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人教A版数学高二选择性必修第三册 第六章 计数原理 单元测试（解析版）
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这是一份人教A版数学高二选择性必修第三册 第六章 计数原理 单元测试（解析版），共12页。
第六章 计数原理 单元测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 的展开式中常数项是（ ）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】B【解析】求出展开式的通项，令x的指数为0即可求出.【详解】的展开式的通项为，令，即，则常数项为.故选：B.2.将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（ ）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】应用分步计数法求不同的投法种数.【详解】第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种，∴根据分步计数原理可知一共有（种）投法.故选：C.3.设，则的展开式中的系数不可能是（ ）A．10 B．40 C．50 D．80【答案】C【分析】得到展开式的通项公式，求出时的系数，选出答案.【详解】展开式的通项公式为，当时，，系数为1，当时，，系数为10，当时，，系数为40，当时，，系数为80，当时，，系数为80，故系数不可能是50.故选：C4.的展开式中的系数是（ ）A．126 B．125 C．96 D．83【答案】B【分析】运用二项式定理求解.【详解】由题意原式中的系数；故选：B.5.琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排六节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，若笛、琴一定安排，则不同的安排方式的种数为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先从除笛，琴外的8种乐器选出4种，6种乐器做全排列即可得出答案.【详解】从剩余的8种乐器中任选4种，有种，现在6种乐器知识排6次课，有种，所以不同的安排方式的种数为．选项D正确，选项ABC错误.故选：D.6.如图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（ ）种不同的涂色方法？A．260 B．180 C．240 D．120【答案】A【分析】由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，最多四种颜色，分类讨论，最后相加.【详解】由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：第一类，用4种颜色涂色，有种方法．第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有种．在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或B、D）涂同色，另两部分涂异色有种选法；3种颜色涂上去有种涂法，根据分步计数原理求得共种涂法．第三类，用两种颜色涂色．选颜色有种选法，A、C用一种颜色，B、D涂一种颜色，有种涂法，故共种涂法．∴共有涂色方法120+120+20＝260种，故选：A．7.的展开式中的系数为（ ）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】将代数式变形为，然后根据展开式的通项公式即得.【详解】，又的通项公式为，所以的展开式中的系数为.故选：.8.武术是中国的四大国粹之一，某武校上午开设文化课，下午开设武术课，某年级武术课有太极拳、形意拳、长拳、兵器四门，计划从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和形意拳上课三次，长拳和兵器上课两次，同样的课每天只上一次，则排课方式共有（ ）A．19840种 B．16000种 C．31360种 D．9920种【答案】D【分析】先确定从5天中选3天排太极拳的排法情况，再分五天中有天既有太极拳又有形意拳，五天中有天既有太极拳又有形意拳，五天中有天既有太极拳又有形意拳，三种情况讨论，从而可得出答案.【详解】先从5天中选3天排太极拳，有种，然后再从所选的3天中选一节排太极拳有种，所以太极拳有种排法，若五天中有天既有太极拳又有形意拳，则哪一天重复有种，再从另外不重复的2天中每天选1天排形意拳，有种，再从剩下的4节课中选2节排长拳，有种，则另外2节排兵器，所以有种，若五天中有天既有太极拳又有形意拳，则哪两天重复有种，再从另外不重复的2天中排形意拳，有种，再从剩下的4节课中抽2节课排长拳，有种，则另外2节排兵器，但排在同一天不合适，所以有种，所以共有种，若五天中有天既有太极拳又有形意拳，则剩下的4节课中选2节排长拳，有种，再去掉排同一天的种，所以有种，综上所述：共有种.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ）A．展开式共有6项 B．展开式中各项系数之和为1C．展开式中的常数项是240 D．展开式中的二项式系数之和为32【答案】BC【分析】根据二项式展开式的项数判断A；利用赋值法求得各项系数和可判断B；根据二项式通项公式求得常数项判断C；根据二项式系数和性质可判断D.【详解】因为二项式的次数为6，所以展开式共有7项，故A错误；令，则展开式中各项系数之和为，故B正确；的通项为，，令，得，故展开式中的常数项为，故C正确；的展开式中的二项式系数之和为，故D错误.故选：BC10.如图所示，各小矩形都全等，各条线段均表示道路.某销售公司王经理从单位处出发到达处和处两个市场调查了解销售情况，行走顺序可以是，也可以是，王经理选择了最近路径进行两个市场的调查工作.则王经理可以选择的最近不同路线共有（ ）A．31条 B．36条 C．210条 D．315条【答案】CD【分析】讨论长宽关系，利用分步乘法计数原理求解即可.【详解】设小矩形的长为，宽为，则从的最近路线为，从的最近路线为，若，则选择行走顺序为，先从，最近路线需要走3个长，2个宽，则不同路线有种，从，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有种，所以从的不同路线有种；若，则选择行走顺序为，先从，最近路线需要走2个长，4个宽，则不同路线有种，从，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有种，所以从的不同路线有种.综上，王经理可以选择的最近不同路线共有210条或315条.故选：CD.11.下列组合数公式中恒成立的有（ ）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根据组合数的公式可证正确，举特值可知不正确，利用两边展开式中的系数相等可证正确.【详解】对于，因为，，所以，即正确；对于，，故正确；对于，当时，左边，右边，等式不成立，故不正确；对于，因为，等式左边的系数为：，等式右边的系数为：，所以，故正确.故选：ABD【点睛】本题考查了组合数公式，考查了二项式展开式的通项公式的应用，属于中档题.12.关于及其展开式，下列说法正确的是（ ）A．该二项展开式中所有项系数和为0 B．该二项展开式中第七项为C．该二项展开式中不含有理项 D．当时，除以10的余数是1【答案】AD【分析】由二项式定理对选项逐一判断【详解】的展开式通项为对于A，令，得所有项系数和为0，A正确，对于B，第七项为，B错误，对于C，当为偶数时，该项为有理项，C错误，对于D，时，原式为，由二项式定理知展开式中只有最后一项无法被10整除，故原式除以10的余数是1，D正确，故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某动漫手办厂推出一款新产品“手办盲盒”，该厂为“套路”顾客，将6个“手办盲盒”装成一箱，且每箱均有2个稀有手办盲盒.若某同学从一箱中随机购买2个手办盲盒，则能买到稀有手办盲盒的概率为 ．（结果用最简分数表示）【答案】【分析】根据古典概型概率公式和对立事件的概率公式可求出结果.【详解】不能买到稀有手办盲盒的概率为，则能买到稀有手办盲盒的概率为.故答案为：.14.本不同的书平均分成堆，每堆本，共有 种分法.【答案】【分析】先分三次取书，每次取两本，则应是种方法，不妨记本书分别为、、、、、，分析可知、、出现种情况，其它组也重复出现种情况，由此可得出结果.运用平均分组问题解法解决即可。【详解】先分三次取书，每次取两本，则应是种方法，但是这里出现了重复.不妨记本书分别为、、、、、，若第一次取，第二次取，第三次，该种分法记为，则种分法中还有、、、、，种情况，而这种情况，仅是、、的顺序不同，因此只能作为一种分法，故满足题意的分法共有（种）.故答案为：.15.．某高中元旦晚会有一节目是现代舞，选了5位男生和4位女生参加，舞蹈老师在排练前，让他们男女间隔排列，则排列的方式有 种；【答案】.【分析】利用插空法求解.【详解】现将名男生全排列，然后再将名女生插入名男生之间，则共有种排列方法.故答案为：.【点睛】本题考查排列与组合，考查插空法的运用，属于基础题.16.(x2－x＋1)5的展开式中x3的系数为 【答案】－30.【分析】先将(x2－x＋1)5转化为[1＋(x2－x)]5，则展开式的通项公式Tr＋1＝ (x2－x)r，r＝0，1，2，3，4，5，再求得(x2－x)r展开式的通项公式得到 (－1)k·x2r－k，r＝0，1，2，3，4，5，k＝0，1，…，r，然后令2r－k＝3求解.【详解】.[1＋(x2－x)]5展开式的第r＋1项Tr＋1＝ (x2－x)r，r＝0，1，2，3，4，5，Tr＋1展开式的第k＋1项为·(x2)r－k(－x)k＝ (－1)k·x2r－k，r＝0，1，2，3，4，5，k＝0，1，…，r，当2r－k＝3，即或时是含x3的项，所以含x3项的系数为 (－1)＋(－1)3＝－20－10＝－30.【点睛】本题考查二项式定理展开式的项的系数求法，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知展开式各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中含有的项；（2）求展开式中二项式系数最大的项．【答案】（1）；（2），【分析】（1）先求出，再利用通项公式求展开式中含有的项；（2）展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项，即可求展开式中二项式系数最大的项；【详解】解：令得展开式各项系数和为，二项式系数为，由题意得：，解得，（1）通项公式为令，，． （2），展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项，，【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．18.证明：（n是偶数）.【答案】证明见解析【分析】由分别令和可得.【详解】，令，得，令，得，两式相加得，.19.（1）若的展开式的各二项式系数之和为64，求的展开式的第3项；（2）设的展开式的各项系数和为32，求的展开式的各奇数项系数的和．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据二项式系数之和得到，然后，利用展开式的通项公式，计算第3项即可求解.（2）因为展开式的各项系数和为32，令，得到，进而利用赋值法，分别令和，进而利用等式之间的关系进行相加，即可求解.【详解】（1）∵的展开式的二项式系数之和为64，∴，解得，∴的展开式的第3项为．（2）∵的展开式的各项系数和为32∴，解得，则，由二项式定理可得，故奇数项的系数为，令，则，令，则，故.的展开式的各奇数项系数的和为20.一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用捆绑法可求解；（2）利用特殊元素优先选择，即可求解；（3）利用正难则反，先算前3个节目中没有相声，即相声在后两个节目的排法，即可求解.【详解】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法；（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为；（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有．【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.21.设．（1）求的值．（2）求的值．【答案】（1）1；（2）．【分析】（1）采用“赋值法”，令可直接计算出的值；（2）采用“赋值法”，令可得的值，然后两式作差可求的值.【详解】（1）令，得①；（2）令，得②，①②得，∴．22.已知的展开式前三项中x的系数的绝对值成等差数列.（Ⅰ）求n的值及展开式中的常数项；（Ⅱ）求展开式系数最大的项.【答案】（Ⅰ），常数项为第三项为7（Ⅱ）系数最大的项为第三项为7【解析】（Ⅰ）先求写出二项式展开式的通项，求出前三项系数的绝对值，即可求出，从而求出常数项；（Ⅱ）先求所有项的系数加上绝对值，转化为正系数，假设第项系数的绝对值最大，则有，求得的值，即可可得系数最大的项．【详解】解：（Ⅰ）因为二项式展开式的通项为所以展开式前三项的系数的绝对值分别为，，.由题设知：，解得：或（舍去）.当时，当时，即常数项为第三项为7（Ⅱ）先求所有项的系数加上绝对值，转化为正系数，假设第项系数的绝对值最大，则有由，，，同理可得，系数绝对值最大项为和所以系数最大的项为第三项为7【点睛】本题主要考查等差数列的定义，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
第六章 计数原理 单元测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 的展开式中常数项是（ ）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】B【解析】求出展开式的通项，令x的指数为0即可求出.【详解】的展开式的通项为，令，即，则常数项为.故选：B.2.将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（ ）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】应用分步计数法求不同的投法种数.【详解】第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种，∴根据分步计数原理可知一共有（种）投法.故选：C.3.设，则的展开式中的系数不可能是（ ）A．10 B．40 C．50 D．80【答案】C【分析】得到展开式的通项公式，求出时的系数，选出答案.【详解】展开式的通项公式为，当时，，系数为1，当时，，系数为10，当时，，系数为40，当时，，系数为80，当时，，系数为80，故系数不可能是50.故选：C4.的展开式中的系数是（ ）A．126 B．125 C．96 D．83【答案】B【分析】运用二项式定理求解.【详解】由题意原式中的系数；故选：B.5.琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排六节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，若笛、琴一定安排，则不同的安排方式的种数为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先从除笛，琴外的8种乐器选出4种，6种乐器做全排列即可得出答案.【详解】从剩余的8种乐器中任选4种，有种，现在6种乐器知识排6次课，有种，所以不同的安排方式的种数为．选项D正确，选项ABC错误.故选：D.6.如图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（ ）种不同的涂色方法？A．260 B．180 C．240 D．120【答案】A【分析】由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，最多四种颜色，分类讨论，最后相加.【详解】由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：第一类，用4种颜色涂色，有种方法．第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有种．在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或B、D）涂同色，另两部分涂异色有种选法；3种颜色涂上去有种涂法，根据分步计数原理求得共种涂法．第三类，用两种颜色涂色．选颜色有种选法，A、C用一种颜色，B、D涂一种颜色，有种涂法，故共种涂法．∴共有涂色方法120+120+20＝260种，故选：A．7.的展开式中的系数为（ ）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】将代数式变形为，然后根据展开式的通项公式即得.【详解】，又的通项公式为，所以的展开式中的系数为.故选：.8.武术是中国的四大国粹之一，某武校上午开设文化课，下午开设武术课，某年级武术课有太极拳、形意拳、长拳、兵器四门，计划从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和形意拳上课三次，长拳和兵器上课两次，同样的课每天只上一次，则排课方式共有（ ）A．19840种 B．16000种 C．31360种 D．9920种【答案】D【分析】先确定从5天中选3天排太极拳的排法情况，再分五天中有天既有太极拳又有形意拳，五天中有天既有太极拳又有形意拳，五天中有天既有太极拳又有形意拳，三种情况讨论，从而可得出答案.【详解】先从5天中选3天排太极拳，有种，然后再从所选的3天中选一节排太极拳有种，所以太极拳有种排法，若五天中有天既有太极拳又有形意拳，则哪一天重复有种，再从另外不重复的2天中每天选1天排形意拳，有种，再从剩下的4节课中选2节排长拳，有种，则另外2节排兵器，所以有种，若五天中有天既有太极拳又有形意拳，则哪两天重复有种，再从另外不重复的2天中排形意拳，有种，再从剩下的4节课中抽2节课排长拳，有种，则另外2节排兵器，但排在同一天不合适，所以有种，所以共有种，若五天中有天既有太极拳又有形意拳，则剩下的4节课中选2节排长拳，有种，再去掉排同一天的种，所以有种，综上所述：共有种.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ）A．展开式共有6项 B．展开式中各项系数之和为1C．展开式中的常数项是240 D．展开式中的二项式系数之和为32【答案】BC【分析】根据二项式展开式的项数判断A；利用赋值法求得各项系数和可判断B；根据二项式通项公式求得常数项判断C；根据二项式系数和性质可判断D.【详解】因为二项式的次数为6，所以展开式共有7项，故A错误；令，则展开式中各项系数之和为，故B正确；的通项为，，令，得，故展开式中的常数项为，故C正确；的展开式中的二项式系数之和为，故D错误.故选：BC10.如图所示，各小矩形都全等，各条线段均表示道路.某销售公司王经理从单位处出发到达处和处两个市场调查了解销售情况，行走顺序可以是，也可以是，王经理选择了最近路径进行两个市场的调查工作.则王经理可以选择的最近不同路线共有（ ）A．31条 B．36条 C．210条 D．315条【答案】CD【分析】讨论长宽关系，利用分步乘法计数原理求解即可.【详解】设小矩形的长为，宽为，则从的最近路线为，从的最近路线为，若，则选择行走顺序为，先从，最近路线需要走3个长，2个宽，则不同路线有种，从，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有种，所以从的不同路线有种；若，则选择行走顺序为，先从，最近路线需要走2个长，4个宽，则不同路线有种，从，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有种，所以从的不同路线有种.综上，王经理可以选择的最近不同路线共有210条或315条.故选：CD.11.下列组合数公式中恒成立的有（ ）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根据组合数的公式可证正确，举特值可知不正确，利用两边展开式中的系数相等可证正确.【详解】对于，因为，，所以，即正确；对于，，故正确；对于，当时，左边，右边，等式不成立，故不正确；对于，因为，等式左边的系数为：，等式右边的系数为：，所以，故正确.故选：ABD【点睛】本题考查了组合数公式，考查了二项式展开式的通项公式的应用，属于中档题.12.关于及其展开式，下列说法正确的是（ ）A．该二项展开式中所有项系数和为0 B．该二项展开式中第七项为C．该二项展开式中不含有理项 D．当时，除以10的余数是1【答案】AD【分析】由二项式定理对选项逐一判断【详解】的展开式通项为对于A，令，得所有项系数和为0，A正确，对于B，第七项为，B错误，对于C，当为偶数时，该项为有理项，C错误，对于D，时，原式为，由二项式定理知展开式中只有最后一项无法被10整除，故原式除以10的余数是1，D正确，故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某动漫手办厂推出一款新产品“手办盲盒”，该厂为“套路”顾客，将6个“手办盲盒”装成一箱，且每箱均有2个稀有手办盲盒.若某同学从一箱中随机购买2个手办盲盒，则能买到稀有手办盲盒的概率为 ．（结果用最简分数表示）【答案】【分析】根据古典概型概率公式和对立事件的概率公式可求出结果.【详解】不能买到稀有手办盲盒的概率为，则能买到稀有手办盲盒的概率为.故答案为：.14.本不同的书平均分成堆，每堆本，共有 种分法.【答案】【分析】先分三次取书，每次取两本，则应是种方法，不妨记本书分别为、、、、、，分析可知、、出现种情况，其它组也重复出现种情况，由此可得出结果.运用平均分组问题解法解决即可。【详解】先分三次取书，每次取两本，则应是种方法，但是这里出现了重复.不妨记本书分别为、、、、、，若第一次取，第二次取，第三次，该种分法记为，则种分法中还有、、、、，种情况，而这种情况，仅是、、的顺序不同，因此只能作为一种分法，故满足题意的分法共有（种）.故答案为：.15.．某高中元旦晚会有一节目是现代舞，选了5位男生和4位女生参加，舞蹈老师在排练前，让他们男女间隔排列，则排列的方式有 种；【答案】.【分析】利用插空法求解.【详解】现将名男生全排列，然后再将名女生插入名男生之间，则共有种排列方法.故答案为：.【点睛】本题考查排列与组合，考查插空法的运用，属于基础题.16.(x2－x＋1)5的展开式中x3的系数为 【答案】－30.【分析】先将(x2－x＋1)5转化为[1＋(x2－x)]5，则展开式的通项公式Tr＋1＝ (x2－x)r，r＝0，1，2，3，4，5，再求得(x2－x)r展开式的通项公式得到 (－1)k·x2r－k，r＝0，1，2，3，4，5，k＝0，1，…，r，然后令2r－k＝3求解.【详解】.[1＋(x2－x)]5展开式的第r＋1项Tr＋1＝ (x2－x)r，r＝0，1，2，3，4，5，Tr＋1展开式的第k＋1项为·(x2)r－k(－x)k＝ (－1)k·x2r－k，r＝0，1，2，3，4，5，k＝0，1，…，r，当2r－k＝3，即或时是含x3的项，所以含x3项的系数为 (－1)＋(－1)3＝－20－10＝－30.【点睛】本题考查二项式定理展开式的项的系数求法，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知展开式各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中含有的项；（2）求展开式中二项式系数最大的项．【答案】（1）；（2），【分析】（1）先求出，再利用通项公式求展开式中含有的项；（2）展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项，即可求展开式中二项式系数最大的项；【详解】解：令得展开式各项系数和为，二项式系数为，由题意得：，解得，（1）通项公式为令，，． （2），展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项，，【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．18.证明：（n是偶数）.【答案】证明见解析【分析】由分别令和可得.【详解】，令，得，令，得，两式相加得，.19.（1）若的展开式的各二项式系数之和为64，求的展开式的第3项；（2）设的展开式的各项系数和为32，求的展开式的各奇数项系数的和．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据二项式系数之和得到，然后，利用展开式的通项公式，计算第3项即可求解.（2）因为展开式的各项系数和为32，令，得到，进而利用赋值法，分别令和，进而利用等式之间的关系进行相加，即可求解.【详解】（1）∵的展开式的二项式系数之和为64，∴，解得，∴的展开式的第3项为．（2）∵的展开式的各项系数和为32∴，解得，则，由二项式定理可得，故奇数项的系数为，令，则，令，则，故.的展开式的各奇数项系数的和为20.一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用捆绑法可求解；（2）利用特殊元素优先选择，即可求解；（3）利用正难则反，先算前3个节目中没有相声，即相声在后两个节目的排法，即可求解.【详解】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法；（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为；（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有．【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.21.设．（1）求的值．（2）求的值．【答案】（1）1；（2）．【分析】（1）采用“赋值法”，令可直接计算出的值；（2）采用“赋值法”，令可得的值，然后两式作差可求的值.【详解】（1）令，得①；（2）令，得②，①②得，∴．22.已知的展开式前三项中x的系数的绝对值成等差数列.（Ⅰ）求n的值及展开式中的常数项；（Ⅱ）求展开式系数最大的项.【答案】（Ⅰ），常数项为第三项为7（Ⅱ）系数最大的项为第三项为7【解析】（Ⅰ）先求写出二项式展开式的通项，求出前三项系数的绝对值，即可求出，从而求出常数项；（Ⅱ）先求所有项的系数加上绝对值，转化为正系数，假设第项系数的绝对值最大，则有，求得的值，即可可得系数最大的项．【详解】解：（Ⅰ）因为二项式展开式的通项为所以展开式前三项的系数的绝对值分别为，，.由题设知：，解得：或（舍去）.当时，当时，即常数项为第三项为7（Ⅱ）先求所有项的系数加上绝对值，转化为正系数，假设第项系数的绝对值最大，则有由，，，同理可得，系数绝对值最大项为和所以系数最大的项为第三项为7【点睛】本题主要考查等差数列的定义，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
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