人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合精品学案设计

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1.能利用计数原理推导组合数公式.
2.能解决有限制条件的组合问题.
3.通过研究组合数公式及解决有限制条件的组合问题，提升逻辑推理及数学运算素养.
重点难点
重点：组合数公式.
难点：推导和应用组合数公式.
课前预习 自主梳理
1．组合数
从n个不同元素中 的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Ceq \\al(m,n)表示．
2．组合数公式
组合数公式可以由排列数公式表示，注意公式的结构
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(Aeq \\al(m,n),Aeq \\al(m,m))＝eq \f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝ (n，m∈N*，m≤n)．
规定Ceq \\al(0,n)＝1.
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
（1）Ceq \\al(3,5)＝5×4×3＝60.( )
（2）Ceq \\al(2 016,2 017)＝Ceq \\al(1,2 017)＝2 017.( )
（3）“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个元素的组合数”．( )
2.计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
3.（ ）
A．B．C．D．
4.5名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种B．90种C．60种D．30种
5.将个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有种
A．B．C．D．
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
问题1：在上一节中,我们通过列举数数的方式得到各问 题的所有组合个数，但随着元素个数的增加，这样的方法就越 来越烦琐了.是否能像排列数公式一样，也找到计算组合个数 的公式，从而可以便捷地求出所有组合的个数？
问题2从集合{a,b,c,d}中取出3个元素组成三元子集，共有哪些不同的子集？
引导语在问题1中，我们通过列举数数的方式得到各问题的组合个数，但随着元素个数的增加，这种方法越来越繁琐了。能否像排列一样，也能找到计算组合个数的公式，从而能便捷得求出组合个数？
组合数与组合数公式
类比排列数，我们引进组合数概念：
1.组合数的定义:从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．
符号中的C是英文cmbinatin(组合)的第一个字母．组合数还可以用符号Cnm 表示.
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为，从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为．
师：你能辨析组合与组合数这两个概念吗？
生：组合与组合数是两个不同的概念，组合数是组合 的个数.
问题3：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢?
环节二 观察分析，感知概念
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数
．
追问（1）求从4个不同的元素中取出3个元素的排列数A43和组合数C43.
运用同样的方法，我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数．设这4个元素为a，b，c，d，那么从中取出3个元素的排列数，以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，如图6.2-8所示，因此组合数．
观察图6.2-8，也可以这样理解求“从4个元素中取出3个元素的排列数”：
第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法；
第2步，将取出的3个元素作全排列，共有种不同的排法．
于是，根据分步乘法计数原理，有
．
即 ．
环节三 抽象概括，形成概念
追问（2）将求C43的方法推广为一般形式，如何求组合数Cnm？
根据分步乘法计数原理，有
．
因此，
．
这里，并且，这个公式叫做组合数公式．
因为
，
环节四 辨析理解，深化概念
追问（3）：由Anm的公式，你能得到Cnm的公式吗？
所以，上面的组合数公式还可以写成
．
另外，我们规定．
问题3：上述组合数公式有什么特点？使用公式需要注意什么？
例6 计算：（1）；（2）；（3）；（4）．
思考：观察例的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现?（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法?
1.公式Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!(m,n∈N*,且m≤n),一般用于求值计算.
2.公式Cnm=n!m!(n-m)!(m,n∈N*,且m≤n),一般用于化简证明.在具体选择公式时,要根据题目特点正确选择.
3.根据题目特点合理选用组合数的两个性质Cnm=Cnn-m,Cn+1m=Cnm+Cnm-1,能起到简化运算的作用,需熟练掌握.
环节五 概念应用，巩固内化
例7在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3件．
（1）有多少种不同的抽法?
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
分析：
追问你能总结一下解决组合问题的思路和方法吗？
演示：当n和m较小时，可以通过手算得出Cnm。当n和m较大时，可以利用Excel等计算工具计算组合数。
组合问题的基本解法
(1)判断是否为组合问题;
(2)是否分类或分步;
(3)根据组合的相关知识进行求解.
环节六 归纳总结,反思提升
1.教师引导学生回顾本节课学习的主要内容，并让学生回答下列问题：
(1)提出一个组合问题，并结合问题说明组合与组合数的区别.
(2)组合数公式是如何推导的？
(3)如何解决组合问题？应用组合数公式时需要注意什么？
2.组合数的公式
3.组合数的性质
Cnm=Cnn−m, Cn+1m=Cnm+Cnm−1
4.解决组合问题
“先分类，后分步” 直接法 间接法
5.发展能力
提高分析问题、解决问题的能力，
发展数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养
环节七目标检测，作业布置
完成教材：教材第26〜27页习题6.2第2,10,12,13,15,16题.
备用练习
1.在“3+1+2”模式的新高考方案中，“3”是指语文、数学、外语三科为必考科目，“1”指在物理和历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理中任选两科，某学生根据自身的特点，决定按以下方法选课：①外语可选英语或日语，②若选历史，则政治和地理至多选一科，③物理和日语最多只能选一个，则这个同学可能的选课方式共有（ ）
A．6种B．11种C．12种D．16种
2.我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类，《周礼·春宫》中记载，中国古典乐器一般按“八音”分类，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（pá）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“金、石、土、匏、丝”中任取三音，则三音来自两种不同类型乐器的概率为（ ）
A．B．C．D．
3.现将甲乙丙丁四个人全部安排到市､市､市三个地区工作，要求每个地区都有人去，则甲乙两个人至少有一人到市工作的安排种数为（ ）
A．12B．14C．18D．22
4.在一次抗洪救灾中，甲、乙、丙、丁4名党员被安排到A，B，C三个村，参与抗洪救灾任务，每个村至少安排1名党员，且甲不能安排到A村，则不同的分配方案种数为（ ）
A．12B．14C．24D．28
5.某省示范性高中安排6名高级教师到甲、乙、丙三所中学进行支教，每所学校至少安排1人，则不同的分配方案有（ ）
A．150种B．180种C．270种D．540种