人教A版数学高二选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 单元解读 课件

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第七章 随机变量及其分布 单元解读 在本章，首先结合古典概型，采用归纳的方法建立条件概率的概念，导出乘法公式和全概率 公式，从而为计算复杂事件的概率提供有力工具.在此基础上，引入随机变量的概念，在更高的 观点下，利用数学工具，采用统一的方式系统、全面地研究离散型随机变量取值的概率分布及数 字特征.在函数的学习中，学习完函数的概念、表示、性质等一般知识后，通过学习毒函数、指 数函数、对数函数、三角函数等基本函数类，不仅加深了对一般函数概念的理解，而且为我们奠 定了建立适当的函数模型解决不同类型实际问题的数学基础.与函数的学习类似，本章我们通过 研究二项分布、超几何分布等重要离散型随机变量的分布，不仅进一步理解了离散型随机变量在 描述随机现象中的作用，而且对随机思想在解决实际问题中的作用也有了更深入的理解.本章最 后根据频率稳定到概率的原理，借助误差数据频率分布直方图，建立正态分布模型.一、总体设计 高中课程中的概率内容，按知识发生发展的逻辑顺序分为两章，以使学生整体把握概率研究 的一般路径，理解概率的思想方法.在必修中安排了如下内容：抽象概率的研究对象——随机现 象，分析随机试验的可能结果并用数学符号表示，建立样本空间的概念；利用集合工具或语言刻 画随机事件，理解事件的关系与运算的意义；建立古典概率模型，理解概率的意义；通过类比和 由特殊到一般的方法，研究概率的基本性质；从直观经验出发归纳两个事件独立的定义，利用性 质和独立性计算概率.7.1节是条件概率与全概率公式.条件概率是概率论的重要概念，由此导出的乘法公式彻底 解决了积事件概率的计算问题.全概率公式是概率论中一个基本而重要的公式，其基本思想是利 用一组两两互斥的事件，将一个复杂事件表示为两两互斥事件的和事件，再由概率的加法公式和 乘法公式求这个复杂事件的概率，它为计算某些事件的概率提供了有力的工具.在本节，教科书 创设不同的情境，让学生先直观认识条件概率的意义，通过列举试验的样本空间，发现条件概率 的本质是在缩小的样本空间上的概率，然后从特殊到一般，抽象出条件概率的定义.同样地，通 过具体实例，提炼出求复杂事件概率的基本思路，将其一般化得到全概率公式.利用全概率公式 计算概率，体现了分解与综合、化难为易的转化思想.7.2节是离散型随机变量及其分布列.现实世界中有各种各样的随机现象，它们的复杂性差 异很大.从随机试验的样本空间看，有的包含有限个样本点，有的包含可列无限个样本点，有的 包含不可列无限个样本点.定义于不同样本空间上的随机变量最基本的有离散型和连续型两类. 本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量及其分布列.教科书通过创设具体的随机试验情 境，引导学生归纳试验中的数值指标（变量）的共同特征，领悟随机变量是样本空间到实数集的 映射，用分布列描述随机变量取值的概率规律，理解利用随机变量可以更好地刻画随机现象.7.3节是离散型随机变量的数字特征.对随机变量的研究，除了了解其可能取值及取值的概 率外，在实际决策中，还需用一些“数值”刻画随机变量取值在某些方面的特征.例如，用均值 刻画随机变量取值的平均水平，用方差刻画随机变量取值相对于其均值的离散程度.本节的主要 内容为离散型随机变量均值和方差的意义、定义（计算公式）、性质及应用.教科书以比较两名 运动员射箭水平为问题情境，根据频率稳定到概率的原理，使学生认识到观测值的频率分布稳定 到分布列，观测值的平均数稳定到一个常数，由此引入离散型随机变量的均值的概念.这个过程 揭示了随机变量均值的意义——观测值平均数的稳定值.以比较两名同学射击水平的稳定性为任 务，类比一组数据方差的定义，以及随机变量均值的定义，引入随机变量方差的定义.本节例题 的设计侧重随机变量均值和方差在实际决策中的应用.7.4节是二项分布与超几何分布.教科书通过具体的问题情境，归纳概括出〃重伯努利试验 的特征，由特殊到一般推导试验成功次数的分布列，探究二项分布的均值和方差；通过比较放回 和不放回随机抽样中次品数的分布，抽象出超几何分布的特征，推导出超几何分布的均值，讨论 二项分布与超几何分布的联系与区别，并进行简单应用.7.5节是正态分布.正态分布是概率论中最重要的连续型概率模型，由于《标准（2017年 版）》不要求对一般的连续型随机变量及其分布进行讨论，因此教科书从一组误差数据出发，了 解连续型随机变量，借助误差频率直方图描述误差分布，建立正态分布模型.本节的主要内容为 正态密度曲线、正态密度函数、正态分布的特征、随机变量落入某个区域内的概率表示、正态分 布的均值和方差、3σ原则及简单应用.本章中重要概念的得到、概率公式的推导、概率模型的建立都是从特殊到一般、从具体到抽 象通过归纳得到的，这既是数学研究中经常使用的方法，也是数学教学应该遵循的原则.通过本 章的教学，要使学生体会利用研究对象的性质探寻解决问题的方法、将复杂问题化归为简单问题 的数学思想；掌握用随机变量及其分布列，将不同背景的概率问题转化为统一的数学问题，从而 利用各种数学工具系统、全面地研究随机现象规律的一般方法；通过构建二项分布、超几何分 布、正态分布概率模型解决实际问题，提高用概率的方法解决问题的能力.进一步提升学生的数 学抽象素养和逻辑推理素养.本章的重点为条件概率、乘法公式和全概率公式，事件的独立性与条件概率的关系；离散型 随机变量的概念、分布列和数字特征，二项分布，超几何分布，正态分布.本章的难点为条件概率意义的理解，全概率公式的应用；在实际问题中抽象模型的特征，识 别二项分布和超几何分布；描述服从正态分布的随机变量的概率分布.010302二、本章内容本章教学约需 10 课时，具体分配如下（仅供参考）：7.1条件概率与全概率公式 约2课时7.2离散型随机变量及其分布列 约1课时7.3 离散型随机变量的数字特征 约2课时7.4二项分布与超几何分布 约2课时7.5正态分布 约1课时 小结 约2课时三、本章教学时间约需14课时四、本章知识结构框图条件概率、乘法公式和全概率公式，事件的独立性与条件概率的关系﹔离散型随机变量的概念、分布列和数字特征，二项分布，超几何分布，正态分布.五、本章重点条件概率意义的理解，全概率公式的应用;在实际问题中抽象模型的特征，识别二项分布和超几何分布;描述服从正态分布的随机变量的概率分布.六、本章的难点结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率；了解条件概率与独立 性的关系，会用乘法公式和全概率公式计算概率.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征； 掌握二项分布及其数字特征，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助于频率直方图的几 何直观，了解正态分布的特征，了解正态分布的均值、方差及其含义.重点提升学生数学建模、数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.七、本章学业要求八、核心知识评价要求九、思想方法评价要求十、关键能力评价要求1．条件概率的概念条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系十一、本章知识梳理2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝______________________．我们称上式为概率的乘法公式．3．条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝____； (2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝_______________________；P(A)P(B|A)1P(B|A)＋P(C|A)1.全概率公式在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑2．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0，3．在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为______概率和______概率．先验后验1．随机变量随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件．定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有______的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．唯一2．离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用__________字母表示随机变量，用__________字母表示随机变量的取值.3.随机变量和函数的关系 随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集．小写英文大写英文1．离散型随机变量的分布列离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和(1)离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的____________，简称为________．概率分布列分布列(2)可以用表格来表示X的分布列，如下表还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图．1．离散型随机变量的均值或数学期望一般地，若离散型随机变量X的分布列为正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键2．两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝____；3．离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为________________＝ pi，i＝1，2，…，n. 一般地，下面的结论成立：E(aX＋b)＝________________．pP(X＝xi)aE(X)＋b1．离散型随机变量的方差、标准差正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值设离散型随机变量X的分布列为考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称2．几个常见的结论 (1)D(aX＋b)＝______________． (2)若X服从两点分布，则D(X)＝______________．a2D(X)p(1－p)1．n重伯努利试验的概念 只包含____个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立．两3．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(00为参数．显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称f(x)为______________，称它的图象为正态分布密度曲线，简称__________．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～ N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，________时，称随机变量X服从标准正态分布．正态密度函数正态曲线σ＝12．由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线________对称； (2)曲线在x＝μ处达到峰值____________； (3)当 无限增大时，曲线无限接近x轴．3．正态分布的期望与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝ ____，D(X)＝______．x＝μμσ24．正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__________； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_________； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈__________． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3 σ原则.0.682 70.954 50.997 3课 程 结 束