人教A版 (2019)选择性必修第三册7.4 二项分布与超几何分布优秀导学案及答案

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1.理解n重伯努利试验的概念.
2.掌握二项分布.
3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题．
重点难点
1．重点：n重伯努利试验、二项分布及其数字特征.
2．难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布.
课前预习自主梳理
知识点一 n重伯努利试验及其特征
1．n重伯努利试验的概念
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
2．n重伯努利试验的共同特征
(1)同一个伯努利试验做n次．
(2)各次试验的结果．
思考在相同条件下，有放回地抽样试验是n重伯努利试验吗？

知识点二二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，n.
称随机变量X服从二项分布，记作．
知识点三二项分布的均值与方差
若X～B(n，p)，则E(X)＝，D(X)＝．
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p)．( )
在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响．( )
对于n重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同．( )
如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n重伯努利试验中这个事件恰好
发生k次的概率P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.( )
2.已知，且，则等于（）
A．5B．10C．15D．20
3.如果X～B(15，)，则使P(X＝k)最大的k值（）
A．3B．4
C．4或5D．3或4
4.已知随机变量服从二项分布，且，则（）
A．10B．15C．20D．30
5.一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为的事件是（）
A．没有白球B．至少有一个白球
C．至少有一个红球D．至多有一个白球
新课导学
学习探究
环节一创设情境，引入课题
刘备帐下的智囊团除诸葛亮以外还有9名谋士，假定对某事进行决策时，这9名谋士贡献正确意见的概率均为0.7,诸葛亮贡献正确意见的概率为0.85.现刘备为某事可行与否征求智囊团的意见.有以下两种方案：
(1)征求每名谋士的意见，并按多数人的意见作出决策.(2)采纳诸葛亮的意见.应按哪种方案作出决定？学完本节课，你就能够帮助刘备作出决定了.
前面我们学习了离散型随机变量的有关知识，本节将利用这些知识研究两类重要的概率模型——二项分布和超几何分布．
在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果．例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等．我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernulli trials）．
思考1：你能根据"重伯努利试验的定义，归纳总结它的特征吗？
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：
（1）同一个伯努利试验重复做n次；
（2）各次试验的结果相互独立．
“重复”意味着各次试验成功的概率相同．
环节二观察分析，感知概念
思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少？
（1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次．
（2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次．
（3）一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件．
在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，我们关注事件A发生的次数X．进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列．例如，对产品抽样检验，随机抽取n件，我们关心样本中不合格品数的概率分布列．
思考2：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同？
探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8．连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
用A：表示“第i次射击中靶”，用如图7.4-1的树状图表示试验的可能结果．
由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积．由概率的加法公式和乘法公式得
，
，
，
．
为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为，并且与哪两次中靶无关．因此，3次射击恰好2次中靶的概率为．同理可求中靶0次、1次、3次的概率．于是，中靶次数X的分布列为
，．
环节三抽象概括，形成概念
思考：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列．
3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为0011，0110，0101，1001，1010，1100．中靶次数X的分布列为
，．
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为
，
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binmial distributin），记作．
对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？
由二项式定理，容易得到．
【设计意图】通过对具体问题的分析，让学生掌握二项分布的概念及其特点，发展学生的数学抽象核心素养.
环节四辨析理解深化概念
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率；
（2）正面朝上出现的频率在内的概率．
例2 图7.4-2是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列．
分析：
环节五概念应用，巩固内化
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率？
归纳
一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
（2）确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则．
对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关心它的均值和方差等数字特征．因此，一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差也是我们关心的．
探究：假设随机变量X服从二项分布，那么X的均值和方差各是什么？
我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有次正面朝上．根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X，我们猜想．
我们不妨从简单开始，先考察n较小的情况．
（1）当时，X服从两点分布，分布列为
，．
均值和方差分别为
，．
（2）当时，X的分布列为
，，．
均值和方差分别为
，
．
一般地，可以证明：
如果，那么，．
下面我们对均值进行证明．
令，由，可得
．
令，则
．
由，可得
（注意到）
令，则
．
二项分布的应用非常广泛．例如，生产过程中的质量控制和抽样方案，都是以二项分布为基础的；参加某保险人群中发生保险事故的人数，试制药品治愈某种疾病的人数，感染某种病毒的家禽数等，都可以用二项分布来描述．
环节六归纳总结,反思提升
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
3.确定一个二项分布模型的步骤如下：
环节七目标检测，作业布置
完成教材：教材第76〜77页练习第1,2,3题.
备用练习
1.若，且，则（）
A．a的最小值为4B．的最小值为4
C．a的最大值为4D．的最大值为4
2.若X～B（20，0.3），则（）
A．E（X）＝3B．P（X≥1）＝1﹣0.320
C．D（X）＝4D．P（X＝10）
3.某人在19次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则（）
A．14或15B．15C．15或16D．16
4.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，且，则（）
A．6B．5C．4D．3
5.已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（）
A．B．
C．D．存在，使得成立

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