天津市部分区2023-2024学年高一下学期期末练习数学试题

这是一份天津市部分区2023-2024学年高一下学期期末练习数学试题，共7页。试卷主要包含了i是虚数单位，则复数，下列说法正确的是，某校要从高一某班5名班干部，在中，若，，，则等内容，欢迎下载使用。
Mike2024.7.8
第I卷（非选择题共40分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.i是虚数单位，则复数（ ）
A.B.C.D.
2.对于两个事件M，N，则事件表示的含义是（ ）
A.与同时发生B.与不能同时发生
C.与有且仅有一个发生D.与至少有一个发生
3.如图，是水平放置的的直观图，若，，则的面积是（ ）
A.B.C.1D.2
4.已知，，则（ ）
A.B.C.D.
5.下列说法正确的是（ ）
A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线
B.直四棱柱是长方体
C.将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥
D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
6.某校要从高一某班5名班干部（其中2名男生，3名女生）中抽调2人，主持国旗下讲话活动，则被抽调的班干部都是女生的概率为（ ）
A.B.C.D.
7.在中，若，，，则（ ）
A.B.C.或D.
8.已知m，n表示两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（ ）
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
9.在四边形中，，，且，则与的夹角为（ ）
A.B.C.D.
10.在正方体中，E，F，H分别是，，的中点，给出下列结论：
①平面；
②平面；
③直线EF与直线所成的角为；
④平面与底面所成二面角的大小为.
其中正确的结论有（ ）
A.①③B.②④C.②③④D.①②④
第II卷（非选择题 共80分）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分.
11.甲、乙两人破译同一个密码，已知他们能破译出该密码的概率分别为和，若甲、乙两人是否译出该密码相互独立，则甲、乙都译出该密码的概率为__________.
12.一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7，则这组数据的方差为__________.
注：一组数据，，…，的平均数为，它的方差为.
13.已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为__________.
14.已知正方体的外接球的表面积为，点为棱BC的中点，则三棱锥的体积为__________.
注：球的表面积，其中为球的半径
15.在中，，，为CD上一点，且满足，则的值为__________；若，，则的值为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16.（本题满分12分）
已知是虚数单位，复数，.
（I）当时，求；
（II）若z是纯虚数，求的值；
（III）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.
17.（本题满分12分）
抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品.
（1）求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
（I）从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的編号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率.
18.（本题满分12分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（I）求角的大小；
（II）若，，求的面积.
19.（本题满分12分）
高一年级进行消防知识竞赛，从所有答卷中随机抽取样本，将样本数据（成绩/分）按，，，，分成5组，并整理得到如下频率分布直方图.
（I）求a的值和众数；
（II）若成绩在内有30人，现从成绩在和两组中，采取分层随机抽样的方法抽取12人，则这两组分别抽取多少人？
（III）年级决定表彰成绩排名前25%的学生，已知某学生的成绩是86，请以此样本数据来估计该生能否得到表彰，并说明理由.
20.（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面.平面，且，，，为AD的中点.
（I）求证：平面；
（II）求证：平面平面；
（III）若，，求直线PA与平面所成的角的正弦值.
天津市部分区2023~2024学年度第二学期期末练习
高一年级数学参考答案
1.Α2.D3.C4.B5.D6.B7.A8.D9.C10.B
11.12.13.14.
15.，
16.（I）；（II）；（III）
（I）解：当时，.
所以，.
（II）解：
若复数是纯虚数，则
解得所以，.
（III）解：复数在复平面内对应的点位于第三象限，
则即
所以，实数的取值范围是.
17.（I）（II）
（I）解：由所给数据可知，一等品零件共有5个.
设“从8个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件，则.
所以，从8个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为.
（II）解：一等品零件的编号为，，，，.从这5个一等品零件中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果有：，，分共20种.
设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件，所有可能结果有：，共有8种.
所以，.
答：从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等概率为.
18.（I）；（II）
（I）解：由正弦定理得.
因为，，所以，，.
因为，中，，所以，.
（II）解：由，及余弦定理.
得，解得或（舍）
所以，.
19.（I），众数是75；（II）在和按照分层随机抽样分别抽取9人，3人；（III）估计该生能得到表彰.
（I）解：由频率分布直方图得：.
解得，众数是75.
（II）解：因为，成绩在一组人数为30人，其频率，
所以，样本容量为.
成绩在和的频数为90，30.
设在和按照分层随机抽样分别抽取人，人，按照分层随机抽样.
得，.
所以，在和按照分层随机抽样分别抽取9人，3人.
（III）解：成绩低于80分的频率为0.6，成绩低于90分的频率为0.9.
由题，表彰成绩排名前的学生，即被表彰的最低成绩为第75百分位数.
设第75百分位数为，则在中，，解得.
即第75百分位数为.
所以，估计该生能得到表彰.
20.（I）见解答；（II）见解答；（III）
（I）证明：因为，且，
所以，四边形为平行四边形，所以，.
因为，平面，平面，
所以，平面.
（II）证明：因为，，，，
所以，，.
所以，，即.
又因为，平面平面，平面，
平面平面，所以，平面.
又因为，平面，所以，平面平面.
（III）解：作，垂足为.
由（II）知，平面平面，
又平面平面平面，
所以，平面.
所以，PM为直线PA在平面上的射影，
所以，为直线AP与平面所成的角.
在中，，，，
所以，，即.
在中，.
在中，.
所以，直线AP与平面所成的角的正弦值为.