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人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练第十六章二次根式章末检测卷(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练第十六章二次根式章末检测卷(原卷版+解析)，共25页。
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·湖北武汉·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·黑龙江·八年级阶段练习）若是整数，则a能取的最小整数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（2022·河北承德·七年级期末）如图，若数轴上点A，B对应的实数分别为和，用圆规在数轴上画点C，则点C对应的实数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·云南红河·八年级期末）若x为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（ ）
A．B．C．D．
5.（2022·河北保定·八年级期中）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1B．2C．4D．10
6.（2022·山东菏泽·八年级期中）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·绵阳市·八年级课时练习）已知a满足，则的值为（ ）
A．0B．1C．2021D．2022
8．（2022·江西·南城县第二中学七年级阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·重庆渝北·八年级期末）二次根式除法可以这样理解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．判断下列选项正确的是（ ）
①若a是的小数部分，则的值为；
②对于式子，对它的分子分母同时乘以或，均不能对其分母有理化；
③比较两个二次根式的大小；
④计算．
A．①②B．③④C．②③D．②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东淄博·八年级期末）将化为最简二次根式，其结果是 __．
12．（2022·江苏南通·八年级期中）如图，数轴上的点P，A表示的数分别为−1，2，过A点的直线l垂直于数轴，点B在直线l上，且AB=OA．连接PB，以P为圆心，PB为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的数为_______．
13．（2022·浙江·八年级期末）已知，则的值是_____________．
14．（2022·山东菏泽·八年级期中）阅读材料：如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．我们把叫做正数a、b算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．根据上述材料，若，则y最小值为________．
15．（2022·甘肃白银·八年级期末）我们经过探索知道，，，，若已知，则_______（用含的代数式表示，其中为正整数）．
16．（2022·浙江八年级专题练习）已知，则2x﹣18y2＝_____．
17．（2022·河北·平泉市九年级学业考试）已知长方形的长为a，宽为b，且，．
（1）这个长方形的周长为__；（2）若一正方形的面积和这个长方形的面积相等，则这个正方形的边长为__．
18．（2022·浙江宁波·八年级开学考试）若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为________．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·绵阳市八年级期末）计算：
（1）．（2）．（3）．
20．（2022·湖北八年级期中）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求值．
21．（2022·河北八年级期中）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：（1）的有理化因式是______；
（2）化去式子分母中的根号：______．（直接写结果）
（3）______（填或）
（4）利用你发现的规律计算下列式子的值：．
22．（2022·北京市燕山教研中心八年级期中）阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记半周长为p，即，那么这个三角形的面积，这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式．中国南宋数学家秦九韶也得出了类似的公式，称“三斜求积术”，所以这个公式也称为“海伦—秦九韶公式”．完成下列问题：如图，△ABC中，三边长分别为a＝7，b＝5，c＝6．
(1)求△ABC的面积；(2)过点C作CD⊥AB，垂足为点D，请补全图形，并求线段BD的长．
23．（2022·山东济宁·八年级期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，
即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
24．（2022·福建八年级期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
25．（2022·江西赣州·八年级期中）（阅读材料）如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：且仅当时取等号，我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
（实例剖析）已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
（学以致用）根据上面材料回答下列问题：
（1）己知，则当______时，式于取到最小值，最小值为______；
（2）用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（3）己知，则______时，分式取到最大值，最大值为_____．
26．（2022·重庆·八年级期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：
因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而
当时，分母有最小值，所以的最大值是．
解决下述问题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值．
第十六章 二次根式 章末检测卷（人教版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·湖北武汉·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式加减运算以及乘除运算即可求出答案．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查二次根式的混合运算运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算．
2．（2022·黑龙江·八年级阶段练习）若是整数，则a能取的最小整数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再根据是整数，即可求得a能取的最小整数．
【详解】解：成立，，解得，
又是整数，a能取的最小整数为0，故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用次根式有意义的条件是解决本题的关键．
3．（2022·河北承德·七年级期末）如图，若数轴上点A，B对应的实数分别为和，用圆规在数轴上画点C，则点C对应的实数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得，AB＝2，因为BC＝AB，所以BC＝2，再根据点B对应的数，求出点C对应的实数．
【详解】解：∵点A，B对应的实数分别为，．
∴AB（）＝2．由题图可知，BC＝AB．∴BC＝2．
设点C对应的数为x．∴BC＝x．解得x＝3．
∴点C对应的数为3．故选：C．
【点睛】本题考查了数轴上两个点之间距离的求法，数轴上两个点A，B对应的实数分别为x1，x2，则线段AB＝|x1﹣x2|．特别的，当点B在点A的右侧时，AB＝x2﹣x1．
4．（2022·云南红河·八年级期末）若x为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】代入选项，添加运算符然后化简，其结果不为有理数，即可选出答案
【详解】A．原式＝ ，结果为有理数；
B．原式＝ ，结果为有理数；
C．任意添加一种运算符号，其运算结果都为无理数；
D．原式＝ ，结果为有理数．故选择C．
【点睛】本题考查根式的运算，灵活运用根式的运算法则为关键．
5.（2022·河北保定·八年级期中）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1B．2C．4D．10
【答案】A
【分析】先把化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式与能够合并，得到被开方数相同，列出一元一次方程求解即可．
【详解】，
∵最简二次根式与能够合并，
∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式， 利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键．
6.（2022·山东菏泽·八年级期中）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可．
【详解】解：由题意可知a<0，∴．故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键．
7．（2022·绵阳市·八年级课时练习）已知a满足，则的值为（ ）
A．0B．1C．2021D．2022
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件得到a的取值范围，根据a的取值范围去绝对值，化简即可得出答案．
【详解】解：由题意知：，解得：，
∴ ，
∵，
∴，得：，
∴ ，即．
故选：D
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，出现二次根式中有未知数的题，想到二次根式有意义是解题的关键．
8．（2022·江西·南城县第二中学七年级阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先把化为再结合从而可得答案．
【详解】解：∵，
，
，
而
∴
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．
9．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件可以求出长方形ABCD的长和宽，从而求出长方形ABCD的面积，最后即可求出空白部分的面积．
【详解】解：由已知可得：
长方形ABCD的长为，宽为4，
∴长方形ABCD的面积为
∴空白部分的面积为：故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的意义和长方形、正方形的面积公式是解题关键．
10．（2022·重庆渝北·八年级期末）二次根式除法可以这样理解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．判断下列选项正确的是（ ）
①若a是的小数部分，则的值为；
②对于式子，对它的分子分母同时乘以或，均不能对其分母有理化；
③比较两个二次根式的大小；
④计算．
A．①②B．③④C．②③D．②④
【答案】D
【分析】先判断的整数部分求解a的值，再分母有理化可判断①，再把的分子，分母都乘以或 由结果可判断②，先把分母有理化，再比较结果的大小可判断③，逐一把各项分母有理化，再进行二次根式的加减运算即可判断④，从而可得答案．
【详解】解：∵
∴
∴ 故①不符合题意；
∵
故②符合题意；
∵
而
∴，故③不符合题意；
∵
故④符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是二次根式的除法运算，分母有理化，理解分母有理化的含义，熟练的运用分母有理化的方法解决问题是关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东淄博·八年级期末）将化为最简二次根式，其结果是 __．
【答案】
【分析】将分母有理化后进行化简即可．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法解决本题的关键．
12．（2022·江苏南通·八年级期中）如图，数轴上的点P，A表示的数分别为−1，2，过A点的直线l垂直于数轴，点B在直线l上，且AB=OA．连接PB，以P为圆心，PB为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的数为_______．
【答案】##
【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段PB的长度，然后根据PC＝BP即可求出PC的长度，接着可以求出数轴上点C所表示的数．
【详解】解：在Rt△PAB中，，，∴，
∵，∴，∴点C表示的数为：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、数轴上点的表示，解题的关键是根据勾股定理求出PB的长．
13．（2022·浙江·八年级期末）已知，则的值是_____________．
【答案】9
【分析】先将原等式变形为，再根据平方的非负性可得，，，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，∴，，，
∴，，，∴，故答案为：9．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此题的关键．
14．（2022·山东菏泽·八年级期中）阅读材料：如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．我们把叫做正数a、b算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．根据上述材料，若，则y最小值为________．
【答案】
【分析】根据“两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数”可得的最小值．
【详解】解∶∵如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号，
∴即，当且仅当时，等号成立，
∴y的最小值为．
故答案为∶．
【点睛】本题考查了新定义以及算术平均数与几何平均数之间的关系，正确理解新定义与性质是解题的关键．
15．（2022·甘肃白银·八年级期末）我们经过探索知道，，，，若已知，则_______（用含的代数式表示，其中为正整数）．
【答案】
【分析】先求出，，，，的值，代入原式利用算数平方根和公式进行化简与计算，即可求解．
【详解】解：∵，
，
，
，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查数式规律问题、算数平方根、有理数的加减混合运算等知识点，用裂项法将分数进行化简与计算是解题关键．
16．（2022·浙江八年级专题练习）已知，则2x﹣18y2＝_____．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】解：∵一定有意义，∴x≥11，
∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，
整理得：＝3y，∴x﹣11＝9y2，
则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案为：22．
【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．
17．（2022·河北·平泉市九年级学业考试）已知长方形的长为a，宽为b，且，．
（1）这个长方形的周长为__；（2）若一正方形的面积和这个长方形的面积相等，则这个正方形的边长为__．
【答案】
【分析】利用长方形的周长公式列出代数式并求值；利用等量关系另一个正方形的面积=这个长方形的面积列出等式并计算．
【详解】解：∵，．
长方形的周长=2×(+)= 2×(+)=12；
长方形的面积===24，
根据面积相等，则正方形的边长==．
故答案为：；．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，需要掌握长方形和正方形的面积公式与长方形周长公式．
18．（2022·浙江宁波·八年级开学考试）若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为__________．
【答案】或##或
【分析】先利用完全平方公式将展开，再根据等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=3，或m=3，n=1，
当m=1，n=3时，a=12+3×32=28，则；
当m=3，n=1时，a=32+3×12=12，则．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用，是解答的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·绵阳市八年级期末）计算：
（1）．（2）．（3）．
【答案】（1）-2；（2）；（3）
【分析】（1）根据立方根和二次根式的性质化简，然后计算即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，然后利用二次根式的加减运算法则求解即可；
（3）利用二次根式的混合运算法则求解即可.
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
.
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关运算法则进行求解.
20．（2022·湖北八年级期中）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求值．
【答案】（1）；（2）11
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案．
（2）先由x与y的值计算出x﹣y和xy的值，再代入原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy计算可得．
【详解】解：（1）原式，
当时，原式．
（2）∵，，
∴，
，
原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy＝（2）2﹣1＝12﹣1＝11．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．
21．（2022·河北八年级期中）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：（1）的有理化因式是______；
（2）化去式子分母中的根号：______．（直接写结果）
（3）______（填或）
（4）利用你发现的规律计算下列式子的值：．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2020
【分析】（1）根据有理化因式的定义求解；（2）利用分母有理化计算；
（3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到，，然后进行比较大小；
（4）先根据规律，化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可．
【详解】解：（1）的有理化因式是，故答案为：；
（2）∵，故答案为：；
（3）∵，，
而，
∴>，
∴<，故答案为：<
（4）解：原式
【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
22．（2022·北京市燕山教研中心八年级期中）阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记半周长为p，即，那么这个三角形的面积，这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式．中国南宋数学家秦九韶也得出了类似的公式，称“三斜求积术”，所以这个公式也称为“海伦—秦九韶公式”．完成下列问题：如图，△ABC中，三边长分别为a＝7，b＝5，c＝6．
(1)求△ABC的面积；(2)过点C作CD⊥AB，垂足为点D，请补全图形，并求线段BD的长．
【答案】(1)；(2)补全图形见解析，BD＝5.
【分析】（1）根据海伦公式计算即可；
（2）根据等面积法求出CD的长，再根据勾股定理求BD即可．
(1)解：，
= ＝；
(2)解：补全图形如图所示：
，∴CD＝，∴BD＝＝5．
【点睛】本题考查了二次根式的应用、数学常识，根据等面积法求出CD的长是解题的关键．
23．（2022·山东济宁·八年级期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，
即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
【答案】(1)，；(2)；(3)11．
【分析】（1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分；
（2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根；
（3）由得即，从而得x=9，y=，将x、y的值代入原式即可求解．
（1）解：∵，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为，
∵，
∴，
∴即，
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为，
故答案为：，；
（2）解：∵，a是的整数部分，
∴a=9，
∵，
∴的整数部分为1，
∵b是的小数部分，
∴，
∴
∵9的平方根等于，
∴的平方根等于；
（3）解：∵，
∴即，
∵，其中x是整数，且，
∴x=9，y=，
∴．
【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．
24．（2022·福建八年级期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果；
（3）将写成，4写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算．
【详解】解：（1）；
；
（2）；
（3）==．
【点睛】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
25．（2022·江西赣州·八年级期中）（阅读材料）如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：且仅当时取等号，我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
（实例剖析）已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
（学以致用）根据上面材料回答下列问题：
（1）己知，则当______时，式于取到最小值，最小值为______；
（2）用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（3）己知，则______时，分式取到最大值，最大值为_____．
【答案】（1）1，2；（2）这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米；（3）3，
【分析】（1）令a=x，b=，根据即可得答案；
（2）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解；
（3）设，则，根据可求出的最小值，即可得的最大值，即可得答案．
【详解】（1）令a=x，b=，
∵，∴=2，
∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为2．
故答案为：1，2
（2）设这个矩形的长为米，所用的篱笆总长为米，
∵围一个面积为的长方形花园，
∴宽为米，∴
∵，∴，
当且仅当时，即时有最小值，最小值为40．
时，=10，
∴当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米．
（3）设，则，
∵，∴≥=4，
∴当且仅当时，即x=3时，有最小值4，
∴当x=3时，的最大值为，即取到最大值为．故答案为：3，
【点睛】本题主要考查阅读型问题，读懂题目中给出的已知信息，理解阅读材料介绍的知识是解题的关键．
26．（2022·重庆·八年级期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：
因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而
当时，分母有最小值，所以的最大值是．
解决下述问题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）的最大值为．
【分析】（1）利用分母有理化得到， ，利用可判断 ；
（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x≥0，x≥0，则x≥0，利用分母有理化得到，由于x=0时，有最小值1，从而得到y的最大值．
【详解】解：（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，可知x≥0，
，
当时，有最小值1，则有最大值，
所以的最大值为．
【点睛】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·湖北武汉·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·黑龙江·八年级阶段练习）若是整数，则a能取的最小整数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（2022·河北承德·七年级期末）如图，若数轴上点A，B对应的实数分别为和，用圆规在数轴上画点C，则点C对应的实数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·云南红河·八年级期末）若x为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（ ）
A．B．C．D．
5.（2022·河北保定·八年级期中）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1B．2C．4D．10
6.（2022·山东菏泽·八年级期中）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·绵阳市·八年级课时练习）已知a满足，则的值为（ ）
A．0B．1C．2021D．2022
8．（2022·江西·南城县第二中学七年级阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·重庆渝北·八年级期末）二次根式除法可以这样理解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．判断下列选项正确的是（ ）
①若a是的小数部分，则的值为；
②对于式子，对它的分子分母同时乘以或，均不能对其分母有理化；
③比较两个二次根式的大小；
④计算．
A．①②B．③④C．②③D．②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东淄博·八年级期末）将化为最简二次根式，其结果是 __．
12．（2022·江苏南通·八年级期中）如图，数轴上的点P，A表示的数分别为−1，2，过A点的直线l垂直于数轴，点B在直线l上，且AB=OA．连接PB，以P为圆心，PB为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的数为_______．
13．（2022·浙江·八年级期末）已知，则的值是_____________．
14．（2022·山东菏泽·八年级期中）阅读材料：如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．我们把叫做正数a、b算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．根据上述材料，若，则y最小值为________．
15．（2022·甘肃白银·八年级期末）我们经过探索知道，，，，若已知，则_______（用含的代数式表示，其中为正整数）．
16．（2022·浙江八年级专题练习）已知，则2x﹣18y2＝_____．
17．（2022·河北·平泉市九年级学业考试）已知长方形的长为a，宽为b，且，．
（1）这个长方形的周长为__；（2）若一正方形的面积和这个长方形的面积相等，则这个正方形的边长为__．
18．（2022·浙江宁波·八年级开学考试）若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为________．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·绵阳市八年级期末）计算：
（1）．（2）．（3）．
20．（2022·湖北八年级期中）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求值．
21．（2022·河北八年级期中）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：（1）的有理化因式是______；
（2）化去式子分母中的根号：______．（直接写结果）
（3）______（填或）
（4）利用你发现的规律计算下列式子的值：．
22．（2022·北京市燕山教研中心八年级期中）阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记半周长为p，即，那么这个三角形的面积，这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式．中国南宋数学家秦九韶也得出了类似的公式，称“三斜求积术”，所以这个公式也称为“海伦—秦九韶公式”．完成下列问题：如图，△ABC中，三边长分别为a＝7，b＝5，c＝6．
(1)求△ABC的面积；(2)过点C作CD⊥AB，垂足为点D，请补全图形，并求线段BD的长．
23．（2022·山东济宁·八年级期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，
即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
24．（2022·福建八年级期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
25．（2022·江西赣州·八年级期中）（阅读材料）如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：且仅当时取等号，我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
（实例剖析）已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
（学以致用）根据上面材料回答下列问题：
（1）己知，则当______时，式于取到最小值，最小值为______；
（2）用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（3）己知，则______时，分式取到最大值，最大值为_____．
26．（2022·重庆·八年级期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：
因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而
当时，分母有最小值，所以的最大值是．
解决下述问题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值．
第十六章 二次根式 章末检测卷（人教版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·湖北武汉·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式加减运算以及乘除运算即可求出答案．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查二次根式的混合运算运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算．
2．（2022·黑龙江·八年级阶段练习）若是整数，则a能取的最小整数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再根据是整数，即可求得a能取的最小整数．
【详解】解：成立，，解得，
又是整数，a能取的最小整数为0，故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用次根式有意义的条件是解决本题的关键．
3．（2022·河北承德·七年级期末）如图，若数轴上点A，B对应的实数分别为和，用圆规在数轴上画点C，则点C对应的实数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得，AB＝2，因为BC＝AB，所以BC＝2，再根据点B对应的数，求出点C对应的实数．
【详解】解：∵点A，B对应的实数分别为，．
∴AB（）＝2．由题图可知，BC＝AB．∴BC＝2．
设点C对应的数为x．∴BC＝x．解得x＝3．
∴点C对应的数为3．故选：C．
【点睛】本题考查了数轴上两个点之间距离的求法，数轴上两个点A，B对应的实数分别为x1，x2，则线段AB＝|x1﹣x2|．特别的，当点B在点A的右侧时，AB＝x2﹣x1．
4．（2022·云南红河·八年级期末）若x为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】代入选项，添加运算符然后化简，其结果不为有理数，即可选出答案
【详解】A．原式＝ ，结果为有理数；
B．原式＝ ，结果为有理数；
C．任意添加一种运算符号，其运算结果都为无理数；
D．原式＝ ，结果为有理数．故选择C．
【点睛】本题考查根式的运算，灵活运用根式的运算法则为关键．
5.（2022·河北保定·八年级期中）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1B．2C．4D．10
【答案】A
【分析】先把化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式与能够合并，得到被开方数相同，列出一元一次方程求解即可．
【详解】，
∵最简二次根式与能够合并，
∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式， 利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键．
6.（2022·山东菏泽·八年级期中）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可．
【详解】解：由题意可知a<0，∴．故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键．
7．（2022·绵阳市·八年级课时练习）已知a满足，则的值为（ ）
A．0B．1C．2021D．2022
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件得到a的取值范围，根据a的取值范围去绝对值，化简即可得出答案．
【详解】解：由题意知：，解得：，
∴ ，
∵，
∴，得：，
∴ ，即．
故选：D
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，出现二次根式中有未知数的题，想到二次根式有意义是解题的关键．
8．（2022·江西·南城县第二中学七年级阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先把化为再结合从而可得答案．
【详解】解：∵，
，
，
而
∴
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．
9．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件可以求出长方形ABCD的长和宽，从而求出长方形ABCD的面积，最后即可求出空白部分的面积．
【详解】解：由已知可得：
长方形ABCD的长为，宽为4，
∴长方形ABCD的面积为
∴空白部分的面积为：故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的意义和长方形、正方形的面积公式是解题关键．
10．（2022·重庆渝北·八年级期末）二次根式除法可以这样理解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．判断下列选项正确的是（ ）
①若a是的小数部分，则的值为；
②对于式子，对它的分子分母同时乘以或，均不能对其分母有理化；
③比较两个二次根式的大小；
④计算．
A．①②B．③④C．②③D．②④
【答案】D
【分析】先判断的整数部分求解a的值，再分母有理化可判断①，再把的分子，分母都乘以或 由结果可判断②，先把分母有理化，再比较结果的大小可判断③，逐一把各项分母有理化，再进行二次根式的加减运算即可判断④，从而可得答案．
【详解】解：∵
∴
∴ 故①不符合题意；
∵
故②符合题意；
∵
而
∴，故③不符合题意；
∵
故④符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是二次根式的除法运算，分母有理化，理解分母有理化的含义，熟练的运用分母有理化的方法解决问题是关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东淄博·八年级期末）将化为最简二次根式，其结果是 __．
【答案】
【分析】将分母有理化后进行化简即可．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法解决本题的关键．
12．（2022·江苏南通·八年级期中）如图，数轴上的点P，A表示的数分别为−1，2，过A点的直线l垂直于数轴，点B在直线l上，且AB=OA．连接PB，以P为圆心，PB为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的数为_______．
【答案】##
【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段PB的长度，然后根据PC＝BP即可求出PC的长度，接着可以求出数轴上点C所表示的数．
【详解】解：在Rt△PAB中，，，∴，
∵，∴，∴点C表示的数为：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、数轴上点的表示，解题的关键是根据勾股定理求出PB的长．
13．（2022·浙江·八年级期末）已知，则的值是_____________．
【答案】9
【分析】先将原等式变形为，再根据平方的非负性可得，，，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，∴，，，
∴，，，∴，故答案为：9．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此题的关键．
14．（2022·山东菏泽·八年级期中）阅读材料：如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．我们把叫做正数a、b算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．根据上述材料，若，则y最小值为________．
【答案】
【分析】根据“两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数”可得的最小值．
【详解】解∶∵如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号，
∴即，当且仅当时，等号成立，
∴y的最小值为．
故答案为∶．
【点睛】本题考查了新定义以及算术平均数与几何平均数之间的关系，正确理解新定义与性质是解题的关键．
15．（2022·甘肃白银·八年级期末）我们经过探索知道，，，，若已知，则_______（用含的代数式表示，其中为正整数）．
【答案】
【分析】先求出，，，，的值，代入原式利用算数平方根和公式进行化简与计算，即可求解．
【详解】解：∵，
，
，
，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查数式规律问题、算数平方根、有理数的加减混合运算等知识点，用裂项法将分数进行化简与计算是解题关键．
16．（2022·浙江八年级专题练习）已知，则2x﹣18y2＝_____．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】解：∵一定有意义，∴x≥11，
∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，
整理得：＝3y，∴x﹣11＝9y2，
则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案为：22．
【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．
17．（2022·河北·平泉市九年级学业考试）已知长方形的长为a，宽为b，且，．
（1）这个长方形的周长为__；（2）若一正方形的面积和这个长方形的面积相等，则这个正方形的边长为__．
【答案】
【分析】利用长方形的周长公式列出代数式并求值；利用等量关系另一个正方形的面积=这个长方形的面积列出等式并计算．
【详解】解：∵，．
长方形的周长=2×(+)= 2×(+)=12；
长方形的面积===24，
根据面积相等，则正方形的边长==．
故答案为：；．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，需要掌握长方形和正方形的面积公式与长方形周长公式．
18．（2022·浙江宁波·八年级开学考试）若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为__________．
【答案】或##或
【分析】先利用完全平方公式将展开，再根据等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=3，或m=3，n=1，
当m=1，n=3时，a=12+3×32=28，则；
当m=3，n=1时，a=32+3×12=12，则．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用，是解答的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·绵阳市八年级期末）计算：
（1）．（2）．（3）．
【答案】（1）-2；（2）；（3）
【分析】（1）根据立方根和二次根式的性质化简，然后计算即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，然后利用二次根式的加减运算法则求解即可；
（3）利用二次根式的混合运算法则求解即可.
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
.
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关运算法则进行求解.
20．（2022·湖北八年级期中）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求值．
【答案】（1）；（2）11
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案．
（2）先由x与y的值计算出x﹣y和xy的值，再代入原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy计算可得．
【详解】解：（1）原式，
当时，原式．
（2）∵，，
∴，
，
原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy＝（2）2﹣1＝12﹣1＝11．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．
21．（2022·河北八年级期中）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：（1）的有理化因式是______；
（2）化去式子分母中的根号：______．（直接写结果）
（3）______（填或）
（4）利用你发现的规律计算下列式子的值：．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2020
【分析】（1）根据有理化因式的定义求解；（2）利用分母有理化计算；
（3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到，，然后进行比较大小；
（4）先根据规律，化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可．
【详解】解：（1）的有理化因式是，故答案为：；
（2）∵，故答案为：；
（3）∵，，
而，
∴>，
∴<，故答案为：<
（4）解：原式
【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
22．（2022·北京市燕山教研中心八年级期中）阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记半周长为p，即，那么这个三角形的面积，这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式．中国南宋数学家秦九韶也得出了类似的公式，称“三斜求积术”，所以这个公式也称为“海伦—秦九韶公式”．完成下列问题：如图，△ABC中，三边长分别为a＝7，b＝5，c＝6．
(1)求△ABC的面积；(2)过点C作CD⊥AB，垂足为点D，请补全图形，并求线段BD的长．
【答案】(1)；(2)补全图形见解析，BD＝5.
【分析】（1）根据海伦公式计算即可；
（2）根据等面积法求出CD的长，再根据勾股定理求BD即可．
(1)解：，
= ＝；
(2)解：补全图形如图所示：
，∴CD＝，∴BD＝＝5．
【点睛】本题考查了二次根式的应用、数学常识，根据等面积法求出CD的长是解题的关键．
23．（2022·山东济宁·八年级期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，
即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
【答案】(1)，；(2)；(3)11．
【分析】（1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分；
（2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根；
（3）由得即，从而得x=9，y=，将x、y的值代入原式即可求解．
（1）解：∵，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为，
∵，
∴，
∴即，
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为，
故答案为：，；
（2）解：∵，a是的整数部分，
∴a=9，
∵，
∴的整数部分为1，
∵b是的小数部分，
∴，
∴
∵9的平方根等于，
∴的平方根等于；
（3）解：∵，
∴即，
∵，其中x是整数，且，
∴x=9，y=，
∴．
【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．
24．（2022·福建八年级期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果；
（3）将写成，4写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算．
【详解】解：（1）；
；
（2）；
（3）==．
【点睛】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
25．（2022·江西赣州·八年级期中）（阅读材料）如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：且仅当时取等号，我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
（实例剖析）已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
（学以致用）根据上面材料回答下列问题：
（1）己知，则当______时，式于取到最小值，最小值为______；
（2）用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（3）己知，则______时，分式取到最大值，最大值为_____．
【答案】（1）1，2；（2）这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米；（3）3，
【分析】（1）令a=x，b=，根据即可得答案；
（2）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解；
（3）设，则，根据可求出的最小值，即可得的最大值，即可得答案．
【详解】（1）令a=x，b=，
∵，∴=2，
∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为2．
故答案为：1，2
（2）设这个矩形的长为米，所用的篱笆总长为米，
∵围一个面积为的长方形花园，
∴宽为米，∴
∵，∴，
当且仅当时，即时有最小值，最小值为40．
时，=10，
∴当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米．
（3）设，则，
∵，∴≥=4，
∴当且仅当时，即x=3时，有最小值4，
∴当x=3时，的最大值为，即取到最大值为．故答案为：3，
【点睛】本题主要考查阅读型问题，读懂题目中给出的已知信息，理解阅读材料介绍的知识是解题的关键．
26．（2022·重庆·八年级期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：
因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而
当时，分母有最小值，所以的最大值是．
解决下述问题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）的最大值为．
【分析】（1）利用分母有理化得到， ，利用可判断 ；
（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x≥0，x≥0，则x≥0，利用分母有理化得到，由于x=0时，有最小值1，从而得到y的最大值．
【详解】解：（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，可知x≥0，
，
当时，有最小值1，则有最大值，
所以的最大值为．
【点睛】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．
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