专题10 集合间的基本关系（原卷及解析版）

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知识点1：Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．
知识点2：子集、真子集、集合相等的相关概念
【知识点拨】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．
(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．
(4)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；任何集合都不是它本身的真子集．
(5)若A⊆B，且A≠B，则AB．
知识点3：空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
(2)规定：空集是任何集合的子集．
知识点4：集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．
(2)对于集合A，B，C，
①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；
②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．
(3)若A⊆B，A≠B，则AB．
【题型归纳目录】
题型1：确定集合的子集、真子集
题型2：集合间关系的判断
题型3：由集合间的关系求参数问题
【典型例题】
题型1：确定集合的子集、真子集
1．（2022·江西·高一阶段练习）设集合，且，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合，利用集合的子集个数公式可求得结果.
【详解】
因为，由题意可知，集合为的子集，
则满足条件的集合的个数为.
故选：B.
2．（2022·四川·双流中学高一阶段练习）已知集合则集合的子集的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知，使用列举法写出集合A中的元素，然后根据元素的个数是用公式即可求解出其子集个数.
【详解】
集合用列举法书写为，则子集个数为．
故选：A．
3．（2022·河南焦作·高一期中）集合的子集个数是（ ）
A．4B．3C．1D．与a的取值有关
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用根的判定式判断方程的解，即可得到集合含有2个元素，从而得到其子集数；
【详解】
解：∵中，
故关于x的一元二次方程有两个不等实根，
故集合一定有2个元素，
其子集有个．
故选：A.
4．（2022·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）已知集合A={1，2，3，4，5}，集合B={1，2}，若集合C满足：，则集合C的个数为（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合间的关系写出所有满足条件的集合C可得出答案.
【详解】
根据，集合可写成如下形式：
所以满足条件的集合C的个数为7个，选项B正确.
故选：B.
5．（2022·湖南·师大附中梅溪湖中学高一阶段练习）集合，，则集合的真子集的个数为（ ）
A．8B．6C．7D．15
【答案】C
【解析】
【分析】
先写出集合，再按照真子集的公式求解即可.
【详解】
，集合的真子集的个数为个.
故选：C.
19．（2022·湖南·高一课时练习）设是由6的全体正约数组成的集合，写出的所有子集.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
首先写出的正约数，即可得到集合，再用列举法列出的所有子集；
【详解】
解：因为的正约数有、、、，所以，所以的子集有：、、、、、、、、、、、、、、、共16个；
20．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中高一期中）已知集合，且．
(1)求实数的值；
(2)写出集合A的所有子集．
【答案】(1)1
(2)，，，，，，，
【解析】
【分析】
（1）分类讨论哪个元素为3，并检验是否满足集合中元素的互异性；（2）结合第一问求出的集合A，写出所有子集.
(1)
∵，
当时，，此时，由于集合中的元素不能重复，故舍去
当时，或，当时，符合要求；当时，，此时集合A中有两个0，故舍去，综上：
(2)
由（1）知，，故A的所有子集为：，，，，，，，
题型2：集合间关系的判断
1．（2022·云南德宏·高一期末）下列四个选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合与集合的关系及元素与集合的关系判断即可；
【详解】
解：对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：D
2．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）已知集合，则正确表示集合U，，之间关系的维恩图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得集合，判断出的关系，由此确定正确选项.
【详解】
∵，，
∴，故A正确，BCD错误.
故选：A.
3．（2022·北京八中高一期中）集合，，则M、P之间的关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
用列举法表示集合、，即可判断两集合的关系；
【详解】
解：因为，
，
所以，
故选：C
4．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期中）已知，，若，则的值为( )
A．1或－1B．0或1或－1C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
A＝{－1，1}，若，则＝±1，据此即可求解﹒
【详解】
，，
若，则＝1或－1，故a＝1或－1．
故选：A．
5．（2022·青海西宁·高一期末）设，，，若，则（ ）.
A．B．C．.0D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两个集合相等，元素相同，得到，进而求出答案.
【详解】
由题意得：，所以
故选：A
6．（2022·湖南·怀化五中高一期中）①，②，③，④，其中正确的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据元素与集合的关系、集合与集合的关系即可判断.
【详解】
正确；
正确；
不正确，左边是数集，右边是点集；
不正确，左边是点集，右边是点集，但点不相同.
故正确的有①②，共2个.
故选：B.
7．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期中）下列各式中关系符号运用正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.
【详解】
根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；
根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；
根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.
故选：C.
8．（2022·山东·菏泽一中高一阶段练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
【详解】
①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；
③空集是任意集合的子集，故，正确；
④空集没有任何元素，故，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∴②③正确.
故选：B.
题型3：由集合间的关系求参数问题
1．（2022·江苏镇江·高一期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是__.
【答案】
【解析】
【分析】
由可知集合中的元素都在集合中，即把集合中的元素带入集合应该满足，从而得到的取值范围.
【详解】
解：，且，
，解得，
故的取值范围是.
故答案为：.
2．（2022·四川·攀枝花七中高一阶段练习）已知集合，，若，求实数的取值范围_______.
【答案】a＜3
【解析】
【分析】
根据集合的包含关系画出数轴即可计算.
【详解】
∵，
∴A和C如图：
∴a＜3.
故答案为：a＜3.
3．（2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
结合数轴图与集合包含关系，观察即可得到参数的范围.
【详解】
在数轴上表示出集合A，B，
由于，如图所示，则.
4．（2022·上海市晋元高级中学高一期中）已知集合，，且，则实数的取值集合为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
讨论和两种情况，根据包含关系得出实数的取值集合.
【详解】
当时，，满足；
当时，，因为，所以或，解得或
即实数的取值集合为.
故答案为：
5．（2022·四川自贡·高一期中）已知集合A={|2＜＜+1，B=＜＜5，求满足AB的实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合之间的关系，列出相应的不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】
由题意，
集合，
因为，若，则，解得，符合题意；
若，则，解得，
所求实数的取值范围为.
6．（2022·江西省铜鼓中学高一开学考试）设集合，，且．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求集合A的子集的个数．
【答案】(1){或}
(2)
【解析】
【分析】
（1）按照集合是空集和不是空集分类讨论求解；
（2）确定集合中元素（个数），然后可得子集个数．
(1)
当即时，，符合题意；
当时，有，解得．
综上实数的取值范围是或；
(2)
当时，，所以集合的子集个数为个．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知集合，，则满足的集合C的个数为（ ）
A．4B．7C．8D．15
【答案】B
【解析】
【分析】
由题知，，进而根据集合关系列举即可得答案.
【详解】
解：由题知，,
所以满足的集合有，
故集合C的个数为7个.
故选：B
2．（2022·安徽·高一期中）已知集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．8B．16C．32D．64
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出，再求出子集的个数.
【详解】
∵，∴，解得，∵，∴，则集合的子集个数为.
故选：B.
3．（2022·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（ ）
A．②④⑤B．②③④⑤C．②④D．①⑤
【答案】A
【解析】
【分析】
根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.
【详解】
中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；
空集是任一集合的子集，所以正确；
是的子集，所以错误；
任何集合是其本身的子集，所以正确；
a是的元素，所以正确.
故选：A.
4．（2022·安徽宣城·高一期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】
当时，即当时，，合乎题意；
当时，即当时，由可得，解得，此时.
综上所述，.
故选：A.
5．（2022·上海交大附中高一期中）已知复数a、b满足，集合，则的值为（ ）
A．2B．1C．0D．-1
【答案】D
【解析】
【分析】
由集合的性质可知，或，且，进而求解即可.
【详解】
由题意，或，
所以，
故选：D.
6．（2022·天津市实验中学滨海学校高一阶段练习）设集合，，则两集合间的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
变形，，分析比较即可得解.
【详解】
由题意可
即为的奇数倍构成的集合，
又，
即为的整数倍构成的集合，，即
故选：B
7．（2022·全国·高一课时练习）同时满足：①，②，则的非空集合M有（ ）
A．6个B．7个
C．15个D．16个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给条件确定M中元素，再根据M是所给集合的子集，得到所有的M即可求解.
【详解】
时，；时，；时，；时，；，，
∴非空集合M为，，，，，，，共7个．
故选：B
8．（2019·广西·南宁市第十九中学高一期中）已知A＝{x|3a﹣1＜x＜2a+3}，B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，A⊆B，则a的取值范围为（ ）
A．{a|a≤}B．{a|a≤或a≥0}
C．{a|a≥4}D．{a|a≤0或a≥4}
【答案】C
【解析】
【分析】
分别讨论A是否为空集，结合集合的关系，可得a的不等式组，解不等式可得所求范围．
【详解】
由题意知，
当时，，解得，满足题意；
当时，a＜4，由A⊆B，即有，解得，即无解；
综上，．
故选：C．
二、多选题
9．（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系判断即可.
【详解】
由空集的定义知：，A正确.
,B正确.
，C错误.
,D正确.
故选：ABD.
10．（2022·广东·高一期末）以下满足的集合A有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
直接写出符合题意要求的所有集合A，再去选项中选正确答案.
【详解】
由题意可知，集合A包含集合，同时又是集合的真子集，
则所有符合条件的集合A为,,.
选项BD均不符合要求，排除.
故选：AC
11．（2022·浙江·金华市曙光学校高一期中）在上定义运算，若关于的不等式的解集是集合的子集，则整数的取值可以是（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据给定的运算列出关于x的一元二次不等式，再分情况求出不等式的解集即可讨论作答.
【详解】
由在上定义的运算：得，，即，
当a=1时，不等式的解集为空集，而，则a=1，
当a>1时，不等式的解集为{x|1