2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第06练 函数的概念与表示（精练：基础+重难点）（含解析）

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1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
一、填空题
1．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数，所以.
故答案为：1
2．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ．
【答案】 /
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.
【详解】由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
3．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或， 解得 .
【详解】解：若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
故答案为：0（答案不唯一），1
4．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
5．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则 .
【答案】2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】，故，
故答案为：2.
【A级 基础巩固练】
06讲A组2.0
一、单选题
1．（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据具体函数定义域的要求列不等式组求解.
【详解】要使函数有意义，
必须满足，解得，
函数的定义域为.
故选；B.
2．（23-24高二下·河北承德·开学考试）下列函数中，表示同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
从函数的定义域和对应法则两个方面是否都相同考查函数即得.
【详解】
对于A项，，与的对应法则不同，故不是同一函数，A项错误；
对于B项，的定义域为的定义域为，
故两函数定义域不同，故与不是同一函数，B项错误；
对于C项，与的定义域相同，对应法则也相同，C项正确；
对于项，， 与的对应法则不同，故不是同一函数，D项错误.
故选:C.
3．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数定义域和值域的求法可分别确定集合，由交集定义可得结果.
【详解】由得：或，即；
，，即，
.
故选：B.
4．（23-24高一下·江西南昌·期中）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义列出不等式解得即可.
【详解】根据题意得，解得
即.
故选：D．
5．（23-24高一下·广东广州·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】结合二次函数性质判断函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答.
【详解】因为在上单调递增，
在上单调递增，
且连续不断，可知函数在R上单调递增，
则，可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
6．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由求解即可
【详解】函数的定义域为，
由，得，
则函数的定义域为
故选：C
7．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）函数满足，则函数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由可得，运用解方程组法求解析式即可.
【详解】因为①，所以②，
得，即.
故选：B.
8．（2024·江苏南通·二模）已知对于任意，都有，且，则（ ）
A．4B．8C．64D．256
【答案】D
【分析】由题意有，得，求值即可.
【详解】由，当时，有，
由，则有.
故选：D
9．（2024高一·全国·专题练习）已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】利用抽象函数定义域的解法即可得解.
【分析】因为的定义域为，即，则，
所以，所以的定义域为.
故选：C.
10．（2024·江西南昌·二模）已知，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别在条件下化简不等式求其解可得结论.
【详解】当时，不等式可化为，
所以，可得；
当时，不等式可化为，
所以，且，
所以，
所以不等式的解集是，
故选：B.
11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用换元法令，代入运算求解即可.
【详解】令，则，由于，则，
可得，
所以.
故选：B.
二、多选题
12．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x
B．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
C．f(x)＝，g(x)＝sin x
D．f(x)＝|x|，g(x)＝
【答案】BD
【解析】略
13．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，若存在最小值，则实数a的可能取值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】CD
【分析】运用指数函数的单调性，求得的的值域，再由对数函数的单调性，讨论对称轴和区间的关系，可得的值域，由题意列出不等式，求解即可得到所求范围．
【详解】函数函数，
当时，的范围是；
时，，，
由题意存在最小值，，
故选：CD．
14．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．的值域为
B．的值域为
C．若函数在上单调递减，则的取值范围为
D．若在上单调递减，则的取值范围为
【答案】AC
【分析】由已知结合二次函数及分段函数的值域及单调性依次判断各选项即可得出结果.
【详解】当时，的值域为，当时，的值域不为，A正确，B错误.
若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确.
若在上单调递减，则的取值范围为D错误.
故选：AC
三、填空题
15．（23-24高二下·广东汕头·阶段练习）函数的定义域为
【答案】且
【分析】根据函数解析式，建立不等式求解即可.
【详解】要使函数有意义，则需且，
解得且，
所以函数定义域且.
故答案为：且
16．（2024高三·全国·专题练习）设函数f(x)＝若f(2)＝4，则实数a的取值范围是 ．
【答案】(－∞，2]
【详解】
因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)
17．（2024高三·全国·专题练习）若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(x－1)的定义域为 ．
【答案】[1，3]
【详解】
∵ f(x)的定义域为[0，2]，∴ 0≤x－1≤2，即1≤x≤3，∴ 函数f(x－1)的定义域为[1，3].
18．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】借助函数定义域的定义计算即可得.
【详解】由函数的定义域为，则有，
令，解得.
故答案为：.
19．（2024高三·上海·专题练习）若函数的值域为，则实数a的值为 ．
【答案】2
【分析】分离常数得出，根据，即可得出该函数值域为，从而得出a的值．
【详解】由，
∵，∴，
又该函数的值域为，
∴．
故答案为：2．
20．（2024高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则的范围为 .
【答案】
【分析】
将条件转化为不等式的任意性问题，然后取特殊值得到的取值范围，再验证该范围下的都符合条件.
【详解】由于函数的定义域是，
故条件即为，这等价于对任意实数成立.
若对任意实数成立，取知，即；
若，则对任意实数都有，
故对任意实数成立.
综上，的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
21．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数.
(1)求，的值；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用函数对应关系代入求解即可；
（2）令，讨论的范围解方程求解得答案.
【详解】（1）因为，且，所以.
因为，所以.
（2）依题意，令，
若，则，解得，
与矛盾，舍去；
若，则，解得，
故，解得，所以实数的值为；
综上所述：的值为.
22．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）已知二次函数满足．
(1)求的解析式．
(2)求在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，则，利用换元法代入可求得的解析式；
（2）由（1）可得函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案.
【详解】（1）令，则，
，∴.
（2）因为，
所以的图象对称轴为，在上递减，在上递增，
∴，，
即的值域为.
23．（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数满足．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用换元法进行求解即可；
（2）根据二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）令，得，
则，
故的解析式为．
（2）由题意得，
函数的对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，
故在上的值域为．
24．（23-24高一上·四川宜宾·期中）已知
(1)求，的值；
(2)求满足的实数a的值；
(3)求的定义域和值域．
【答案】(1)，
(2)
(3)定义域为，值域为
【分析】根据自变量所属范围，求分段函数求函数值；根据函数值，求自变量值；确定分段函数的定义域值域.
【详解】（1），
.
（2）由或，解得.
（3）
的定义域为，值域为
25．（22-23高一上·吉林长春·阶段练习）已知函数在上有定义，且满足.
(1)求函数的解析式；
(2)若，对均有成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)换元法和配凑法可求函数解析式.
(2)依题意，，设，则在区间内恒成立，用一次函数性质求解.
【详解】（1），
∴，
又∵，
∴.
（2），对均有成立，
在上单调递增，，
依题意有对均有成立，
即在时恒成立，
∴，解得，∴实数m的取值范围是.
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.
【详解】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为，
所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；
对于B中，函数的定义域为R，的定义域为，
所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；
对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为，
所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；
对于D中，函数与的定义域均为R，
可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确；
故选：D.
2．（2024高三·全国·专题练习）函数f(x)＝的定义域为（ ）
A．(－∞，3]B．(1，＋∞)
C．(1，3]D．[3，＋∞)
【答案】C
【详解】
解析：依题意lg (x－1)＋1≥0，即lg (x－1)≥－1，∴解得1