高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理优秀学案设计

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1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明；
2.会应用二项式定理求解二项展开式；
3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力；
4.感受二项式定理体现出的数学的内在和谐、对称美，了解相关数学史内容.
重点难点
重点： 二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）；
难点：1.理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；
2.利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透.
课前预习 自主梳理
知识点1 二项式系数的性质
在求二项式系数的最大值时，要注意讨论n的奇偶性．
思考 若(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为多少？
答案 n＝7或8或9.
知识点2 杨辉三角的特点
(1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.
(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即 QUOTE ??+1? Cn+1r= QUOTE ???-1 Cnr-1+ QUOTE ??? Cnr.
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
（1）二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)．( )
(2)二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和．( )
(3)二项展开式项的系数是先增后减的．( )
(4)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).( )
(5)二项式展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和.( )
(6)二项展开式项的系数是先增后减的.( )
(7)杨辉三角中每行两端的数都是1.( )
【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×(7)√
【详解】(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关．
(2)在二项式(a＋b)n中只有当a，b的系数都为1时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和．
(3)二项式系数是随n的增加先增后减的，二项展开式项的系数和a，b的系数有关．
(4)二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的,二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项),但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关.
(5)在二项式(a+b)n中只有当a,b的系数都为1时,展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和.
(6)二项式系数是随n的增加先增后减的,二项式项的系数和a,b的系数有关.
(7)根据杨辉三角的特点可知.
2.在的展开式中第4项的二项式系数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接根据二项式定理可知第项的二项式系数为计算可得；
【详解】解：的展开式中第4项的二项式系数为
故选：A
3.二项式的展开式中所有二项式系数之和为，则二项式的展开式中常数项为（ ）
A．9B．15C．135D．540
【答案】C
【分析】根据所有二项式系数之和为，求出，再根据通项公式可求出结果.
【详解】由二项式的展开式中所有二项式系数之和为，得，即，
所以，
令，得，
所以二项式的展开式中常数项为.
故选：C．
4.展开式中的常数项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项.
【详解】展开式的通项公式为
，
令，可得，
故展开式的常数项为.
故选：A.
5.若的展开式中含项的系数为，常数项为，则函数在上的最小值为（ ）
A．-200B．-100C．160D．220
【答案】B
【分析】，写出展开式的通项，令x的指数等于2，即可求得m，令x的指数等于0，即可求出n，从而可求的函数在上的最小值.
【详解】解：因为，
所以展开式的通项为 .
令，得，则；
令，得，则 .
所以，
当时，.
故选：B.
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
复习二项式定理：……，.其中的展开式的二项式系数有很多有趣的性质.
的展开式的二项式系数
，，，…，，…，
有很多有趣的性质，而且我们可以从不同角度进行研究．
设计意图：通过先复习引入，调动学生已有的相关知识，再从学生熟悉的实例出发，激发学生的学习兴趣.
环节二观察分析，感知概念
探究
用计算工具计算的展开式的二项式系数，并填入表6.3-1．
问题1填写表格观察二项式系数的变化，是否能发现什么规律？
表6.3-1
通过计算、填表，你发现了什么规律？
从表6.3-1可以发现，每一行中的系数具有对称性．除此以外还有什么规律呢？为了便于发现规律，上表还可以写成如图6.3-1所示的形式．
………………………11
……………………121
…………………1331
………………14641
……………15101051
…………1615201561
图6.3-1
观察图6.3-1，你还能发现哪些规律？
表示形式的变化常常能帮助我们发现某些规律．
对于的展开式的二项式系数
，，，…，，
设计意图：学生通过填表的活动，巩固二项式定理的知识和二项式系数的运算，并发现二项式系数具有的一些规律；同时引导学生发现这样的表格不利于观察二项式系数的更多规律，进而引发思考：哪种表示形式更方便观察呢？借此引出算术三角形，为下面观察得出二项式系数的性质作准备.
环节三 抽象概括，形成概念
问题2对于的展开式的二项式系数，我们还可以从函数的角度分析它们，可以看成是以为自变量的函数，其定义域是.对于确定的，我们还可以画出它的图象.能否画出时，函数的图象？
当时，函数的图象是7个离散点，如图6.3-2所示．
追问1：观察函数图象，当时，你发现二项式系数什么规律？
追问2：能否画出时函数的图象，比较它们的异同，你又发现了什么规律？
设计意图：学生通过教师的引导，学习感受从多角度认识同一事物；经过独立的思考，为交流合作做好铺垫；通过学习小组的交流合作及成果展示，不同的想法得以展示，获得学习的成就感.同时可以对教材上没有出现的性质进行补充或者证明，教师要充分肯定学生在学习中的创新精神.
分析图6.3-1和图6.3-2，可以得到二项式系数的以下性质．
环节四 辨析理解深化概念
问题1:如何用组合的意义解释二项式系数的对称性？
1．对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由得到．
= 1 \* GB3 ①你能用组合的意义解释一下这个“组合等式”吗？
直线将函数的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．
设计意图：前面通过观察与归纳，概括出了二项式系数的对称性，该性质是二项式系数的性质之一.此处结合组合数的知识，给出了一个证明方法，让学生灵活运用知识，并感受思想方法的多样性和重要性.
问题2：如何证明二项式系数的对称性、增减性与最大值呢？
2．增减性与最大值
因为
，
即
，
所以，当，即时，随的增加而增大；由对称性知，当时，随的增加而减小．当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
设计意图：教师引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质，培养学生利用几何直观、数形结合的数学思想解决问题的能力.这一过程不仅有利于培养学生的数学核心素养，提高学生的数学思维，而且有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识.
3．各二项式系数的和
问题3：如何利用的展开式求的展开式的各二项式系数的和？
已知
，
令，得
．
这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于．
设计意图：利用赋值法求各二项式系数的和，使学生体会赋值法的好处，发展学生的逻辑推理核心素养.
环节五概念应用，巩固内化
例3求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
分析：奇数项的二项式系数的和为
，
偶数项的二项式系数的和为
．
由于
中的，可以取任意实数，因此我们可以通过对，适当赋值来得到上述两个系数和．
②实际上，，既可以取任意实数，也可以取任意多项式，还可以是别的．我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．
证明：在展开式
中，令，，则得
．
即
．
因此，
，
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
环节六 归纳总结,反思提升
教师引导学生回顾本节课学习的主要内容，并让学生回答下列问题：
通过本节课的学习，你知道二项式系数有哪些性质？你还能发现其他的一些性质吗？
二项式系数的性质、值法求各项系数的和．
一般地，展开式的二项式系数有如下性质：
（对称性）
当n为偶数时，最大，而当n为奇数时，，且同时取得最大值
（3）（4）
二项式系数与函数、数列有什么关系？如何用函数、数列的观点来研究二项式系数？
常见误区：赋值时应注意展开式中项的形式，杜绝漏项．
(3)本节课体现了哪些重要的思想方法？
一般与特殊、函数与方程．
设计意图：通过问题形式，回顾二项式系数的有关性质，总结归纳研究二项式系数的思想方法.
环节七目标检测，作业布置
完成教材：教材第34页练习第1,2,3,4题.
备用练习
1.在的展开式中，的系数为
A．5B．C．10D．
【答案】D
【解析】根据二项式定理计算即可.
【详解】解：在的展开式中的项为的系数为-10，
故选：D.
2.在的展开式中，含项的系数是（ ）
A．40B．80C．D．
【答案】A
【解析】由题可知的展开式中，含项的系数就是的展开式中，含项的系数减去含项的系数
【详解】解：的展开式中，含项的系数就是的展开式中，含项的系数减去含项的系数，
因为的展开式的通项公式为，
所以的展开式中，含项的系数为
故选：A
3.在的展开式中的系数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】首先写出展开式的通项，再令，即可求解.
【详解】的展开式的通公式为，
令.则，
故的系数是，
故选：A
【点睛】本题主要考查了求二项式展开式中某一项的系数，属于基础题.
4.展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】写出展开式通项，令的指数为，分别求出求出、参数的值，代入通项后即可得解.
【详解】的展开式通项为，
因为，
在中，令，
在，令，可得，
因此，展开式中的系数为.
故选：D.
5.已知，若，那么自然数（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】令等式中的求出展开式的各项系数和，令求出展开式的常数项，利用二项展开式的通项公式求出，列出方程求出.
【详解】解：令得：，即，
；
令得：，
，
，
，解得.
故选：B.
对称性
在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq \\al(m,n)＝eq \a\vs4\al(Ceq \\al(n－m,n))
增减性与最大值
增减性：当k＜eq \f(n＋1,2)时，Ceq \\al(k,n)随k的增大而增大；由对称性可知，当k＞eq \f(n＋1,2)时，Ceq \\al(k,n)随k的增大而减小.
最大值：当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项，相等，且同时取得最大值
各二项式系数的和
①2n＝Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)
②Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1
即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
n
的展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6