数学选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式优秀学案

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1.结合古典概型，了解条件概率的概念，能计算简单随机事件的条件概率.
2.结合古典概型，了解条件概率与事件的独立性的关系.
3.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.
重点难点
教学重点：条件概率的概念及计算，概率的乘法公式及应用.
教学难点：对条件概率中“条件”的正确理解，条件概率与无条件概率的比较.
课前预习 自主梳理
知识点一 条件概率的概念
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
思考 P(A|B)，P(B)，P(AB)间存在怎样的等量关系？
答案 P(A|B)＝eq \f(P（AB）,P（A）)，其中P(B)>0.
知识点二 概率乘法公式
对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式．
知识点三 条件概率的性质
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝1.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
(3)设eq \x\t(B)和B互为对立事件，则P(eq \x\t(B)|A)＝1－P(B|A)．
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作P(A|B)．( )
对事件A，B，有P(B|A)＝P(A|B)．( )
若P(B|A)＝P(B)，则事件A，B相互独立．( )
P(B|A)相当于事件A发生的条件下，事件AB发生的概率．( )
若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.( )
事件A发生的条件下，事件B发生的概率，等于A，B同时发生的概率．( )
P(A∩B)= P(AB).( )
若事件A,B互斥,则P(B|A)=1.( )
P(AB)=P(A）.( )
【答案】（1）×（2）×（3）√（4）√（5）×（6）√（7）√（8）×（9）×
2.从中不放回地依次取个数，事件为“第一次取到的数是偶数”，事件为“第二次取到的数是偶数”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意缩小样本空间即可得到答案.
【详解】由题意，第一次取走一个偶数，因此还剩下4个奇数，3个偶数，所以.
故选：C.
3.已知、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列等式错误的是（ ）
A．B．
C．若、独立，则D．若、互斥，则
【答案】A
【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断.
【详解】由，
故选项A错误，选项B正确；
若、独立，则,
，故C正确；
若、互斥，则，
，D正确.
故选：A
4.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，根据题意结合条件概率运算求解.
【详解】记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，
则，
所以.
故选：A.
5.已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算作答.
【详解】因为，，所以.
故选：C
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件A与B同时发生(积事件AB)的概率的问题．当事件A与B相互独立时，有
．
如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？下面我们从具体问题入手．
问题1 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表7.1-1所示．
单位：人 表7.1-1
在班级里随机选择一人做代表．
（1）选到男生的概率是多少？
（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少?
随机选择一人做代表，则样本空间包含45个等可能的样本点．用A表示事件“选到团员”，B表示事件“选到男生”，根据表7.1-1中的数据可以得出，，，．
（1）根据古典概型知识可知，选到男生的概率
．
（2）“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为．此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数．根据古典概型知识可知，
．
环节二 观察分析，感知概念
问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭．随机选择一个家庭，那么
（1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？
（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？
观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间，且所有样本点是等可能的．用A表示事件“选择的家庭中有女孩”，B表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则
，．
（1）根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率
．
（2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为．此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB．根据古典概型知识可知，
．
在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是
．
这个结论对于一般的古典概型仍然成立．事实上，如图7.1-1所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间．此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即
．
因为
，
所以，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过来计算．
一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率(cnditinal prbability)．
环节三 抽象概括，形成概念
探究
在问题1和问题2中，都有．一般地，与不一定相等．如果与相等，那么事件A与B应满足什么条件?
直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于成立．
事实上，若事件A与B相互独立，即，且，则
；
反之，若，且，则
，
即事件A与B相互独立．
环节四 辨析理解 深化概念
因此，当时，当且仅当事件A与B相互独立时，有．
思考：对于任意两个事件A与B，如果已知与，如何计算呢?
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则
．
我们称上式为概率的乘法公式(multiplicatin frmula)．
例 1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．求：
（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率．
分析：如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题（1）就是积事件的概率，问题（2）就是条件概率．可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率；也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率．
解法1：设“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”．
（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB．从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间包含20个等可能的样本点，即
．
因为，所以
．
（2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，显然．利用条件概率公式，得
．
解法2：在缩小的样本空间A上求．已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道．因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为
．
又，利用乘法公式可得
．
从例1可知，求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间，先计算和，再利用条件概率公式求；另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求就是以A为样本空间计算AB的概率．
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则
（1）；
（2）如果B和C是两个互斥事件，则；
（3）设和B互为对立事件，则．
环节五 概念应用，巩固内化
例2 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张．他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗?
分析：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等．因为只有1张有奖，所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”，“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖”，利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率．
解：用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则，．
；；．
因为，所以中奖的概率与抽奖的次序无关．
事实上，在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关．
例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率．
分析：最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对，或者第1次按错但第2次按对”．因此，可以先把复杂事件用简单事件表示，再利用概率的性质求解．
解：（1）设“第次按对密码”，则事件“不超过2次就按对密码”可表示为
．
事件与事件互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得
．
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为．
（2）设“最后1位密码为偶数”，则
．
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为．
环节六 归纳总结,反思提升
1.教师引导学生回顾本节课的学习过程，并让学生回答以下问题：
(1)什么是条件概率？条件概率与积事件的概率有什么关系？
(2)“事件A,B同时发生”与“在事件A发生的条件 下，事件B发生”的区别，这两个事件的概率有什么关系？ 哪个概率较大？
(3)求条件概率一般有几种方法？
(4)条件概率有哪些性质？如何运用条件概率的性质 求较复杂事件的概率？
2.本节课学习的概念有哪些？
(1)条件概率：P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(nAB,nA).
(2)概率乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)·P(A|B)．
(3)条件概率的性质．
3.在解决问题时，用到了哪些数学思想？
（1）方法归纳：转化化归、对立统一．
（2）常见误区：分不清“在谁的条件下”，求“谁的概率”
【设计意图】通过问题设计，引导学生思考总结本节课 所学的内容与方法，提升学生的总结归纳能力.
环节七目标检测，作业布置
教科书第48页练习1，2题，习题7.1第1，2，3，6，9，10题
【设计意图】考查学生对条件概率概念的了解，以及对条件概率与积事件的区别与联系的了解.
备用练习
1.甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记，则和分别等于（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】根据条件概率公式直接求解即可
【详解】因为，
所以，,
故选：C
2.已知4个红球，2个白球，每次随机取1个球，不放回地取两次.在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接分析可得.
【详解】第一次取到红球后还剩3个红球，2个白球，故第二次取到白球的概率为.
故选：B
3.一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，求出和，进而由条件概率公式计算可得答案．
【详解】解：根据题意，事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，
则，，
则．
故选：A．
4.若，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥B．事件与对立
C．事件与相互独立D．事件与互斥又相互独立
【答案】C
【分析】由可判断.
【详解】∵，∴事件与相互独立.
故选：C.
5.甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件概率的概率公式求出条件概率可判断出答案.
【详解】解：因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以，故选项A正确；
因为，所以，故选项B正确；
因为，故选项C错误；
因为，所以，故选项D正确.
故选：C.
团员
非团员
合计
男生
16
9
25
女生
14
6
20
合计
30
15
45