
【答案】-1
【分析】由一次函数的定义得出且，由此求解即可．
【详解】解：∵函数是一次函数，
∴且，∴且，∴故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，形如（k≠0，k、b为常数）的式子，叫做一次函数．正确理解一次函数定义是解答此题的关键．
12．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则______．
【答案】2
【分析】根据同类二次根式和最简二次根式的定义，列出方程解答即可．
【详解】解：根据题意得：x+3=1+2x，解得：x=2．故答案为：2．
【点睛】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
13．（2022·四川成都·模拟预测）对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a☆b＝，那么函数y＝2☆x，当y＝5时，则x的值为_______．
【答案】3或－
【分析】把代入函数y＝2☆x中得到5＝2☆x，再根据新定义来列出一元一次方程，解方程求解．
【详解】解：根据题意得
当时，则5＝2☆x，∴或，解得或．
经检查是的根．故答案为：3或-．
【点睛】本题考查了新定义，根据当时得到函数5=2★x，由新定义得到一元一次方程是解题的关键．
14．（2022·河北·泊头市九年级期中）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么所求出的平均数与实际平均数的差是___．
【答案】-3
【分析】在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15少输入90，在计算过程中共有30个数，所以少输入的90对于每一个数来说少3，实际平均数与求出的平均数的差即可求出．
【详解】∵在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15
则少输入90，即，∴平均数少3，求出的平均数与实际平均数的差为-3，故答案为：-3．
【点睛】本题考查平均数的性质，求数据的平均值是研究数据常做的，平均值反映数据的平均水平，可以准确的把握数据的情况．
15．（2022·浙江宁波·八年级开学考试）若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为__________．
【答案】或##或
【分析】先利用完全平方公式将展开，再根据等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解．
【详解】解：∵，∴，，
∵a、m、n均为正整数，∴m=1，n=3，或m=3，n=1，
当m=1，n=3时，a=12+3×32=28，则；
当m=3，n=1时，a=32+3×12=12，则．故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用，是解答的关键．
16．（2022·北京·九年级专题练习）某公司销售一批新上市的产品，公司收集了这个产品15天的日销售额的数据，制作了如下的统计图．
关于这个产品销售情况有以下说法：
①第1天到第5天的日销售额的平均值低于第6天到第10天的日销售额的平均值；
②第6天到第10天日销售额的方差小于第11天到第15天日销售额的方差；
③这15天日销售额的平均值一定超过2万元．所有正确结论的序号是________．
【答案】①②③
【分析】根据图像信息，可求得第1天到第5天销售额的平均值3.4万，第6天到第10天的日销售额的平均值4.5万可判断①正确；由第6天到第10天日销售额波动较小，销售额的方差较小，第11天到第15天日销售额逐天下降，波动较大，销售额的方差较大，可判断②正确；
销售额超4万有7天，销售额超3万以上4万以下有4天，销售额超2万以上3万以下有3天，只有第十五天销售额1万，这15天日销售额的平均值约等于，可判断③正确．
【详解】第一天2万，第二天3万，第三天3.5万，第四天4万，第五天约4.5万. 销售额的平均值3.4万，
第六天4.5万，第七天4.5万，第八天4.5万，第九天4.5万，第十天约4.5万，销售额的平均值4.5万
∴①第1天到第5天的日销售额的平均值低于第6天到第10天的日销售额的平均值正确；
∵第6天到第10天日销售额波动较小，第6天到第10天日销售额的方差较小，
第11天到第15天日销售额逐天下降，波动较大，第11天到第15天日销售额的方差较大，
∴②第6天到第10天日销售额的方差小于第11天到第15天日销售额的方差正确；
销售额超4万有7天，销售额超3万以上4万以下有4天，销售额超2万以上3万以下有3天，只有第十五天销售额1万，这15天日销售额最低值的平均值约等于．
∴③这15天日销售额的平均值一定超过2万元正确．所有正确结论的序号是①②③．故答案为：①②③．
【点睛】本题考查图像信息，平均数，方差，加权平均数，掌握从图像获取信息的方法，平均数，方差，加权平均数是解题关键．
17．（2022春·北京·八年级校考期中）如图，菱形的对角线，相交于点，为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】连接，根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，当时，最小，根据三角形的面积公式结论得到结论．
【详解】解：连接 ，四边形是菱形，，，
，，，四边形是矩形，，
当取最小值时，的值最小，当时，最小，
，，，
，，
的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
18．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，），点B为x轴的正半轴上一动点，作直线AB，△ABO与△ABC关于直线AB对称，点D，E分别为AO，AB的中点，连接DE并延长交BC所在直线于点F，连接CE，当∠CEF为直角时，则直线AB的函数表达式为__．
【答案】y＝﹣x+
【分析】证明△ABO≌△ABC，于是可知∠CBA=∠ABO=30°，得出OB=3即可求出直线AB的函数表达式．
【详解】解：∵△ABO与△ABC关于直线AB对称，∴∠ACB＝∠AOB＝90°，
∵点E是AB的中点，∴CE＝BE=EA∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠ECA+∠ECF＝90°，∠ECF+∠CFE＝90°∴∠CFE＝∠BAC，
而点D，E分别为AO，AB的中点，∴DFOB，
∴∠CFE＝∠CBO＝2∠CBA＝2∠ABO，
∵△ABO与△ABC关于直线AB对称，∴△ABO≌△ABC，
∴∠OAB＝∠CAB＝2∠ABO，∴∠ABO＝30°，
而点A的坐标为（0，），即OA＝，
∴OB＝3即点B的坐标为（3，0），
于是可设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，代入A、B两点坐标得
解得k＝﹣，b＝，故答案为y＝﹣x+．
【点睛】本题考查的是三角形的全等，并考查了用待定系数法求函数解析式，找到两个已知点的坐标是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市龙岗区平湖外国语学校校考期中）计算：
(1)； (2)；(3)；(4)．
【答案】(1)7(2)(3)(4)
【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，然后利用二次根式的除法运算即可求解；
（2）利用平方差公式即可求解；（3）利用二次根式的乘法运算和二次根式的性质化简，即可求解；
（4）利用立方根的定义，二次根式的乘法运算，即可求解．
【详解】（1）解：=7；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及实数运算，正确化简二次根式是解题关键．
20．（2022·重庆实验外国语学校八年级阶段练习）2022年5月10日中共中央宣传部、中国公安部联合启动“全民反诈在行动”集中宣传月活动，同时联合教育部启动了“反诈宣传进校园”活动．进一步加强宣传教育，营造全民反诈、全社会反诈浓厚氛围．某学校为了调查学生关于反诈骗知识的了解情况，在七、八年级各随机选取20名学生进行测试（成分共分为四个等级A：100分；B：90-99分，C：80-89分；D：80分以下，满分100分，90分及以上为优秀），并对成绩进行整理描述和分析，以下是部分信息：
七年级20名学生测试成绩的扇形统计图如图所示：
其中C等级的学生分数为：80，80，83，84，85，85，86，86，88，89．
八年级20名学生的测试成绩整理如表：
两组数据的平均数，众数，中位数，优秀率如表所示：
根据以上信息，解答下列问题(1)______，______，______；
(2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级反诈骗知识掌握更好？请说明理由；
(3)为鼓励学生继续关注反诈骗宣传知识，该校对测试成绩大于等于90分的同学颁发“反诈骗小达人”荣誉称号，已知该校七、八年级各有1500名学生，请你估计这两个年级得到该荣誉称号的学生一共有多少名．
【答案】(1)87；94；50 (2)八年级，理由见详解 (3)1350
【分析】（1）将七年级的数据进行排序后，第10个和第11个数据的平均数就是中位数，八年级出现次数最多的数据就是众数，用优秀的人数除以总人数即可求出优秀率；
（2）根据平均数，中位数和优秀率作答即可；
（2）用总人数乘以优秀率进行计算即可．
（1）解：将七年级的数据进行排序，第10个和第11个数据分别为：86和88
∴． 八年级出现次数最多的数据为：94 ∴．
八年级90分以上的人数为：3+4+1+1+1=10
∴∴．
（2）解：八年级掌握更好；理由如下：
七年级和八年级的平均数相同，但是八年级的中位数和优秀率都比七年级的高，所以八年级掌握的更好．
（3）解：七年级的反诈骗小达人人数为： （人）
八年级的反诈骗小达人人数为： （人）
∴总人数为： （人）
∴这两个年级得到该荣誉称号的学生一共有1350人．
【点睛】本题考查数据的收集，以及利用样本估计总体数量：注意在求中位数的时候要先将数据进行排序，众数是出现次数最多的数据，可能不唯一；准确的求出样本所占百分比是估计总体数量的关键．
21．（2022·河南·八年级阶段练习）我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国外开始蔓延，为了防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡航艇的航向为北偏西．
（1）求甲巡逻艇的航行方向（用含n的式子表示）;（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
【答案】（1）；（2）海里
【分析】（1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；
（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．
【详解】解：（1）（海里），（海里），
又AB=13海里所以，
所以是直角三角形， 所以
由已知得，所以，所以甲的航向为北偏东，
（2）甲巡逻船航行3分钟的路程为（海里）
乙甲巡逻船航行3分钟的路程为（海里）
所以3分钟后甲、乙两艘巡逻船相距为：（海里）．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形是解题的关键．
22．（2022·广东佛山市·八年级期中）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元，为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房．（1）如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？（2）设三人间共住了人，这个团一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案：要求租住的房间正好被住满的，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．
【答案】（1）租住了三人间8间，双人间13间；（2）；（3）一天6300元的住宿费不是最低；若48人入住三人间，则费用最低，为5100元．所以住宿费用最低的设计方案为：48人住3人间，2人住2人间
【分析】（1）设三人间有间，双人间有间．注意凡团体入住一律五折优惠，根据①客房人数；②住宿费6300列方程组求解；（2）根据题意，三人间住了人，则双人间住了人．住宿费三人间的人数双人间的人数；（3）根据的取值范围及实际情况，运用函数的增减性质解答．
【详解】解：（1）设三人间有间，双人间有间，
根据题意得：，解得：，答：租住了三人间8间，双人间13间；
（2）根据题意得：，
（3）因为，所以随的增大而减小，故当满足、为整数，且最大时，
即时，住宿费用最低，此时，
答：一天6300元的住宿费不是最低；若48人入住三人间，则费用最低，为5100元．
所以住宿费用最低的设计方案为：48人住3人间，2人住2人间．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答．
23．（2022·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．
(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶
(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；
(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．
【答案】(1)
(2)① 5；
②
(3)<
(4)
【分析】（1）利用构图法求出的面积，即可求解；
（2）①利用勾股定理，即可求解；②类比①的方法，即可求解；
（3）构造出三边长分别为的三角形，即可求解；
（4）先画出三边长分别为、、的，再利用构图法求解，即可求解．
(1)
解：的面积为；
故答案为：
(2)
解：① ；
故答案为：5；
②线段的长可表示为；
故答案为：
(3)
解：如图，
根据题意得：，，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：<
(4)
解：解：如图，，，，
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考常见题，
24．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点、、分别在正方形的边、、上，．
(1)如图1，当时，求证：菱形是正方形．
(2)如图2，连接，当的面积等于1时，求线段的长度．
【答案】(1)见解析 (2)5
【分析】（1）根据菱形和正方形的性质，去证明≌，即可得到，从而推出，得到，即可证明得出结论；
（2）过F作，交DC的延长线于点M，连接GE，根据菱形和正方形的性质得到，从而证明得到≌，得到，根据的面积等于1，即可求出CG的长度，而，即可求出答案．
（1）证明：∵四边形是正方形，∴，
∵四边形是菱形，∴，
∵∴在和中，
，∴≌（HL）
∴，∴，
∴，∴菱形为正方形；
（2）过F作，交DC的延长线于点M，连接GE，
∵四边形是正方形，
∴，，∴，
∵四边形是菱形，∴，，
∴，∴，
∵∴，∴，
在和中，，
∴≌（AAS）， ∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，综合掌握以上性质和判定是本题的关键．
25．（2022春·重庆大足·八年级统考期末）已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；(2)如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于10时，请求出点P的坐标；
(3)如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
【答案】(1)(2)，或，(3)存在，，，
【分析】（1）设直线的解析式，求出点的坐标，把、的坐标代入解析式计算即可；
（2）设点的横坐标为，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可．
（3）按为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式，
直线与轴，轴分别交于、两点，，，
直线经过点，与轴交于点，
，，直线的解析式：；
（2）由题意可知，，设点的横坐标为，
，或．
，或，；
（3）设将沿着轴平移个单位长度得到△，
，，，设点坐标为，
①当为以、、、为顶点的菱形边长时，有两种情况：
当时，即，此时，即点在轴上，
且，点与点重合，即．
当时，，，，解得，
此时，即点在轴上，且，．
②当为以、、、为顶点的菱形对角线时，，即点在的垂直平分线上，且，关于对称，当向左一移动，，，，
，解得或（舍），
当向右移动时，，，，
，解得（舍）或（舍），，．
综上所述，存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为，，．
【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，菱形的性质与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键．
26．（2023·河北石家庄·八年级校考期中）问题情境：如图1，已知正方形ABCD与正方形CEFG，B、C、G在一条直线上，M是AF的中点，连接DM，EM．探究DM，EM的数量关系与位置关系．
小明的思路是：小明发现AD//EF，所以通过延长ME交AD于点H，构造△EFM和△HAM全等，进而可得△DEH是等腰直角三角形，从而使问题得到解决，请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）猜想图1中DM、EM的数量关系 ，位置关系 ．
（2）如图2，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转180°，此时点E在线段DC的延长线上，点G落在线段BC上，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由；（3）我们可以猜想，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度，如图3，（1）中的结论 （“成立”或“不成立”）
拓展应用：将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．
【答案】（1）DM⊥EM，DM＝ME，理由见详解；（2）结论成立，理由见详解；（3）成立；拓展应用：MF=或
【分析】（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．只要证明△AMH≌△FME，推出MH＝ME，AH＝EF＝EC，推出DH＝DE，因为∠EDH＝90°，可得DM⊥EM，DM＝ME；（2）延长EM交DA的延长线于H，证法同第（1）小题；（3）如图3中，延长EM到点 H，使EM=HM，连接AH，DE，DH，先证明△AMH≌△FME，延长AH交CE于点K，交CD于点O，再证明∆DCE≅∆DAH，可得∆HDE是等腰直角三角形，M是HE的中点，即可得到结论；
拓展应用：分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如图1中，延长EM交AD于H．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，
∵M是AF的中点，∴AM＝MF，
又∵∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴AD-AH=CD-CE，∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME．故答案是：DM⊥EM，DM＝ME；
（2）如图2中，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴AD+AH=CD+CE，∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME；
（3）如图3中，延长EM到点 H，使EM=HM，连接AH，DE，DH，
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，
∴AH＝EF＝EC，∠MAH=∠MFE，∴AH∥EF，
延长AH交CE于点K，交CD于点O，
∴∠AKE=∠CEF=90°，∴∠DCE+∠COK=∠DAH+∠AOD，
∵∠COK=∠AOD，∴∠DCE=∠DAH，
在∆ DCE和∆DAH中，∵，∴∆DCE≅∆DAH，
∴DH=DE，∠CDE=∠ADH，
∴∠ADH+∠CDH=∠CDE+∠CDH=90°，即：∠HDE=∠ADC=90°，
∴∆HDE是等腰直角三角形，M是HE的中点，
∴DM⊥EM，DM＝ME，故答案是：成立；
拓展应用：如图4中，连接DE．延长EM到H，使得MH＝ME，连接AH，延长FE交AD的延长线于K．作MR⊥DE于R．
易证△AMH≌△FME（SAS），∴AH＝EF＝EC，∠MAH＝∠MFE，∴AH∥DF，
∴∠DAH＋∠ADE＝180°，∴∠DAH＋∠CDE＝90°，∵∠DCE＋∠EDC＝90°∴∠DAH＝∠DCE，
∵DA＝DC，∴△DAH≌△DCE（SAS），∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，∴∠HDE＝∠ADC＝90°，
∵ME＝MH，∴DM⊥EH，DM＝MH＝EM，在Rt△CDE中，DE＝，
∵DM＝ME，DM⊥ME，MR⊥DE，∴MR＝DE＝6，DR＝RE＝6，
在Rt△FMR中，FM＝，
如图5中，作MR⊥DE于R．同法可得DE＝12，MR＝6，可得FR＝6−5＝1，
在Rt△MRF中，FM＝综上所述：MF=或．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．
分数
73
81
82
85
88
91
92
94
96
100
人数
1
3
2
3
1
3
1
4
1
1
年级
平均分
中位数
众数
优秀率
七年级
88
a
91
40%
八年级
88
89.5
b
c%
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