人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课堂教学ppt课件

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1．进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2．能应用两个计数原理解决实际问题.
完成一件事情，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+⋅⋅⋅+m��种不同的方法.
1.分类加法计数原理
完成一件事情，需要分成n个步骤:做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1× m2× …× mn种不同的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题 . 区别在于: 分类加法计数原理: 针对的是"分类"问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事; 分步乘法计数原理: 针对的是"分步"问题,各个步骤中的方法互相依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事.
两个原理的联系与区别1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.
例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法?
分析：要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”，可以分步完成．
解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．
分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事．
例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程序模块命名?
分析：要完成的一件事是“给一个程序模块命名”，可以分三个步骤完成：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类．
后两个字符从1~9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9．
例6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成．（1）1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符?（2）计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示?
分析：（1）要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字”．由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都有0，1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解；（2）只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可．
解：（1）用图6.1-3表示1个字节．
（2）由（1）知，1个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字符．前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法．根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是
这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763．因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示．
1．某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0~9之间的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个?
2．从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的选法?
3．从1，2，…，19，20中任选一个数作被减数，再从1，2，…，10中任选一个数作减数，然后写成一个减法算式，共可得到多少个不同的算式?
第一步：从1，2，…，19，20中选一个数作为被减数，有20种选法；第二步：从1，2，…，10中选一个数作为减数，有10种选法，
4．在1，2，…，500中，被5除余2的数共有多少个?
因为在1，2，…，500中，被5除余2的数有2，7， … ，497，这些数构成以2为首项，以5为公差的等差数列，
5．由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数(各位上的数字可以重复)?
例7 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有多少条执行路径(程序从开始到结束的路线)，以便知道需要提供多少个测试数据． 一般地，一个程序模块由许多子模块组成． 图6.1-4是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径?另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数． 你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗?
分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束．而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成；第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成．因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理．
显然，178与7371的差距是非常大的．你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？
例8 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图6.1-5所示．其中，序号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母．
分析：由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数．按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母．以字母所在位置为分类标准，可将有1个字母的序号分为五个子类，将有2个字母的序号分为十个子类．
解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数．根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母．
（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字．确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为
（2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类．
当第1位是字母时，分5个步骤确定个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，号牌张数为
同样，其余四个子类号牌也各有240000张．根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为
（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位．
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1，2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从．10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，号牌张数为
同样，其余九个子类号牌也各有576 000张．于是，这类号牌张数一共为
综合（1）（2）（3），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步．分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
思考：乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计数原理也有这种类似的关系吗?
1. 分类加法计数原理：一般地，如果完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有m＋n种不同的方法.
2. 分步乘法计数原理：一般地，完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有m×n种不同的方法.
特别地，如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法， ‧‧‧‧‧‧在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+ ‧‧‧ +mn种不同的方法.
特别地，如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，‧‧‧‧‧，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1×m2×‧‧‧×mn种不同的方法.
完成教材：第11页练习 第1，2，3,4题
2．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的有多少个?
第1类：当个位数字是0时，十位数字可以是1，2，．．9，所以有9个满足条件的两位数；第2类：当个位数字是1时，十位数字可以是2，3．．．9．．所以有8个满足条件的两位数；依此类推，当个位数字是2，3，4．5，6，7，8时．满足条件的两位数分别有7，6，5，4，3，2，1个；
3．某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，那么共有多少种不同的进出商场的方式?
要完成的“一件事”是“从6个门中的一个门进人商场并从另一个门出去”．分两步完成：先从6个门中选一个进入，再从其余5个门中选一个出去．
4．任意画一条直线，在直线上任取n个分点．（1）从这n个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段?（2）从这n个分点中任取2个点形成一个向量，可得到多少个向量?
1．一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种．要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法?
2．如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．从甲地到丁地共有多少条不同的路线?
3．如图，要让电路从A处到B处接通，可有多少条不同的路径?
如果电路从上线路接通，共有3条路径；
如果电路从中线路接通，共有1条路径；
4．用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成多少个不同的分数?可构成多少个不同的真分数?
由真分数的定义，①若1为分子，分母有4种选择；②若5为分子，分母有3种选择；③若9为分子，分母有2种选择；④若13为分子，分母有1种选择；
5．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同．从两个袋子中分别取1个球，共有多少种不同的取法?
分两步进行：第一个口袋内取一个球有5种取法，另一个口袋内取一个球有6种取法；
7．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0~9共10个数字．现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0~5这6个数字中拨号，这4个拨号盘可组成多少个四位数字号码?
8．（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是34还是43?（2）3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同选法的种数是35还是53?
9．（1）从5件不同的礼物中选出4件送给4位同学，每人一件，有多少种不同的送法?（2）有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，不同的放法有多少种?(一个抽屉可放多本书)
10．口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球．（1）正好是白球、红球各一个的取法有多少种?（2）正好是两个白球的取法有多少种?
10．口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球．（3）至少有一个白球的取法有多少种?（4）两球的颜色相同的取法有多少种?
11．在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班(每天只需1人值班)，不出现同一人连续值班2天，有多少种可能的安排方法?
利用分步乘法计数原理，分七步来求解．第一步，安排第一天的值班人员，有7种方法；第二步，安排第二天的值班人员．有6种方法；第三步，安排第三天的值班人员，有6种方法；同理．第四、五．六七步均有6种方法．
12．2160有多少个不同的正因数?