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人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练第十七章勾股定理章末检测卷(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练第十七章勾股定理章末检测卷(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了5小时后，两轮船相距，25=1等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B． C．，， D．
2．（2022·广东惠州·八年级期中）已知一轮船以18海里/小时的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，两轮船相距（ ）
A．35海里B．40海里C．45海里D．50海里
3．（2022·浙江·乐清八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广市八年级期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．B．C．D．
5.（2022·广东东莞·八年级期中）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（ ）
A．1.0 米B．1.2 米C．1.25 米D．1.5 米
6．（2022·重庆忠县·八年级期末）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2022·山西八年级期末）如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20B．24C．25D．26
8．（2022·北京东城·八年级期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．19B．44C．52D．76
9．（2022·山东八年级期中）中，，高，则BC的长为（ ）
A．14B．14或4C．4D．无法确定
10．（2022·山东泰安市·七年级期末）如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点．若，，则线段的长为（ ）
A．B．3C．D．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·福建龙岩·八年级期末）图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_____．
12．（2022·江苏八年级期末）如图，在四边形中，，．若，，，则对角线的长为____________cm．
13．（2022·山东八年级期中）如图，在中，，，，则内部五个小直角三角形的周长的和为______．
14．（2021·江苏八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，若，，，则______．
15．（2022·福建省泰宁县教师进修学校八年级期中）如图，圆柱形玻璃杯高为5cm，底面周长为12cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离是（杯壁厚度不计）_______．
16．（2022苏州市八年级期中）如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm ，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动_________秒时，△ACP是直角三角形
17．（2022·贵州九年级）如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为______．
18．（2022·江苏无锡·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
20．（2022·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
21．（2022·河南·八年级阶段练习）我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国外开始蔓延，为了防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡航艇的航向为北偏西．（1）求甲巡逻艇的航行方向（用含n的式子表示）;（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
22．（2022·江苏八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
23．（2022·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．
(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶
(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；
(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．
24．（2022·山东八年级期末）（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接．
① __度；（答案直接填写在横线上）
②_ __﹔（答案直接填写在横线上）;③求的度数．
（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明．
25．（2022·福建省福州第一中学）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，连接．（1）求证：；（2）探究、、的数量关系，并证明；（3）若，求两个三角形重叠部分的面积．
26．（2022·江苏）阅读下面的材料，并解决问题：
（1）如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别是3、4、5，求∠APB的度数．由于PA、PB、PC不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到处，此时 ．这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数；（求∠APB的度数）（2）请你利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题：
如图②，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2．
第十七章 勾股定理 章末检测卷（人教版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B． C．，， D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．可判断A、C选项；根据三角形内角和定理可判断B、D选项．
【详解】解：A选项中，∵c2＝a2﹣b2，∴b2+c2＝a2，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B选项中，∵ 设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠C＝5×15°＝75°，∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
C选项中，∵52+122＝132，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D选项中，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理是解题的关键．
2．（2022·广东惠州·八年级期中）已知一轮船以18海里/小时的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，两轮船相距（ ）
A．35海里B．40海里C．45海里D．50海里
【答案】C
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了27，36．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】解：如图，连接BC．
∵两船行驶的方向是西南方向和东南方向，∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了24×1.5=36（海里），18×1.5=27（海里），
根据勾股定理得：（海里）．故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算．
3．（2022·浙江·乐清八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．
【详解】解：连接AC，
由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．
4．（2022·广市八年级期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度==12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17（米）．故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
5.（2022·广东东莞·八年级期中）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（ ）
A．1.0 米B．1.2 米C．1.25 米D．1.5 米
【答案】A
【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理解得AD的长即可．
【详解】解：过点D作于点E，
中（米）故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，作出正确的辅助线是解题关键．
6．（2022·重庆忠县·八年级期末）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】解：①∵∴20是“整弦数”，符合题意；
②如5，2是“整弦数”，∵不是“整弦数”，∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意；
③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意；
④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，
∴m与n之积为“整弦数”，符合题意；
⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），
∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和，
∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1，
∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2，
∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意．故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合运用，涉及数字类变化规律、整式的混合运算、完全平方公式等知识，正确理解“整弦数”的定义是解题关键．
7．（2022·山西八年级期末）如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20B．24C．25D．26
【答案】D
【分析】将题中图案展开后，连接AC，利用勾股定理可得AC长，将中间的墙展开在平面上，则原矩形长度增加宽度不变，求出新矩形的对角线长即为所求．
【详解】解：展开如图得新矩形，连接AC，则其长度至少增加2MN，宽度不变，
由此可得：， 根据勾股定理有：故选D．
【点睛】本题考查平面展开图形最短路线问题以及勾股定理得应用；解题关键在于根据题意画出正确的平面展开图．
8．（2022·北京东城·八年级期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．19B．44C．52D．76
【答案】D
【分析】根据勾股定理计算出BD即可求得周长．
【详解】解：如下图所示，设AC延长一倍到D点，
得，∴，
∵，∴这个风车的外围周长，故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是根据勾股定理计算出斜边的长．
9．（2022·山东八年级期中）中，，高，则BC的长为（ ）
A．14B．14或4C．4D．无法确定
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，分两种情况讨论，再分别在中，利用勾股定理解得CD的长，在中，利用勾股定理解得BD的长，最后计算线段的和差解题．
【详解】解：分两种情况讨论：若是钝角三角形，如图，
是的高， 在中，，
在中，，；
若是锐角三角形，如图，
是的高，
在中，，在中，，
；故BC为：14或4，故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理并分情况讨论是解题的关键.
10．（2022·山东泰安市·七年级期末）如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点．若，，则线段的长为（ ）
A．B．3C．D．1
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用勾股定理得出答案．
【详解】解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，中，
，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，FC=FG，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，
与关于线段AF成轴对称图形∴AC=AG=3∴BG=5-3=2
设FC=CE=FG=x∴BF=4-x，
在Rt中，解得x=，∴CF=CE=，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识，在重要考点，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·福建龙岩·八年级期末）图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_____．
【答案】16
【分析】根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案．
【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，∴
12．（2022·江苏八年级期末）如图，在四边形中，，．若，，，则对角线的长为____________cm．
【答案】
【分析】过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，证明△ABC≌△ADC（SSS），由全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，求出∠EBC=45°，由直角三角形的性质求出CE和AC的长即可．
【详解】解：过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，
在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，
∵∠BAD=60°，∠BCD=30°，∴∠EAC=∠BAD=30°，∠ACB=∠BCD=15°，
∴∠EBC=∠BAC+∠ACB=30°+15°=45°，∴BE=CE，
∵BC=4cm，∴CE=BC=cm，∴AC=2CE=cm，故答案为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△ABC≌△ADC是解题的关键．
13．（2022·山东八年级期中）如图，在中，，，，则内部五个小直角三角形的周长的和为______．
【答案】30cm
【分析】由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．
【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，∴AB==13，
由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，
故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=30(cm)．故答案为：30cm．
【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．
14．（2021·江苏八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，若，，，则______．
【答案】26
【分析】利用手拉手模型证明，根据八字形证明角相等，进而可证明，再利用勾股定理解答即可．
【详解】和为等腰直角三角形
在和中
在中，,在中，，
在中，，在中，
在中，，在中，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证，得到直角三角形，再结合勾股定理的运用是解题关键．
15．（2022·福建省泰宁县教师进修学校八年级期中）如图，圆柱形玻璃杯高为5cm，底面周长为12cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离是（杯壁厚度不计）_______．
【答案】10
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，A′D=12=6，BD=BE+DE=5+3=8，
在直角△A′DB中，由勾股定理得，A′B=．
则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为10，故答案为：10．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
16．（2022苏州市八年级期中）如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm ，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动_________秒时，△ACP是直角三角形
【答案】1.75或4
【分析】先利用等腰三角形“三线合一”求出BD、CD以及BC边上的高AD，再分别讨论∠PAC和∠APC为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下PB的长，即可求出所需时间．
【详解】解：如图，作AD⊥BC，
∵AB=AC=5cm，BC=8cm，∴BD=CD=4cm，
当点P运动到与点D重合时，是直角三角形，此时BP=4，∴运动时间为4÷1=4（秒）；
当∠PAC=90°时，设PD=x∴，
又∵，∴，
∴，∴BP=4－2.25=1.75，所以运动时间为1.75÷1=1.75（秒）；
综上可得：当P运动4秒或1.75秒时，是直角三角形；故答案为：1.75或4．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法．
17．（2022·贵州九年级）如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为______．
【答案】
【分析】连接，过点作，设，分别解得的长，继而证明，由全等三角形的性质得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，据此解题．
【详解】如图，连接，过点作，
设，则矩形中
在与中，
在中，
，故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
18．（2022·江苏无锡·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm
【答案】16
【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可．
【详解】
如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形，∴，，，，
此时最小，
∵点是中点，∴cm，∴cm，cm，
在中，cm，
∴cm，故答案为：16．
【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）=；（2）小男孩需向右移动的距离为米．
【分析】（1）根据男孩拽绳子前后始终保持不变即可得；
（2）由勾股定理分别求出AC，BC的长，然后根据（1）中结论求解即可．
【详解】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长，是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变，
∴，故答案为：=；
（2）∵A、B、F三点共线， ∴在RtΔCFA中，，
∵，∴在RtΔCFB中，，
由（1）可得：，∴，∴小男孩需移动的距离为米．
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．
20．（2022·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】绿化这片空地共需花费17100元
【分析】连接AC，直接利用勾股定理得出AC，进而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面积求法得出答案．
【详解】解：连接AC，如图
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2＋AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°，
∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2），
S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2），
∴S四边形ABCD＝60＋54＝114（m2），
∴150×114＝17100（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．
21．（2022·河南·八年级阶段练习）我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国外开始蔓延，为了防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡航艇的航向为北偏西．
（1）求甲巡逻艇的航行方向（用含n的式子表示）;（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
【答案】（1）；（2）海里
【分析】（1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；
（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．
【详解】解：（1）（海里），（海里），
又AB=13海里所以，
所以是直角三角形， 所以
由已知得，所以，所以甲的航向为北偏东，
（2）甲巡逻船航行3分钟的路程为（海里）
乙甲巡逻船航行3分钟的路程为（海里）
所以3分钟后甲、乙两艘巡逻船相距为：（海里）．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形是解题的关键．
22．（2022·江苏八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
【答案】（1）正方形、长方形；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）直接利用勾股四边形的定义得出答案；（2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案；（3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形；
【详解】（1）解：正方形、长方形，理由如下：
如图：正方形ABCD中，由勾股定理有：；
长方形DEFG中，由勾股定理有：；
都满足勾股四边形的定义，因此都是勾股四边形．
（2）解：答案如图所示．
（3）证明：连接EC，∵△ABC≌△DBE， ∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60°，∴△CBE为等边三角形，∴EC=BC，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴DC2+EC2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．即四边形ABCD是勾股四边形．
【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解并运用新定义“勾股四边形”、“勾股边”，正确寻找全等三角形解决问题．
23．（2022·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．
(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶
(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；
(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．
【答案】(1)
(2)① 5；
②
(3)<
(4)
【分析】（1）利用构图法求出的面积，即可求解；
（2）①利用勾股定理，即可求解；②类比①的方法，即可求解；
（3）构造出三边长分别为的三角形，即可求解；
（4）先画出三边长分别为、、的，再利用构图法求解，即可求解．
(1)
解：的面积为；
故答案为：
(2)
解：① ；
故答案为：5；
②线段的长可表示为；
故答案为：
(3)
解：如图，
根据题意得：，，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：<
(4)
解：解：如图，，，，
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考常见题，
24．（2022·山东八年级期末）（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接．
① __度；（答案直接填写在横线上）
②_ __﹔（答案直接填写在横线上）;③求的度数．
（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明．
【答案】（1）①；②；③；（2），证明见解析．
【分析】（1）①由得到，继而证明即可解题；
②由得到，结合①结论，可证明是等边三角形，即可解题；
③根据得到，在中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明为直角三角形，继而得到，再结合是等边三角形即可解得据此解题即可；
（2）由可得，可证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可．
【详解】解:（1）①
即
故答案为：；
②，由①得是等边三角形，
故答案为：；
③
为直角三角形
为等边三角形；
（2）当时，．
理由如下:，
为等腰直角三角形，，
当时，为直角三角形，，
当满足时，．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理、全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
25．（2022·福建省福州第一中学）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，连接．（1）求证：；（2）探究、、的数量关系，并证明；（3）若，求两个三角形重叠部分的面积．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）．
【分析】（1）由题意，先得到，然后由SAS，即可证明结论成立；
（2）由（1）得BD=AE，，则，再由勾股定理，即可得到答案；
（3）设AB与CD相交于点O，作OM⊥AD，ON⊥BD，然后根据题意，得到，再利用面积公式，得到，即可求出答案．
【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形，∴，
∴，∴，∴，
∵，，∴；
（2）由（1），∴，BD=AE，
∵，∴，
∴，∴△ABD是直角三角形，∴，∴；
（3）设AB与CD相交于点O，作OM⊥AD，ON⊥BD，如图，∵BD=AE，，∴，
∵OD平分∠ADB，OM⊥AD，ON⊥BD，∴OM=ON，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，角平分线的性质定理，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题．
26．（2022·江苏）阅读下面的材料，并解决问题：
（1）如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别是3、4、5，求∠APB的度数．由于PA、PB、PC不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到处，此时 ．这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数；（求∠APB的度数）
（2）请你利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题：
如图②，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2．
【答案】（1），；（2）见详解
【分析】（1）连接，由旋转的性质可直接进行求解，然后可得，是等边三角形，则有，进而问题可求解；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，点B与点C重合，连接FD，进而证明△AEF≌△ADF，可得DF=EF，∠B=∠ACB=∠ACD=45°，然后可得∠DCF=90°，最后根据勾股定理可求证．
【详解】（1）解：由旋转的性质可得：；连接，如图所示：
∴，，，
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，即∠BAP+∠PAC=60°，
∴，即，∴是等边三角形，
∴，∴，
∴是直角三角形，即，∴；故答案为；
（2）证明：把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，点B与点C重合，连接FD，如图所示：
由旋转的性质可得：，，
∵∠CAB=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，
∴，∴∠DCF=90°，
∵∠EAF=45°，∴∠EAF=∠DAF=45°，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴DF=EF，
在Rt△DCF中，，∴．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握等腰直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理逆定理是解题的关键．
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B． C．，， D．
2．（2022·广东惠州·八年级期中）已知一轮船以18海里/小时的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，两轮船相距（ ）
A．35海里B．40海里C．45海里D．50海里
3．（2022·浙江·乐清八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广市八年级期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．B．C．D．
5.（2022·广东东莞·八年级期中）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（ ）
A．1.0 米B．1.2 米C．1.25 米D．1.5 米
6．（2022·重庆忠县·八年级期末）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2022·山西八年级期末）如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20B．24C．25D．26
8．（2022·北京东城·八年级期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．19B．44C．52D．76
9．（2022·山东八年级期中）中，，高，则BC的长为（ ）
A．14B．14或4C．4D．无法确定
10．（2022·山东泰安市·七年级期末）如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点．若，，则线段的长为（ ）
A．B．3C．D．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·福建龙岩·八年级期末）图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_____．
12．（2022·江苏八年级期末）如图，在四边形中，，．若，，，则对角线的长为____________cm．
13．（2022·山东八年级期中）如图，在中，，，，则内部五个小直角三角形的周长的和为______．
14．（2021·江苏八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，若，，，则______．
15．（2022·福建省泰宁县教师进修学校八年级期中）如图，圆柱形玻璃杯高为5cm，底面周长为12cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离是（杯壁厚度不计）_______．
16．（2022苏州市八年级期中）如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm ，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动_________秒时，△ACP是直角三角形
17．（2022·贵州九年级）如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为______．
18．（2022·江苏无锡·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
20．（2022·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
21．（2022·河南·八年级阶段练习）我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国外开始蔓延，为了防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡航艇的航向为北偏西．（1）求甲巡逻艇的航行方向（用含n的式子表示）;（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
22．（2022·江苏八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
23．（2022·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．
(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶
(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；
(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．
24．（2022·山东八年级期末）（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接．
① __度；（答案直接填写在横线上）
②_ __﹔（答案直接填写在横线上）;③求的度数．
（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明．
25．（2022·福建省福州第一中学）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，连接．（1）求证：；（2）探究、、的数量关系，并证明；（3）若，求两个三角形重叠部分的面积．
26．（2022·江苏）阅读下面的材料，并解决问题：
（1）如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别是3、4、5，求∠APB的度数．由于PA、PB、PC不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到处，此时 ．这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数；（求∠APB的度数）（2）请你利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题：
如图②，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2．
第十七章 勾股定理 章末检测卷（人教版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B． C．，， D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．可判断A、C选项；根据三角形内角和定理可判断B、D选项．
【详解】解：A选项中，∵c2＝a2﹣b2，∴b2+c2＝a2，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B选项中，∵ 设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠C＝5×15°＝75°，∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
C选项中，∵52+122＝132，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D选项中，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理是解题的关键．
2．（2022·广东惠州·八年级期中）已知一轮船以18海里/小时的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，两轮船相距（ ）
A．35海里B．40海里C．45海里D．50海里
【答案】C
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了27，36．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】解：如图，连接BC．
∵两船行驶的方向是西南方向和东南方向，∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了24×1.5=36（海里），18×1.5=27（海里），
根据勾股定理得：（海里）．故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算．
3．（2022·浙江·乐清八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．
【详解】解：连接AC，
由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．
4．（2022·广市八年级期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度==12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17（米）．故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
5.（2022·广东东莞·八年级期中）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（ ）
A．1.0 米B．1.2 米C．1.25 米D．1.5 米
【答案】A
【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理解得AD的长即可．
【详解】解：过点D作于点E，
中（米）故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，作出正确的辅助线是解题关键．
6．（2022·重庆忠县·八年级期末）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】解：①∵∴20是“整弦数”，符合题意；
②如5，2是“整弦数”，∵不是“整弦数”，∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意；
③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意；
④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，
∴m与n之积为“整弦数”，符合题意；
⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），
∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和，
∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1，
∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2，
∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意．故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合运用，涉及数字类变化规律、整式的混合运算、完全平方公式等知识，正确理解“整弦数”的定义是解题关键．
7．（2022·山西八年级期末）如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20B．24C．25D．26
【答案】D
【分析】将题中图案展开后，连接AC，利用勾股定理可得AC长，将中间的墙展开在平面上，则原矩形长度增加宽度不变，求出新矩形的对角线长即为所求．
【详解】解：展开如图得新矩形，连接AC，则其长度至少增加2MN，宽度不变，
由此可得：， 根据勾股定理有：故选D．
【点睛】本题考查平面展开图形最短路线问题以及勾股定理得应用；解题关键在于根据题意画出正确的平面展开图．
8．（2022·北京东城·八年级期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．19B．44C．52D．76
【答案】D
【分析】根据勾股定理计算出BD即可求得周长．
【详解】解：如下图所示，设AC延长一倍到D点，
得，∴，
∵，∴这个风车的外围周长，故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是根据勾股定理计算出斜边的长．
9．（2022·山东八年级期中）中，，高，则BC的长为（ ）
A．14B．14或4C．4D．无法确定
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，分两种情况讨论，再分别在中，利用勾股定理解得CD的长，在中，利用勾股定理解得BD的长，最后计算线段的和差解题．
【详解】解：分两种情况讨论：若是钝角三角形，如图，
是的高， 在中，，
在中，，；
若是锐角三角形，如图，
是的高，
在中，，在中，，
；故BC为：14或4，故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理并分情况讨论是解题的关键.
10．（2022·山东泰安市·七年级期末）如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点．若，，则线段的长为（ ）
A．B．3C．D．1
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用勾股定理得出答案．
【详解】解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，中，
，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，FC=FG，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，
与关于线段AF成轴对称图形∴AC=AG=3∴BG=5-3=2
设FC=CE=FG=x∴BF=4-x，
在Rt中，解得x=，∴CF=CE=，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识，在重要考点，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·福建龙岩·八年级期末）图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_____．
【答案】16
【分析】根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案．
【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，∴
12．（2022·江苏八年级期末）如图，在四边形中，，．若，，，则对角线的长为____________cm．
【答案】
【分析】过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，证明△ABC≌△ADC（SSS），由全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，求出∠EBC=45°，由直角三角形的性质求出CE和AC的长即可．
【详解】解：过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，
在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，
∵∠BAD=60°，∠BCD=30°，∴∠EAC=∠BAD=30°，∠ACB=∠BCD=15°，
∴∠EBC=∠BAC+∠ACB=30°+15°=45°，∴BE=CE，
∵BC=4cm，∴CE=BC=cm，∴AC=2CE=cm，故答案为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△ABC≌△ADC是解题的关键．
13．（2022·山东八年级期中）如图，在中，，，，则内部五个小直角三角形的周长的和为______．
【答案】30cm
【分析】由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．
【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，∴AB==13，
由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，
故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=30(cm)．故答案为：30cm．
【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．
14．（2021·江苏八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，若，，，则______．
【答案】26
【分析】利用手拉手模型证明，根据八字形证明角相等，进而可证明，再利用勾股定理解答即可．
【详解】和为等腰直角三角形
在和中
在中，,在中，，
在中，，在中，
在中，，在中，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证，得到直角三角形，再结合勾股定理的运用是解题关键．
15．（2022·福建省泰宁县教师进修学校八年级期中）如图，圆柱形玻璃杯高为5cm，底面周长为12cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离是（杯壁厚度不计）_______．
【答案】10
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，A′D=12=6，BD=BE+DE=5+3=8，
在直角△A′DB中，由勾股定理得，A′B=．
则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为10，故答案为：10．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
16．（2022苏州市八年级期中）如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm ，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动_________秒时，△ACP是直角三角形
【答案】1.75或4
【分析】先利用等腰三角形“三线合一”求出BD、CD以及BC边上的高AD，再分别讨论∠PAC和∠APC为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下PB的长，即可求出所需时间．
【详解】解：如图，作AD⊥BC，
∵AB=AC=5cm，BC=8cm，∴BD=CD=4cm，
当点P运动到与点D重合时，是直角三角形，此时BP=4，∴运动时间为4÷1=4（秒）；
当∠PAC=90°时，设PD=x∴，
又∵，∴，
∴，∴BP=4－2.25=1.75，所以运动时间为1.75÷1=1.75（秒）；
综上可得：当P运动4秒或1.75秒时，是直角三角形；故答案为：1.75或4．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法．
17．（2022·贵州九年级）如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为______．
【答案】
【分析】连接，过点作，设，分别解得的长，继而证明，由全等三角形的性质得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，据此解题．
【详解】如图，连接，过点作，
设，则矩形中
在与中，
在中，
，故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
18．（2022·江苏无锡·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm
【答案】16
【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可．
【详解】
如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形，∴，，，，
此时最小，
∵点是中点，∴cm，∴cm，cm，
在中，cm，
∴cm，故答案为：16．
【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）=；（2）小男孩需向右移动的距离为米．
【分析】（1）根据男孩拽绳子前后始终保持不变即可得；
（2）由勾股定理分别求出AC，BC的长，然后根据（1）中结论求解即可．
【详解】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长，是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变，
∴，故答案为：=；
（2）∵A、B、F三点共线， ∴在RtΔCFA中，，
∵，∴在RtΔCFB中，，
由（1）可得：，∴，∴小男孩需移动的距离为米．
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．
20．（2022·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】绿化这片空地共需花费17100元
【分析】连接AC，直接利用勾股定理得出AC，进而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面积求法得出答案．
【详解】解：连接AC，如图
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2＋AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°，
∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2），
S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2），
∴S四边形ABCD＝60＋54＝114（m2），
∴150×114＝17100（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．
21．（2022·河南·八年级阶段练习）我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国外开始蔓延，为了防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡航艇的航向为北偏西．
（1）求甲巡逻艇的航行方向（用含n的式子表示）;（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
【答案】（1）；（2）海里
【分析】（1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；
（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．
【详解】解：（1）（海里），（海里），
又AB=13海里所以，
所以是直角三角形， 所以
由已知得，所以，所以甲的航向为北偏东，
（2）甲巡逻船航行3分钟的路程为（海里）
乙甲巡逻船航行3分钟的路程为（海里）
所以3分钟后甲、乙两艘巡逻船相距为：（海里）．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形是解题的关键．
22．（2022·江苏八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
【答案】（1）正方形、长方形；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）直接利用勾股四边形的定义得出答案；（2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案；（3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形；
【详解】（1）解：正方形、长方形，理由如下：
如图：正方形ABCD中，由勾股定理有：；
长方形DEFG中，由勾股定理有：；
都满足勾股四边形的定义，因此都是勾股四边形．
（2）解：答案如图所示．
（3）证明：连接EC，∵△ABC≌△DBE， ∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60°，∴△CBE为等边三角形，∴EC=BC，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴DC2+EC2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．即四边形ABCD是勾股四边形．
【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解并运用新定义“勾股四边形”、“勾股边”，正确寻找全等三角形解决问题．
23．（2022·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．
(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶
(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；
(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．
【答案】(1)
(2)① 5；
②
(3)<
(4)
【分析】（1）利用构图法求出的面积，即可求解；
（2）①利用勾股定理，即可求解；②类比①的方法，即可求解；
（3）构造出三边长分别为的三角形，即可求解；
（4）先画出三边长分别为、、的，再利用构图法求解，即可求解．
(1)
解：的面积为；
故答案为：
(2)
解：① ；
故答案为：5；
②线段的长可表示为；
故答案为：
(3)
解：如图，
根据题意得：，，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：<
(4)
解：解：如图，，，，
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考常见题，
24．（2022·山东八年级期末）（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接．
① __度；（答案直接填写在横线上）
②_ __﹔（答案直接填写在横线上）;③求的度数．
（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明．
【答案】（1）①；②；③；（2），证明见解析．
【分析】（1）①由得到，继而证明即可解题；
②由得到，结合①结论，可证明是等边三角形，即可解题；
③根据得到，在中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明为直角三角形，继而得到，再结合是等边三角形即可解得据此解题即可；
（2）由可得，可证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可．
【详解】解:（1）①
即
故答案为：；
②，由①得是等边三角形，
故答案为：；
③
为直角三角形
为等边三角形；
（2）当时，．
理由如下:，
为等腰直角三角形，，
当时，为直角三角形，，
当满足时，．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理、全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
25．（2022·福建省福州第一中学）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，连接．（1）求证：；（2）探究、、的数量关系，并证明；（3）若，求两个三角形重叠部分的面积．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）．
【分析】（1）由题意，先得到，然后由SAS，即可证明结论成立；
（2）由（1）得BD=AE，，则，再由勾股定理，即可得到答案；
（3）设AB与CD相交于点O，作OM⊥AD，ON⊥BD，然后根据题意，得到，再利用面积公式，得到，即可求出答案．
【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形，∴，
∴，∴，∴，
∵，，∴；
（2）由（1），∴，BD=AE，
∵，∴，
∴，∴△ABD是直角三角形，∴，∴；
（3）设AB与CD相交于点O，作OM⊥AD，ON⊥BD，如图，∵BD=AE，，∴，
∵OD平分∠ADB，OM⊥AD，ON⊥BD，∴OM=ON，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，角平分线的性质定理，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题．
26．（2022·江苏）阅读下面的材料，并解决问题：
（1）如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别是3、4、5，求∠APB的度数．由于PA、PB、PC不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到处，此时 ．这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数；（求∠APB的度数）
（2）请你利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题：
如图②，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2．
【答案】（1），；（2）见详解
【分析】（1）连接，由旋转的性质可直接进行求解，然后可得，是等边三角形，则有，进而问题可求解；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，点B与点C重合，连接FD，进而证明△AEF≌△ADF，可得DF=EF，∠B=∠ACB=∠ACD=45°，然后可得∠DCF=90°，最后根据勾股定理可求证．
【详解】（1）解：由旋转的性质可得：；连接，如图所示：
∴，，，
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，即∠BAP+∠PAC=60°，
∴，即，∴是等边三角形，
∴，∴，
∴是直角三角形，即，∴；故答案为；
（2）证明：把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，点B与点C重合，连接FD，如图所示：
由旋转的性质可得：，，
∵∠CAB=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，
∴，∴∠DCF=90°，
∵∠EAF=45°，∴∠EAF=∠DAF=45°，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴DF=EF，
在Rt△DCF中，，∴．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握等腰直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理逆定理是解题的关键．
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