2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第10练 指数与指数函数（精练：基础+重难点）（含解析）

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第10练 指数与指数函数（精练：基础+重难点）（含解析），共31页。

1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.
2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
一、单选题
1．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
2．（2022·浙江·高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，，即，所以．
故选：C.
3．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）设．若函数为指数函数，且，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．且
【答案】A
【分析】
借助指数函数性质分类讨论即可得.
【详解】由函数为指数函数，故且，
当时，函数单调递增，有，不符合题意，故舍去；
当时，函数单调递减，有，符合题意，故正确.
故选：A.
2．（2024·河北保定·二模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质，结合不等式的性质可得或，即可化简集合，由并运算即可求解.
【详解】由于，所以或，
故，
所以.
故选：C.
3．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知，则等于（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】A
【分析】
给平方后再开方求解即可.
【详解】，所以.
故选：A.
4．（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）函数（，且）的图象可能是（ ）.
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用指数函数的图象和性质以及图象的平移变换进行判断.
【详解】因为函数（，且），
当时，是增函数，并且恒过定点，
又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确；
当时，是减函数，并且恒过定点，
又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误.
故选：C.
5．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】利用指数函数的性质求解.
【详解】∵，∴恒过定点，
∴，，∴，其图象不经过第四象限，
故选：D.
6．（23-24高三下·天津南开·阶段练习）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】对同时次方后比较大小，即可判断大小；对，根据，即可比较大小.
【详解】由题可得，则，故；
又，故，综上所述：.
故选：A.
7．（2024·全国·模拟预测）已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在区间恒成立，只需要即可，再根据指数函数的单调性求出最大值即可得解.
【详解】由解析式易知：单调递增，
当时，恒成立，则，得．
故选：B．
8．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用指数函数和幂函数的单调性比较大小.
【详解】∵指数函数在上单调递增，
且，
∴，即.
∵幂函数在上单调递增，且，
∴，即，
∴.
故选：A.
9．（2024·山东·二模）已知，，若是的充分不必要条件，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先化简命题，依题意可得当时恒成立，参变分离可得在上恒成立，结合函数的单调性计算可得.
【详解】命题，即，
因为是的充分不必要条件，
显然当时满足，
所以当时恒成立，
则在上恒成立，
又函数在上单调递增，且，
所以.
故选：A
10．（23-24高三下·山东济南·开学考试）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可得到选项.
【详解】由函数，，令，解得，
则其定义域为，关于原点对称，
所以函数在定义内为偶函数，排除C，D选项，因为，观察选项可知，选A.
故选：A
11．（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得且，求出a，即可求解.
【详解】因为函数图象过原点，所以，
得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交，
所以，则，
所以.
故选：C
12．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可.
【详解】，易知在单调递减，
在单调递减，且在处连续，故在R上单调递减，
由，则，解得,
故不等式的解集为.
故选：A
13．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：月）的关系式为（，且），图象如图所示．则下列结论正确的个数为（ ）
①浮萍每个月增长的面积都相等；
②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；
③浮萍面积每个月的增长率均为50%；
④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是，，，则．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】由已知可得出，计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.
【详解】由已知可得，则.
对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为（平方米），
浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为（平方米），①错；
对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为（平方米），②对；
对于③，浮萍蔓延第至个月的增长率为，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是，③错；
对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是，，，
则，，，所以，④错.
故选：B.
14．（2024·江苏宿迁·一模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解法一：判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可.
解法二：特值排除法.
【详解】解法一：函数的定义域为R，函数分别是R上的增函数和减函数，
因此函数是R上的增函数，由，得，解得，
所以原不等式的解集是.
故选：A
解法二：特值当时，，排除B，D，当时，，排除C，
对A：当时，，因为函数是R上的增函数，所以，故A成立.
故选A．
15．（2024·福建福州·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，
所以在区间单调递减，所以，解得．
故选：D．
二、多选题
16．（2022高一上·全国·专题练习）下列根式与分数指数幕的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】
根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案.
【详解】
对A：，错；
对B：，错；
对C：，对；
对D：，对.
故选：CD
17．（23-24高一下·辽宁阜新·阶段练习）已知函数，，则，满足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据给定条件，结合指数运算、指数函数单调性，逐项计算判断得解.
【详解】函数，，
对于A，，，A正确；
对于B，，，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，则，D错误.
故选：AB
18．（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）设函数，则（ ）
A．是偶函数B．是周期函数
C．有最大值D．是增函数
【答案】ABC
【分析】根据奇偶性的定义可判定A，根据三角函数的周期性可判定B，根据复合函数的单调性可判定C、D.
【详解】对于A，因为的定义域为，
又，所以是偶函数，A选项正确．
对于B，易知，
所以是的一个周期，B选项正确．
对于C，易知，所以，所以有最大值，C选项正确．
对于D，因为在区间单调递减，在上单调递增，
所以在区间单调递减，D选项错误．
故选：ABC
三、填空题
19．（2023高三·全国·专题练习）计算与化简：
（1） ；
（2） ．（，）
【答案】
【分析】（1）根据指数幂的运算法则直接计算即可；
（2）根据指数幂的运算法则直接计算即可；
【详解】（1）原式．
（2）原式．
故答案为：；.
20．（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域是 ．
【答案】．
【分析】根据指数函数的单调性、二次根式的性质进行求解即可.
【详解】函数，
，，
，，
函数的定义域是，
故答案为：
21．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 .
【答案】16
【分析】求出的范围，根据复合函数的单调性求解.
【详解】由，而，
因为单调递增，所以，则的最大值是16.
故答案为：16
22．（23-24高三上·黑龙江绥化·阶段练习）当时，函数的值域为 .
【答案】
【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得.
【详解】因为，
令，由于，则，
则原函数可化为，，
当时，取最小值，当时，取最大值，
故，即.
故答案为：
23．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）设函数且在区间单调递减，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】对参数分类讨论，根据复合函数的单调性，即可求得参数范围.
【详解】若，在单调递增，
要满足题意，则要在单调递减，故，即；
若，在单调递减，
要满足题意，则要在单调递增，故，即，不满足，故舍去；
综上所述：的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
24．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，，设，则，借助奇函数性质可求得解析式；
（2）根据函数的解析式，分，，三种情况讨论，解出.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，
所以，当时，，
设，则，
∴，
∵，
∴，
则.
（2）当时，，，
，，，即，
当时，，满足不等式．
当时，，恒成立，
满足不等式，即，
综上所述，不等式的解集为：．
25．（22-23高一上·云南玉溪·阶段练习）已知函数．
(1)若，解关于的方程.
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据代入求出的值，即可得到函数解析式，再解方程即可；
（2）依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再利用换元法及二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）由题意，，则，
由可整理得，则可得或，
或；
（2）若在上恒成立，则在上恒成立，整理得在上恒成立，
令，由，则，
又令，，所以是上的减函数，
所以，
故实数的取值范围为.
26．（23-24高一上·全国·单元测试）已知函数，且.
(1)求的解析式；
(2)当时，求的值域．
【答案】(1).
(2)
【分析】（1）利用已知条件求出的值，代入解析式中即可；
（2）利用换元法转化为二次函数求出函数值域即可.
【详解】（1）由函数，，得，
所以.
（2）设，因为，所以，
所以，，
由的对称轴为，如图所示：

由图可知：
当，即时，有大值，
当，即时，有最小值，
故的值域是.
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（2024·天津·一模）已知实数a，b，c满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件，得到，利用函数的单调性，即可得到，而，即可求出结果.
【详解】因为，得到，又，函数是减函数，
所以，又，得到，
所以，
故选：A.
2．（2024·四川·一模）函数的图象大致是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到函数为偶函数，排除C，D，再结合，利用的函数值的符号，即可求解.
【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
且，
可知为偶函数，其函数的图象关于轴对称，可排除C，D；
当时，可得，
若时，，则；
若时，可得，则，此时B不符题意.
故选：A
3．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．1C．D．0
【答案】D
【分析】根据指数型复合函数的单调性确定函数在区间 上单调递减成立的充要条件，从而可得其成立的一个充分不必要条件.
【详解】由于函数在上单调递减，
函数在区间上单调递减，
所以函数在上单调递增，
则，解得，
所以函数在区间上单调递减的充要条件为，
那么其成立的一个充分不必要条件可以是.
故选：D.
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，即可判断为奇函数，又，可得图象的对称中心为，则，再判断的单调性，不等式，即，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】设，，则，所以为奇函数．
又，
则的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的，
所以图象的对称中心为，所以．
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，则在上单调递增，
因为，
所以，所以，解得，
故满足的的取值范围为．
故选：B
5．（23-24高一上·广东东莞·期末）某企业从2011年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业2011年至2021年的年产值（万元）.为了描述该企业年产值（万元）与新政策实施年数（年）的关系，现有以下三种函数模型：，（，且），（，且），选出你认为最符合实际的函数模型，预测该企业2024年的年产值约为（ ）（附：）
A．924万元B．976万元C．1109万元D．1231万元
【答案】C
【分析】观察表格中数据，越往后的年份的产值比上一年增加的越多，由此可结合函数的性质确定最符合实际的函数模型，再代入数值计算，即得答案.
【详解】由表中数据可知该企业年产值（万元）随着新政策实施年数（年）的增加而增加，
结合2012年比2011年增加31万元，2021年比2020年增加82万元，
可知越往后的年份比上一年增加的产值越多，即y的增长速度越来越快，
结合三种函数模型：，（，且），（，且），
可知（，且）为最符合实际的函数模型；
则，故，
故预测该企业2024年的年产值约为，则（万元），
即预测该企业2024年的年产值约为1109万元，
故选：C
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据表中数据分析数据的增加趋势，即函数值的增加速度越来越快，从而确定最符合实际的函数模型，还要注意选择接近于2024年的产值去计算，更为精确一些.
6．（2023·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数在上的最大值为，则（）
A．或3B．或2C．3D．2
【答案】A
【分析】根据奇偶性求得，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可．
【详解】因为是奇函数，所以，所以．
即，则，解得，
经检验符合题意，所以，
当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以， ，整理得，
解得或(舍去)，所以；
当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以，，整理得，
解得或(舍去)，所以，
综上，或3．
故选：A．
二、多选题
7．（23-24高三上·河南·阶段练习）设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为B．的单调递增区间为
C．的最小值为3D．的图象关于对称
【答案】ABD
【分析】根据函数定义域判断A，根据复合函数单调性以及二次函数单调性求单调区间和函数的最小值即可判断B、C，根据函数的对称性判断D.
【详解】易知函数的定义域为，选项A正确；
由与复合，而为单调递增函数，
所以函数的单调递减区间为单调递减区间，
函数的单调递增区间为单调递增区间，选项B正确；
由选项B可知，故选项C错误；
因为，所以的图象关于对称.故选项D正确.
故选：ABD.
8．（2023·云南曲靖·模拟预测）若实数满足，则（ ）
A．且B．的最大值为
C．的最小值为7D．
【答案】ABD
【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.
【详解】由，可得，所以且，故A正确；
由，可得，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9，故C错误；
因为，则，
所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
9．（2023高三·全国·专题练习）若，则 .
【答案】
【分析】根据指数幂的定义及运算性质、指数与对数间的关系（当，时，）运算即可得解.
【详解】解：因为，
所以，则，
所以.
故答案为：.
10．（2023高三·全国·专题练习）函数的值域为 .
【答案】
【分析】利用换元法结合二次函数求值域即可.
【详解】设，则，
换元得，
显然当时，函数取到最小值，
所以函数的值域为．
故答案为：.
11．（22-23高二下·江西南昌·期末）已知函数（，）恒过定点，则函数的图像不经过第 象限.
【答案】二
【分析】由指数函数的性质可知恒过定点，再由指数函数的性质可知不过第二象限.
【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点，
即，此时，
由于由向下平移五个单位得到，且过点，
由此可知不过第二象限，
故答案为：二.
12．（2023高三·全国·专题练习）已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】令，将原指数度等式的问题可转化成二次函数的问题进行处理.
【详解】，令，由于，根据指数函数性质，，
于是问题转化为：时，恒成立，下只需求时的最大值.
根据二次函数性质可知，当时递减，上递增，而端点和相比距离对称轴更远，
故，于是.
故答案为：
13．（22-23高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数在区间上的值域为，则实数的值为 .
【答案】3
【分析】根据图象的变换得到函数，然后根据函数图象求即可.
【详解】

作出函数的图象如图，函数在上单减，
在上为增函数，又，，，
若函数在区间上的值域为，则实数.
故答案为：3.
四、解答题
14．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）设为奇函数，且当时，.
(1)求的解析式；
(2)求时，函数的单调区间及值域
【答案】(1)
(2)递增区间为，递减区间为，值域为
【分析】（1）设，则，求得，结合为奇函数，即可求解；
（2）根据题意，得到，令，结合二次函数的性质，求得函数的单调区间和最大值，再由复合函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：因为当时，
设，则，可得，
又因为为奇函数，可得，
所以函数的解析式为.
（2）解：由当时，，则，
令，可得，
又由的图象对应的抛物线的开口向下，且对称轴为，
所以在单调递增，在单调递减，且，
因为函数为定义域的递增函数，
根据复合函数的性质，可得在单调递增，在单调递减，
所以，
又由，可得，
所以函数的的值域为.
15．（23-24高三上·湖北·期中）已知是定义域为的奇函数.
(1)函数，，求的最小值.
(2)是否存在，使得对恒成立，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）首先根据函数的奇偶性求解参数的值，然后通过换元将函数转化为二次函数并求解最小值；
（2）利用分参法，将不等式化简整理成，通过求解的最小值进而求解参数的取值范围.
【详解】（1）由为上的奇函数，知，得；
代入函数得：，
由于，故时，为奇函数，满足条件，
，
令，易知在上单调递增，
故当时，取得最小值，，
当时，取得最大值，.∴，
则上式转化为，
∴时，，此时；
（2），，
代入不等式得，
即得：，
∵时，，
∴，
又，
当，即时，取得最小值，
而，
∴.
16．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数.
(1)若，求在上的值域；
(2)若函数恰有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设，判断函数在上的单调性，即可求值域；
（2）由题意可得有两个根，利用导数研究的性质，数形结合即可得参数范围.
【详解】（1）因为，所以，则在上为减函数，
因为，所以在上的值域为
（2）由得：，则，
则，所以
因为，所以，整理得有两个根.
令，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
当趋向时趋向于，当时.

故的取值范围是.
【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（22-23高三上·山东济宁·期中）已知函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设（），即，结合条件得到：，
再由的奇偶性和单调性得到：，即可求解.
【详解】由题意得，函数，
设（），则，
由，得，
又因为，
所以是上的奇函数，即，
又有，
因为是上的增函数，是上的增函数，
所以是上的增函数；
则，即，
整理得：，解得：或，
所以实数a的取值范围为，
故选：B.
2．（23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先由题意推出，然后由基本不等式即可求解.
【详解】一方面由题意有，
另一方面若有成立，
结合以上两方面有，
且注意到，
所以由复合函数单调性可得在上严格单调递增，
若，则只能，
因此当且仅当；
又已知，
所以，即，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是发现当且仅当，从而得出，从而由基本不等式即可顺利求解.
二、多选题
3．（2022·河北邯郸·一模）下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】A、B选项画出和的图象，数形结合进行比较，C选项构造函数，借助单调性进行判断，D选项作减法，借助对数运算及基本不等式进行比较.
【详解】
作出和的图象，如图所示，由图象可得，当时，，
当时，，，，故A，B正确.
令，则，在上单调递减，所以，故C错误.
，所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
4．（2022高三·全国·专题练习）若函数在上的值域是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先判断得的单调性，再将问题转化为是方程的两个根，从而利用换元法与二次方程的根的分布即可得解.
【详解】因为在上单调递增，
所以由复合函数的单调性可得在上单调递增，
，即是方程的两个根，
则方程，即有两个不相等的实根.
设，问题转化为方程有两个不相等的正根，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将问题转化为方程有两个不相等的正根，从而得解.
5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
由函数解析式可令，且是上的增函数并关于点成中心对称，将不等式变形即可求得，解得.
【详解】易知函数在上为单调性递增，
即可得是上的增函数，
令，则是上的增函数，
易知，可得,
即的图象关于点成中心对称，
由可得，
即，由可得；
所以，利用是上的增函数可得，
解得.
即的取值范围是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：解函数不等式的方法步骤：
（1）根据解析式特征得出函数奇偶性、对称性、周期性等性质；
（2）再判断得出函数单调性，利用单调性并结合定义域得出不等式（组）；
（3）解不等式可得结论；
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年产值
278
309
344
383
427
475
528
588
655
729
811