高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征精品学案

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1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．
重点难点
重点：离散型随机变量的方差、标准差的概念及其应用.
难点：利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.
课前预习 自主梳理
知识点一 离散型随机变量的方差、标准差
正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值
设离散型随机变量X的分布列为
考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称
D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1)) (xi－E(X))2pi
为随机变量X的 ，有时也记为Var(X)，并称eq \r(D（X）)为随机变量X的 ，记为σ(X)．
知识点二 离散型随机变量方差的性质
(1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝ ．
(2)若X服从两点分布，则D(X)＝ ．
（3）D(c)＝0(其中c为常数)．
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( )
若a是常数，则D(a)＝0.( )
离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．( )
若a，b为常数，则eq \r(Dax＋b)＝aeq \r(Dx).( )
离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的.( )
2.（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．离散型随机变量的均值反映了取值的概率的平均值
B．离散型随机变量的方差反映了取值的平均水平
C．离散型随机变量的均值反映了取值的平均水平
D．离散型随机变量的方差反映了取值的概率的平均值
3.已知，则（ ）
A．2B．C．D．
4.随机变量的分布列是
若，则（ ）
A．1B．4C．D．
5.已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：
某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则的数学期望和方差分别是（ ）
A．B．
C．D．
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
引导语：离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时,直接使用分布列并不方便.
例如,要比较不同班级某次考试成绩,通常会比较平均成绩;要比较两名射箭运动员的射箭水平,一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.
因此,类似于研究一组数据的均值和方差,我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差,它们统称为随机变量的数字特征.
随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”．因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小．所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征．
探究1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名
同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表7.3-6和表7.3-7所示．
如何评价这两名同学的射击水平？
通过计算可得，，．
因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平．
追问1：平均水平相同，是不是这两名同学的射击水平就没有差距呢？我们还能不能从其他角度进一步考察这两名同学的射击水平呢？
评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度．图7.3-2和图7.3-3分别是X和Y的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定．
追问2：从图中你能发现什么？
追问3：上面的结论我们是通过观察概率分布图直观得到的，怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？
环节二 观察分析，感知概念
设离散型随机变量X的分布列如表7.3-8所示．
表7.3-8
考虑所有可能取值与的偏差的平方，，……，．因为取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量取值与其均值的偏离程度．我们称
为随机变量的方差（variance），有时也记为，并称为随机变量的标准差（standard deviatin），记为．
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散．
环节三 抽象概括，形成概念
现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性．由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为
，；
，．
因为（等价地，），所以随机变量的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定．
在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化．
．
问题3：方差的计算可以简化吗？
方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除了简化计算外，还有助于更好地理解其本质．
探究：离散型随机变量加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？
环节四 辨析理解 深化概念
离散型随机变量加上一个常数，仅仅使的值产生一个平移，不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即
而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即
一般地，可以证明下面的结论成立：
环节五 概念应用，巩固内化
例5 拋掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数的方差．
例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示．
（1）投资哪种股票的期望收益大？
（2）投资哪种股票的风险较高？
环节六 归纳总结,反思提升
1.离散型随机变量的方差是如何定义的？我们是如何得出随机变量方差公式的？
2.在计算离散型随机变量的方差时，我们如何选择公式简化运算？
3.如何利用方差和标准差分析、解决生活中的实际问题？
环节七目标检测，作业布置
完成教材：教材第70页练习第1〜3题.
备用练习
1.已知随机变量X的分布列如图所示，若Y＝3X＋2，则（ ）
A．B．2C．D．4
2.若随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
A．B．C．D．
3.某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示．
该公司雇员年薪的标准差约为（ ）
A．24.5（万元）B．25.5（万元）C．26.5（万元）D．27.5（万元）
4.已知随机变量的分布列如下表，则下列方差值最大的是（ ）
A．B．C．D．
5.若随机变量X的分布列为P(X＝m)＝，P(X＝n)＝a，若E(X)＝2，则D(X)的最小值等于（ ）
A．0B．1
C．4D．2
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
1
2
时间/分钟
10~20
20~30
30~40
40~50
甲的频率
0.1
0.4
0.2
0.3
乙的频率
0
0.3
0.6
0.1
表7.3-6
表7.3-7
X
6
7
8
9
10
Y
6
7
8
9
10
P
0.09
0.24
0.32
0.28
0.07
P
0.07
0.22
0.38
0.30
0.03
…
…
表7.3-9股票A收益的分布列
表7.3-10股票B收益的分布列
收益X/元
-1
0
2
收益Y/元
0
1
2
概率
0.1
0.3
0.6
概率
0.3
0.4
0.3
X
0
1
P
0
1
年薪（万元）
135
95
80
70
60
52
40
31
人数
1
1
2
1
3
4
1
12
0
1