2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第02讲 常用逻辑用语（精讲）（含解析）

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第02讲 常用逻辑用语（精讲）（含解析），共21页。学案主要包含了必备知识整合，全称量词与存在童词，含有一个量词的命题的否定等内容，欢迎下载使用。

一、必备知识整合
一、充分条件、必要条件、充要条件
1.定义
如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件.
2.从逻辑推理关系上看
①若且，则是的充分不必要条件；
②若且，则是的必要不充分条件；
③若且，则是的的充要条件(也说和等价)；
④若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件.
注：对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).
二、全称量词与存在童词
1.全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”.
2.存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.
三、含有一个量词的命题的否定
1.全称量词命题的否定为，.
2.存在量词命题的否定为.
1．从集合与集合之间的关系上看：设.
（1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”.
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件.
2.常见的一些词语和它的否定词如下表
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.
二、考点分类精讲
【题型一 充分、必要条件的判断】
判断充分、必要条件的几种方法
【典例1】（单选题）设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.
【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足，
如图：满足，，但不成立，故必要性不满足，
所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.

【典例2】（单选题）设为无穷等比数列的前n项和，则“有最大值”是“有最大值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【分析】分别考虑和的情形，即可说明条件既不是充分的也不是必要的.
【详解】当时，，此时显然有最大值，
而没有最大值，这表明条件不是充分的；
当时，由于，故是递增数列，从而没有最大值.
又由于，故是递减数列，
从而有最大值，这表明条件不是必要的.
故选：D.
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知ABCD是平面四边形，设p：＝3，q：四边形ABCD是梯形，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】在四边形中，若，则，且，
即四边形为梯形，充分性成立；
若当为上底和下底时，满足四边形为梯形，但不一定成立，
即必要性不成立，故是的充分不必要条件．
故选：A．
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数为虚数单位的共轭复数为，则“为纯虚数”的充分必要条件为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算化简复数，再由共轭复数和纯虚数的定义即可求解.
【详解】因为，
由为纯虚数，即且，
即且.
故选：D.
3．（2024·全国·模拟预测）是的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用不等式的性质，分别判断充分性和必要性.
【详解】由不等式的性质可知， 时一定有成立，
而成立时，若就不能推出.
所以是的充分不必要条件.
故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测）已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用两直线平行求解的值，结合充要关系的定义判断即可.
【详解】由可得，解得或.
当时，：，：，显然，重合，舍去，
故时，.
因此“”是“”的充要条件.
故选：C
5．（2024·江西南昌·二模）已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，由集合的包含关系，判断条件的充分性和必要性.
【详解】不等式解得，则；
不等式解得，则.
，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6．（2024高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，则“为钝角”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据为钝角和余弦定理可得，反之不成立，结合充分不必要条件的定义即可得出结果．
【详解】当为钝角时，，由余弦定理，得，有，则.
根据“”无法推出“为钝角”，
故“为钝角”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
7．（2024·陕西汉中·二模）已知为两条直线，为两个平面，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用面面垂直的判定定理，可得充分性成立，再通过举例说明，得不出，即可得出结果.
【详解】若，因为，所以，即由可以得到，
若，如图，在正方体中，取平面为平面，平面为平面，
取为直线，为直线，显然有，，但与不垂直，即由得不到，
故选：A.
8．（2024·四川成都·三模）已知圆：，直线：，则“”是“圆上恰存在三个点到直线的距离等于”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用圆上恰存在三个点到直线的距离等于，等价于到直线：的距离为，从而利用点线距离公式与充分必要条件即可得解.
【详解】因为圆：的圆心，半径为，
当圆上恰存在三个点到直线的距离等于时，
则到直线：的距离为，
所以，解得，即必要性不成立；
当时，由上可知到直线：的距离为，
此时圆上恰存在三个点到直线的距离等于，即充分性成立；
所以“”是“圆上恰存在三个点到直线的距离等于”的充分不必要条件.
故选：A.
9．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数，设甲：；乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】利用特殊值的函数值判断充分性不成立，利用导数研究的单调性和值域，结合三角函数的有界性，从而判断必要性.
【详解】，，满足，但，故甲不是乙的充分条件；
令，则，故在单调递增，
即，也即在恒成立，则在恒成立；
故当时，，，甲是乙的必要条件.
综上所述，甲是乙的必要条件，但不是充分条件.
故选：B.
10．（2024·北京东城·一模）设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用等差数列通项公式求出，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即得.
【详解】由等差数列的公差为，得，则，
当时，，而，则，因此，为递增数列；
当为递增数列时，则，即有，整理得，不能推出，
所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
【题型二 根据充分必要条件求参数的取值范围】
1．充分、必要条件的探求方法(与范围有关)
先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件．
2．利用充要条件求参数的两个关注点
(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．
【典例1】（单选题）已知，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解出命题所表示的不等式，再根据必要不充分条件列出不等式组，解出即可.
【详解】，记，
由是的必要不充分条件，可得且，
故，且等号不同时成立，解得.
故选：B.
【典例2】（单选题）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合对数函数的图象与性质，列出不等式组，求得的范围，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】令，则，其中，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
则满足，即，解得，
所以，的一个充分不必要条件是.
故选：A．
【典例3】（单选题）命题方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出当命题为真命题时实数的取值范围，再结合充要条件的定义可得出结论.
【详解】若命题为真命题，则方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，，解得，
因此，使命题成立的充分必要条件是.
故选：B．
一、单选题
1．（23-24高三上·四川·期中）已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先化简条件，利用充分不必要条件列出不等关系，求解即可.
【详解】，因为是的充分不必要条件，所以.
故选：C.
2．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知，则的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用指数函数的性质，求得不等式的解集，结合选项，以及必要不充分条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，即，解得，
结合选项，可得的一个必要不充分条件为.
故选：A.
3．（2023·海南海口·模拟预测）已知集合，则的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式求集合P，解根式不等式求集合Q，根据集合并集结果有即可求参数a的范围，最后由充分、必要性定义可得答案.
【详解】由题设，，，
若，则，故，可得.
所以是的充要条件.
故选：B
4．（2023·四川甘孜·一模）设.若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对，进行化简，然后利用充分不必要条件的定义求解即可.
【详解】因为，
所以，即，
因为，
所以，
若是的充分不必要条件，则，
解得，，
故选：A.
5．（22-23高三下·北京·开学考试）函数是偶函数的充分必要条件是（ ）．
A．B．
C．且D．，且
【答案】C
【分析】利用偶函数的定义求得恒成立，即可求出a，c，再验证时情况即可判断作答.
【详解】显然函数定义域为R，
因是偶函数，即，亦即，
整理得，而不恒为0，因此，，即且，
当时，也是偶函数，D不正确，
所以一定正确的是C.
故选：C
6．（23-24高三上·四川德阳·阶段练习）使得“函数在区间上单调递增”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数型函数的单调性，结合充分不必要条件的定义进行判断即可.
【详解】，二次函数对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以有.
A：显然是充要条件，不符合题意；
B：推不出，所以本选项不符合条件；
C：由能推出，但是由推不出，所以本选项符合题意；
D： 由推不出，所以本选项不符合条件，
故选：C
7．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项.
【详解】若命题“，”为假命题，
则命题的否定“，”为真命题，
即，恒成立，
，，当，取得最大值，
所以，选项中只有是的真子集，
所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为.
故选：D
8．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在性定理列式求出的取值范围，结合必要不充分条件的意义判断即得.
【详解】函数在上单调递增，由函数在内有零点，
得，解得，即命题成立的充要条件是，
显然成立，不等式、、都不一定成立，
而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，
所以命题成立的一个必要不充分条件是.
故选：D
【题型三 全称量词命题与存在量词命题的否定】
全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否结论：对原命题的结论进行否定．
【典例1】（单选题）已知命题p：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】在给命题取否定时，需要将任意量词和存在量词互相转换，并对结论取否定.
【详解】将原命题的任意量词换成存在量词，结论中的“”换成“”就得到原命题的否定为：
，，
从而A正确.故选：A
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据命题“，”的否定是“，”直接得出结果.
【详解】命题“，”的否定是“，”．
故选：C．
2．（2024·四川成都·模拟预测）命题的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.
【详解】因为命题，
则其否定为.
故选:B
3．（2024·山西吕梁·二模）设命题：对任意的等比数列也是等比数列，则命题的否定为（ ）
A．对任意的非等比数列是等比数列
B．对任意的等比数列不是等比数列
C．存在一个等比数列，使是等比数列
D．存在一个等比数列，使不是等比数列
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，直接写出命题的否定.
【详解】因为：：存在一个等比数列，使不是等比数列.
故选：D
4．（2024·山西·一模）设命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据存在量词命题的否定形式判定即可.
【详解】由题意可知.
故选：C
5．（2024·全国·模拟预测）命题“，函数在上单调递增”的否定为（ ）
A．，函数在上单调递减
B．，函数在上不单调递增
C．，函数在上单调递减
D．，函数在上不单调递增
【答案】B
【分析】根据题意，结合全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，函数在上单调递增”的否定为“，函数在上不单调递增”．
故选：B．
6．（23-24高一上·山东青岛·期中）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数，关于的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
【答案】D
【分析】由全称量词命题的否定的定义即可得解.
【详解】“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”的否定为：
存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解.
故选：D.
【题型四 根据全称、存在量词命题的真假求参数的取值范围】
根据全称、存在量词命题的真假求参数的取值范围一般思路
1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补集即可.
2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.
3.与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围
【典例1】（单选题）命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求解出函数在区间上的最小值，然后根据恒成立条件得出结果.
【详解】解：因为命题“”为真命题，
所以，
因为函数在区间上单调递增，
所以当时，，
所以只需.
故选：A．
【典例2】（单选题）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由存在性问题得即可得解.
【详解】由题意命题“，使”是真命题，所以，
当且仅当，有，所以实数m的取值范围是.
故选：C.
一、单选题
1．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】时，有，则命题“，”为真命题时，有.
【详解】函数在R上单调递增，当时，，
“，”为真命题，则，即实数a的取值范围为.
故选：C．
2．（2024高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得不等式在R上有解，结合计算即可求解.
【详解】由题意可知，不等式在R上有解，
∴，解得，
∴实数m的取值范围是.
故选：A.
3．（2024·四川·模拟预测）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分离参数，求函数的最小值即可求解.
【详解】因为命题“”为真命题，所以．
令与在上均为增函数，
故为增函数，当时，有最小值，即，
故选：A．
4．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可.
【详解】命题“，”是假命题，
则“，”是真命题，
所以有解，
所以，
又，
因为，所以，
即.
故选：B.
5．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知向量，命题．若是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，根据特征量词命题的否定为真命题可得是真命题，易知时满足题意，当时，有，解之即可求解.
【详解】由题可知，命题的否定：，且否定是真命题，
即是真命题．
当时，；
当时，且，所以．
综上，实数的取值范围是．
故选：D
6．（2024·陕西西安·模拟预测）设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据特称名为假命题可得，对恒成立，令，利用二次函数的性质列不等式求解即可得结论.
【详解】因为命题“，”是假命题，所以，恒成立，
则，对恒成立，
令，则二次函数的对称轴为直线，
要使得，恒成立，则，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：A.
二、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】当时，，当时，可得可取任意负数，即可求解.
【详解】对于，，
当时，对于，，则可取任意负数，如；
故答案为：.
8．（23-24高三上·湖北武汉·期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用命题为真命题由正切函数单调性即可求得，可知为假命题时实数的取值范围是.
【详解】若命题“，”是真命题，可得即可；
易知在上单调递增，
所以，可得；
又因为该命题是假命题，所以可得，
即实数的取值范围是.
故答案为：
①充分、必要条件的判断
②根据充分必要条件求参数的取值范围
③全称量词命题与存在量词命题的否定
④根据全称、存在量词命题的真假求参数的取值范围
原词语
等于
大于
小于
是
都是
任意
（所有）
至多
有一个
至多
有一个
否定词语
不等于
小于等于
大于等于
不是
不都是
某个
至少有
两个
一个都
没有