高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理优秀学案设计

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1. 掌握二项式定理，能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；
2. 掌握二项展开式的通项，并能运用通项公式求指定项或指定项的系数；
3. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
重点难点
1．重点：用计数原理分析的展开式，得到二项式定理.
2．难点：用计数原理分析二项式的展开式，用两个计数原理证明二项式定理.
课前预习 自主梳理
知识点一 二项式定理
(a＋b)n＝ (n∈N*)．
(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有 项．
(3)二项式系数：各项的系数 (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
知识点二 二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第 项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝_ _.
思考 二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？
答案 一般不同．前者仅为Ceq \\al(k,n)，而后者是字母前的系数，故可能不同．
知识点三 二项式定理及其相关概念
注意二项式系数与系数的概念
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.( )
(2)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.( )
(3)(a+b)n的展开式中一定有常数项.( )
(4) (a＋b)n的展开式中共有n项．( )
(5)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )
(6)Ceq \\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．( )
2.二项式的展开式中，含项的系数为（ ）
A．1140B．1330C．190D．210
3.在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．2C．D．6
4.在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．1C．D．4
5.已知，则（ ）
A．-18B．18C．-256D．256
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的a+bn展开式的问题。
问题1：我们知道，
，
．
（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？
（2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？
（3）进一步地，你能写出的展开式吗？
我们来分析的展开过程．根据多项式乘法法则，



可以看到，是2个相乘，只要从一个中选一项（选或），再从另一个中选一项（选或），就得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有项，而且每一项都是的形式．
环节二 观察分析，感知概念
下面我们再来分析一下形如的同类项的个数．
当时，，这是由2个中都不选得到的．因此，出现的次数相当于从2个中取0个（都取）的组合数，即只有1个．
当时，，这是由1个中选，另1个中选得到的．由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从2个中取1个的组合数，即共有2个．
当时，，这是由2个中都选得到的．因此，出现的次数相当于从2个中取2个的组合数，即只有1个．
由上述分析可以得到
．
环节三 抽象概括，形成概念
问题1：依照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？
；
．
问题2：你能猜想出(a＋b)n展开式吗？
从上述对具体问题的分析得到启发，对于任意正整数，我们有如下猜想：
（1）
追问：你能说明这一猜想的正确性吗？
学生思考、讨论、交流.
教师找几名代表就这一猜想的正确性进行说明，教师 给予适当的评价与指导.
1．二项式定理
(a＋b)n＝_________________________ (n∈N*)．
(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项．
(3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn
n＋1 ； Ceq \\al(k,n)
环节四 辨析理解，深化概念
下面我们对上述猜想的正确性予以说明．
由于是个相乘，每个在相乘时有两种选择，选或，而且每个中的或都选定后，才能得到展开式的一项．因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，的展开式共有项，其中每一项都是的形式．
对于每个，对应的项是由个选，另外个中选得到的．由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从个中取个的组合数，这样，的展开式中，共有个，将它们合并同类项，就可以得以上述二项展开式．
公式（1）叫做二项式定理（binmial therem），右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：
．
在二项式定理中，若设，，则得到公式：
．
2．二项展开式的通项公式
(a＋b)n展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝______.
k＋1 ； Ceq \\al(k,n)an－kbk
二项式定理形式上的特点
(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.
(2)二项式系数都是Cnk(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.
(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n.
(4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次.
组织学生分析二项展开式的结构特点，教师要强调二项式系数是与二项式的次数有关的组合数.
2.教师提出以下问题引导学生理解二项式定理:
(1)二项展开式有多少项?
(2)各项的次数有什么规律?
(3)如果令,你能写出二项式的展开式吗?从函数的观点看这个展开式,它是一个什么函数?
3.对于二项展开式的通项,教师提出以下问题帮助学生理解:
(1)如果把看作一个数列的通项公式,这个数列有多少项?
(2)字母代表的是什么?
环节五 概念应用，巩固内化
例1求的展开式．
解：
1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.
2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.
例2（1）求的展开式的第4项的系数；
（2）求的展开式中的系数．
解：
二项式系数与项的系数的求解策略
(1)二项式系数都是组合数Cnk(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,
要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.
(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为Cnk.例如,在(1+2x)7的
展开式中,第4项是T4=C7317-3(2x)3,其二项式系数是C73=35,而第4项的系数是C7323=280.
环节六 归纳总结,反思提升
1.教师引导学生回顾本节课学习的主要内容，并让学生回答下列问题：
（1）二项式定理是如何得出的？二项式定理的内容是什么？二项式定理中的字母a,b分别可以表示什么？
（2）二项展开式的通项如何表示？
（3）某一项的二项式系数与这一项的系数的区别是什么？如何求二项式系数及项的系数？
2.求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
3.在解决问题时，用到了哪些数学思想？方法归纳：转化化归．
4.常见误区：二项式系数与系数的区别，Ceq \\al(k,n)an－kbk是展开式的第k＋1项．
环节七目标检测，作业布置
完成教材：教材第34页习题6.3第2~6题.
备用练习
1.二项式(a＋b)2n的展开式的项数是( )
A．2nB．2n＋1C．2n－1D．2(n＋1)
2.若的展开式有16项，则自然数的值为（ ）
A．9B．10C．11D．16
3.如果的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为( )
A．3B．5C．6D．10
4.的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为（ ）
A．−32B．32C．−64D．64
5.在的展开式中，x2项的系数为（ ）
A．30B．45C．60D．90
二项式定理
公式(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn，称为二项式定理
二项式系数
(k＝0，1，…，n)
通项
Tk＋1＝
二项式定理的特例
(1＋x)n＝Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)x＋Ceq \\al(2,n)x2＋…＋Ceq \\al(k,n)xk＋…＋Ceq \\al(n,n)xn