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数学6.2 排列与组合优秀同步测试题
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这是一份数学6.2 排列与组合优秀同步测试题，文件包含人教A版数学高二选择性必修第三册621排列分层作业原卷版docx、人教A版数学高二选择性必修第三册621排列分层作业解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
【夯实基础】
题型1 排列的概念
1.由0，1，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个（ ）
A．9B．21C．24D．42
【答案】B
【分析】分个位数字为0与个位数字为5讨论，结合分类加法计数原理求解.
【详解】解：若个位数字为0，可以组成个；
若个位数字为5，百位数字不能为0，可以组成个.
由0，1，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有个.
故选:B.
2.下列问题中属于排列问题的是（ ）．
A．从个人中选出人去劳动
B．从个人中选出2人去参加数学竞赛
C．从班级内名男生中选出人组成一个篮球队
D．从数字5、、、中任取2个不同的数做中的底数与真数
【答案】D
【解析】根据排列的定义判断．
【详解】A. 从个人中选出人去劳动，与顺序无关，故错误；
B.从个人中选出2人去参加数学竞赛，与顺序无关，故错误；
C.从班级内名男生中选出人组成一个篮球队，与顺序无关，故错误；
D.从数字5、、、中任取2个不同的数做中的底数与真数，底数与真数位置不同，即与顺序有关，故正确；
故选：D
3.下列问题是排列问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【答案】D
【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可.
【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；
B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；
C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；
D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．
故选：D
4.（多选题）下面问题中，不是排列问题的是（ ）
A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合
【答案】BCD
【分析】根据排列的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，组成的三位数与数字的排列顺序有关，所以A是排列问题；
对于B，C，D中，只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关，所以不是排列问题.
故选：BCD.
5.（多选题）下列问题属于排列问题的是（ ）
A．从10个人中选2人分别去种树和扫地；
B．从10个人中选2人去扫地；
C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
D．从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为中的底数与真数
【答案】AD
【分析】根据排列的概念逐项进行判断即可.
【详解】排列的概念：从个元素中取个元素，按照一定顺序排成一列，
由题可知：A，D中元素的选取有顺序，B，C中元素的选取无顺序，
由此可判断出：A，D是排列问题，
故选：AD.
题型2 排列的列举问题
1.写出从4个元素中任取3个元素的所有排列.
【答案】24个
【分析】根据排列数公式和树形图，即可求出结果.
【详解】从4个元素中任取3个元素的所有排列,共有个；
由题意作树形图,如图：
故所有的排列为： ,共有个.
2.从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中（ ）
A．偶数有48个B．比300大的奇数有48个
C．个位和百位数字之和为7的有24个D．能被3整除的数有48个
【答案】CD
【分析】结合简单的排列数计算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A，其个位数字为2或4或6，有3种情况，在剩余5个数字中任选2个，安排在百位和十位，有种情况，则有3×20＝60个三位偶数，A错误；
对于B，分2种情况讨论，若百位数字为3或5，有2×2×4＝16个三位奇数，若百位数字为4或6，有2×3×4＝24个三位奇数，则符合题意的三位数有16+24＝40个，B错误；
对于C，个位和百位数字之和为7有（1，6），（2，5），（3，4），共3种情况，则符合题意的三位数有个，故C正确；
对于D，能把3整除，则三个数字之和为3的倍数，共有（1，2，3），（1，2，6），（1，3，5），（1，5，6），（2，3，4），（2，4，6），（3，4，5），（4，5，6）八种选择，
故能被3整除的数有个，故D正确；
故选：CD.
3.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231、354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ）
A．组成的三位数的个数为60B．在组成的三位数中，奇数的个数为30
C．在组成的三位数中，偶数的个数为30D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20
【答案】AD
【分析】将个数字选个排列即可判断A，确定个位，即可计算出奇数，从而判断B、D，计算“凸数”时对十位分三种情况讨论，即可判断D.
【详解】依题意，组成的三位数的个数为，故A正确；
个位为，或时，三位数是奇数，则奇数的个数为，故B错误；
则偶数有（个），故C错误；
将这些“凸数”分为三类：
①十位为，则有（种），
②十位为，则有（种），
③十位为，则有（种），
所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为，故D正确．
故选：AD．
4.在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片.那么在这10部微电影中，最多可能有 部优秀影片.
【答案】
【分析】先考虑2部电影和3部电影的情况，进而可归纳得出只要满足任意两部电影的点播量高于，，，且专家评分高于，即可得出最大值.
【详解】记这10部微电影为，.
先考虑2部电影的情况，若的点播量高于，且的专家评分高于，则此时优秀影片数目最多，为2部；
然后考虑3部电影的情况，若点播量由高到低依次为电影，且专家评分由高到低依次为电影，则此时优秀影片数目最多，为3部.
以此类推，只要满足任意两部电影的点播量高于，，，且专家评分高于，则此时优秀影片数目最多，为10部.
故答案为：.
5.从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数.
（1）能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数.
（2）若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）根据分步乘法计数原理分步排列，结合树状图即可求解；
（2）结合树状图即可求解；
【详解】(1)组成三位数分三个步骤：
第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；
第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；
第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法.
由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数.
画出下列树形图：
由树形图知，所有的三位数为：
102，103，120，123，130，132，201，203，210，
213，230，231，301，302，310，312，320，321.
(2)直接画出树形图：
由树形图知，符合条件的三位数有8个：
201，210，230，231，301，302，310，312.
题型3 简单的排列问题
1.将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为（ ）
A．10B．12C．14D．24
【答案】C
【解析】分为甲分配到班和甲不分配到班两种情况来讨论分配方案种数，利用分类加法计数原理计算可得结果.
【详解】将分配方案分为甲分配到班和甲不分配到班两种情况：
①甲分配到班：有种分配方案；
②甲不分配到班：有种分配方案；
由分类加法计数原理可得：共有种分配方案.
故选：.
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列数的应用.常见求法有：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
2.身高互不相同的7名运动员站成一排，其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有 种.(用数字填写答案)
【答案】840
【解析】先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列.
【详解】先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即，
故答案为：840.
【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，属于基础题.
3.某班一天上午有四节课，现要安排该班上午的课程表，从语文、数学、英语、物理、体育科中选出科排到课表中，体育课不能排到第一节，且数学和物理两科不能相邻，则不同的排课方案共有（ ）种
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】按有无体育、数学、物理分成三类：第一类，不排体育；第二类，排数学和物理中的一科；第三类若体育、数学和物理都排上.分别求出每一类的排课方案种数，利用分类加法计数原理可求得结果.
【详解】可按有无体育、数学、物理分成三类：
第一类，若不排体育，先排语文和英语两科，然后将数学和物理插入语文和英语两科所形成的空位中，
则不同的排课方案有种；
第二类，若排数学和物理中的一科，则体育可排在第二或第三或第四节课，
则不同的排课方案有种；
第三类若体育、数学和物理都排上，体育在第二节或第三节时有种，
体育在第四节，则物理和数学不能排第二节，此时不同的排课方案有种，
则不同的排课方案有种．
由分类加法计数原理可得不同的排课方案共有种．
故选：B.
4.第19届亚运会将于今年在杭州举行.你在西湖边遇到了志愿者装扮的吉祥物“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”.假如你要和三个吉祥物一起拍合照,且你不希望站在两端,则共有( )种不同的站法.
A．24B．18C．12D．9
【答案】C
【分析】利用间接法求解即可.
【详解】4人站成一排共有种排法,你站在左右两端的排法有种,
所以满足题意的有种.
故选:C.
5.某校一场小型文艺晩会有6个节目，类型为：2个舞蹈类､2个歌唱类､1个小品类､1个相声类.现确定节目的演出顺序，要求第一个节目不排小品类，2个歌唱类节目不相邻，则不同的排法总数有（ ）
A．336种B．360种C．408种D．480种
【答案】C
【分析】先求第一个节目不排小品类不同的排法种数，再求第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻的排法种数，再相减即可.
【详解】利用间接法：
第一个节目不排小品类，共有种不同的排法，
第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻，共有种不同的排法，
所以第一个节目不排小品类，2个歌唱类节目不相邻，有种不同的排法，
故选：C.
【能力提升】
单选题
1.从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（ ）
A．5B．10C．20D．60
【答案】C
【分析】计算从5个不同元素中取出2个元素的排列数即可.
【详解】此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，
即共有=20(种)不同的送书方法.
故选：C.
2.某学校安排了4场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一或最后一场，讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法共有（ ）种
A．4B．6C．8D．12
【答案】C
【分析】首先排，共有种，视为一个整体与全排，共有种，再排，共有种，即可得到答案.
【详解】设四场讲座为，
首先排，共有种，视为一个整体与全排，共有种，再排，共有种，
综上共有种.
故选：C
3.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用捆绑法即可得解.
【详解】先把4名女生捆绑在一起，看成一个整体，有种，
再把这个整体与另外4名男生进行排列，有种，
所以不同的排法种数有种.
故选：D.
4.有3名男生和2名女生排成一排，女生相邻的不同排法有（ ）
A．36种B．48种C．72种D．108种
【答案】B
【分析】根据捆绑法进行求解即可.
【详解】不同排法种数为种，
故选：B.
5.某校A､B､C､D､E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（ ）种.
A．18B．36C．60D．72
【答案】B
【分析】因为在的前面出场，且，都不在3号位置，分在1号位置，在2号位置，在4号位置三种情况进行分类，在利用排列公式及可求出结果.
【详解】因为在的前面出场，且，都不在3号位置，则情况如下：
①在1号位置，又2、4、5三种位置选择，有种次序；
②在2号位置，有4,5号两种选择，有种次序；
③在4号位置，有5号一种选择，有种；
故共有种.
故选：B.
6.某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（ ）
A．120种B．240种C．360种D．480种
【答案】A
【分析】将两个1捆绑在一起，可以设置的不同数字密码有种，计算即可.
【详解】将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有种.
故选：A
7.有本不同的书，其中语文书本，数学书本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用插空法以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】若同一科目的书都不相邻，则先将本书排序，然后将本语文书插入中间个空，
所以，同一科目的书都不相邻的概率是.
故选：A.
8.天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ）
A．54种B．60种C．72种D．96种
【答案】A
【分析】甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可.
【详解】由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，
再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，
利用分步相乘计数原理知有种情况
故选：A.
【点睛】思路点睛：解决排列组合问题的一般过程：
（1）认真审题弄清楚要做什么事情；
（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素.
多选题
9.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种
C．甲乙不相邻的排法种数为72种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
【答案】ACD
【分析】根据题意，由捆绑法，插空法，特殊元素优先处理法，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有种排法，A正确；
对于B，若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有种排法，
故B错误；
对于C，先将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有种排法，C正确；
对于D，甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有种排法，
甲乙丙全排列有种排法，则甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确.
故选：ACD.
10.A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ）
A．若A，不相邻，有72种排法B．若A，不相邻，有48种排法
C．若A，相邻，有48种排法D．若A，相邻，有24种排法
【答案】AC
【分析】求得A，不相邻时的排法总数判断选项AB；求得A，相邻时的排法总数判断选项CD.
【详解】A，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻，
则先让，，自由排列，再让A，去插空即可，
则方法总数为（种）.则选项A判断正确；选项B判断错误；
A，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻，
则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，自由排列即可，
则方法总数为（种）.则选项C判断正确；选项D判断错误.
故选：AC
11.某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）
A．若要求3名女生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法
B．若要求女生与男生相间排列，则这6名同学共有96种排法
C．若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有144种排法
D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这6名同学共有480种排法
【答案】ACD
【分析】捆绑法解决选项A，插空法解决选项BC，特殊优先法或间接法解决选项D.
【详解】选项A，将3名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列，
则有（种），故A正确，
选项B，要求女生与男生相间排列，采用插空法，
则有（种），故B不正确，
选项C，先排3名男生，3名女生插空，
则有（种），故C正确，
选项D，间接法，6人排列有（种）情况，
男生甲在排头或排尾，则有（种），
所以男生甲不在排头也不在排尾有（种），
故D正确，
故选：ACD.
12.某电影院的一个播放厅的座位如图所示（标黑表示该座位的票已被购买），甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，目甲、乙不坐前两排．（ ）
A．若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种
B．若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1154种
C．若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种
D．若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一排，则购票的情况共有508种
【答案】ABD
【分析】通过每排的可能情况列出后，根据分类计数原理计算即可判断A；
通过“正难则反”的方法考虑反面情况判断B和D；通过先选再排判断C.
【详解】若甲、乙左右相邻，先选座位：在第三排共有10种，在第四排共有种，
在第五排有种，
在第六排有种在第七排有种，共有27种．
再考虑甲乙顺序，有种，所以一共有54种购票情况，故A正确．
甲、乙在同一列的情况共有种，
则甲、乙不在同一列的情况有种，故B正确．
若甲、乙前后相邻，先选座位：有种，
再考虑甲乙顺序，有种，所以一共有42种购票情况，故C错误．
中心线左侧有18个座位，右侧有18个座位．甲、乙分坐于两侧，有种．
甲、乙分坐于两侧且坐同一排（按每一排考虑），有种，
所以甲、乙分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况共有种，故D正确．
故选：ABD
填空题
13.用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有 个（用数字作答）．
【答案】24
【分析】对末位数字讨论，再结合排列知识求解即可.
【详解】若末位数字为0，则有个；若末位数字为2，则有；若末位为4，则有两种情况：①1或2在首位有个；②3在首位有个，共有24个满足条件的偶数.
故答案为：24.
14.写出从a，b，c这3个字母中取出2个字母的所有排列 ．
【答案】答案见解析
【分析】根据排列的定义列举求解即可.
【详解】根据排列的概念，列举如下：
15.5名男生与2名女生排成一排，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，共有 种不同的排法.（结果用数值表示）
【答案】
【分析】先排甲，两个女生可以交换位置，剩下的个男生站剩下的四个位置，即可得出结论.
【详解】如图，先排甲（甲在号位置），
将名女生看成一个整体，排在、、、中的四个位置，有种排法，
两个女生位置可以交换，有种排法，
在把剩余的个男生站剩下的四个位置，有种排法，
所以符合题意的排法有种排法.
故答案为：.
16.甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有 种.
【答案】
【分析】由排列组合中的捆绑法和插空法计算.
【详解】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有种，
然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种，
因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位，
利用插空法排列甲，排法有种，
所以不同的排列方法有种.
故答案为：
解答题
17.一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．
（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）利用捆绑法可求解；
（2）利用特殊元素优先选择，即可求解；
（3）利用正难则反，先算前3个节目中没有相声，即相声在后两个节目的排法，即可求解.
【详解】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法；
（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为；
（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有．
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
18.下列问题是排列问题吗？
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）；
(2)某班40名学生在假期相互写信；
(3)会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？
(4)平面上有5个点，其中任意3个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
【答案】(1)不是排列问题.
(2)是排列问题.
(3)选3个座位不是排列问题；选3个座位安排三位客人是排列问题.
(4)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题
【分析】根据排列的定义，再结合交换元素的位置看结果是否改变即可判断.
【详解】（1）来回的票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.
（2）A给B写信与B给A写信是不同的两件事，所以存在着顺序，属于排列问题.
（3）任选3个座位，与顺序无关，不是排列问题；选3个座位安排三位客人，与顺序有关，故是排列问题.
（4）直线与两点的顺序无关，故确定直线不是排列问题，射线与两点的顺序有关，故确定射线是排列问题.
19.用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数.
（1）这些四位数中偶数有多少个?能被5整除的有多少个?
（2）这些四位数中大于6 500的有多少个?
【答案】（1）360个，120个；（2）160个.
【分析】（1）偶数的个位数只能是2、4、6，其他位置上任意排列，由分步乘法计数原理即得解；
（2）分最高位上是7和6，由分类加法计数原理，即得解
【详解】（1）偶数的个位数只能是2、4、6，有种排法，其他位上有种排法，
由分步乘法计数原理，知共有四位偶数=360(个)；
能被5整除的数个位必须是5，故有=120(个)
（2）最高位上是7时大于6 500，有种，
最高位上是6时，百位上只能是7或5，故有2×种.
由分类加法计数原理知，这些四位数中大于6 500的共有+2×=160(个).
20.有4名男生，5名女生，全排成一行，下列情形各有多少种排法？
(1)甲不在中间也不在两端；
(2)甲、乙两人必须排在两端；
(3)男女相间.
【答案】(1)241920
(2)10080
(3)2880
【分析】（1）先排甲有6种，再排其余人有种，利用分步计数原理即可得解；
（2）先排甲、乙，再排其余7人，利用分步计数原理即可得解；
（3）先排4名男生有种方法，再将5名女生插空，利用分步计数原理即可得解．
（1）先排甲有6种，再排其余人有种，故共有（种）排法.
（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有（种）排法.
（3）（插空法）先排4名男生有种方法，再将5名女生插空，有种方法，故共有（种）排法．
21.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数：
（1）选其中5人排成一排
（2）全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾
（3）全体排成一排，男生互不相邻
（4）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人
【答案】（1）2520；（2）3600；（3）1440；（4）720.
【分析】（1）属于从7个不同元素中任选5个的排列；
（2）第一步先安排特殊元素甲，第二步其他6人全排列即可；
（3）第一步排所有女生，第二步在5个空位（含两端）排3个男生；
（4）第一步选3人排在甲乙中间（注意这3人全排列），第二步甲乙两也全排列，第三步甲乙和他们中间的3人作为一个整体与剩下的2人变成3个元素再全排列．
【详解】解：（1）选其中5人排成一排共有=2520(种)．
（2）先排甲，有5种方法，其余6人有种方法，故共有5×=3600(种)．
（3）男生不相邻，而女生不作要求，∴应先排女生，有种方法，
再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方法，
故共有·=1440(种)．
（4）把甲、乙及中间3人看作一个整体，
第一步先排甲、乙两人有种方法，
再从剩下的5人中选3人排到中间，有种方法，
最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人排列，有种方法，
故共有··=720(种)．
22.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数.
（1）可组成多少个不同的四位数？
（2）可组成多少个不同的四位偶数？
【答案】（1）300；（2）156.
【分析】（1）第一步排千位数字有种不同排法，第二步排百位、十位、个位数字种不同排法，
最后组成不同的四位数有种，
（2）先求第一类个位数字为0有种不同排法，再求第二类个位数字为2或4，则0不能排在千位，有种不同排法，最后求组成不同的四位偶数有种.
【详解】解：（1）根据题意分步完成任务：
第一步：排千位数字，从1，2，3，4，5这5个数字中选1个来排，有种不同排法；
第二步：排百位、十位、个位数字，从排了千位数字后剩下的5个数字中选3个来排列，有种不同排法；
所以组成不同的四位数有种，
（2）根据题意分类完成任务：
第一类：个位数字为0，则从1，2，3，4，5这5个数字中选3个来排在千位、百位、十位，有种不同排法；
第二类：个位数字为2或4，则0不能排在千位，有种不同排法；
所以组成不同的四位偶数有种.
【点睛】本题考查排列、组合的综合应用，是中档题.
【夯实基础】
题型1 排列的概念
1.由0，1，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个（ ）
A．9B．21C．24D．42
【答案】B
【分析】分个位数字为0与个位数字为5讨论，结合分类加法计数原理求解.
【详解】解：若个位数字为0，可以组成个；
若个位数字为5，百位数字不能为0，可以组成个.
由0，1，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有个.
故选:B.
2.下列问题中属于排列问题的是（ ）．
A．从个人中选出人去劳动
B．从个人中选出2人去参加数学竞赛
C．从班级内名男生中选出人组成一个篮球队
D．从数字5、、、中任取2个不同的数做中的底数与真数
【答案】D
【解析】根据排列的定义判断．
【详解】A. 从个人中选出人去劳动，与顺序无关，故错误；
B.从个人中选出2人去参加数学竞赛，与顺序无关，故错误；
C.从班级内名男生中选出人组成一个篮球队，与顺序无关，故错误；
D.从数字5、、、中任取2个不同的数做中的底数与真数，底数与真数位置不同，即与顺序有关，故正确；
故选：D
3.下列问题是排列问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【答案】D
【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可.
【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；
B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；
C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；
D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．
故选：D
4.（多选题）下面问题中，不是排列问题的是（ ）
A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合
【答案】BCD
【分析】根据排列的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，组成的三位数与数字的排列顺序有关，所以A是排列问题；
对于B，C，D中，只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关，所以不是排列问题.
故选：BCD.
5.（多选题）下列问题属于排列问题的是（ ）
A．从10个人中选2人分别去种树和扫地；
B．从10个人中选2人去扫地；
C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
D．从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为中的底数与真数
【答案】AD
【分析】根据排列的概念逐项进行判断即可.
【详解】排列的概念：从个元素中取个元素，按照一定顺序排成一列，
由题可知：A，D中元素的选取有顺序，B，C中元素的选取无顺序，
由此可判断出：A，D是排列问题，
故选：AD.
题型2 排列的列举问题
1.写出从4个元素中任取3个元素的所有排列.
【答案】24个
【分析】根据排列数公式和树形图，即可求出结果.
【详解】从4个元素中任取3个元素的所有排列,共有个；
由题意作树形图,如图：
故所有的排列为： ,共有个.
2.从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中（ ）
A．偶数有48个B．比300大的奇数有48个
C．个位和百位数字之和为7的有24个D．能被3整除的数有48个
【答案】CD
【分析】结合简单的排列数计算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A，其个位数字为2或4或6，有3种情况，在剩余5个数字中任选2个，安排在百位和十位，有种情况，则有3×20＝60个三位偶数，A错误；
对于B，分2种情况讨论，若百位数字为3或5，有2×2×4＝16个三位奇数，若百位数字为4或6，有2×3×4＝24个三位奇数，则符合题意的三位数有16+24＝40个，B错误；
对于C，个位和百位数字之和为7有（1，6），（2，5），（3，4），共3种情况，则符合题意的三位数有个，故C正确；
对于D，能把3整除，则三个数字之和为3的倍数，共有（1，2，3），（1，2，6），（1，3，5），（1，5，6），（2，3，4），（2，4，6），（3，4，5），（4，5，6）八种选择，
故能被3整除的数有个，故D正确；
故选：CD.
3.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231、354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ）
A．组成的三位数的个数为60B．在组成的三位数中，奇数的个数为30
C．在组成的三位数中，偶数的个数为30D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20
【答案】AD
【分析】将个数字选个排列即可判断A，确定个位，即可计算出奇数，从而判断B、D，计算“凸数”时对十位分三种情况讨论，即可判断D.
【详解】依题意，组成的三位数的个数为，故A正确；
个位为，或时，三位数是奇数，则奇数的个数为，故B错误；
则偶数有（个），故C错误；
将这些“凸数”分为三类：
①十位为，则有（种），
②十位为，则有（种），
③十位为，则有（种），
所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为，故D正确．
故选：AD．
4.在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片.那么在这10部微电影中，最多可能有 部优秀影片.
【答案】
【分析】先考虑2部电影和3部电影的情况，进而可归纳得出只要满足任意两部电影的点播量高于，，，且专家评分高于，即可得出最大值.
【详解】记这10部微电影为，.
先考虑2部电影的情况，若的点播量高于，且的专家评分高于，则此时优秀影片数目最多，为2部；
然后考虑3部电影的情况，若点播量由高到低依次为电影，且专家评分由高到低依次为电影，则此时优秀影片数目最多，为3部.
以此类推，只要满足任意两部电影的点播量高于，，，且专家评分高于，则此时优秀影片数目最多，为10部.
故答案为：.
5.从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数.
（1）能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数.
（2）若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）根据分步乘法计数原理分步排列，结合树状图即可求解；
（2）结合树状图即可求解；
【详解】(1)组成三位数分三个步骤：
第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；
第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；
第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法.
由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数.
画出下列树形图：
由树形图知，所有的三位数为：
102，103，120，123，130，132，201，203，210，
213，230，231，301，302，310，312，320，321.
(2)直接画出树形图：
由树形图知，符合条件的三位数有8个：
201，210，230，231，301，302，310，312.
题型3 简单的排列问题
1.将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为（ ）
A．10B．12C．14D．24
【答案】C
【解析】分为甲分配到班和甲不分配到班两种情况来讨论分配方案种数，利用分类加法计数原理计算可得结果.
【详解】将分配方案分为甲分配到班和甲不分配到班两种情况：
①甲分配到班：有种分配方案；
②甲不分配到班：有种分配方案；
由分类加法计数原理可得：共有种分配方案.
故选：.
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列数的应用.常见求法有：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
2.身高互不相同的7名运动员站成一排，其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有 种.(用数字填写答案)
【答案】840
【解析】先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列.
【详解】先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即，
故答案为：840.
【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，属于基础题.
3.某班一天上午有四节课，现要安排该班上午的课程表，从语文、数学、英语、物理、体育科中选出科排到课表中，体育课不能排到第一节，且数学和物理两科不能相邻，则不同的排课方案共有（ ）种
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】按有无体育、数学、物理分成三类：第一类，不排体育；第二类，排数学和物理中的一科；第三类若体育、数学和物理都排上.分别求出每一类的排课方案种数，利用分类加法计数原理可求得结果.
【详解】可按有无体育、数学、物理分成三类：
第一类，若不排体育，先排语文和英语两科，然后将数学和物理插入语文和英语两科所形成的空位中，
则不同的排课方案有种；
第二类，若排数学和物理中的一科，则体育可排在第二或第三或第四节课，
则不同的排课方案有种；
第三类若体育、数学和物理都排上，体育在第二节或第三节时有种，
体育在第四节，则物理和数学不能排第二节，此时不同的排课方案有种，
则不同的排课方案有种．
由分类加法计数原理可得不同的排课方案共有种．
故选：B.
4.第19届亚运会将于今年在杭州举行.你在西湖边遇到了志愿者装扮的吉祥物“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”.假如你要和三个吉祥物一起拍合照,且你不希望站在两端,则共有( )种不同的站法.
A．24B．18C．12D．9
【答案】C
【分析】利用间接法求解即可.
【详解】4人站成一排共有种排法,你站在左右两端的排法有种,
所以满足题意的有种.
故选:C.
5.某校一场小型文艺晩会有6个节目，类型为：2个舞蹈类､2个歌唱类､1个小品类､1个相声类.现确定节目的演出顺序，要求第一个节目不排小品类，2个歌唱类节目不相邻，则不同的排法总数有（ ）
A．336种B．360种C．408种D．480种
【答案】C
【分析】先求第一个节目不排小品类不同的排法种数，再求第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻的排法种数，再相减即可.
【详解】利用间接法：
第一个节目不排小品类，共有种不同的排法，
第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻，共有种不同的排法，
所以第一个节目不排小品类，2个歌唱类节目不相邻，有种不同的排法，
故选：C.
【能力提升】
单选题
1.从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（ ）
A．5B．10C．20D．60
【答案】C
【分析】计算从5个不同元素中取出2个元素的排列数即可.
【详解】此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，
即共有=20(种)不同的送书方法.
故选：C.
2.某学校安排了4场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一或最后一场，讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法共有（ ）种
A．4B．6C．8D．12
【答案】C
【分析】首先排，共有种，视为一个整体与全排，共有种，再排，共有种，即可得到答案.
【详解】设四场讲座为，
首先排，共有种，视为一个整体与全排，共有种，再排，共有种，
综上共有种.
故选：C
3.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用捆绑法即可得解.
【详解】先把4名女生捆绑在一起，看成一个整体，有种，
再把这个整体与另外4名男生进行排列，有种，
所以不同的排法种数有种.
故选：D.
4.有3名男生和2名女生排成一排，女生相邻的不同排法有（ ）
A．36种B．48种C．72种D．108种
【答案】B
【分析】根据捆绑法进行求解即可.
【详解】不同排法种数为种，
故选：B.
5.某校A､B､C､D､E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（ ）种.
A．18B．36C．60D．72
【答案】B
【分析】因为在的前面出场，且，都不在3号位置，分在1号位置，在2号位置，在4号位置三种情况进行分类，在利用排列公式及可求出结果.
【详解】因为在的前面出场，且，都不在3号位置，则情况如下：
①在1号位置，又2、4、5三种位置选择，有种次序；
②在2号位置，有4,5号两种选择，有种次序；
③在4号位置，有5号一种选择，有种；
故共有种.
故选：B.
6.某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（ ）
A．120种B．240种C．360种D．480种
【答案】A
【分析】将两个1捆绑在一起，可以设置的不同数字密码有种，计算即可.
【详解】将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有种.
故选：A
7.有本不同的书，其中语文书本，数学书本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用插空法以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】若同一科目的书都不相邻，则先将本书排序，然后将本语文书插入中间个空，
所以，同一科目的书都不相邻的概率是.
故选：A.
8.天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ）
A．54种B．60种C．72种D．96种
【答案】A
【分析】甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可.
【详解】由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，
再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，
利用分步相乘计数原理知有种情况
故选：A.
【点睛】思路点睛：解决排列组合问题的一般过程：
（1）认真审题弄清楚要做什么事情；
（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素.
多选题
9.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种
C．甲乙不相邻的排法种数为72种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
【答案】ACD
【分析】根据题意，由捆绑法，插空法，特殊元素优先处理法，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有种排法，A正确；
对于B，若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有种排法，
故B错误；
对于C，先将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有种排法，C正确；
对于D，甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有种排法，
甲乙丙全排列有种排法，则甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确.
故选：ACD.
10.A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ）
A．若A，不相邻，有72种排法B．若A，不相邻，有48种排法
C．若A，相邻，有48种排法D．若A，相邻，有24种排法
【答案】AC
【分析】求得A，不相邻时的排法总数判断选项AB；求得A，相邻时的排法总数判断选项CD.
【详解】A，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻，
则先让，，自由排列，再让A，去插空即可，
则方法总数为（种）.则选项A判断正确；选项B判断错误；
A，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻，
则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，自由排列即可，
则方法总数为（种）.则选项C判断正确；选项D判断错误.
故选：AC
11.某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）
A．若要求3名女生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法
B．若要求女生与男生相间排列，则这6名同学共有96种排法
C．若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有144种排法
D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这6名同学共有480种排法
【答案】ACD
【分析】捆绑法解决选项A，插空法解决选项BC，特殊优先法或间接法解决选项D.
【详解】选项A，将3名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列，
则有（种），故A正确，
选项B，要求女生与男生相间排列，采用插空法，
则有（种），故B不正确，
选项C，先排3名男生，3名女生插空，
则有（种），故C正确，
选项D，间接法，6人排列有（种）情况，
男生甲在排头或排尾，则有（种），
所以男生甲不在排头也不在排尾有（种），
故D正确，
故选：ACD.
12.某电影院的一个播放厅的座位如图所示（标黑表示该座位的票已被购买），甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，目甲、乙不坐前两排．（ ）
A．若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种
B．若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1154种
C．若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种
D．若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一排，则购票的情况共有508种
【答案】ABD
【分析】通过每排的可能情况列出后，根据分类计数原理计算即可判断A；
通过“正难则反”的方法考虑反面情况判断B和D；通过先选再排判断C.
【详解】若甲、乙左右相邻，先选座位：在第三排共有10种，在第四排共有种，
在第五排有种，
在第六排有种在第七排有种，共有27种．
再考虑甲乙顺序，有种，所以一共有54种购票情况，故A正确．
甲、乙在同一列的情况共有种，
则甲、乙不在同一列的情况有种，故B正确．
若甲、乙前后相邻，先选座位：有种，
再考虑甲乙顺序，有种，所以一共有42种购票情况，故C错误．
中心线左侧有18个座位，右侧有18个座位．甲、乙分坐于两侧，有种．
甲、乙分坐于两侧且坐同一排（按每一排考虑），有种，
所以甲、乙分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况共有种，故D正确．
故选：ABD
填空题
13.用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有 个（用数字作答）．
【答案】24
【分析】对末位数字讨论，再结合排列知识求解即可.
【详解】若末位数字为0，则有个；若末位数字为2，则有；若末位为4，则有两种情况：①1或2在首位有个；②3在首位有个，共有24个满足条件的偶数.
故答案为：24.
14.写出从a，b，c这3个字母中取出2个字母的所有排列 ．
【答案】答案见解析
【分析】根据排列的定义列举求解即可.
【详解】根据排列的概念，列举如下：
15.5名男生与2名女生排成一排，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，共有 种不同的排法.（结果用数值表示）
【答案】
【分析】先排甲，两个女生可以交换位置，剩下的个男生站剩下的四个位置，即可得出结论.
【详解】如图，先排甲（甲在号位置），
将名女生看成一个整体，排在、、、中的四个位置，有种排法，
两个女生位置可以交换，有种排法，
在把剩余的个男生站剩下的四个位置，有种排法，
所以符合题意的排法有种排法.
故答案为：.
16.甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有 种.
【答案】
【分析】由排列组合中的捆绑法和插空法计算.
【详解】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有种，
然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种，
因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位，
利用插空法排列甲，排法有种，
所以不同的排列方法有种.
故答案为：
解答题
17.一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．
（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）利用捆绑法可求解；
（2）利用特殊元素优先选择，即可求解；
（3）利用正难则反，先算前3个节目中没有相声，即相声在后两个节目的排法，即可求解.
【详解】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法；
（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为；
（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有．
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
18.下列问题是排列问题吗？
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）；
(2)某班40名学生在假期相互写信；
(3)会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？
(4)平面上有5个点，其中任意3个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
【答案】(1)不是排列问题.
(2)是排列问题.
(3)选3个座位不是排列问题；选3个座位安排三位客人是排列问题.
(4)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题
【分析】根据排列的定义，再结合交换元素的位置看结果是否改变即可判断.
【详解】（1）来回的票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.
（2）A给B写信与B给A写信是不同的两件事，所以存在着顺序，属于排列问题.
（3）任选3个座位，与顺序无关，不是排列问题；选3个座位安排三位客人，与顺序有关，故是排列问题.
（4）直线与两点的顺序无关，故确定直线不是排列问题，射线与两点的顺序有关，故确定射线是排列问题.
19.用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数.
（1）这些四位数中偶数有多少个?能被5整除的有多少个?
（2）这些四位数中大于6 500的有多少个?
【答案】（1）360个，120个；（2）160个.
【分析】（1）偶数的个位数只能是2、4、6，其他位置上任意排列，由分步乘法计数原理即得解；
（2）分最高位上是7和6，由分类加法计数原理，即得解
【详解】（1）偶数的个位数只能是2、4、6，有种排法，其他位上有种排法，
由分步乘法计数原理，知共有四位偶数=360(个)；
能被5整除的数个位必须是5，故有=120(个)
（2）最高位上是7时大于6 500，有种，
最高位上是6时，百位上只能是7或5，故有2×种.
由分类加法计数原理知，这些四位数中大于6 500的共有+2×=160(个).
20.有4名男生，5名女生，全排成一行，下列情形各有多少种排法？
(1)甲不在中间也不在两端；
(2)甲、乙两人必须排在两端；
(3)男女相间.
【答案】(1)241920
(2)10080
(3)2880
【分析】（1）先排甲有6种，再排其余人有种，利用分步计数原理即可得解；
（2）先排甲、乙，再排其余7人，利用分步计数原理即可得解；
（3）先排4名男生有种方法，再将5名女生插空，利用分步计数原理即可得解．
（1）先排甲有6种，再排其余人有种，故共有（种）排法.
（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有（种）排法.
（3）（插空法）先排4名男生有种方法，再将5名女生插空，有种方法，故共有（种）排法．
21.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数：
（1）选其中5人排成一排
（2）全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾
（3）全体排成一排，男生互不相邻
（4）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人
【答案】（1）2520；（2）3600；（3）1440；（4）720.
【分析】（1）属于从7个不同元素中任选5个的排列；
（2）第一步先安排特殊元素甲，第二步其他6人全排列即可；
（3）第一步排所有女生，第二步在5个空位（含两端）排3个男生；
（4）第一步选3人排在甲乙中间（注意这3人全排列），第二步甲乙两也全排列，第三步甲乙和他们中间的3人作为一个整体与剩下的2人变成3个元素再全排列．
【详解】解：（1）选其中5人排成一排共有=2520(种)．
（2）先排甲，有5种方法，其余6人有种方法，故共有5×=3600(种)．
（3）男生不相邻，而女生不作要求，∴应先排女生，有种方法，
再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方法，
故共有·=1440(种)．
（4）把甲、乙及中间3人看作一个整体，
第一步先排甲、乙两人有种方法，
再从剩下的5人中选3人排到中间，有种方法，
最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人排列，有种方法，
故共有··=720(种)．
22.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数.
（1）可组成多少个不同的四位数？
（2）可组成多少个不同的四位偶数？
【答案】（1）300；（2）156.
【分析】（1）第一步排千位数字有种不同排法，第二步排百位、十位、个位数字种不同排法，
最后组成不同的四位数有种，
（2）先求第一类个位数字为0有种不同排法，再求第二类个位数字为2或4，则0不能排在千位，有种不同排法，最后求组成不同的四位偶数有种.
【详解】解：（1）根据题意分步完成任务：
第一步：排千位数字，从1，2，3，4，5这5个数字中选1个来排，有种不同排法；
第二步：排百位、十位、个位数字，从排了千位数字后剩下的5个数字中选3个来排列，有种不同排法；
所以组成不同的四位数有种，
（2）根据题意分类完成任务：
第一类：个位数字为0，则从1，2，3，4，5这5个数字中选3个来排在千位、百位、十位，有种不同排法；
第二类：个位数字为2或4，则0不能排在千位，有种不同排法；
所以组成不同的四位偶数有种.
【点睛】本题考查排列、组合的综合应用，是中档题.
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